Mục lục Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §1. Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §4. Phương Pháp Đổi Biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §5. Tích Phân Hữu Tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §6. Tích Phân Vô Tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §7. Tích Phân Mũ - Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 §8. Tích Phân Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §9. Phương Pháp Tích Phân Từng Phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §10. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 Nguyễn Minh Hiếu 2 Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân §1. Nguyên Hàm Bài tập 5.1. Tìm các họ nguyên hàm sau: a)   x 7 + 4x 3 − √ x  dx. b)   3 √ x + 1 − 1 √ x  dx. c)  (2x − 3) 2 dx. d)  √ x  √ x − 2x  (x + 1) dx. e)   3 sin x + 2 x  dx. f)   3 cos x − 3 x−1  dx. Lời giải. a)   x 7 + 4x 3 − √ x  dx =   x 7 + 4x 3 − x 1 2  dx = x 8 8 + x 4 − 2x 3 2 3 + C. b)   3 √ x + 1 − 1 √ x  dx =   x 1 3 + 1 − x − 1 2  dx = 3x 4 3 4 + x − 2x 1 2 + C. c)  (2x − 3) 2 dx =   4x 2 − 12x + 9  dx = 4x 3 3 − 6x 2 + 9x + C. d)  √ x  √ x − 2x  (x + 1) dx =   x 2 + x − 2x 5 2 − 2x 3 2  dx = x 3 3 + x 2 2 − 4x 7 2 7 − 4x 5 2 5 + C. e)   3 sin x + 2 x  dx = −3 cos x + 2 ln |x|+ C. f)   3 cos x − 3 x−1  dx =   3 cos x − 3 x 3  dx = 3sin x − 3 x 3 ln 3 + C. Bài tập 5.2. Tìm các họ nguyên hàm sau: a)  x + √ x + 1 3 √ x dx. b)  x 3 + 5x 2 − 3x + √ x x √ x dx. c)  4 x + 1 2 x dx. d)  2 x − 1 e x dx. e)  tan 2 xdx. f)  1 sin 2 xcos 2 x dx. Lời giải. a)  x + √ x + 1 3 √ x dx =   x 2 3 + x 1 6 + x − 1 3  dx = 3x 5 3 5 + 6x 7 6 7 + 3x 2 3 2 + C. b)  x 3 + 5x 2 − 3x + √ x x √ x dx =   x 3 2 + 5x 1 2 − 3x − 1 2 + 1 x  dx = 2x 5 2 5 + 10x 3 2 3 − 6x 1 2 + ln |x| + C. c)  4 x + 1 2 x dx =   2 x +  1 2  x  dx = 2 x ln 2 +  1 2  x ln 1 2 + C = 2 x ln 2 − 1 2 x ln 2 + C. d)  2 x − 1 e x dx =   2 e  x −  1 e  x  dx =  2 e  x ln 2 e −  1 e  x ln 1 e + C = 2 x e x (ln 2 − 1) + 1 e x + C. e)  tan 2 xdx =   1 cos 2 x − 1  dx = tanx −x + C. f)  1 sin 2 xcos 2 x dx =  sin 2 x + cos 2 x sin 2 xcos 2 x dx =   1 cos 2 x + 1 sin 2 x  dx = tanx −cot x + C. 3 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 5.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau: a) f(x) = x 2 + 1, biết F (0) = 1. b) f(x) = 2 − x 2 , biết F (2) = 7 3 . c) f(x) = x − 1 x 2 + 2, biết F (1) = 2. d) f(x) = 3 √ x + x 3 + 1, biết F (1) = 2. Lời giải. a) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =   x 2 + 1  dx = x 3 3 + x + C. Lại có F (0) = 1 ⇔ C = 1. Vậy F (x) = x 3 3 + x + 1. b) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =   2 − x 2  dx = 2x − x 3 3 + C. Lại có F (2) = 7 3 ⇔ 4 − 8 3 + C = 7 3 ⇔ C = 1. Vậy F (x) = 2x − x 3 3 + 1. c) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =   x − 1 x 2 + 2  dx = x 2 2 + 1 x +2x+C. Lại có F (1) = 2 ⇔ 1 2 + 1 + 2 + C = 2 ⇔ C = − 3 2 . Vậy F (x) = x 2 2 + 1 x + 2x − 3 2 . d) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =  f(x)dx = 3x 4 3 4 + x 4 4 + x + C. Lại có F (1) = 2 ⇔ 3 4 + 1 4 + 1 + C = 2 ⇔ C = 0. Vậy F (x) = 3x 4 3 4 + x 4 4 + x. Bài tập 5.4. Tìm một nguyên hàm F (x) của f(x) = ax + b x 2 , biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5. Lời giải. Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F(x) =   ax + b x 2  dx = ax 2 2 − b x + C. Lại có    F (−1) = 2 F (1) = 4 F (2) = 5 ⇔    1 2 a + b + C = 2 1 2 a − b + C = 4 2a − 1 2 b + C = 5 ⇔    a = 1 b = −1 C = 5 2 . Vậy F (x) = x 2 2 + 1 x + 5 2 . Bài tập 5.5. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) = 1 x thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) = 1 F (x) + 1 −1. Lời giải. Ta có F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 1 x nên có dạng F (x) =  1 x dx = ln|x| + C. Lại có F (1) = −1 ⇒ C = −1 ⇒ F (x) = ln |x| −1. Khi đó 2F (x) = 1 F (x) + 1 − 1 ⇔ 2(ln |x| − 1) = 1 ln |x| − 1 (∗). Với điều kiện x = ±1 ta có (∗) ⇔ 2ln 2 |x|−ln |x|−1 = 0 ⇔  ln |x| = 1 ln |x| = − 1 2 ⇔  x = ±e x = ± 1 √ e (thỏa mãn). Vậy x = ±e và x = ± 1 √ e . §2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm Bài tập 5.6. Tìm các họ nguyên hàm sau: a) I =  (3x + 3) 9 dx. b) I =  7 2 − 9x dx. c) I =  tan xdx. d) I =   e 3x+1 + cos 5x  dx. e) I =  sin 2 xdx. f) I =  sin 5x sin xdx. Lời giải. a) I = 1 3  (3x + 3) 9 d(3x + 3) = 1 3 (3x + 3) 10 10 + C = 1 30 (3x + 3) 10 + C. b) I = − 1 9  7 2 − 9x d(2 − 9x) = − 7 9 ln |2 − 9x| + C. 4 Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân c) I =  sin x cos x dx = −  1 cos x d (cos x) = −ln |cos x|+ C. d) I =  e 3x+1 dx +  cos 5xdx = 1 3  e 3x+1 d(3x + 1) + 1 5  cos 5xd (5x) = 1 3 e 3x+1 + 1 5 sin x + C. e) I =  1 − cos 2x 2 dx =   1 2 − 1 2 cos 2x  dx = 1 2  dx − 1 4  cos 2xd (2x) = 1 2 x − 1 4 sin 2x + C. f) I = 1 2  (cos 4x − cos 6x) dx = 1 8  cos 4xd (4x) − 1 12  cos 6xd (6x) = 1 8 sin 4x − 1 12 sin 6x + C. Bài tập 5.7. Tìm các họ nguyên hàm sau: a) I =  4x − 1 2x + 1 dx. b) I =  x(x 2 + 1) 2013 dx. c) I =  x √ x 2 + 1 dx. d) I =  x 3 x 2 + 1 dx. e) I =  x 5  x 3 + 1dx. f) I =  x (x − 1) 2013 dx. Lời giải. a) I =   2 − 3 2x + 1  dx =  2dx − 1 2  3 2x + 1 d(2x + 1) = 2x − 3 2 ln |2x + 1| + C. b) I = 1 2  (x 2 + 1) 2013 d(x 2 + 1) = 1 2 (x 2 + 1) 2014 2014 + C = (x 2 + 1) 2014 4028 + C. c) I = 1 2   x 2 + 1  − 1 2 d  x 2 + 1  = 1 2  x 2 + 1  1 2 1 2 + C =  x 2 + 1 + C. d) Đặt u = x 2 + 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có I =  x 2 x x 2 + 1 dx = 1 2  u − 1 u du = 1 2   1 − 1 u  du = 1 2 (u − ln |u|) + C = 1 2  x 2 + 1  − 1 2 ln  x 2 + 1  + C e) Đặt u = √ x 3 + 1 ⇔ u 2 = x 3 + 1 ⇒ 2udu = 3x 2 dx. Ta có I =  x 3 x 2  x 3 + 1dx =   u 2 − 1  u 2u 3 du = 2 3   u 4 − u 2  du = 2 3  u 5 5 + u 3 3  + C = 2  √ x 3 + 1  5 15 + 2  √ x 3 + 1  3 9 + C f) Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx. Ta có I =  (u + 1)u 2013 du =   u 2014 + u 2013  du = u 2015 2015 + u 2014 2014 + C = (x − 1) 2015 2015 + (x − 1) 2014 2014 + C Bài tập 5.8. Tìm các họ nguyên hàm sau: a) I =  e x e x + 1 dx. b) I =  e 2x √ e x + 1 dx. c) I =  √ 1 + ln x x dx. d) I =  2 ln x − 1 x ln x dx. e) I =  cos 5 xdx. f) I =  sin 3 x √ 1 + cos xdx. Lời giải. a) I =  1 e x + 1 d (e x + 1) = ln |e x + 1| + C. b) Đặt u = √ e x + 1 ⇔ u 2 = e x + 1 ⇒ 2udu = e x dx. Ta có I =  e x .e x √ e x + 1 dx =  u 2 − 1 u 2udu = 2   u 2 − 1  du = 2  u 3 3 − u  + C = 2  √ e x + 1  3 3 − 2 √ e x + 1 + C 5 Nguyễn Minh Hiếu c) I =  (1 + ln x) 1 2 d (1 + ln x) = (1 + ln x) 3 2 3 2 + C = 2 (1 + ln x) √ 1 + ln x 3 + C. d) Đặt u = lnx ⇒ du = 1 x dx. Ta có I =  2u − 1 u du =   2 − 1 u  du = 2u − ln |u|+ C = 2 ln x −ln |ln x| + C e) I =  cos 4 x cos xdx =   1 − sin 2 x  2 d (sin x) = sin x − 2sin 3 x 3 + sin 5 x 5 + C. f) Đặt u = √ 1 + cos x ⇔ u 2 = 1 + cos x ⇒ 2udu = −sin xdx. Ta có I =  sin 2 x sin x √ 1 + cos xdx =   1 − cos 2 x  √ 1 + cos x sin xdx = −   1 −  u 2 − 1  2  u.2udu = −   −u 4 + 2u 2  2u 2 du = 2   u 6 − 2u 4  du = 2  u 7 7 − 2u 5 5  + C = 2  √ 1 + cos x  7 7 − 4  √ 1 + cos x  5 5 + C Bài tập 5.9. Tìm các họ nguyên hàm sau: a) I =  (x − 1) e x dx. b) I =  xe 2x dx. c) I =  x cos xdx. d) I =  (2x − 1) sin 2xdx. e) I =  x 2 ln xdx. f) I =   x 3 + 1  ln xdx. Lời giải. a) Đặt  u = x − 1 dv = e x dx ⇒  du = dx v = e x . Ta có I = (x − 1)e x −  e x dx = (x − 1)e x − e x + C = (x − 2)e x + C b) Đặt  u = x dv = e 2x dx ⇒  du = dx v = 1 2 e 2x . Ta có I = 1 2 xe 2x −  1 2 e 2x dx = 1 2 xe 2x − 1 4 e 2x + C c) Đặt  u = x dv = cos xdx ⇒  du = dx v = sin x . Ta có I = x sin x −  sin xdx = x sin x + cos x + C d) Đặt  u = 2x − 1 dv = sin 2xdx ⇒  du = 2dx v = − 1 2 cos 2x . Ta có I = − 1 2 (2x − 1) cos 2x +  cos 2xdx = − 1 2 (2x − 1) cos 2x + 1 2 sin 2x + C e) Đặt  u = lnx dv = x 2 dx ⇒  du = 1 x dx v = x 3 3 . Ta có I = x 3 3 ln x −  x 3 3 1 x dx = x 3 3 ln x − 1 3  x 2 dx = x 3 3 ln x − x 3 9 + C f) Đặt  u = lnx dv =  x 3 + 1  dx ⇒  du = 1 x dx v = x 4 4 + x . Ta có I =  x 4 4 + x  ln x −   x 4 4 + x  1 x dx =  x 4 4 + x  ln x − x 4 16 − x + C 6 Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân Bài tập 5.10. Tìm các họ nguyên hàm sau: a) I =  ln (2x + 1) dx. b) I =  ln  x 2 + 2x  dx. c) I =  x 2 e 2x−1 dx. d) I =  x 2 cos xdx. e) I =  e x sin xdx. f) I =  e x cos 2xdx. Lời giải. a) Đặt  u = ln(2x + 1) dv = dx ⇒  du = 2 2x+1 dx v = x . Ta có I = x ln(2x + 1) −  2x 2x + 1 dx =   1 − 1 2x + 1  dx = x − 1 2 ln |2x + 1| + C b) Đặt  u = ln  x 2 + 2x  dv = dx ⇒  du = 2x+2 x 2 +2x dx v = x . Ta có I = x ln  x 2 + 2x  −  x 2x + 2 x 2 + 2x dx = x ln  x 2 + 2x  −   2 − 2 x + 2  dx = x ln  x 2 + 2x  − 2x + 2 ln |x + 2| + C c) Đặt  u = x 2 dv = e 2x−1 dx ⇒  du = 2xdx v = 1 2 e 2x−1 . Ta có I = 1 2 x 2 e 2x−1 −  xe 2x−1 dx = 1 2 x 2 e 2x−1 − I 1 Lại đặt  u = x dv = e 2x−1 dx ⇒  du = dx v = 1 2 e 2x−1 . Ta có I 1 = 1 2 xe 2x−1 − 1 2  e 2x−1 dx = 1 2 xe 2x−1 − 1 4 e 2x−1 + C Vậy I = 1 2 x 2 e 2x−1 −  1 2 xe 2x−1 − 1 4 e 2x−1  + C = 1 4  2x 2 − 2x + 1  e 2x−1 + C. d) Đặt  u = x 2 dv = cos xdx ⇒  du = 2xdx v = sin x . Ta có I = x 2 sin x −  2x sin xdx = x 2 sin x − I 1 Lại đặt  u = 2x dv = sin xdx ⇒  du = 2dx v = −cos x . Ta có I 1 = −2x cos x +  2 cos xdx = −2x cos x + 2 sin x + C Vậy I = x 2 sin x − (−2x cos x + 2 sin x) + C = x 2 sin x + 2x cos x −2 sin x + C. e) Đặt  u = e x dv = sin xdx ⇒  du = e x dx v = −cos x . Ta có I = −e x cos x +  e x cos xdx = −e x cos x + I 1 Lại đặt  u = e x dv = cos xdx ⇒  du = e x dx v = sin x . Ta có I 1 = e x sin x −  e x sin xdx = e x sin x − I Vậy I = −e x cos x + e x sin x − I ⇔ I = 1 2 e x (sin x − cos x) + C. 7 Nguyễn Minh Hiếu f) Đặt  u = e x dv = cos 2xdx ⇒  du = e x dx v = 1 2 sin 2x . Ta có I = 1 2 e x sin 2x − 1 2  e x sin 2xdx = 1 2 e x sin 2x − 1 2 I 1 Lại đặt  u = e x dv = sin 2xdx ⇒  du = e x dx v = − 1 2 cos 2x . Ta có I 1 = − 1 2 e x cos 2x + 1 2  e x cos 2xdx = − 1 2 e x cos 2x + 1 2 I Vậy I = 1 2 e x sin 2x + 1 4 e x cos 2x − 1 4 I ⇔ I = 2 5 e x sin 2x + 1 5 e x cos 2x + C. §3. Tích Phân Bài tập 5.11. Tính các tích phân sau: a) I = 1  0 5x 4 dx. b) I = e  1 dx x . c) I = ln 2  0 e −x dx. d) I = π 6  0 cos 3xdx. e) I = 1  1 2 (2x − 1) 2013 dx. f) I = 1  0 (−2x + 1) 7 dx. Lời giải. a) I = x 5   1 0 = 1. b) I = ln |x|| e 1 = ln e −ln 1 = 1. c) I = −e −x   ln 2 0 = −  e − ln 2 − e 0  = 1 2 . d) I = 1 3 sin 3x     π 6 0 = 1 3 sin π 2 − 1 3 sin 0 = 1 3 . e) I = 1 2 (2x − 1) 2014 2014      1 1 2 = 1 4028 . f) I = − 1 2 1  0 (−2x + 1) 7 d (−2x + 1) = − (−2x + 1) 8 16      1 0 = 0. Bài tập 5.12. Tính các tích phân sau: a) I = 1  0 e 2−5x dx. b) I = π 6  0 sin  2x + π 6  dx. c) I = π 6  0 1 cos 2 2x dx. d) I = 0  −1 4 (3 − 5x) 3 dx. e) I = 1  −1 √ 5 − 4xdx. f) I = 2  1 3 √ 3x + 2dx. Lời giải. a) I = − 1 5 1  0 e 2−5x d (2 − 5x) = − 1 5 e 2−5x     1 0 = e 2 − e −3 5 . b) I = 1 2 π 6  0 sin  2x + π 6  d  2x + π 6  = − 1 2 cos  2x + π 6      π 6 0 = √ 3 4 . c) I = 1 2 π 6  0 1 cos 2 2x d (2x) = 1 2 tan 2x     π 6 0 = √ 3 2 . d) I = 4 0  −1 (3 − 5x) −3 dx = −2(3 −5x) −2    0 −1 = 11 288 . 8 Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân e) I = 1  −1 (5 − 4x) 1 2 dx = − 1 4 (5 − 4x) 3 2 3 2      1 −1 = 13 3 . f) I = 2  1 (3x + 2) 1 3 dx = 3(3x + 2) 4 3 4      2 1 = 12 − 3 3 √ 625 4 . Bài tập 5.13. Tính các tích phân sau: a) I = 2  1  6x 2 − 4x + 1  dx. b) I = 4  1  2x + √ x  dx. c) I = ln 2  0 (e x + 2x) dx. d) I = 4  2  x + 1 x  2 dx. e) (CĐ-2010) I = 1  0 2x − 1 x + 1 dx. f) I = 1  0 x 2 − 3x + 3 x − 2 dx. Lời giải. a) I =  2x 3 − 2x 2 + x    2 1 = 9. b) I = 4  1  2x + x 1 2  dx =  x 2 + 2x 3 2 3       4 1 = 59 3 . c) I =  e x + x 2    ln 2 0 = 1 + ln 2 2. d) I = 4  2  x 2 + 2 + 1 x 2  dx =  x 3 3 + 2x − 1 x      4 2 = 275 12 . e) I = 1  0  2 − 3 x + 1  dx = (2x −3 ln |x + 1|)| 1 0 = 2 − 3 ln 2. f) I = 1  0  x − 1 + 1 x − 2  dx =  x 2 2 − x + ln |x − 2|      1 0 = e − 1 2 − ln 2. Bài tập 5.14. Tính các tích phân sau: a) I = π 2  0  1 + sin x 2  cos x 2 dx. b) I = π 8  0 cos 2 2xdx. c) I = π 4  0 2cos 2 x + 1 1 − sin 2 x dx. d) I = π 3  π 6 cos 2 x sin 2 2x dx. e) I = π 2  0 cos 3x cos xdx. f) I = 1  0 x(x − 1) 2013 dx. Lời giải. a) I = π 2  0  cos x 2 + 1 2 sin x  dx =  2 sin x 2 − 1 2 cos x      π 2 0 = 1 2 + √ 2. b) I = 1 2 π 8  0 (1 + cos 4x) dx = 1 2  x + 1 4 sin 4x      π 8 0 = π + 2 16 . c) I = π 4  0 2cos 2 x + 1 cos 2 x dx = π 4  0  2 + 1 cos 2 x  dx = (2x + tan x)| π 4 0 = π + 2 2 . d) I = π 3  π 6 cos 2 x sin 2 2x dx = π 3  π 6 cos 2 x 4sin 2 xcos 2 x dx = π 3  π 6 1 4sin 2 x dx = − 1 4 cot x     π 3 π 6 = √ 3 6 . 9 Nguyễn Minh Hiếu e) I = 1 2 π 2  0 (cos 2x + cos 4x) dx =  1 4 sin 2x + 1 8 sin 4x      π 2 0 = 0. f) I = 1  0 (x − 1 + 1) (x − 1) 2013 dx =  (x − 1) 2015 2015 + (x − 1) 2014 2014       1 0 = − 1 4058210 . Bài tập 5.15. Tính các tích phân sau: a) I = 2  −2 |x − 1|dx. b) I = 4  0 |3 − x|dx. c) (D-03) I = 2  0   x 2 − x   dx. d) I = 2  0   x 2 − 3x + 2   dx. e) I = 3  −2 (|x + 1| + |x − 2|) dx. f) I = 2  −2 |2x − |x + 1||dx. g) I = 3  0     x 2 − 4x + 4 −1    dx. h) I = 2π  0 √ 1 − cos 2xdx. i) (BĐT-103) I = 2π  0 √ 1 + sin xdx. Lời giải. a) I = 1  −2 |x − 1|dx + 2  1 |x − 1|dx = 1  −2 (1 − x) dx + 2  1 (x − 1) dx =  x − 1 2 x 2      1 −2 +  1 2 x 2 − x      2 1 = 9 2 + 1 2 = 5. b) I = 3  0 |3 − x|dx + 4  3 |3 − x|dx = 3  0 (3 − x) dx + 4  3 (−3 + x) dx =  3x − x 2 2      3 0 +  −3x + x 2 2      4 3 = 9 2 + 1 2 = 5. c) I = 1  0   x 2 − x   dx + 2  1   x 2 − x   dx = 1  0  x − x 2  dx + 2  1  x 2 − x  dx =  1 2 x − 1 3 x 3      1 0 +  1 3 x 3 − 1 2 x      2 1 = 1 6 + 5 6 = 1. d) I = 1  0   x 2 − 3x + 2   dx + 2  1   x 2 − 3x + 2   dx = 1  0  x 2 − 3x + 2  dx + 2  1  −x 2 + 3x − 2  dx =  x 3 3 − 3x 2 2 + 2x      1 0 +  − x 3 3 + 3x 2 2 − 2x      2 1 = 5 6 + 1 6 = 1. e) I = 3  −2 |x + 1|dx + 3  −2 |x − 2|dx = −1  −2 |x + 1|dx + 3  −1 |x + 1|dx + 2  −2 |x − 2|dx + 3  2 |x − 2|dx = −1  −2 (−x − 1) dx + 3  −1 (x + 1) dx + 2  −2 (−x + 2) dx + 3  2 (x − 2) dx =  − x 2 2 − x      −1 −2 +  x 2 2 + x      3 −1 +  − x 2 2 + 2x      2 −2 +  x 2 2 − 2x      3 2 = 1 2 + 8 + 8 + 1 2 = 17. f) I = −1  −2 |2x + x + 1|dx + 2  −1 |2x − x −1|dx = −1  −2 |3x + 1|dx + 1  −1 |x − 1|dx + 2  1 |x − 1|dx = −1  −2 (−3x − 1) dx + 1  −1 (1 − x) dx + 2  1 (x − 1) dx 10 [...]... 2) (x + 1) 0 0  1  1 2 1 1 2 2 3 = − 2 dx − dx = − 2 (ln |x + 1| − ln |x + 2|)|1 = + 2 ln 0 3 x+1 x+2 3 3 4 0 0 §6 Tích Phân Vô Tỉ Bài tập 5.21 Tính các tích phân sau: 3 3 1 √ √ dx x+1+ x a) I = 1 1 1 √ √ dx x+1− x−1 b) I = 2 2x − x2 dx c) I = 0 18 Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân √ 6 1 √ dx 6x − x2 d) I = 3 −1 2 2+x dx 2−x e) I = √ f) I = −2 0 x+4 dx x2 + 4x + 5 Lời giải 3 a) I = 3 √ √ x + 1... + B = 0 B=2 1 1 I=− 2 1 1 dx2 + 2+1 x 0 1 1 dx2 = − ln x2 + 1 2+2 x 2 0 1 1 0 + ln x2 + 2 0 = ln 3 − 3 ln 2 2 Bài tập 5.20 Tính các tích phân sau: 5 1 1 dx 2 − 4x + 7 x a) I = 2 1 1 dx 2+x+1 x b) I = 0 c) I = 0 16 4x − 2 dx (x + 2)(x2 + 1) Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân 2 d) I = 3 x2 − 3x + 2 dx x (x2 + 2x + 1) e) I = −1 1 1 2 g) I = x4 1− dx x + x5 3 1 dx x + x3 f) I = 1 0 x2 +x+2 dx 3 + x2 + x... Phương trình hoành độ giao điểm: 3 =9 0 y = −2x2 + 4x y 1 −3x − 1 =0⇔x=− x−1 3 y= Diện tích hình phẳng cần tìm là 0 S= −1 3 x 0 −3x − 1 dx = x−1 0 1 −3x − 1 dx = x−1 1 −3 0 −3 − 3 4 x−1 dx 1 −3 1 −3 = (−3x − 4 ln |x − 1|)|0 1 = ln − −3x−1 x−1 4 −1 3 O 34 x Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân Bài tập 5.34 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x2 4 x2 √ 4 2 a) (A-07) y = (e + 1) x, y =... cos x 0 Đặt u = x sin x + cos x ⇒ du = (x cos x) dx Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 4+π √ 4 2 I= π + 4 π 4+π ⇒ u = √ Ta có 4 4 2 4+π √ 1 π 4+π 4 du = ln |u||1 2 = + ln √ u 4 4 2 1 §5 Tích Phân Hữu Tỉ Bài tập 5.19 Tính các tích phân sau: 5 1 1 dx (x − 2) (x + 1) a) I = b) I = 3 1 d) (DB-07) I = x (x − 1) dx x2 − 4 0 1 e) I = 3 5x − 13 dx 2 − 5x + 6 x c) I = x4 dx x2 − 1 2 1 3x − 1 dx 2 + 6x + 9 x f) (B-2012).. .Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân −1 3x2 − −x 2 = −2 3 ||x − 2| − 1| dx = |x − 3| dx = 0 = √ 0 2π |sin x| dx = 2 0 √ = − 2 cos x 2π π 0 + √ √ 1 0 2π 2 cos x = π √ 2+ x2 + 3x 2 √ |sin x| dx + 2 0 = 1 1 1 3 + + = 2 2... 2 cos2 t π Đổi cận: x = 1 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ arctan 2 Ta có 4 arctan 2 arctan 2 1 I= π 4 1 √ dt = 2 t 1 + tan2 t cos2 t tan π 4 12 cos t 1 2 dt = − sin t sin t arctan 2 π 4 √ √ 2 2− 5 = 2 Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân C2: Đặt x = 1 1 1 ⇒ dx = − 2 dt Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = Ta có t t 2 1 1 1 I= 1 t2 1 2 1+ 1 t2 1 2 √ √ 2 2− 5 = 2 1 t 1 √ dt = 2 2 1+t 1 dt = t2 1 √ d(1 + t2 ) = 2 1+t 1... 3 √ 5 ⇒ u = 3; x = 2 3 ⇒ u = 4 Ta có 4 1 1 du = (u − 2) (u + 2) 4 3 (u + 2) − (u − 2) du (u − 2) (u + 2) 3 4 = 1 4 1 1 − u−2 u+2 du = 1 (ln |u − 2| − ln |u + 2|) 4 3 20 4 = 3 1 5 ln 4 3 Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân √ 3 d) Ta có I = Đặt u = √ x2 1 √ x dx 4 − x2 4 − x2 ⇔ u2 = 4 − x2 ⇒ 2udu = −2xdx Đổi cận: x = 1 ⇒ u = √ √ 3 u du = u (4 − u2 ) I= 1 = e) Đặt u = √ 6 √ 1 2+u ln 4 2−u √ 3 1 1 du = (2... x+8 2 √ + 1)(x + 8) (x √ Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 + 2 2; x = 1 ⇒ u = 3 + 2 Ta có √ 3+ 2 I= √ 1+2 2 1 (x + 1)(x + 8) dx √ √ 2 3+ 2 3+ √ 2 √ du = 2 ln |u||1+2 2 = 2 ln u 1+2 2 §7 Tích Phân Mũ - Lôgarit Bài tập 5.23 Tính các tích phân sau: 3 a) (D-09) I = 1 dx 1 + e−x b) I = 1 ln 5 d) I = ln 5 ln 2 1 dx x−1 e ex √ dx (10 − ex ) ex − 1 0 2 f) I = 1 ln 2 e2x dx ex − 1 ln 2 1 x+1 dx x (1 + xex ) e) I = √ c)... √ 1 1 dx Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 0; x = e ⇒ u = Ta có x 2 1 2 1 du = − 3u + 2 1 2 (u − 1) − (u − 2) du = (u − 1)(u − 2) 0 0 3 = (ln |u − 2| − ln |u − 1|)||0 = ln 2 1 2 22 1 1 − u−2 u−1 du Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân e d) Ta có I = 1 1 x2 1 x − 1 x 2 dx + ln x 1 Đặt u = + ln x ⇒ du = x − 1 1 + 2 x x dx Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = e ⇒ u = 1+ 1 e 1+ 1 e 1 1 du = 2 u u I=− =− 1 1 e) Đặt u = ex + ln... = 1 x2 x + ex ln x 1 x 1 − ex ln x x2 1 x x + e ln x + ex ln x + 1 − e ex dx = x|e − 1 x ex ln x 1 x 1 1 + ex ln x x e e 1 d + ex ln x 1 + ex ln x x 1 + ee e = e − 1 − ln 1 §8 Tích Phân Lượng Giác Bài tập 5.25 Tính các tích phân sau: π 4 π 4 sin2 xdx a) I = π 2 cos4 xdx b) I = 0 0 π 2 0 π 4 cos5 xdx d) I = sin3 xdx c) I = e) I = π 4 tan xdx 0 f) I = 0 sin2 x dx cos4 x 0 Lời giải π 4 1 a) I = 2 (1 −