PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Phương trình mặt cầu. 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) 0128 222 =++−++ yxzyx b) 04284 222 =−−++++ zyxzyx b) 021536333 222 =−+−+++ zyxzyx c) 086246 222 =−−+−++ zyxzyx e) 0246412 222 =+−+−++ zyxzyx f) 07212126 222 =++−−++ zyxzyx g) 04248 222 =−++−++ zyxzyx h) 043 222 =+−++ yxzyx i) 076 222 =−−++ zzyx j) 0442 222 =+−−++ zyxzyx 2. Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ: a) )1,3,1( −−A ; )5,1,3(−B . b) )5,2,6( −A ; )7;0;4(−B . 3. Cho hai mặt cầu: 064:)( 222 1 =−++ zyxS và 07212126:)( 222 2 =++−−++ zyxzyxS . Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của nó. 4. Cho bốn điểm )0;1;0(A ; )1,3,2(B ; )2,2,2(−C ; )2,1,1( −D a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A. b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 5. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với )0;0;(aA ; )0,,0( bB ; ),0,0( cC ; )0;0;0(O . 6. Cho )4;1;3( −−S ; )0;1;3(−A ; )0;3;1(B ; )0;1;3( −C ; )0;3;1( −−D . a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD. 7. Cho hai mặt cầu 09:)( 222 1 =−++ zyxS và 07212126:)( 222 2 =++−−++ zyxzyxS . Tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm của 2 mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu trên và có bán kính lớn nhất. Mặt cầu đi qua các điểm 8. Viết phương trình mặt cầu nếu biết: a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính 3=R . 1 b) Tâm I(5; -3; 7). bán kính R = 2. c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3). d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ. e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4) f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5). g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3). h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7). i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2). j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz). 9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương. a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn. b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC). 10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng ( d): 11/ 2 14 2 1 2 x y z+ + = = − tại hai điểm A, B sao cho AB = 16. 11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau: a) 05426 222 =+++−++ zyxzyx , x + 2y + z -1 = 0. b) 010226 222 =+−+−++ zyxzyx , x + 2y + 2z = 0. 2 c) 04284 222 =−−++++ zyxzyx , x + y -z - 10 = 0. d) 0221626 222 =+−+−++ zyxzyx , z - 3 = 0. e) 014624 222 =+−−+++ zyxzyx , y - 1 = 0. f) 04242 222 =−−+−++ zyxzyx , x- 5 = 0. g) 02042 222 =−−−++ yxzyx , x + 2y - z - 8 = 0. h) 032 222 =−−++ zzyx , x - 2y - z + 5 = 0. i) 082 222 =−−++ xzyx , x - 2y - 3 = 0. j) 4)1( 222 =++− zyx , x - 2 = 0. k) 0242 222 =−−−−++ mzyxzyx , 2x - 4y - 2z + 5 = 0. l) 4)2()1( 222 =−++− zyx , 2x + y - z + m = 0. m) 024 222 =−−+++ mzxzyx , x + y - z - 4 = 0. 13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8). a) Viết phương trình đường thẳng AC. b) Viết phương trình mặt phẳng (P). c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC. d) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R khi R thay đổi. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng 14. Viết phương trình mặt cầu: a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0. b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0. c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0. d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0. e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3). f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy 3 tại M(5; -1; -1). g) Tâm I nằm trên (d):  = +  = −   = +  5 3 3 2 x t y t z t và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 0. h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz. 15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm. 16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1). a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C. b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P). c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P). 