HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CÂU I : Cho hàm số : 3 3y x x= − (1) 1. Khảo sát hàm số (1) 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi ,đường thẳng cho bởi phương trình y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thò (1) tại một điểm A cố đònh. Hãy xác đònh các gía trò của m để đường thẳng cắt đồ thò hàm số (1) tại 3 điểm A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thò tại B vàC vuông góc với nhau. CÂU II: 1. Giải phương trình : 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = 2. Tìm tất cả các giá trò của tham số a sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi 0x ≤ 1 2 (2 1)(3 5) (3 5) 0 x x x a a + + + − + + < 3. Giải phương trình : 3 3 4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + = CÂU III: 1. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1 thì : 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 a c a c b b a b c       + + ≥ + + 2. Tính diện tích phần hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x y xe= , y = 0, x= -1, x=2. CÂU IV: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB= a, AD= 2a,AA’= a 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C. 2. Gọi M làđiểm chia trong đoạn AD theo tỉ số 3 AM MD = Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’C) 3. Tính thể tích tứ diện AB’D’C HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG Câu I: 1) Khảo sát hàm số: y= 3 3x x− (1) TXĐ: D = R y’= 2 3 3x − 1 1 y'=0 x x <=> =− = [ y”=6x y”=0  x=0 =>y=0 => điểm uốn O(0, 0) BBT: Đồ thò: 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thò (1) tại 1 điểm cố đònh A: * Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố đònh A(-1, 2). Thay A(-1, 2) vào (1) thoả =>A ∈ đồ thò (1). Vậy: (d) luôn cắt đồ thò (1) tại điểm cố đònh A(-1, 2). Đònh m để (d) cắt đồ thò (1) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 3 3x x− = m(x + 1) + 2 ⇒ (x+1)( 2 x - x – 2 - m) = 0 (d) cắt (1) tại 3 điểm phân biệt. 1 2 2 0 (2) x x x m     = − − − − = ⇔ ⇒ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1. { 0 ( 1) 0g ⇔ ∆> − ≠ { 1 4(2 ) 0 0 m m ⇔ + + > ≠ 9 4 0 m m   ⇔    >− ≠ Khi đó (2) có 2 nghiệm B x , C x => hệ số tiếp tuyến tại B và C là: f’( B x ), f’( C x ) Tiếp tuyến tại B và C vuông góc nhau ⇒ f’( B x ).f’( C x ) = -1 ⇒ (3 2 B x -3)(3 2 C x - 3) = -1 ⇒ 9 2 B x 2 C x - 9( 2 B x + 2 C x ) + 9 = -1 ⇒ 9 2 P -9( 2 S - 2P) +10 = 0 Mà: 1 2 b S a P m  = − =    = − −  => 9 2 ( 2 )m− − - 9(1 + 4 + 2m) +10 = 0 => 9 2 m +18m – 9 = 0 => 2 m +2m-1=0 1 2 1 2 m m  ⇔   =− + =− − (loại) So với điều kiện: m > - 9 4 và m ≠ -1+ 2 . Câu II: 1) Giải phương trình: (4 1)x + - (3 2)x − = 3 5 x + Điều kiện: x ≥ 2 3 , khi đó: Phương trình ⇒ (4 1) (3 2) (4 1) (3 2) x x x x + − − + + − = 3 5 x + ⇒ 3 (4 1) (3 2) x x x + + + − = 3 5 x + ⇒ (4 1)x + + (3 2)x − = 5 (vì x ≥ 2 3 nên x + 3 ≠ 0) ⇒ 2 (4 1)(3 2)x x+ − = 26 - 7x 2 26 7 3 2 344 684 0   ⇔    ≤ ≤ − + = x x x 2 26 7 3 324 2   ⇔    ≤ ≤ = ∨ = x x x ⇒ x = 2 2) Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ x ≤ 0. x. 1 2 x+ +(2a+1) (3 5) x − + (3 5) x + < 0 Bất phương trình ⇒ 2a. 2 x + ( 2a + 1) (3 5) x − + (3 5) x + < 0 ⇒ 2a + (2a + 1) 3 5 2 x   −  ÷  ÷   + 3 5 2 x   +  ÷  ÷   < 0 Nhận xét: 3 5 2 x   +  ÷  ÷   3 5 2 x   −  ÷  ÷   =1 Do đó: t = 3 5 2 x   +  ÷  ÷   thì 3 5 2 x   −  ÷  ÷   = 1 t (t > 