Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần I Đặt vấn đề Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và hứng thú học tập cho học sinh. Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học, học sinh cần phải đợc cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá điều mình cha biết. Để đảm bảo tiết học có hiệu quả, có chất lợng đòi hỏi ngời thầy giáo phải đầu t thời gian và trí tuệ vào nội dung của từng tiết học, biết cách vận dụng tốt các phơng pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá, tơng tự để từ những kiến thức đã có giúp học sinh mở rộng, đào sâu hệ thống hoá kiến thức hoặc mò mẫm, dự đoán, tìm lời giải cho bài toán Điều đó cũng làm cho ngời thầy giáo có cái nhìn sâu hơn, rộng hơn một vấn đề, một bài toán, tự trau dồi cho mình những kiến thức chuyên môn. Qua đó có những phơng pháp hợp lý trong giảng dạy, giúp học sinh biết cách suy luận, biết cách tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi đề phát hiện những kiến thức mới hoặc biết cách tìm lời giải của một bài toán khó hoặc cao hơn là đề ra những bài toán mới tơng tự. Phạm vi của đề tài đề cập đến một vấn đề: Phát huy trí tuệ của học sinh qua việc khai thác một bài toán ./. Phần II Nội dung A- số học: Xét bài toán trong Sách giáo khoa lớp 6: Tính tổng: S = 2.1 1 + 3.2 1 + 4.3 1 + + 100.99 1 Ta có: S = 1 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + 3 1 - 4 1 + + 99 1 - 100 1 = ( 1 1 + 2 1 + 3 1 + + 99 1 ) ( 2 1 + 3 1 + + 99 1 + 100 1 ) = 1 - 100 1 = 100 99 Trên cơ sở của bài toán trên ta có thể phát triển thành nhiều bài toán khác: 1- Bài toán 1: Cho A = 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + + 2 100 1 Chứng minh rằng: A < 1. Lời giải: A = 2.2 1 + 3.3 1 + + 100.100 1 A < 2.1 1 + 3.2 1 + + 100.99 1 A < S = 1 - 100 1 = 100 99 < 1 A < 1 Ta có bài toán tổng quát: Cho B = 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + + 2 1 n Với n N * Chứng minh rằng: B < 1 2 2- Bài toán 2: Cho C = 4 5 + 9 10 + 16 17 + + 000.10 10001 Chứng minh rằng C < 100. Lời giải: C = 2 2 5 + 2 3 10 + + 2 100 10001 Do từ 2 đến 100 có 99 số nên tổng C có 99 số hạng. Khi đó: C = (1 + 2 2 1 ) + (1 + 2 3 1 ) + (1 + 2 100 1 ) = 99 + ( 2 2 1 + 2 3 1 + + 2 100 1 ) = 99 + ( 2.2 1 + 3.3 1 + + 100.100 1 ) < 99 + ( 2.1 1 + 3.2 1 + + 100.99 1 ) C < 99 + S = 99 + (1 - 100 1 ) = 100 - 100 1 C < 100 Ta có bài toán tổng quát: Cho D = 2 2 5 + 2 3 10 + 2 4 17 + + 2 2 1 n n + Chứng minh rằng: D < n (n N * ). Lời giải tơng tự lời giải bài toán 2. 