Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU trang Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ I Những vấn đề chung …………………………………………trang -4 II Đặc điểm tình hình, thực trạng chất lượng trang 4-6 III Biện pháp khắc phục trang 6-7 Phần thứ hai NỘI DUNG .trang 8-21 Phần thứ ba: KẾT LUẬN trang 22 PHỤ LỤC trang 23 Giaùo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: LỜI NĨI ĐẦU Viết sáng kiến kinh nghiệm hình thức tốt để rèn luyện chun mơn nghiệp vụ giáo viên Ngành giáo dục Đào tạo Hàng năm đơn vị trường phát động tổ chức phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm Từ năm học 2005 – 2006, Sở GD & ĐT ĐăkLăk cụ thể hóa việc viết SKKN thành nội dung bắt buộc giáo viên việc thực nhiệm vụ năm học Năm học 2004 – 2005, Sở GD – ĐT chấm trao giải cho SKKN có chất lượng, phịng GD – ĐT huyện KrôngAna đạt 04 giải C Trong thân tơi cơng nhận sáng kiến “Khai thác tập 28 SGK toán - tập I” Phát huy thành tích đạt mong góp phần nhỏ mà thân thu thập trình học tập, giảng dạy vào phong trào chung ngành giáo dục huyện nhà (nay huyện Cư Kuin) Tôi xin mạnh dạn viết tiếp mong trao đổi, viết có tựa đề “Khai thác tập 87 sách tập toán – tập trang 18” Nội dung viết gồm phần: A Đặt vấn đề B Nội dung C Kết luận Phần B: Hầu hết tốn tơi trình bày theo nội dung: • Bài tốn • Tìm hiểu tốn • Tìm lời giải • Cách giải • Khai thác tốn (có tốn kèm theo phần nhận xét) Vì kinh nghiệm lực cịn nhiều hạn chế, tơi viết chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy giáo - người u thích mơn Tốn nhằm phát huy lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung em học sinh nhỏ Trân trọng cảm ơn! Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: Phần một: ĐẶT VẤN ĐỀ I Những vấn đề chung: “Ai khơng hiểu biết tốn học khơng hiểu biết khoa học khác phát dốt nát thân mình” (R.Bacon – Nhà tư tưởng Anh - Thế kỷ XIII) Trên câu nói tiếng khẳng định vai trị to lớn tốn học lĩnh vực đời sống Ở trường phổ thông, mơn tốn có vị trí đặc biệt quan trọng góp phần to lớn thực nhiệm vụ chung nhà trường đào tạo nên người “Làm chủ tri thức khoa học cơng nghệ đại, có tư sáng tạo, có kĩ thực hành giỏi, có tác phong cơng nghiệp, có tính tổ chức kỷ luật, có sức khỏe, người thừa kết xây dựng CNXH vừa “Hồng” vừa “Chuyên” lời dặn Bác Hồ” (Nghị hội nghị V – BCHTW Đảng cộng sản Việt nam khóa VIII) Do tốn học có vai trị to lớn vậy, nên tốn học mệnh danh “Mơn thể thao trí tuệ” Vì việc giải toán vấn đề trung tâm người dạy học toán Bởi lẽ cơng việc mà hai đối tượng thường xuyên phải làm Đối với học sinh nhỏ việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Thơng qua việc giải tốn, kiến thức toán em củng cố, khắc sâu mở rộng; Giải tốn hình thức tốt để em rèn luyện kỹ như: Tính tốn, biến đổi, suy luận … Mặt khác, việc tìm kiếm lời giải tốn khó áp dụng lời giải toán giải để giải toán mới, toán tổng quát tạo nên hào hứng, phấn chấn, vun đắp lịng say mê tốn học em ; Giải tốn hình thức tốt để rèn luyện cho học sinh nhiều đức tính như: Tính cần cù, tính kỷ luật, tính động sáng tạo … Vậy giải tốn nào? Thơng thường việc giải toán hay tiến hành theo bước là: - Tìm hiểu đề tốn; - Tìm lời giải; - Thực giải; - Kiểm tra nghiên cứu lời giải Tuy nhiên trình giải tốn, em quan tâm đến đầy đủ công việc nới trên, học sinh nhỏ Nhiều học sinh học toán, học sinh lười học, khơng nắm vững kiến thức đành, cịn nhiều học sinh