0) Thế vào bất phương trình ta được: 2a + (2a + 1) 1 t + t < 0 ⇒ 2at + 2a + 1 + 2 t < 0 (vì t > 0) ⇒ 2a(t + 1) < - 2 t -1 ⇒ 2a < 2 1 1 t t − − + (*) (vì t > 0) Xem hàm số: y = 2 1 1 t t − − + Với x ≤ 0 thì 0 < t ≤ 1 Ta có: y’= ( ) 2 2 2 1 1 t t t − − + + , y’= 0 ⇒ t= -1 2± Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận: Bất phương trình đúng ∀ x ≤ 0 ⇒ (*) đúng ∀ t < (0, 1) ⇒ 2a < -1 ⇔ a< - 1 2 3) Giải phương trình: 4 3 sin x cox3x + 4 3 cos x sin3x + 3 3 cos4x = 3 Phương trình ⇔ 4sinxcos3x(1 - 2 cos x ) + 4cosxsin3x(1 - 2 sin x ) + 3 3 cox4x – 3 = 0 ⇔ 4(sinxcos3x + cosxsin3x) - 4sinxcosx(cos3xcosx + sin3xsinx) + 3 3 cos4x – 3 = 0 ⇔ 4sin4x - 2sin2xcos2x + 3 3 cos4x – 3 = 0 ⇔ 4sin4x - sin4x + 3 3 cos4x – 3 = 0 ⇔ 3sin4x + 3 3 cos4x = 3 ⇔ sin4x + 3 cos4x = 1 ⇔ 1 2 sin4x + 3 2 cos4x = 1 2 ⇔ sin4xcos 3 π + cos4xsin 3 π = 1 2 ⇔ sin 4 3 x π   +  ÷   = sin 6 π 4 2 3 6 5 4 2 3 6 x k x k π π π π π π   ⇔   + = + + = + 24 2 8 2 k x k x π π π π   ⇔    − = + = + Đáp số: 24 2 8 2 k x k x π π π π − = + = +    (k ∈ Ζ ) Câu III: 1) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 thì: 1 3 a + 1 3 b + 1 3 c ≥ 3 3 3 3 a b c a b c   + +  ÷   Vì a, b , c có vai trò như nhau nên ta có thể giả sử: a ≤ b ≤ c => 1 3 a ≥ 1 3 b ≥ 1 3 c Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu a ≤ b ≤ c và A ≤ B ≤ C thì: (a + b + c)(A + B + C) ≥ 3(aA + bB + cC) (*) Thật vậy: (*) ⇔ aB + aC + bA + cA + cB - 2aA - 2bB - 2cC ≥ 0 ⇔ (a - b)(B - A) + (b - c)(C - B) + (c - a)(A - C) ≥ 0 Đúng vì (a - b)(B - A) ≥ 0;(b - c)(C - B) ≥ 0 và (c - a)(A - C) ≥ 0 Vậy: a ≤ b ≤ c thì 1 3 a ≥ 1 3 b ≥ 1 3 c =>(a + b + c) 3 3 3 a b c a b c   + +  ÷   ≥ 3 3 3 3 a b c a b c   + +  ÷   (đpcm) 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x x e , y = 0, x = -1, x = 2. Ta có: S= 2 1 x xe dx − ∫ = - 0 1 x xe dx − ∫ + 2 0 x xe dx ∫ Đặt u = x => du = dx, dv = x e dx, chọn v = x e Vậy: S= - 0 0 1 1 x x xe e dx − −   −     ∫ + 2 2 0 0 x x xe e dx   −     ∫ = - ( ) 0 1 x x xe e −   −     + ( ) 2 0 x x xe e   −     = 2 1 e   −  ÷   + ( ) 2 1e + = 2 + 2 e - 2 e (đvdt) Câu IV: 1) Tính khoảng cách giữa AD và BC: Ta có: AB ⊥ AD AB ⊥ BC => AB = a là khoảng cách giữa AD và BC. 2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A’BC): Chọn hệ trục Oxyz như sau: O = A, Ox qua AD, Oy qua AB, Oz qua AA’ => A(0, 0, 0), B’(0, a, a), C(2a, a, 0). Phương trình mặt phẳng (AB’C): VTCP: 'AB uuuur = (0; a; a) và 'AC uuuur = (2a; a; 0) => Pháp vectơ: n r = ', 'AB AC     uuuur uuuur = (- 2 a ; 2 2 a ; -2 2 a ) hay (1, -2, 2) =>(AB’C): x - 2y + 2z = 0 Ta có: M( 3 2 a; 0; 0) Khoảng cách từ M đến (AB’C) là: d(M,(AB’C))= 3 2 9 a = 2 a 3) Tính thể tích tứ diện AB’D’C: Ta có: D’(2a, 0, a) => 'AD uuuur =(2a, 0, a) ' 'AB D C V = 1 6 ', . 'AB AC AD     uuuur uuur uuuur = 1 6 3 3 2 2a a− − = 3 2 3 a . gi a AD và BC: Ta có: AB ⊥ AD AB ⊥ BC => AB = a là khoảng cách gi a AD và BC. 2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A BC): Chọn hệ trục Oxyz như sau: O = A, Ox qua AD, Oy qua AB, Oz qua AA’. AA’ => A( 0, 0, 0), B’(0, a, a) , C( 2a, a, 0). Phương trình mặt phẳng (AB’C): VTCP: 'AB uuuur = (0; a; a) và 'AC uuuur = ( 2a; a; 0) => Pháp vectơ: n r = ', 'AB AC . diện AB’D’C: Ta có: D’( 2a, 0, a) => 'AD uuuur =( 2a, 0, a) ' 'AB D C V = 1 6 ', . 'AB AC AD     uuuur uuur uuuur = 1 6 3 3 2 2a a− − = 3 2 3 a