3- Bài toán 3 : Cho E = 4 3 + 9 8 + 6 15 + + 10000 9999 Chứng minh rằng: E > 98. Lời giải: Ta có: E = (1 - 4 1 ) + (1 - 9 1 ) + + (1 - 10000 1 ) = (1 - 2 2 1 ) + (1 - 2 3 1 ) + (1 - 2 100 1 ) = 99 ( 2 2 1 + 2 3 1 + + 2 100 1 ) = 99 ( 2.2 1 + 3.3 1 + + 100.100 1 ) 3 ⇒ E > 99 – ( 2.1 1 + 3.2 1 + + … 100.99 1 ) ⇒ E > 99 – (1 - 100 1 ) = 98 + 100 1 ⇒ E > 98 Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t: Cho F = 2 2 3 + 2 3 8 + 2 4 15 + + … 2 2 1 n n − Chøng minh r»ng: F > n – 2 4- Bµi to¸n 4: Cho G = 2 2 1 + 2 4 1 + 2 6 1 +… 2 200 1 Chøng minh r»ng: G < 2 1 Lêi gi¶i: Ta cã: G = 1.2 1 2 + 22 2.2 1 + 22 3.2 1 + + … 22 100.2 1 = 2 2 1 . (1 + 2 2 1 + 2 3 1 + + … 2 100 1 ) ⇒ G < 4 1 + 4 1 . ( 2.1 1 + 3.2 1 + + … 100.99 1 ) ⇒ G < 4 1 + 4 1 . (1 - 100 1 ) G < 2 1 - 100 1 < 2 1 VËy G < 2 1 Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t: Cho H = 2 2 1 + 2 4 1 + + … 2 )2( 1 n Chøng minh r»ng: H < 2 1 5- Bµi to¸n 5: Cho P = 5 1 + 13 1 + 25 1 + + … 19801 1 Chøng minh r»ng: P < 2 1 4 Lêi gi¶i: P = 14 1 + + 112 1 + + + … 119800 1 + ⇒ P < 4 1 + 12 1 + 24 1 + + … 19800 1 P < 2.2 1 + 6.2 1 + 12.2 1 + + … 9900.2 1 P < 2 1 . ( 2.1 1 + 3.2 1 + + … 100.99 1 ) P < 2 1 . (1 - 100 1 ) = 2 1 - 100 1 ⇒ P < 2 1 6- Bµi to¸n 6: Cho Q = 5 3 + 13 11 + 25 23 + + … 19801 19799 Chøng minh r»ng: Q > 98. Lêi gi¶i: Ta cã: Q = (1 - 5 2 ) + (1- 13 2 ) + + (1- … 19801 2 ) ⇒ Q > (1 - 4 2 ) + (1- 12 2 ) + + (1 - … 19801 2 ) ⇒ Q > (1 - 2 1 ) + ( 1 - 6 1 ) + + (1 - … 9900 1 ) ⇒ Q > (1 - 2.1 1 ) + (1 - 3.2 1 ) + + (1 - … 100.99 1 ) ⇒ Q > 99 – (1 - 100 1 ) = 98 + 100 1 VËy Q > 98. 7- Bµi to¸n 7: Cho M = 2001 - ( 1 1 + 21 1 + + 321 1 ++ + + … 99 21 1 +++ ) Chøng minh r»ng: M > 1999 5 Lêi gi¶i: Ta cã: 1 = 2 2.1 ; 1 + 2 = 2 3.2 1 + 2 + 3 = 2 4.3 … 1 + 2 + 3 + + 99 = … 2 100.99 ⇒ M = 2001 – ( 2 2.1 1 + 2 3.2 1 + + … 2 100.99 1 ) = 2001 – 2 . ( 2.1 1 + 3.2 1 + + … 100.99 1 ) = 2001 – 2. (1 - 100 1 ) = 2001 – 2 + 100 2 = 1999 + 50 1 >1999 VËy M > 1999. Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t: Cho N = ( 11 1 + + 21 1 + + 321 1 ++ + + … ) 21 1 n+++ Chøng minh r»ng: N < 2 8- Bµi to¸n 8: Cho E = !2 1 + !3 1 + !4 1 + + … !100 1 Chøng minh r»ng: E < 1 Ta cã: E = ( 2.1 1 + 3.2.1 1 + + … 100 3.2.1 1 ) Do: 4.3.2.1 1 < 4.3 1 ; 5.4.3.2.1 1 < 5.4 1 …. 100 3.2.1 1 < 100.99 1 6 ⇒ E < ( 2.1 1 + 3.2 1 + 4.3 1 + … 100.99 1 ) ⇒ E < 1 - 100 1 < 1 VËy E < 1 9- Bµi to¸n 9: Cho F = !2.5 3 + !3.5 3 + + … !100.5 3 Chøng minh r»ng: F < 0,6 Ta cã: F = 5 3 . ( !2 1 + !3 1 + + … !100 1 ) ⇒ F < 5 3 . E < 5 3 . 