chịu khó học bài, thuộc bài, chí học nhiều khơng làm tập đơn giản làm sai Thiếu sót đâu? Cái em chưa đọc kỹ đề toán, chưa hiểu rõ toán vội lao vào giải Bởi vậy, bắt nguồn từ đâu gặp khó khăn, em khơng biết tìm lời giải Cũng em chưa chịu nghiên cứu, khảo sát kỹ chi tiết toán, chưa biết kết hợp chi tiết toán theo nhiều khía Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: cạnh khác nhau, lại chưa sử dụng hết kiện toán Nhiều tốn vận dụng cách giải lẫn em khơng biết áp dụng áp dụng cách giải cách máy móc? Đôi giải xong, em lại không chịu kiểm tra lại lời giải tìm được, khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác hay mở rộng lời giải tìm cho tốn khác, tốn tổng qt Vì nhiều hạn chế lực giải tốn em Những thiếu sót học sinh phần lỗi người thầy phương pháp dạy tốn, là: Chưa tạo cho học sinh có thói quen tiến hành đầy đủ bước cần thiết giải toán, tốn lạ tốn khó Thường nặng trình bày lời giải chưa ý hướng dẫn em tự đến lời giải Vì em hiểu lời giải cụ thể tốn mà thầy giải chưa biết qua học cách suy nghĩ, nghiên cứu để giải tốn khác mở rộng tốn Đây bước quan trọng, cần thiết bổ ích Việc kiểm tra nghiên cứu lời giải tốn giúp em ngồi việc sửa chữa sai sót đáng tiếc mà qua cịn tìm kiếm lời giải khác đưa tốn có nội dung tổng qt hặc tốn tương tự “Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết cao Biết cách dạy tốn biết cách học toán, hiệu dạy học nâng lên gấp nhiều lần” (Vũ Hữu Bình – Kinh nghiệm dạy học tốn) Vì lý giáo viên tốn (năm học 2004 – 2005 phân công giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6), tơi thực viết Hiện trực tiếp làm cán phụ trách chun mơn THCS Phịng GD&ĐT Cư Kuin, với mong muốn chia sẻ đồng nghiệp trao đổi kinh nghiệm rèn luyện để nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, mạnh dạn tham dự thi viết sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) II Vài nét tình hình trường lớp thực trạng học toán học sinh trường huyện Cư Kuin Đặc điểm tình hình: Huyện Cư Kuin thành lập theo Nghị định số 137/2007/NĐ-CP, ngày 27/8/2007 Chính phủ sở điều chỉnh địa giới hành huyện Krơng Ana (Phịng GD&ĐT huyện thời gian này) Trung tâm huyện cách Thành phố Buôn Ma Thuột khoảng 20 km phía Nam Diện tích tự nhiên 28.830 ha, đó: Đất sản xuất nơng nghiệp 21.451,81 ha, đất lâm nghiệp 878,69 ha, diện tích ni trồng thủy sản 382,6 Tổng dân số 109.770 người với 20.354 hộ, dân tộc thiểu số 29.870, lao động 53.365 người Tổng số hộ nghèo 4.787 hộ với 24.861 chiếm 23,5% Số đơn vị hành huyện gồm 08 xã với 111 thơn, bn Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: Năm học 2007-2008 tồn cấp THCS có 255 lớp với 9931 học sinh (cuối năm học) Số học sinh DTTS: 2546 (26.0%) Những thuận lợi khó khăn q trình đạo dạy – học Có đầy đủ văn đạo Nhiệm vụ năm học cấp thường xuyên đạo Lãnh đạo Sở, ban ngành địa phương Thực chương trình theo biên chế năm học Bộ Sở Giáo dục Đào tạo; Có chuyển biến cơng tác quản lí, đạo đổi phương pháp dạy học cải tiến phương pháp đánh giá, xếp loại học sinh Chất lượng đại trà học sinh ngày thực chất, sở vật chất, thiết bị dạy học tiếp tục đầu tư ngày khang trang, đẹp Hoạt động dạy học ngày vào nề nếp có chiều sâu CSVC ngày khang trang hơn, đáp ứng nhu cầu dạy học Hầu hết đội ngũ giáo viên THCS huyện người đạt chuẩn chuẩn, nhiệt tình có tâm huyết với nghề, có nhiều giáo viên giáo viên dạy giỏi cấp huyện tỉnh (năm học 2008-2009 