Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần I : Mở đầu I) Lý do chọn đề tài : Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thờng có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào đó. Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tơng đối mới và khó đối với học sinh THCS. Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tơng đơng các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, t duy sáng tạo. Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hớng đợc hớng đi, hay hơn thế là hình thành đợc một công thức "ẩn tàng" nào đó mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số. Là ngời trực tiếp giảng dạy toán trong trờng THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phơng pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có đợc một số phơng pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS". II h ớng phát triển của đề tài : Do thời gian, tài liệu cũng nh năng lực còn hạn chế và mức độ nghiên cứu cha lớn đề tài mới chỉ đi sâu tìm hiểu "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số THCS". Trên cơ sở này chúng ta có thể mở rộng giải bài toán cực trị bằng phơng pháp giải tích sẽ có một đề tài nghiên cứu ở mức độ lớn hơn : "Cực trị đại số". Bao gồm "Cực trị tự do"; "Cực trị vớng" và "Cực trị tuyệt đối", hoặc hơn nữa chúng ta còn có thể kết hợp với các bài toán cực trình hình học Phần II : nội dung Chơng I : Các kiến thức cần thiết 1. Các định nghĩa I) Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D : M. đợc gọi là GTLN của f(x,y, ) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = f max với (x,y, ) |D -Trang 1- II) Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D : M. đợc gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = f min với (x,y, ) |D 2. Các kiến thức thờng dùng 1. Luỹ thừa : A. a) x 2 0 x |R x 2k 0 x |R, k z - x 2k 0 Tổng quát : [f (x)] 2k 0 x |R, k z - [f (x)] 2k 0 Từ đó suy ra : [f (x)] 2k + m m x |R, k z M - [f (x)] 2k M b) x 0 x 0 ( x ) 2k 0 x0 ; k z Tổng quát : ( A ) 2k 0 A 0(A là 1 biểu thức) 2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| 0 x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 c) |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y| 3. Bất đẳng thức côsi : ai 0 ; i = n,1 : n n n aaa n aaa 21 21 +++ nN, n 2. dấu "=" xảy ra a 1 = a 2 = = a n 4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số bất kỳ a 1 ,a 2 , ,a n ; b 1 , b 2 , ,b n ta có : (a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2 ( ) ).( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn bbbaaa ++++++ Dấu "=" xảy ra i i b a = Const (i = n,1 ) Nếu bi = 0 xem nh ai = 0 5. Bất đẳng thức Bernonlly : Với a 0 : (1+a) n 1+na n N. Dấu "=" xảy ra a = 0. Một số Bất đẳng thức đơn giản thờng gặp đợc suy ra từ bất đẳng thức (A+B) 2 0. a. a 2 + b 2 2ab b. (a + b) 2 4ab c. 2( a 2 + b 2 ) (a + b) 2 d. e. -Trang 2- 2+ a b b a baab + + 411 -Trang 3- Chơng II : Một số phơng pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số Đ1. Phơng pháp 01 : Sử dụng phép biến đổi đồng nhất Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và những hằng số . Từ đó : 1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx Myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = M 2. Để tìm Min f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = m I. Các vi dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 