1 VËy F < 0,6 10- Bµi to¸n 10: Chøng minh r»ng: 1 + !1 1 + !2 1 + !3 1 + + … ! 1 n < 3 §Æt Z = 1 + !1 1 + !2 1 + !3 1 + + … ! 1 n ⇒ Z = 1 + 1 1 + 2.1 1 + 3.2.1 1 + .+ … n 3.2.1 1 ⇒ Z < 2 + 2.1 1 + 3.2 1 + 4.3 1 + + … nn ).1( 1 − Z = 2 + 1 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + + … 1 1 −n - n 1 Z = 3 - n 1 < 3 VËy Z < 3 11- Bµi to¸n 11: Cho B = 3.1 1 2 + 5.3 2 2 + + … 193.191 96 2 Chøng minh r»ng: B < 25 7 Lêi gi¶i: Ta cã : B = 2 2 1 . ( 3.1 2.1 22 + 5.3 2.2 22 + 7.5 3.2 22 + + … 193.191 96.2 22 ) B = 4 1 . ( 3.1 2 2 + 5.3 4 2 + 7.5 6 2 + + … 193.191 192 2 ) B = 4 1 [1+ 3.1 1 + 1+ 5.3 1 + + 1+ … 193.191 1 ] B = 4 1 [96 + ( 3.1 1 + 5.3 1 + + … 193.191 1 )] B = 24 + 8 1 . (1 - 193 1 ) B = 24 + 8 1 - 193.8 1 < 24 8 1 < 25 VËy B < 25. 12- Bµi to¸n 12: Cho C = 3 1 + 15 13 + 35 33 + + … 36099 36097 Chøng minh r»ng: C > 94 Lêi gi¶i: Ta cã: C = (1 - 3 2 ) + ( 1- 15 2 )+ + (1 - … 36099 2 ) = (1 - 3.1 2 ) + ( 1 - 5.3 2 )+ + … 191.189 2 ) = 95 – ( 3.1 2 + 5.3 2 + + … 191.189 2 ) = 95 – ( 1 - 191 1 ) = 94 + 191 1 > 94 VËy C > 94. 13- Bµi to¸n 14: Cho D = 17 11 + 37 31 + 65 59 + 101 95 + 145 139 Chøng minh r»ng: D > 4. 8 Lêi gi¶i: Ta cã: D = 1 - 17 6 + 1 - 37 6 + + 1 - … 145 6 = 5 – ( 17 6 + 37 6 + 45 6 + 101 6 + 145 6 ) = 5 – 3 ( 17 2 + 37 2 + 65 2 + 101 2 + 145 2 ) > 5 – 3 ( 15 2 + 35 2 + 63 2 + 99 2 + 143 2 ) = 5 – 3 ( 5.3 2 + 7.5 2 + 9.7 2 + 11.9 2 + 13.11 2 ) = 5 – 3 ( 3 1 - 13 1 ) = 5 – 1 + 13 3 > 4 VËy D > 4 14- Bµi to¸n 14: Cho E = !2 1 + !3 2 + !4 3 + … !2001 2000 Chøng minh r»ng: E < 1 Ta cã: E = !2 12 − + !3 13 − + !4 14 − + + … !2001 12001 − = !2 2 - !2 1 + !3 3 - !3 1 + .+ … !2001 2000 - !2001 1 = 1 - !2001 1 < 1 VËy E < 1 15- Bµi to¸n 15: T×m x biÕt: 21 1 + + 321 1 ++ + + … x++++ 321 1 = 2003 2001 Lêi gi¶i: Ta cã: VT = 2 3.2 1 + 2 4.3 1 + + … 2 )1.( 1 +xx 9 = 3.2 2 + 4.3 2 + + … )1( 2 +xx = 2. ( 2 1 - 3 1 + 3 1 - 4 1 + + … x 1 - 1 1 +x ) = 2 . ( 2 1 - 1 1 +x ) = 1 - 1 2 +x ⇒ 1 - 1 2 +x = 2003 2001 ⇒ x = 2002 . 16- Bµi to¸n 16: Cho F = 4 3 + 36 5 + 144 1 + + … 22 )1( 12 + + nn n Chøng minh: F < 1 Lêi gi¶i; Ta cã: F = 22 2.1 1 + 22 3.2 5 + + … 22 )1( 12 + + nn n = 2 1 1 - 2 2 1 + 2 2 1 - 2 3 1 + + … 2 1 n - 2 )1( 1 +n = 1 - 2 )1( 1 +n < 1 VËy F < 1. 17- Bµi to¸n 17: Cho M = )!1( 1 !4 11 !3 5 !2 1 2 + −+ ++++ n nn Chøng minh r»ng: M < 2 Lêi gi¶i: Ta cã: )!1( 1 2 + −+ n nn = )!1( )1( + + n nn - )!1( 1 +n = )!1( 1 −n - )!1( 1 +n ⇒ M = !2 1 + !1 1 - !3 1 + !2 1 - !4 1 + + … )!1( 1 −n - )!1( 1 +n 10 [...]