có 15 giáo viên cơng nhận giáo viên dạy giỏi tỉnh) Đa số giáo viên người địa bàn, Tp Buôn Ma Thuột Bên cạnh thuận lợi nói trên, huyện cịn gặp khơng khó khăn, là: - Cịn phận khơng nhỏ giáo viên chậm đổi phương pháp dạy học Do đó, chưa phát huy tính tích cực học sinh, sở vật chất chưa đáp ứng yêu cầu cho việc dạy –học học theo hướng đổi - Một số trường biên chế CBQL thiếu, đội ngũ giáo viên khơng ổn định, có nhiều giáo viên gia đình xa trường (TP Bn Ma Thuột), nhỏ, phải dạy trường thuộc vùng sâu, vùng xa huyện Trình độ chun mơn khơng đồng đều; số giáo viên trẻ ý thức trách nhiệm chưa cao, chưa tận tâm với nghề, chưa thực an tâm công tác, tinh thần học hỏi đồng nghiệp tự học tự rèn, kinh nghiệm nghề nghiệp nhiều hạn chế Đổi nhận thức chậm, tham gia ý kiến xây dựng, hướng phấn đấu chưa thể rõ nét Vì vậy, ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy học - Học sinh bỏ học nhiều; tỉ lệ học sinh xếp loại học lực yếu, cao; gia đình qua tâm đến việc học - Tình hình an ninh trật tự địa bàn có nhiều diễn biến phức tạp, nhiều tệ nạn xâm nhập ảnh hưởng đến em – khó khăn việc rèn luyện đạo đức, lối sống cho em nhà trường - Cơng tác xã hội hóa giáo dục chưa địa phương coi trọng, việc tuyên truyền sâu rộng nhân dân cịn hạn chế… Những khó khăn nhiều ảnh hưởng đến chất lượng học tập em nói chung chất lượng học tập mơn tốn nói riêng Thực trạng chất lượng học học tập mơn tốn trường: Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: Năm học 2007 – 2008 chất lượng mơn tốn tồn huyện sau: - Xếp loại chung chất lượng hai mặt: Hạnh kiểm: Học lực: Tốt: 63.99 % Giỏi: 3.08 % Khá: 30.08 % Khá: 20.65 % Trung bình: Trung bình: 50.03 % 5.48 % Yếu: Yếu, 0.44 % 26.20 % - Chất lượng mơn tốn: Giỏi: 8.0% Khá: 15.0 % Trung bình: 36.0 % Yếu, 41.0 % Kết cho thấy: Chất lượng học tập môn tốn tương đối thấp, ngun nhân đâu? Ngồi nguyên nhân nêu phần I-lý số nguyên nhân khách quan ảnh hưởng lớn đến chất lượng nói chung, khó khăn nêu phần III Đề xuất số giải pháp khắc phục: - Ln ln tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ bước cần thiết giải tốn; Tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ, nghiên cứu để tự đến lời giải; Ln tạo cho học sinh hứng thú học tập… - Đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải , phân tích cho em thấy nhằm tạo hứng thú say mê - Phát huy tinh thần hợp tác giúp đỡ học tập Tổ chức em hoạt động theo nhóm, tăng cường thời gian luyện tập củng cố kỹ giải, tạo niềm tin hứng thú học tập - Kết hợp việc dạy chủ đề tự chọn để giúp em luyện tập, củng cố thêm kiến thức cho em - Và điều quan trọng là: Trong trình giảng dạy, giáo viên cần phải thường xun tìm kiếm thơng tin liên quan, ý đến việc luyện tập theo dạng tập tóan nội dung, phần, chương; Luôn ý đến việc lựa chọn cung cấp đầy đủ dạng tập từ SGK sách tập cho em (kể tài liệu tham khảo), cần trọng đến việc hệ thống dạng tập theo nội dung - chủ đề Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: - Đẩy mạnh công tác truyên truyền sâu rộng nhân dân, phụ huynh công tác XHHGD, cần làm cho phụ huynh hiểu rằng: Muốn thoát khỏi điều kiện kinh tế yếu chẳng có đường khác đầu tư, tạo điều kiện cho em họ học tập thật tốt - Động viên, khuyến khích kịp thời gương học tốt Nêu gương điển hình phê bình học sinh chưa có động học tập đắn không trường mà phải sâu rộng tất thơn bn Có chắn việc học học sinh công tác