sở giáo dục - đào tạo quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 năm học 2004-2005 đề thi chính thức môn : Toán (bảng b) Số BD: Thời gian làm bài : 150 phút Chữ ký GT 1 (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Giải phơng trình : )2()1( xx + )3()1( xx = 2 )4()1( xx Gii : Điều kiện: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x-3) 0; (x-1)(x-4) 0 (*) * Nếu x 4 thì áp dụng công thức BABA =. với A, B 0, ta đợc: (1) <=> 1x . 2x + 1x . 3x = 2 1x . 4x <=> 2x + 3x = 2 4x (1a) Giải (1a) với x 4, đợc kết quả (1a) vô nghiệm. * Nếu 1< x < 4 thì (x-1)(x-4) < 0, không thoả mãn điều kiện (*) => không có x nào thuộc khoảng (1 ; 4) là nghiệm của (1) * Nếu x = 1, thử trực tiếp và thấy x = 1 là nghiệm của (1) * Nếu x < 1thì áp dụng công thức BABA = với A, B 0, ta đợc: (1) <=> x1 . x2 +. x1 x3 = 2 x1 x4 <=> x2 + x3 = 2 x4 (1b) Giải (1b) với x < 1, đợc kết quả (1b) vô nghiệm. Vậy phơng trình đã cho (1) có duy nhất nghiệm x = 1. Bài 2: Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện : 1x + x 2 = 1y + y 2 Chứng minh rằng x = y. Gii : Giả sử có x, y thoả mãn 1x + x 2 = 1y +y 2 => x 1; y 1 - Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!) - Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc: 1x + x 2 = 1y + y 2 <=> ( 1x - 1y ) + (x 2 - y 2 ) = 0 <=> (x - y)/( 1x + 1y ) + (x 2 -y 2 ) = 0 <=> (x - y).(1/( 1x + 1y ) + x + y) = 0 <=> x - y = 0 (vì 1/( 1x + 1y ) + x + y > 0) <=> x = y Vậy nếu có x, y thoả mãn 1x + x 2 = 1y + y 2 thì x = y (đpcm!) Chú ý: Có thể giải bằng cách xét các trờng hợp: - Nếu x > y, CM đợc 1x + x 2 > 1y + y 2 - Nếu x < y, CM đợc 1x + x 2 < 1y + y 2 - Vậy nếu 1x + x 2 = 1y + y 2 thì x = y Bài 3: Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x 2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 . 1) Tính theo a giá trị biểu thức A = 2 2 12 2 21 2 33 33 a axax axax a ++ + ++ 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Gii : 1) Do phơng trình x 2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a 2 + 4a > 0 (1) ; x 1 2 - 3ax 1 - a = x 2 2 - 3ax 2 - a = 0 ; x 1 + x 2 = 3a => x 1 2 = 3ax 1 + a ; x 2 2 = 3ax 2 + a Khi đó: A = 2 2 12 2 21 2 33 33 a axax axax a ++ + ++ = 2 2 2 2 49 49 a aa aa a + + + 2) Theo (1) thì 9a 2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2. A = 2 <=> 9a 2 + 4a = a 2 <=> a = -1/2. Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x 1 = -1 và x 2 = -1/2 Vậy A nhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x 1 = -1 và x 2 = -1/2 Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Qua A vẽ cát tuyến MAN với M thuộc (O) ; N thuộc (O') và M, N không trùng với A. Tiếp tuyến tại M của đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O') ở I. 1) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng MN là lớn nhất khi cát tuyến MAN song song với đờng thẳng OO'. 2) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, I, N nằm trên một đờng tròn. Gii : 1) Gọi H, K lần lợt là trung điểm AM, AN => MN = 2 HK Chứng minh đợc HK OO', ở đó OO' không đổi => MN 2OO' , dấu = xảy ra <=> HK//OO' <=> MN//OO' Suy ra MN lớn nhất <=> MAN // OO' (đpcm 2) Chứng minh đợc : - nếu A ở giữa M và N thì MIN + MBN = 180 0 . - Nếu N (hoặc M) ở giữa AM (hoặc AN) thì MIN = MBN Từ đó suy ra bốn điểm B, M, I, N thuộc một đờng tròn hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005 môn toán lớp 9 - bảng B Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm Bài 1 Điều kiện: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x-3) 0; (x-1)(x-4) 0 (*) 0,5 đ 5 điểm * Nếu x 4 thì áp dụng công thức BABA =. với A, B 0, ta đợc: (1) <=> 1x . 2x + 1x . 3x = 2 1x . 4x <=> 2x + 3x = 2 4x (1a) Giải (1a) với x 4, đợc kết quả (1a) vô nghiệm. 1,0 đ * Nếu 1< x < 4 thì (x-1)(x-4) < 0, không thoả mãn điều kiện (*) => không có x nào thuộc khoảng (1 ; 4) là nghiệm của (1) 1,0 đ * Nếu x = 1, thử trực tiếp và thấy x = 1 là nghiệm của (1) 1,0 đ * Nếu x < 1thì áp dụng công thức BABA = với A, B 0, ta đợc: (1) <=> x1 . x2 +. x1 x3 = 2 x1 x4 <=> x2 + x3 = 2 x4 (1b) Giải (1b) với x < 1, đợc kết quả (1b) vô nghiệm. 1,0 Vậy phơng trình đã cho (1) có duy nhất nghiệm x = 1. 0,5 đ Bài 2 5 điểm Giả sử có x, y thoả mãn 1x + x 2 = 1y +y 2 => x 1; y 1 - Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!) 