1 = x 2 + 4x + 7 Giải : Ta có : A 1 = x 2 + 4x + 7 = x 2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2) 2 + 3 3 vì (x + 2) 2 0. A 1 min = 3 x + 2 = 0 x = -2 Vậy A 1 min = 3 x = -2 2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A 2 = -x 2 + 6x - 15 Giải : Ta có : A 2 = -x 2 + 6x - 15 = - (x 2 - 6x + 9) - 6 A 2 = - (x - 3) 2 - 6 - 6 do -(x - 3) 2 0 x |R A 2 max = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vậy A 2 max = - 6 x = 3 3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x 2 -9x + 8) (x 2 - 9x + 20) + 2002 = {(x 2 -9x + 14) - 6}.{(x 2 -9x + 14) + 6} + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 - 36 + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 + 1966 1966 vì (x 2 -9x + 14) 2 0 x A 3 min = 1966 x 2 -9x + 14 = 0 = = 7 2 x x Vậy A 3 min = 1966 = = 7 2 x x 4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 4 = )1( 12 1102 2 2 + x xx xx Giải : -Trang 4- Ta có: A 4 = 22 2 2 2 )1( 9 1 6 2 )1( 9)1(6)12(2 12 1102 = + = + x x x xxx xx xx = - 331 1 3 2 + + x vì - x x + 01 1 3 2 A 4 Max = 3 01 1 3 =+ x x = -2 Vậy : A 4 Max = 3 x = -2 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A 5 = yx x y y x + với x,y>0 Giải : Ta có:A 5 = yx x y y x + = = + xy xyyxyyxx xy yxyyxx )()( A 5 = xy yxyx )).(( = xy yxyx ).()( 2 0 x,y > 0 A 5 min = 0 0= yx x = y Vậy : A 5 min = 0 x = y > 0 6. Ví dụ 6 : Cho x,y 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A 6 = x 2 + y 2 . Giải : Do x; y 0 và x + y = 1 0 x;y 1 x 2 x, y 2 y A 6 = x 2 + y 2 x + y = 1 A 6 max = 1 = = 1 0 y x hoặc = = 0 1 y x Mặt khác : x + y = 1 (x + y) 2 = 1 1 = x 2 + 2xy + y 2 (x 2 +y 2 )-(x-y) 2 A 6 = x 2 +y 2 = 2 1 )( 2 1 2 1 2 + yx do (x - y) 2 0 A 6 min = 2 1 x - y = 0 x = y = 2 1 Vậy : A 6 max = 1 = = = = 0 1 ; 1 0 y x y x A 6 min = 2 1 x = y = 2 1 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 Giải : Ta có : A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 = - 2 1 (2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2xz) A 7 = - 2 1 {(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 } 0 x,y,z A 7 Max = 0 x = y = z Vậy : A 7 Max = 0 x = y = z -Trang 5- II) Nhận xét : Phơng pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất đợc áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thờng gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt đợc mục đích. Vậy còn những phơng pháp nào; để cùng phơng pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trớc hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm. III) Các bài tập đề nghị : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a. A = x 2 - 10x + 20 b. B = (x-1) 2 + (x-3) 2 c. C = 12 683 2 2 + + xx xx (x 1) d. D = x 3 + y 3 + xy biết x + y = 1 e. E = xyyx xyyx 2 )(4 ++ ++ với x,y > 0 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a. A = - x 4 + 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2002 b. B = 1 2 2 2 + + x x ; C = 2510 196747 2 2 + + xx xx 3. Tìm GTLN, GTNN của A = 32 64 2 2 ++ ++ xx xx Đ2. Phơng pháp 02 : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản Ta biết rằng : Từ 1 bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng ta có thể tìm đợc cực trị của 1 biểu thức nào đó. I) Các ví dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B 1 = a + )( 1 bab Giải : Ta có : B 1 = a + )( 1 bab = b + (a-b) + )( 1 bab 3. 3 ).