Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ mục lục Trang Phần I : Đặt vấn đề 2 Phần II : Nội dung 3 A - Một số vấn đề lý thuyết 3 a1 - Tính chất 3 a2 - Bất đẳng thức Cô si 3 B - Các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức Cô si 4 C - Cách giải bài tập vận dụng bất đẳng thức Cô si 4 Dạng 1: Vận dụng BĐT Cô si và tính chất của BĐT 4 Dạng 2: Tách các số hạng của tổng 7 Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số 10 Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp 13 Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng 15 Phần III: Kết luận 20 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . Phần I - Đặt vấn đề Trong lịch sử phát tiển của các bộ môn khoa học thì toán học ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế của cuộc sống các kiến thức toán học đã đợc vận dụng góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa hgọc tự nhiên. Không những thế toán học còn thúc đẩy sự phát triển của các bộ môn khoa học xã hội. Nh vậy có thể nói: Toán học là cơ sở của nhiều môn khoa học. Vì vậy việc nâng cao kiến thức toán học cho học sinh là rất cần thiết trong việc dạy toán. Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có một vị trí quan trong trong chơng trình dạy toán ở trờng phổ thông. . Các bài toán này rất đa dạng, phong phú đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức toán học, yêu cầu học sinh phải có cách quan sát sáng tạo, độc đáo giúp học sinh phát triển t duy cao. Các bài toán này còn mang ý nghĩa về giáo dục t tởng trong việc hình thành cho học sinh thói quen ứng dụng toán học để tìm giải pháp tối u khi thực hiện một công việc trong thực tế, xác định giá trị mà tại đó đạt hiệu quả cao nhất, chi phí ít nhất. Chính vì vậy, các bài toán giải bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thờng xuyên đợc sử dụng trong các kỳ thi học sinh giỏi toán lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Nhiều khi các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất còn xuất hiện trong cả đề thi tuyển sinh đại học. Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những nội dung hay đề cập đến và thờng là những bài tập khó. Khả năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn hạn chế nên thờng lúng túng khi giải các bài toán trên. Đặc biệt khi nghiên cứu về bất đẳng thức Cô si các em nắm điựơc công thức nhng việc vận dụng vào giải còn lúng túng và gặp nhiều khó khăn. Để góp phần giải quyết những khó khăn trên cho ngời dạy đồng thời để công tác bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt góp phần vào mục tiêu Đào tạo và bồi dỡng nhân tài, chúng tôi chọn đề tài Sử dụng bất đẳng thức cô si trong bài toán chứng minh Nội dung chính đợc trình bầy trong phần II của đề tài. Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 2 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . Phần II - Nội dung A- một số vấn đề lý thuyết A1 Tính chất A C > 0 B D > 0 A.B C.D A2 - Bất đẳng thức Cô si Bất đẳng thức đợc viết dới dạng khác nhau (Chỉ áp dụng với các số không âm) 1) Dạng căn thức ba ba . 2 + 3 3 cba cba ++ n n n aaa n aaa 21 21 +++ 2) Dạng lũy thừa ba ba . 2 2 + cba cba 3 3 ++ n n n aaa n aaa 21 21 +++ 3) Hệ quả a / Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau b / Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 3 Nếu Thì Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . B- các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức Dạng 2: Tách các số hạng của tổng Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng C- cách giải các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức Ví dụ 1: * Bài toán: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng: (a+2)(b+2)(a+b) 16ab * Phân tích và cách giải: - Bất đẳng thức cần chứng minh là tích của 3 tổng dơng vì a>0, b>0. Do vậy ta có thể vận dụng bất đẳng thức Cô si kết hợp với tính chất của bất đẳng thức: Nếu 0 0 A C B D > > > > Thì: A.B C.D - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: aa .2.22 + <1> bb .2.22 + <2> baba 2+ <3> - Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có: abbababa .2.2.8))(2)(2( +++ ab16 <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =2 Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 4 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . Ví dụ 2: * Bài toán: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng: 9 111 )( ++++ cba cba * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 3 3 cbacba ++ <1> 3 1 .3 111 cbaaaa ++ <2> - Nhân từng vế của <1> và <2> ta có: 3 3 1 9 111 )( cba cba cba cba ++++ 9 <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c * Nhận xét: - Mở rộng từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát: Cho a 1 , a 2 , , a n là các số dơng thì ta có: 2 21 21 1 11 ) ( n aaa aaa n n ++++++ - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a 1 = a 2 = = a n Ví dụ 3: * Bài toán: Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1 Chứng minh rằng: 64 1 1. 