17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện) 18. Viết phương trình mặt phẳng: a) Tiếp xúc với mặt cầu: 24)2()1()3( 222 =++−+− zyx tại điểm M(-1; 3; 0). b) Tiếp xúc với mặt cầu: 05426 222 =++−−++ zyxzyx tại M(4; 3; 0). c) Tiếp xúc với mặt cầu: 49)2()3()1( 222 =−+++− zyx tại M(7; -1; 5). d) Tiếp xúc với mặt cầu: 2222 )()()( Rczbyax =−+−+− và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0. e) Tiếp xúc với mặt cầu: 022222 222 =−−−−++ zyxzyx và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0. f) Tiếp xúc với mặt cầu: 011246 222 =−++−++ zyxzyx và song song với mp: 4x +3z -17 = 0. g) Tiếp xúc với mặt cầu: 0442 222 =+−−++ zyxzyx và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0. h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc: .08262 222 =+++−++ zyxzyx i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). 4 j) Tiếp xúc với mặt cầu: 011326210 222 =−++−++ zyxzyx và song song với 2 đường thẳng: ( ) 1 5 1 13 : 2 3 2 x y z d + − + = = − ; ( ) 2 7 1 8 : 3 2 0 x y z d + + − = = − . k)* Chứa đường thẳng ( ) 10 7 : 10 12 3 x t d y t z t = − +   = − +   =  và tx với mc: 015262 222 =−+−+++ zyxzyx . l) Tiếp xúc với mặt cầu 05642 222 =++−−++ zyxzyx và vuông góc với đường thẳng ( ) 2 : 0 x t d y t z =   =   =  19. Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xúc với mặt cầu 12 222 =++ zyx . Xác định tiếp điểm. 20. Cho mặt cầu (S): 26)1()2( 222 =+−++ zyx và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t. a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d). b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B. 21. Cho mặt cầu (S): 05642 222 =+−−+++ zyxzyx . Viết phương trình tiếp diện của (S): a) Đi qua T(1; 1; 1). b) Đi qua đường thẳng: ( ) : 1 2 1 x t d y t z =   = − +   =  c) Đi qua đường thẳng: 34 1 1 zyx = − − = . d) Vuông góc với đường thẳng: 2 2 1 1 2 3 − − = + = − zyx . Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu 22.Cho mặt cầu (S): 02642 222 =−+−−++ zyxzyx . Xét vị trí tương đối của (S) với (d): a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3). b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4). c) (d): 0 3 2 2 2 1 − = − − = − zyx . 23. Tìm vị trí tương đối của đường thẳng (d): 2 2 1 1 2 3 − − = + = − zyx với mỗi mặt cầu (S) sau: 5 a) (S): 01422 222 =−+−++ yxzyx b) (S): 081024 222 =−−−+++ zyxzyx c) (S): 25)1()2()1( 222 =−+−+− zyx 24. Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối của (d): 2 2 3 x t y t z m t = − +   = −   = − +  với mặt cầu (S): 8)1()2()1( 222 =++−+− zyx 25. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau: a) 0142 222 =++−++ zxzyx , 1 2 1 1 2 − − = − = zyx . b) 16)2()1( 222 =+−+− zyx , 3 5 2 3 1 x y z− + = = − − c) 02242 222 =−+−−++ zyxzyx , (x = -2 - t; y = t; z = 3 - t). d) 0142 222 =++−++ zxzyx , (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t). e) 0422 222 =++−+++ mzyxzyx , 3 5 2 1 4 x y z− + = = − − Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến) 26. Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3. a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó: - có vectơ chỉ phương là: ).2;2;1(=a - vuông góc với mặt phẳng: ( ) : 3 2 2 3 0.x y z α − + + = - Song song với đường thẳng (d’): 1 1 5 2 3 x y z+ + = = − 27) Cho mặt cầu (S): 03242 222 =−+−−++ zyxzyx . Viết phương trình tiếp tuyến của (S): a) Có vectơ chỉ phương )1;1;4(=a và đi qua A(-4; 3; m). b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n). 6 28. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng: a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t. b) 3 2 12 1 − = − = − zyx Vị trí tương đối của hai mặt cầu 29. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S 1 ) và (S 2 ) sau: a) 0142 222 =++−++ zxzyx , 05462 222 =+−−−++ zyxzyx b) 02642 222 =−+−−++ zyxzyx , 02222 222 =+−+−++ zyxzyx c) 02622 222 =−+−−++ zyxzyx , 04622 222 =−+−−++ zyxzyx d) 01422 222 =−+−++ yxzyx , 010226 222 =+−−−++ zyxzyx e) 081024 222 =−−−+++ zyxzyx , 0662 222 =−−−++ zyzyx f) 015262 222 =−+−+++ zyxzyx , 0222 222 =−−−++ yxzyx Đường tròn trong không gian Phương trình: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 x a y b z c R Ax By Cz D  − + − + − =  + + + =  hoặc 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ') ( ') ( ') ' x a y b z c R x a y b z c R  − + − + − =   − + − + − =   30. Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau: a) 093 16)1()7()4( 222 =−−+ =++−+− zyx zyx b) 014623 022)(2 222 =++− =−++−++ zyx zyxzyx c) 0122 010226 222 =+−+ =+−+−++ zyx zyxzyx d) 0122 0246412 222 =+++ =+−+−++ zyx zyxzyx e) 0122 5)3()3()2( 222 =++− =++++− zyx zyx f) 0122 010226 222 =+−− =+−+−++ zyx zyxzyx g) 0922 086246 222 =+−− =−−+−++ zyx zyxzyx h) 0922 100)11()2()3( 222 =+−− =−+++− zyx zyx 31. Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3). a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó viết phương trình đường tròn. 7 b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1. Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm. Tìm toạ độ giao điểm . Phần 2: Phương trình mặt phẳng I. Phương trình mặt phẳng A. Kiến thức cần nhớ a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với 0C B A 222 ≠++ , );;( CBAn = là vtpt của mp. b) Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 000 ;; zyxM và có vectơ pháp tuyến );;( CBAn = có dạng: 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng: 1=++ c z b y a x d) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng: 0 000 =+++ DzCyBxA với .1 2 0 2 0 2 0 =++ CBA B. Bài tập 1. Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = 0 a) Tìm một vectơ pháp của mặt phẳng đó. b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ. 2. Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0. a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó. b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz. 3. Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó. 4. Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến )1;4;3(−=n . b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp )0;2;3(=n . c) Đi qua );;( 0000 zyxM và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy. 8 e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M 1 M 2 với M 1 (0; 2; -3) và M 2 (1; -4; 1). f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0. g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0. h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ. i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0. j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ ( ) 4;1;3 −−=a . k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ ( ) 1;1;3 −=u và ( ) 1;2;1 −=v . l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0. m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3). n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P 1 ):x + 2y - 3z + 1 = 0 & (P 2 ):2x - 3y + z + 1 = 0. o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0. q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P 1 ): 2x + y - z - 2 = 0 và (P 2 ): x - y - z - 3 = 0. r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0. s) Qua A( 1; 0; 2), song song với ( ) 1;3;2=a và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0. t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP = 2OQ. u) Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2). x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0. y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0). z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0. 5. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau: a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2). b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6). 9 000 000 114 OBOAOC OBOAOC += += c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2). d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1). e) M 1 M 2 với M 1 (2; 3; -4), M 2 (4; -1; 0). f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1). 6. Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) . b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2). 7. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với: a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6). b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3). c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1). e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0). f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1). g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0). h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5). 8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O). b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A 0 , B 0 , C 0 sao cho: 9. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5). G là trọng tâm của tứ diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I. 10. Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3). Gọi I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm phương trình của mặt phẳng (UVR). 11. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0. a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC). Tính OH. c) Tính diện tích S của tam giác ABC. d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn 2222 kcba =++ không đổi. Khi nào S đạt giác trị lớn nhất? Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất. 10 [...]... m để (P)//(Q) c) Tìm hệ thức giữa λ , m để ( P) ⊥ (Q) III Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 1 Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD 2 Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O Xác định toạ độ đỉnh D Viết phương... y0 + bt → MH ⊥ u ⇔ a (at + x0 − xM ) + b (bt + y0 − yM ) + c(ct + z0 − z M ) = 0 z = z0 + ct → Giải ra ta được t = a ( xM − x0 ) + b( y M − y0 ) + c ( z M − z0 ) a2 + b2 + c2 2 Điểm đối xứng M’(x; y; z) với M ( xM ; yM ; z M ) qua đt (d) qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vtcp u = (a; b; c) - Tìm H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) - Áp dụng công thức trung điểm tìm (x; y; z) Cách khác: Toạ độ trung... (d): 5x − 4 y − 2z − 5 = 0 ; (P): 2x - y + z - 1 = 0 x + 2z − 2 = 0 c) (d): x − y − z −1 = 0 ; (P): x + 2y -z - 1 = 0 x + 2z − 2 = 0 d) (d): x −1 y − 2 z = = ; (P): 2x - y - 3z + 5 = 0 1 −2 −1 27 2 Trong không gian cho đường thẳng (d) có phương trình: x − my + z − m = 0 mx + y − mz − 1 = 0 a) Viết phương trình hình chiếu (d’) của (d) lên mp(Oxy) b) Chứng minh khi m thay đổi, (d’) luôn tiếp xúc với một... −2 −5 IV Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng - đường thẳng và đường thẳng A Lý thuyết cần nhớ 1.Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng 2.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng là nghiệm của hệ đường thẳng và đường thẳng B Bài tập 1 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: a) x = 2t - 1, y = t + 2, z = t = 3; x - y + z - 4 = 0 b) x = t ,... 3y + z - 1 = 0 2 Tìm m để đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau a) Đường thẳng x = m + t, y = 2 - t, z = 3t cắt mặt phẳng 2x - y + z - 5 = 0 tại điểm có tung độ là 3 21 b) Đưởng thẳng x − 2y − 3 = 0 cắt mặt phẳng 2x + y + 2z - 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng -1 y + 2z + 5 = 0 c) Mặt phẳng x + y + z + m = 0 cắt đường thẳng x + 2y − 3 = 0 3x − 2 z − 7 = 0 3 Tìm giao điểm của hai đường thẳng: a) x = 3t, y... đỉnh O Gọi α , β , γ là góc lần lượt hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 V Hình chiếu vuông góc - Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng 1 Tìm toạ độ của điểm A’ đối xứng với: a) A(2; 3; -1) qua mặt phẳng 2x - y - z - 5 = 0 b) A(-2; 1; 3) qua mặt phẳng 2x + y - z - 3... − 3 z − 17 = 0 2 Cho đường thẳng (d): x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3t và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0 a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến (P) bằng 1 b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d) Hãy xác định toạ độ điểm K 3 Cho M(1; 2; -1) và đt (d): 4 Cho (d1): x+3 y−2 z−2 = = N là điểm đối xứng của M qua (d) Tính MN 3 −2 2 2x... Qua A(1; 3; -1) và có vectơ chỉ phương a = (1;2;−1) m) Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2) n) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ 18 o) Qua hai điểm A(-2; 1; 3) và B(4; 2; -2) x y +1 z − 2 = = 2 −1 −2 p) Qua A(1; 4; -2) và song song với đường thẳng q) Nằm trong mp x + 3y - z + 4 =0 và vuông góc với đt r) Qua điểm (3; 2; 1) và vuông góc với đường thẳng s) Qua điểm (-4; -5; 3) và cắt cả hai... mặt phẳng 2x + y = 0 w) Qua (1; 1; 1) cắt trục Oz và cắt đường thẳng x − 3 y −1 z = = 1 −1 1 x) Qua (1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng x = 1 + 2t, y = t, z = 3 - t; x + 2 y −3 z = = 1 −2 1 y) Nằm trong mp y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng: x = 1-t, y = t, z = 4t; x = 2- t, y = 4 + 2t, z = 1 z) Song song với đt x = 3t, y = 1 - t, z = 5+ t và cắt 2 đt x −1 y + 2 z − 2 x + 4 y + 7 z = = = = ; 1 4... giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0 g)Tính khoảng cách từ các điểm M1(1; -1; 2), M2(3; 4;1), M3(-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z -10= 0 14 h) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0 i) Tính khoảng cách từ S(1; 3; -2) đến đi qua 3 điểm A(3; 6; -7) B(-5; 2; 3), C(4; -7; -2) Tính VSABC j) Tìm khoảng cách từ M(-1; 1; -2) đến mặt phẳng đi qua ba . PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Phương trình mặt cầu. 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) 0128 222 =++−++. đó. b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ. 2. Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0. a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó. b) Tìm toạ độ giao điểm của. 0662 222 =−−−++ zyzyx f) 015262 222 =−+−+++ zyxzyx , 0222 222 =−−−++ yxzyx Đường tròn trong không gian Phương trình: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 x a y b z c R Ax By Cz D  − + − + − =  + + + =  hoặc