( )( bab bab (theo Côsi). B 1 3 B 1 min = 3 b = a-b = )( 1 bab = = 1 2 b a Vậy : B 1 min = 3 = = 1 2 b a -Trang 6- 2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B 2 = ab 1 + 22 1 ba + Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( yx 11 + ) 2 yx. . 2 xy 1 = 4 (với x,y > 0) yx 11 + yx + 4 (1) Ta có : ab ( 2 ba + ) 2 = 4 1 ab 1 4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0 áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có : B 2 = 22222222 2 4 2 4 ) 1 2 1 ( 2 11 2 211 baabba abab ba ab ba ab ++ + + ++= + += + + B 2 2 + 6 )( 4 2 = + ba do a + b = 1 B 2 min = 6 a = b = 2 1 Vậy : B 2 min = 6 a = b = 2 1 3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B 3 = x 4 + y 4 + z 4 Giải : Do xy + xz + yz = 4 16 = (xy + xz + yz) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) (x 2 +y 2 +z 2 ) (Theo Bunhiacôpxki) 16 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ) (1 2 +1 2 +1 2 ) B 3 = x 4 + y 4 + z 4 3 16 B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 Vậy : B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 4. Ví dụ 4 : Cho |a| 1; |b| 1 và | a+ b| = 3 Tìm GTLN của B 4 = 22 11 ba + Giải : Ta có : (a-b) 2 0 a;b 2 22 22 + + baba (1) áp dụng (1) ta có : 2 1 2 )(2 2 11 2 11 22 22 22 2 22 ba ba baba + = + = + + Do 4 3 2 3 22 2 2 22 = = + + baba (do | a + b| = 3 ) 2 22 2 11 + ba 1 - 4 3 = 4 1 ( 111 22 + ba ) -Trang 7- B 4 = 111 22 + ba B 4 Max = 1 a = b = 2 3 Vậy : B 4 Max = 1 a = b = 2 3 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B 6 = | x + 7| + | x - 1995| Giải : Ta có : |x| + |y| | x + y| dấu "=" xảy ra x,y 0 Do vậy : B 6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002 B 6 Min = 2002 (x + 7). (1995 - x) 0 -7 x 1995 Vậy : B 6 Min = 2002 -7 x 1995 6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Giải : Ta có : B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| B 7 | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010 B 7 min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu Vậy : B 7 min = 2010 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x 2 y + xy 2 0 Giải : Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 1 + 2001 (x 2 y + xy 2 ) B (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001. B 2002 B min = 2002 xy(x+y) = 0 = = = yx y x 0 0 Vậy : B min = 2002 = = = yx y x 0 0 8. Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của B 8 = x 16 + y 16 + z 16 Giải : Cách 1 : Ta có : (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 0 a,b,c a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B 8 = x 16 + y 16 + z 16 = (x 8 ) 2 + (y 8 ) 2 + (z 8 ) 2 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 (x 4 y 4 ) 2 + (y 4 z 4 ) 2 + (z 4 x 4 ) 2 x 4 y 4 . y 4 z 4 + x 4 y 4 . z 4 x 4 + y 4 z 4 . z 4 x 4 -Trang 8- B 8 x 4 y 8 z 4 + x 8 y 4 z 4 + x 4 y 4 z 8 B 8 (x 2 y 4 z 2 ) 2 + (x 4 y 2 z 2 ) 2 + (x 2 y 2 z 4 ) 2 x 6 y 6 z 4 + x 6 y 4 z 6 + x 4 y 6 z 6 B 8 (x 3 y 3 z 2 ) 2 + (x 2 y 3 z 3 ) 2 + (x 3 y 2 z 3 ) 2 x 5 y 6 z 5 + x 6 y 5 z 5 + x 5 y 5 z 6 B 8 (xyz) 5 .x + (xyz) 5 .y + (xyz) 5 .z = x + y + z = 3 (do xyz = 1 và x + y + z = 3) B 8 min = 3 x = y = z = 1 Cách 2 : (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : 3 = x + y + z 9 = (x+ y + z) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ).3 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) 9 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ).3 3 x 4 + y 4 + z 