0,5 đ 1,5 đ - Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc: 1x + x 2 = 1y + y 2 <=> ( 1x - 1y ) + (x 2 - y 2 ) = 0 <=> (x - y)/( 1x + 1y ) + (x 2 -y 2 ) = 0 <=> (x - y).(1/( 1x + 1y ) + x + y) = 0 <=> x - y = 0 (vì 1/( 1x + 1y ) + x + y > 0) <=> x = y Vậy nếu có x, y thoả mãn 1x + x 2 = 1y + y 2 thì x = y (đpcm!) 1,5 đ 1,0 đ 0,5 đ Chú ý: Có thể giải bằng cách xét các trờng hợp: - Nếu x > y, CM đợc 1x + x 2 > 1y + y 2 - Nếu x < y, CM đợc 1x + x 2 < 1y + y 2 - Vậy nếu 1x + x 2 = 1y + y 2 thì x = y Bài 3 3. 1) 2 điểm Do phơng trình x 2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a 2 + 4a > 0 (1) ; x 1 2 - 3ax 1 - a = x 2 2 - 3ax 2 - a = 0 ; x 1 + x 2 = 3a => x 1 2 = 3ax 1 + a ; x 2 2 = 3ax 2 + a 1,0 đ 0,5 đ Khi đó: A = 2 2 12 2 21 2 33 33 a axax axax a ++ + ++ = 2 2 2 2 49 49 a aa aa a + + + 0,5 đ Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm 3. 2) 2 điểm Theo (1) thì 9a 2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2. A = 2 <=> 9a 2 + 4a = a 2 <=> a = -1/2. Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x 1 = -1 và x 2 = -1/2 1,0 đ 0,75 đ Vậy A nhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x 1 = -1 và x 2 = -1/2 0,25 đ Bài 4 Hình vẽ: I M A N B 4 .1) 2,5 điểm Gọi H, K lần lợt là trung điểm AM, AN => MN = 2 HK Chứng minh đợc HK OO', ở đó OO' không đổi => MN 2OO' , dấu = xảy ra <=> HK//OO' <=> MN//OO' Suy ra MN lớn nhất <=> MAN // OO' (đpcm !) 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ 4. 2) 3,5 điểm Chứng minh đợc : - nếu A ở giữa M và N thì MIN + MBN = 180 0 . - Nếu N (hoặc M) ở giữa AM (hoặc AN) thì MIN = MBN 1,5 đ 1,5 đ Từ đó suy ra bốn điểm B, M, I, N thuộc một đờng tròn 0,5 đ Các chú ý khi chấm: 1. Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa. 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. 3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 nhng phải thống nhất trong tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, đợc làm tròn nh với thi tốt nghiệp. Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh. Bài 4: Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d A , d B , d C , d D sao cho d A OA, d B OB, d C OC, d D OD. Các cặp đờng thẳng d A và d B , d B và d C , d C và d D , d D và d A tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N. 1) Chứng minh ba điểm N, O, L thẳng hàng. 2) Chứng minh rằng OK.OM = OL.ON Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm Bài 4 Hình vẽ: 4 .1) 3 điểm Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp. và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ giác ABCD. 0,5 đ 0,5 đ Có NOK + KOL = - ONA - OKA + - OKB - OLB = - ADO - ABO + - BAO - BCO = - ( A + B + C + D )/2 = 2 - = 1,0 đ 0,5 đ Từ đó suy ra các điểm N, O, L thẳng hàng 0,5 đ 4. 2) 3 điểm Trớc hết ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, ta có: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC = (1/2).( A + B + C + D ) = 2 1,0 đ 1,0 đ Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL 1,0 đ Bài 4: Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC của đ- ờng tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiếp tuyến qua M cắt AB ở E, cắt AC ở F. a) Biết AO = a. Tính chu vi tam giác AEF theo a và R. b) Đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Hạ OH BC (H BC). Chứng minh rằng: EF PQ = R OH Bài 4 Hình vẽ: B E M A F C 4 .1) 2 điểm Chứng minh đợc chu vi AEF = 2 AB Tính đợc AB = 22 OBAO = 22 Ra (do A nằm ngoài (O) nên a>R) Suy ra chu vi AEF = 2 22 Ra . 1,0 đ 1,0 đ 4. 2) 4 điểm Hạ OH BC Vì EB và EM là tiếp tuyến nên OEB = OEM = 90 0 - (AEF)/2 Tơng tự ABC = ACB = 90 0 - (BAC))/2 1,0 đ Do đó BPE = 180 0 -ABC-OEB =(AEF +BAC)/2 = 90 0 -AFE/2 = OFE . Hay OPQ = OFE 2,0 đ Suy ra OPQ đồng dạng OFE Do vậy PQ/EF = OH/OM = OH/R ( đpcm !) 1,0 đ . trình x 2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a 2 + 4a > 0 (1) ; x 1 2 - 3ax 1 - a = x 2 2 - 3ax 2 - a = 0 ; x 1 + x 2 = 3a => x 1 2 = 3ax 1 + a. một đờng tròn hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 200 4-2 005 môn toán lớp 9 - bảng B Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm Bài 1 Điều kiện: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x -3 ) 0; (x-1)(x-4) 0 (*) 0,5 đ 5 điểm *. trình x 2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a 2 + 4a > 0 (1) ; x 1 2 - 3ax 1 - a = x 2 2 - 3ax 2 - a = 0 ; x 1 + x 2 = 3a => x 1 2 = 3ax 1 + a