... ngời thầy có cái nhìn sâu hơn, rộng hơn về một vấn đề, một bài toán, đồng thời tạo cho học sinh biết cách học, cách suy nghĩ và giải quyết một vấn đề hoặc tự mình có thể đặt ra và giải quyết các vấn đề mới từ các vấn đề đã học Từ đó nâng cao chất lợng dạy và học Qua nhiều năm giảng dạy rút ra kinh nghiệm việc khai thác bài toán phải là công việc làm thờng xuyên trong từng tiết giảng, đòi hỏi ngời giáo... 1 (1) AM BN CP 3 3 3 M (ĐPCM) *Nhận xét: Kết quả (1) là hiển nhiên, tính chất của trọng tâm tam giác học sinh đã học ở Hình học 7 Tơng tự ta chứng minh đợc bài toán sau: * Bài toán 2: Cho ABC, trọng tâm G, các trung tuyến lần lợt là AM, BN, CP Chứng minh rằng : GA GB GC + + =2 AM BN CP (2) Học sinh chứng minh tơng tự với: GA = 2 AM, 3 GB = 2 BN, 3 GC = 2 CP 3 Kết quả (2) * Nhận xét: Trong hai bài... Nh vậy kết quả (3) và (4) tơng tự kết quả (1) và (2) * Từ các kết quả trên, khai thác tiếp cho điểm bất kỳ trong tam giác, ta có bài toán sau: 19 * Bài toán 4: Cho ABC và một điểm I bất kỳ trong tam giác AI, BI, CI lần lợt cắt BC, CA, AB tại M, N, P Chứng minh rằng : IM IN IP + + = 1 (5) AM BN CP AI BI CI + + = 2 (6) AM BN CP Khai thác lời giải bài toán 3 Ta có lời giải toán này nh sau: Kẻ AH, IK vuông... minh rằng : h + h h = R b c a * Nhận xét: Trên đây ta xét các bài toán trong phạm vi hẹp là mặt phẳng Mở rộng bài toán trong không gian (học sinh đã học ở SGK 9) Ta có các bài toán sau với ý tởng lời giải tơng tự Với khái niệm diện tích ở hình học phẳng, học sinh sẽ mở rộng cho khái niệm thể tích trong không gian 23 * Bài toán 9: Trong không gian cho tứ diện ABCD, một điểm I bất kỳ nằm trong tứ diện... + + (n 1)! 1! 2! 2! 3! n! = 1 1 1 - =1- 2 a,b 0) 2 a b a + b2 1 1 1 1 1 + + 2 + 2 2 2 2 a +b (a + b ) a b a + b2 P= = (vì 2 1 1 1 + 2 + 2 a b ( a + b) 2 (2a) 1 1 1 + a b a+b Bây giờ, khai thác (*) để tính tổng các biểu thức có chứa căn, ta có thể đa ra các bài toán sau: Bài toán 5: Xét tổng sau: Sn = 1 + 1 1 + 3 + 2 2 3 1+ 1 1 + 3 + + 2 3 4 1+ 1 1 + 2 2 (n 1) n a- Tính S2000 b- Chứng . viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần I Đặt vấn đề Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát tri n khả năng. học tập cho học sinh. Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học, học sinh cần phải đợc cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá. ra những bài toán mới tơng tự. Phạm vi của đề tài đề cập đến một vấn đề: Phát huy trí tuệ của học sinh qua việc khai thác một bài toán ./. Phần II Nội dung A- số học: Xét bài toán trong Sách