1 1. 1 1 + + + cba Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 5 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 4 2 41 cbaacbaa +++=+ <1> 4 2 41 cbabcbab +++=+ <2> 4 2 41 cbaccbaa +++=+ <3> - Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có: ( ) ( ) ( ) cbacba 641.1.1 +++ <4> Vì a,b, c >0 nên abc > 0. Chia cả hai vế của <4> cho abc ta đợc: 64. )1( . )1( . )1( +++ c c b b a a 64 1 1. 1 1. 1 1 + + + cba <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c = 3 1 Bài tập đề nghị: * Bài 1: Cho a 1, b 1 Chứng minh rằng: ababba + 11 * Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xx P += 1 21 Với 0 < x < 1 * Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của tam giác sao cho biểu thức: cba c bca b acb a Q + + + + + = nhỏ nhất Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 6 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . Dạng 2: Tách các số hạng của tổng Ví dụ 1: * Bài toán: Cho a, b là hai số dơng thoả mãn a + b = 5 Chứng minh rằng: a 2 .b 3 108 * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 5 số dơng ta có: 5 3 b . 3 b . 3 b . 2 a . 2 a 333225 1 ++++ bbbaa ( ) 5 32 108 b . a ba 5 1 + 5 32 108 b . a 1 a 2 .b 3 108 <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : 32 ba = , mà a + b =5 a = 2 và b = 3 Ví dụ 2: * Bài toán: Tính số đo các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức: M = A.B 2 .C 3 Đạt giá trị lớn nhất * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số dơng ta có: 6 3 C . 3 C . 3 C . 2 B . 2 B .A 333226 1 +++++ CCCBB A ( ) 6 32 108 C . B .A 6 1 ++ CBA 6 32 108 C . B .A 30 108 C . B .A 30 32 6 AB 2 C 3 108.30 6 Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 7 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . Vậy M = AB 2 C 3 đạt giá trị lớn nhất khi: 30 6 180 622 == ++ === CBACB A = 30 0 = 60 0 = 90 0 Giá trị lớn nhất là : M max = 108.30 6 Ví dụ 3: * Bài toán: Cho x 2 , 0 và m,n là các sô nguyên dơng. Tím giá trị lớn nhất của hàm số: y = sin m x.cos n x * Giải: - Nhận xét: Vì sin 2 x + cos 2 x = 1 x nên ta viết: 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin cossin 2222 22 n x n x m x m x xx +++++=+ 2 m số hạng 2 n số hạng - áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 22 nm + số dơng ta có: 2 nm 2 n 2 m nm2222 2 n . 2 m xcos .x sin 2 n xcos 2 n xcos 2 m xsin 2 m xsin2 + +++++ + nm 2 m số hạng 2 n số hạng ( ) 2 nm 2 n 2 m nm 22 2 n . 2 m xcos .x sin xcos x sin 2 + + + nm 2 nm 2 n 2 m nm 2 n . 2 m xcos .x sin nm 2 + + Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 8 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . 2 n 2 m nm 2 2 n . 2 m xcos .x sin nm 2 + +nm 22 n 2 m nm nm 2 . 2 n . 2 m xcos .x sin nm+ + Vậy Giá trị lớn nhất của y là : 22 n 2 m max nm 2 . 2 n . 2 m y nm+ + = - Dấu đẳng thức xảy ra khi : 2 n xcos 2 m xsin 22 = n.sin 2 x - m.cos 2 x = 0 n.(1 - cos 2 x ) - m.cos 2 x = 0 n - ( m + n ).cos 2 x = 0 nm n cos 2 + =x nm n cos + =x x = + 2k Trong đó : nm n arccos + = Bài tập đề nghị: * Bài 1: Chứng minh rằng: Ryx , ta có: x 2 + y 2 + 1 xy + x + y * Bài 2: Cho a, b, c là ba số không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 6 +++++ accbba Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 9 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số Ví dụ 1: * Bài toán: Cho a [ ] 2 ; 0 ; b [ ] 4 ; 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F = (2 - a).(4 - b).(3a + 2b) * Phân tích và cách giải: - Ta có: 2 - a + 4 - b + 3a + 2b = 2a + b + 6 phụ thuộc vào a,b nên không thể vận dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số hạng này. Nếu ta nhân thêm hệ số vào các thừa số ta sẽ đợc các thừa số mới mà tổng không đổi. - Trong biểu thức có (3a + 2b), nên: + Để khử a ta dùng 3(2 - a) + Để khử b ta dùng 2(4 - b) - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: ( ) [ ] )23()4.(22.3 3 1 )23).(4.(2).2.(3 3 babababa ++++ 3 14 .6 3 F 3 3 14 6F 81 1372 F Vậy Giá trị lớn nhất của F là : 81 1372 max = = F - Dấu đẳng thức xảy ra khi : 3.(2-a) = 2.(4-b) = 3a + 2b 3 5 9 4 = = b a Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 10 [...]... bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 18 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm Bài tập đề nghị: * Bài 1: Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng: 1 1 1 + a b + 1 1 1 + b c + 1 1 1 + c a a+b+c 2 * Bài 2: Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có : ra + rb + rc ha + hb + hc Trong đó: ha ; hb ; hc là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C ra ; rb ; rc là bán kính đờng tròn bàng tiếp trong các góc... - Dấu đẳng thức xảy ra khi : ha = hb = hc Hay a = b = c ABC là đều Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 16 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm Ví dụ 2: * Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có : 1 1 1 1 1 1 + + 2. + + p-a p-b p-c a b c Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh, p là nửa chu vi của ABC * Giải: 1 1 4 4 + = p a p b (p - a) + (p - b)... b = c, tức là ABC đều Ví dụ 3: * Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có : tg A B C A B C + tg + tg 9.tg tg tg 2 2 2 2 2 2 Trong đó: A, B, C là số đo các góc của ABC * Phân tích và giải: + Ta có: 1 1 1 + + = A B C tg tg tg 2 2 2 tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg 2 2 2 2 2 2 A B C tg tg tg 2 2 2 Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 17 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm... 9 + + x y z x+y+z Vận dụng kết quả trên để giải quyết một số bài toán Ví dụ 1: * Bài toán: Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có : ha + hb + hc 9r Trong đó: ha ; hb ; hc là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính đờng tròn nội tiếp của ABC Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 15 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm * Phân tích và cách giải: - Xem xét một quan hệ... phạm với đề tài Sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh Trong tiểu luận này, chúng tôi đã tìm tòi, chọn lọc một hệ thống các bài toán điển hình để giải theo các dạng cụ thể Qua đó, nhóm thực hiện đề tài đã cùng nhau trao đổi, tích luỹ và bổ xung những kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn toán nói chung, đặc biệt là sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh ở các khối 8 , khối... tránh khỏi một số lỗi còn sót lại trong tiểu luận này nên cha đáp ứng đợc đầy đủ các nhu cầu cho ngời đọc Chúng tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và độc giả quan tâm ! Hải Dơng, ngày 20 tháng 2 năm 2003 Nhóm thực hiện: 1 Đỗ Văn Hoà 2 Nguyễn Lan Hơng 3 Bùi Thị Nga 4 Nguyễn Văn Tiến Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 20... , , ta đợc: x3 y 3 z 3 + + + 2 x + 2 y + 2 z 3 x + 3 y + 3z y2 z 2 x2 x3 y 3 z 3 y 2 + z 2 + x2 x + y + z - Dấu đẳng thức xảy ra khi : x=y=z Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 13 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm Ví dụ 2: * Bài toán: Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: x2 y2 z 2 1 1 1 + + + + y 3 z 3 x3 x y z * Phân tích và cách giải: - Xét số hạng... 1 1 1 y 3 + z 3 + x3 x + y + z - Dấu đẳng thức xảy ra khi : x=y=z Nhận xét: Mở rộng từ hai bài toán trên với x, y, z > 0 ta có bài toán tổng quát sau: Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 14 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm Bài toán tổng quát: Cho a1, a2, , an là n số dơng thì ta có: 3 3 3 3 a1 a2 a 1 a + 2 + + n 2 + n2 a1 + a2 + + an 2 a2 a3 an a1 2... ta luôn có : ra + rb + rc ha + hb + hc Trong đó: ha ; hb ; hc là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C ra ; rb ; rc là bán kính đờng tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của ABC Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 19 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm Phần III- kết luận Qua thời gian học tập theo hệ đào tạo tại chức Khoa Toán - Trờng Đại học s phạm Hà Nội I và sau khi làm đề tài thực... 4x x = 1 6 Ví dụ 3: * Bài toán: Cho x [ 0 ; 1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = x 1 x * Giải: - Ta có thể viết y = x 2 (1 x) = x.x.(1 x) + Để khử x ta dùng 2.(1-x) Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 11 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 3 x.x.2.(1 x) 1 [ x + x + 2.(1 x)] 3 2 3 3 2.x 2 (1 x) 2 3 x 2 (1 x) 2.x 2 (1 x) 3 . si trong bài toán chứng minh Nội dung chính đợc trình bầy trong phần II của đề tài. Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 2 Tiểu luận nghiệp vụ s phạm . Phần II - Nội dung A-. là rất cần thiết trong việc dạy toán. Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có một vị trí quan trong trong chơng trình. rằng trong một tam giác ta luôn có : 9r ++ cba hhh Trong đó: h a ; h b ; h c là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính đờng tròn nội tiếp của ABC Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong