TRNG THCS VINH THANH phòng giáo dục thành phố hạ long kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thành phố năm học 2005 - 2006 đề thi môn : toán Bài 1: Chứng minh rằng với x 0, biểu thức sau không phụ thuộc vào x: x - x x ++ ++ 347).32( 549).52( 3 Gii : Rút gọn đợc x x ++ ++ 347).32( 549).52( 3 = x x + 1 1 = 1x Từ đó suy ra biểu thức cần rút gọn bằng 1. Bài 2: Tìm các số x, y, z dơng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 332 =++ zyx và 3632 =++ yzxzxy . Gii : Đặt x = a, 2 y = b, 3 z = c. Khi đó các điều kiện 332 =++ zyx và 3632 =++ yzxzxy <=> a + b + c = 3 = ab + bc + ca; a, b, c > 0 <=> a 2 + b 2 + c 2 = (ab + bc + ca) = 3; a, b, c > 0 (*) Biến đổi hệ (*), tìm đợc a = b = c = 1. Từ đó tìm đợc x = 1; y = 1/4; z = 1/9. Thử lại thấy điểm M 0 (1;-2) luôn thuộc d m với mọi m. (đpcm !) Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ xét đờng thẳng (d m ) có phơng trình : 2mx +(m - 1)y = 2 với m là tham số. 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đờng thẳng (d m ) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d m ). Gii : 1) Giả sử khi m thay đổi, các đờng thẳng (d m ) luôn đi qua điểm cố định M 0 (x 0 ;y 0 ). Trong các đờng thẳng (d m ) lấy 2 đờng thẳng d 1 : y = -2 (ứng với m = 0) và d 2 : x = 1 (ứng với m = 1) => M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc d 1 và d 2 GV: KIM THCH ST 1 TRNG THCS VINH THANH => x 0 = 1; y 0 = -2 Thử lại thấy điểm M 0 (1;-2) luôn thuộc d m với mọi m. (đpcm !) 2) Khi m = 0, ta đợc đờng thẳng d 1 : y = -2 => khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d 1 bằng 2. Khi m = 1, đợc đ.thẳng d 2 : x = 1 => khoảng cách từ O đến d 2 bằng 1. Với m 0, 1 tìm đợc d m cắt Ox tại A(1/m;0) , cắt Oy tại B(0;2/m-1). Trong AOB kẻ đờng cao OH => khoảng cách từ O đến d m bằng OH. áp dụng hệ thức lợng trong AOB , tính đợc OH = 2/ 125 2 + mm . Bài 4: Chứng minh rằng: )1(1 +> xxxx với mọi x 1. Gii : Dùng BĐT Côsi hoặc b/đổi tơng đơng, c/m đợc 1 2 x x (1) Bằng biến đổi tơng đơng, c/m đợc: )1( 2 xx x (2) với x 1. Từ (1) và (2) suy ra : x 1 x + )1( xx với x 1 (3) Ch/minh đợc không xảy ra dấu "=" ở (3) Suy ra : )1(1 +> xxxx với x 1. (đpcm !) Bài 5: Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H. Đ- ờng tròn đờng kính AH cắt AC tại E, đờng tròn đờng kính BH cắt BC tại F. Gọi G là trung điểm CH. 1. Chứng minh : - Ba điểm E, F, G thẳng hàng. - EF là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AH và đờng tròn đ- ờng kính BH. 2. Gọi r 1 và r 2 lần lợt là bán kính các đờng nội tiếp các tam giác ACH và BCH. Biết góc ACH = , AB = a, tính tổng: 2 2 2 1 rr + theo và a. Gii : 1) Chứng minh đợc CEHF là hình chữ nhật => G thuộc EF hay 3 điểm E, G, F thẳng hàng. (đpcm!) Gọi I, K lần lợt là trung điểm AH, BH. Ch. minh đợc EFIE, EFKF => EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn. (đpcm!) Gọi r là bán kính đ.tròn nội tiếp ABC, ch.m đợc: r = (AC+BC-AB)/2. Từ các tam giác vuông đồng dạng AHC, BHC, ACB và từ hệ thức lợng trong tam giác vuông chứng minh đợc: r 1 2 + r 2 2 = r 2 . Tính đợc: AC = a.sin; BC = a.cos => r 1 2 + r 2 2 = a(sin + cos - 1)/2 GV: KIM THCH ST 2 . rằng với x 0, biểu thức sau không phụ thuộc vào x: x - x x ++ ++ 347).32( 5 49) .52 ( 3 Gii : Rút gọn đợc x x ++ ++ 347).32( 5 49) .52 ( 3 = x x + 1 1 = 1x Từ đó suy ra biểu thức cần rút. TRNG THCS VINH THANH phòng giáo dục thành phố hạ long kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thành phố năm học 20 05 - 2006 đề thi môn : toán Bài 1: Chứng minh rằng với x. = -2 (ứng với m = 0) và d 2 : x = 1 (ứng với m = 1) => M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc d 1 và d 2 GV: KIM THCH ST 1 TRNG THCS VINH THANH => x 0 = 1; y 0 = -2 Thử lại thấy điểm M 0 (1 ;-2 )