SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/01/2010 Câu 1: (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên dương   x; y thỏa mãn:         x x+1 x+2 x+3 = y y+1 . Câu 2: (5 điểm) a) Cho các số a , b , c thỏa mãn =1abc . Chứng minh: 1 1 1 + + =1 1+ + 1+ + 1+ +a ab b bc c ca . b) Giải phương trình: 1+cos2x 2cos2x 2009. cosx + = 1+cosx -sinx +cos2x 3cosx +sinx +2cos2x +cos3x +sin3x 2010 . Câu 3: (5 điểm) a) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn     2 1f x x f x x   với mọi số thực x . b) Xét dãy các số thực   n x , 1,2,3, n  , xác định bởi: 1 0x  ;   1 2 1 n n x x    , 1,2,3, n  Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Suy ra giới hạn của dãy khi n   . Câu 4: (3 điểm) Cho 3 số dương , ,a b c thỏa mãn abc a c b   . Chứng minh: 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c       . Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đó. Các tiếp tuyến với (O) ở A và B lần lượt cắt tiếp tuyến với (O) ở C tại M và N. AN cắt BC tại P. BM cắt AC tại Q. Gọi S và T lần lượt là trung điểm của AP và BQ. Đặt  BACα= ,  CBA= ,  ACBγ = . Chứng minh rằng: a)  c o tA B S = 2 co t α + 2 c o tβ + c o tγ . b)   ABS = BAT HẾT . ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/01/2010 . quát c a dãy số. Suy ra giới hạn c a dãy khi n   . Câu 4: (3 điểm) Cho 3 số dương , ,a b c th a mãn abc a c b   . Chứng minh: 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c       . Đẳng thức xảy ra khi. S và T lần lượt là trung điểm c a AP và BQ. Đặt  BACα= ,  CBA= ,  ACBγ = . Chứng minh rằng: a)  c o tA B S = 2 co t α + 2 c o tβ + c o tγ . b)   ABS = BAT HẾT