4 9 (x 4 + y 4 + z 4 ) 2 (x 8 + y 8 + z 8 ).3 3 x 8 + y 8 + z 8 9 (x 8 + y 8 + z 8 ) 2 (x 16 + y 16 + z 16 ).3 B 8 = x 16 + y 16 + z 16 3 . B 8 min = 3 x = y = z = 1 Vậy : B 8 min = 3 x = y = z = 1 II) Nhận xét : Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán đợc giải quyết nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp vừa nêu vẫn cha đủ để giải quyết đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những phơng pháp khác tối u hơn và thực hiện đợc yêu cầu bài toán. Trớc khi đi nghiên cứu phơng pháp 03. Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau : III) Một số bài tập đề nghị : 1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 Tìm GTNN của A = (1+ a 1 ) (1+ b 1 ) (1+ c 1 ) 2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1 Tìm GTNN của B = 22 32 ba ab + + 3. Cho a,b,c > 0 a) Tìm GTNN của C = ba c ac b cb a + + + + + b) Tìm GTNN của D = c ba b ac a cb ba c ac b cb a + + + + + + + + + + + 4. Cho x,y,z 4 3 và x + y + z = 1 Tìm GTLN E = 343434 +++++ zyx 5. Cho a,b,c 0 và a + b + c = 1 Tìm GTLN của F = cbcaba +++++ -Trang 9- 6. Cho 0 x 3 4 . Tìm GTLN của G = 4x 2 - 3x 3 7. Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4. Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) 8. Cho x,y,z,t 0 và 2x + xy + z + yzt = 1 Tìm GTLN của I = x 2 y 2 z 2 .t 9. Cho x,y,z,t 0 và xt + xy + z + yzt = 1 Tìm GTLN của K = xyzt 10. Tìm GTNN của M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 | Đ3. Phơng pháp 03 : Sử dụng phơng pháp đặt biến phụ Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tơng đơng. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn. I) Các ví dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Tìm GTNN của C 1 = x 4 + 6x 3 + 13x 2 + 12x + 12 Giải : C 1 = x 4 + 6x 3 + 13x 2 + 12x + 12 C 1 = ( x 4 + 6x 3 + 19x 2 + 30x + 25) - 6 (x 2 + 3x + 5) + 17 C 1 = (x 2 + 3x + 5) 2 - 6 (x 2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x 2 + 3x + 5 = a C 1 = a 2 - 6a + 17 = a 2 + 6a + 9 + 8 C 1 = (a-3) 2 + 8 8 do (a-3) 2 0 a. C 1 min = 8 a - 3 = 0 a = 3 x 2 + 3x + 2 = 0 = = 2 1 y x Vậy : C 1 min = 8 = = 2 1 y x 2. Ví dụ 2 : Tìm GTNN của C 2 = 2. + 2 2 2 2 x y y x - 5 6+ + x y y x với x,y > 0 Giải : Đặt : x y y x + = a 2 2 2 2 2 x y y x + = a 2 - 2 C 2 = 2.( a 2 - 2) - 5a + 6 = 2a 2 - 5a + 2 Ta thấy : a 2 C 2 = 2a 2 - 5a + 2 0 C 2 min = 0 a = 2 x = y > 0 Vậy : C 2 min = 0 x = y > 0 3. Ví dụ 3 : Tìm GTNN của C 3 = x y y x + - x y y x 33 + 2004 với x,y>0 Giải : Đặt : x y y x + = a 2 -Trang 10- [...]... y = - x2 + 2x - 7 x2 - 2x + y + 7 (có nghiệm) ' = 1 - y - 1 0 y-6 Vậy f(x)Max = -6 x = 1 3 Ví dụ 3 : Tìm GTLN, GTNN của f(x) = x 2 + 4x + 6 x 2 + 2x + 3 Giải : Gọi y là một giá trị của f(x) x 2 + 4x + 6 Ta có : y = 2 yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0 x + 2x + 3 (y - 1)x2 + 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 (có nghiệm) 3 * Nếu y = 1 x = 2 * Nếu y 1 ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) 0 y2 - 4y + 4 - 3y2... y x + = a2 - 2 y x C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004 C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + 2 + 2002 C3 = (a-1) (a-2) + 2000 Do ta có : a 2 a - 1> 0 ; a - 20 (a-1) (a-2) 0 C3 = (a-1) (a-2) + 2000 2000 C3 min = 2000 a = 2 x = y ; xy > 0 Vậy C3 min = 2000 x = y và xy > 0 4 Ví dụ 4 : Cho x,y,z > 0 Khi... 3y + 6y - 6 0 - 2y2 + 5y + 2 0 1 y2 2 1 Ta thấy : < 1 < 2 2 1 Do vậy : f(x) Min = x = -3 2 f(x) Max = 2 x = 0 4 Ví dụ 4 : x 2 + 2x + 6 Tìm GTNN của f(x) = 2 x 2x + 1 Giải : Gọi y là một giá trị của f(x) x 2 + 2x + 6 x 2 2x + 1 yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - 6 = 0 (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - 6 = 0 (có nghiệm) 5 * Nếu y = 1 x = 4 * Nếu y 1 ' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) 0 y2 + 2y + 1 - y2 +... ' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) 0 y2 + 2y + 1 - y2 + 6y + y - 6 0 9y - 5 0 Ta có : y = -Trang 1 7- y 5 9 5 5 7 < 1 nên ta có YMin = x=9 9 2 5 7 Vậy f(x) Min = x = 9 2 Do 5 Ví dụ 5 : Tìm GTLN của f(x) = x2 + 2 x2 +1 Giải : Gọi y là một giá trị của f(x) Ta có : y = x2 + 2 x2 +1 yx2 + y - x2 - 1 = 0 (y - 1)x2 + y - 2 = 0 (y - 1)x2 = 2 - y * Nếu y = 1 Phơng trình vô nghiệm 2 y * Nếu y 1 x2 = (1)... a -Trang 2 0- Vì A > 0 nên PMin với C = 1 * Xét P = 1 1 20 1 19 1 19 + = + = + b a a b a b 20 b 1 19 + b 20 b * Xét Pb+1 - Pb : 1 b 9 ; b N Đặt Pb = 18b 2 + 58b 380 Pb+1 - Pb = b(b + 1)(19 b)(20 b) Ta có : b(1 + 1)(19 - b)(20 - b) > 0 1 b 9 , b N Do vậy : Xét t = 18b2 + 58b - 380 (*) Nghiệm dơng to của (*) là t = 29 + 7681 18 Ta có bảng xét dấu : b - 29 + 7681 18 t + 0 29 + 7681 18 -. .. (x là biến, coi y là tham số) Thờng đa đến biểu thức sau : m yM Từ đó Min f(x) = m với x D Max f(x) = M với x D I) Các ví dụ minh hoạ : 1 Ví dụ 1 : Tìm GTNN của f(x) = x2 + 4x + 5 Giải : Gọi y là một giá trị của f(x) Ta có : y = x2 + 4x + 5 x2 + 4x + 5 - y = 0 (có nghiệm) ' = 4 - 5 + y 0 y1 Vậy f(x) Min = 1 x = -2 2 Ví dụ 2 : Tìm GTLN của f(x) = - x2 + 2x - 7 Giải : -Trang 1 6- Gọi y là một... ví dụ minh hoạ : -Trang 1 8- 1 Ví dụ 1 : Cho m, n N* Tìm GTNN của A = |36m - 5m| Giải : m Do m N* 36 có chữ số tận cùng là 6 n N* 5m có chữ số tận cùng là 5 Vì vậy : Nếu 36m > 5m thì A có chữ số tận cùng là 1 Nếu 5m > 36m thì A có chữ số tận cùng là 9 a) Xét A = 1 ta có : 36m - 5m = 1 (không xảy ra) vì (36m - 1) : 7 còn 5m :7 b) Xét A = 9 ta có : 5m - 36m = 9 (không xảy ra) vì (5m - 36m) : 9 còn 9... (1 + x 2 )(1 + y 2 ) Khi đó : C5 =a.b -Trang 1 1- a,b Theo (1) và (2) ta có : - ( a + b) 2 ( a + b) 2 C5 = ab 4 4 2 1 x 2 y 2 1 + x2 y 2 1 x2 y2 +1 x2 y 2 C5 - 4 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 4 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 2 1 ( x 2 1)(1 + y 2 ) 1 ( x 2 + 1)(1 y 2 ) C5 - 4 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 4 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 2 1 x2 1 1 1 y 2 C5 - 2 4 x + 1 4 1 + y 2 2 2 2 2 2... (n + 1) 2 < 1 2 n +1 (n + 1)2 < 2n+1 (1) 2 n 2 n+1 Từ (*) ta có : n < 2 2n < 2 (2) Để chứng minh (1) ta chứng minh (n + 1)2 < 2n2 n2 + 2n + 1 < 2n2 n2 - 2n - 1 > 0 (n - 1)2 - 2 > 0 (đúng vì 5) b) Kết luận : B = n2 . = -2 Vậy A 1 min = 3 x = -2 2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A 2 = -x 2 + 6x - 15 Giải : Ta có : A 2 = -x 2 + 6x - 15 = - (x 2 - 6x + 9) - 6 A 2 = - (x - 3) 2 - 6 - 6 do -( x - 3) 2 . = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vậy A 2 max = - 6 x = 3 3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5). của A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 Giải : Ta có : A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 = - 2 1 (2x 2 +2y 2 +2z 2 -2 xy-2yz-2xz) A 7 = - 2 1 {(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 } 0 x,y,z A 7