giảng dạy giáo viên thời gian tới có chuyển biến Trên nhận định ý kiến chủ quan cá nhân tơi q trình giảng dạy tơi nghiệm thấy Tuy đề tài nghiên cứu khoa học, mạnh dạn đưa viết mong muốn chia sẻ Bởi lẽ, sản phẩm dạy học không giống loại sản phẩm hàng hóa nào, để có sản phẩm tốt lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố Tất nhiên, việc suy xét toán theo hướng khai thác kết qủa viết với đối tượng học sinh phù hợp Xong, khơng mà lại bỏ qua cơng việc Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: Phần thứ hai: NỘI DUNG Khai thác tập 87- SBT toán tập trang 18 Nội dung toán sau: a Cho hai phân số (n ∈ Z, n > 0) Chứng tỏ tích hai phân số hiệu chúng b Áp dụng kết để tính giá trị biểu thức sau: A= + + + + + + B= + + + + + + * Tìm hiểu toán: a Bài toán yêu cầu chứng minh tích hai phân số cho hiệu chúng, tức ta cần chứng minh đẳng thức: = - (1) b Trong tổng A: Mỗi tích phân số có tử mẫu chúng số tự nhiên liên tiếp có dạng: n n+1 Như tích có dạng Trong tổng B: Mỗi phân số có tử giống (bằng 1) mẫu phân số khác nhau, mẫu viết dạng n.(n+1) Như phân số có dạng Như vậy: Hai tổng A B hai cách viết khác ⇒ cách tính * Tìm lời giải: a Xét hiệu - Ta nhận xét rằng: Mỗi phân số hiệu có tử mẫu chúng số tự nhiên liên tiếp (dạng tổng quát) Hãy quy đồng mẫu phân số b Ta nhận xét: Mỗi tích tổng A dạng cụ thể đẳng thức (1) Như ta cần viết tích tổng thành hiệu phân số (Tổng B tương tự) * Cách giải: a Quy đồng mẫu, ta được: - = = Vậy: = - (1) b Áp dụng cơng thức (1), ta có: A= - + - + - + - + - + - + = - = B= + + ++++ = - + - + - + - + - + - + = - = Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: (Cần lưu ý rằng: Nếu quy đồng mẫu phân số chắn gặp khó khăn Mặt khác (1) công thức mà em gặp nhiều lớp 7,8,9….) * Khai thác tốn: = - (1), nhờ có (1) Bài tốn có câu, câu a ta chứng minh mà việc tính tổng A B cách nhanh chóng cách biến đổi phân số dãy thành hiệu phân số, ta biến dãy cộng thành dãy trừ cộng để ước lược số hạng đối Chẳng hạn - + ; - + ; … Như vậy, nói: Đẳng thức (1) chìa khóa để giải câu b toán Nếu kết hợp tổng A B ta có dãy cộng tổng qt BÀI TỐN 1: Hãy tính tổng sau: C = + + + …… + * Cách giải: Trước hết, ta nhận xét rằng: Tổng C hoàn tồn tương tự tổng A, khơng tính tổng qt, ta áp dụng cách tính tổng A Ta có: C = - + - + - + …… + - = 1- = * Khai thác toán: Tổng cho dãy cộng phân số có từ bảng mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp tăng dần Áp dụng (1) ta viết phân số thành hiệu phân số mà số bị trừ có tử mẫu thừa số nhỏ Số trừ có tử mẫu thừa số lớn Nếu mẫu phân số tích số tự nhiên liền mà tích số chẵn số lẻ liền sao? Chẳng hạn: ; ; … ; ; … Hãy xét toán sau: BÀI TỐN 2: Tính tổng sau: D = + + + …… + a E = + + + …… + b * Tìm hiểu tốn: Bài tốn tính tổng phân số có tử giống (bằng 1) mẫu phân số tổng tích số tự nhiên khác hai đơn vị Ở tổng D, mẫu phân số tích số tự nhiên chẵn liền Ở tổng E, mẫu phân số tích số tự nhiên lẻ liền * Tìm lời giải: Áp dụng cách giải toán cách xét hiệu sau: - ; - ; …… ; - ; - ; …… Ta có: - = ; - = ; ……; - = - = ; - = ; ……; - = Giaùo viên:Trần Quốc Toản trang: Sáng kiến kinh nghiệm Toán Moân: Nhận xét: Mỗi hiệu cho ta phân số có tử giống nhau, (khoảng cách thừa số mẫu phân số) mẫu tích số tự nhiên chẵn liên tiếp lẻ liên tiếp ban đầu * Cách giải: Từ nhận xét , để giải ta nhân D E với Ta có: 2D = + + + …… + 2E = + + + …… + Vậy: + 2D = - + - + - + ……+ = - = ⇒D= :2= + 2E = - + - + - +……+ =1- ⇒E= :2= Qua cách giải, ta có nhận xét sau: Để tính tổng (áp dụng (1)) ta phải nhân tổng với Khi đó, ta thu tổng có tử giống (bằng 2) mẫu phân số tổng tích thừa số ban đầu Áp dụng cách giải toán 1, ta viết phân số tổng thành hiệu phân số mà số bị trừ phân số có tử mẫu thừa số thứ (nhỏ hơn) Số trừ phân số có tử mẫu thừa số thứ (lớn đơn vị) Chẳng hạn: = - ; = - … Nhờ vậy, ta tính nhanh chóng tổng D E cho Từ kết ta xét tiếp tốn đây: BÀI TỐN 3: Tính nhanh tổng sau: a S1 = + + + …… + b S2 = + + + …… + c S3 = + + + …… + * Phân tích tốn: Bài tốn tính nhanh tổng: Mỗi tổng dãy cộng phân số có tử mẫu phân số tích số tự nhiên cách khoảng định Ở câu a: Mẫu phân số tổng tích số tự nhiên đơn vị Ở câu b: Mẫu phân số tổng tích số tự nhiên đơn vị câu c: Mẫu phân số tổng lại tích số tự nhiên cách 10 đơn vị * Tìm lời giải: Ở cách giải toán 2, ta nhận thấy: Mẫu phân số tổng đơn vị, ta nhân tổng cho với ( khoảng cách thừa số mẫu) viết phân số thành hiệu phân số Ta xét tương tự phân số S1 , S2 , S3 Nhận xét thấy: = - ; = - ; …… Giaùo viên:Trần Quốc Toản trang: 10 Sáng kiến kinh nghiệm Toán Moân: =1 - ; = - ; …… =1 - ; = - ; …… * Cách giải: Ta có: a 3S1 = + + + …… + = - + - + - + ……+ - = = = ⇒ S1 = : = ( tính S1 ) b 5S2 = + + + …… + = - + - + - + ……+ =1- = ⇒ S2 = : = ( tính S2 ) c 10S3 = + + + …… + = - + - + - + ……+ =1- = ⇒ S3 = : 10 = ( tính S3 ) Nhận xét: Như việc tính tổng cho ta khơng gặp khó khăn gì, chìa khố tốn Quy luật là: Nếu thừa số mẫu phân số có khoảng cách viết thành hiệu thu phân số có tử khoảng cách thừa số mẫu Tổng quát, ta có: = Từ nhận xét cách giải toán cho, em HS tự đặt tốn tương tự để giải, chẳng hạn: Tính nhanh: + + + …… hay: + + + ……;… Từ toán ban đầu, ta có tốn 2, tốn tính nhanh chóng tổng tương đối phức tạp khơng khó khăn Bây ta xét tiếp tốn sau: BÀI TỐN 4: Tính tổng sau: a S4 = + + + …… + b S5 = + + + …… + * Tìm hiểu tốn: Bài tốn cho có điểm giống với toán giải là: Mẫu phân số tổng tích số tự nhiên liền có tử Tuy nhiên, mẫu phân số lúc lại thừa số mà lại hay thừa số Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 11 Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: + Ở tổng S4: Mỗi phân số tổng có mẫu tích số tự nhiên liều (theo thứ tự tăng dần) + Ở tổng S4: Mỗi phân số tổng có mẫu tích số tự nhiên liều (theo thứ tự tăng dần) * Tìm lời giải: Ở toán 3, mẫu phân số tổng tích thừa số, ta đưa chúng dạng hiệu phân số Hãy xét hiệu: - ; - ; …… - ; - ; …… Ta có: - = ; - = ; …… - = ; - = ; …… * Cách giải: Ta có: a 2S4 = + + + …… + = - + - + - + ……+ = - = ⇒ S4 = = b 3S5 = + + + …… + = - + - + + ……+ = - = ⇒ S5 = = Nhận xét: Với việc áp dụng cách giải từ toán – áp dụng (1) ta tính tổng khơng khó khăn Tuy nhiên để đến kết cuối với học sinh lớp khơng phải dễ mà thích hợp khai thác cho học sinh lớp 8, Với HS lớp 6, ta nên dừng lại số số định đó, chẳng hạn: ; Tóm lại: Việc tính tổng có quy luật tổng xét Nếu thay đổi chút toán chẳng hạn: + ; …… Vậy cách tính có khác khơng? Hãy xét tiếp tốn BÀI TỐN 5: Tính tổng: S6 = + + + ……+ S7 = + + + ……+ * Tìm hiểu tốn: Bài tốn tính tổng gần giống tổng S Dãy cộng phân số có tử mẫu phân số tích số tự nhiên lẻ liền nhau, chẵn liền Phải quy luật giống toán giải trên? Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 12 Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: * Tìm lời giải:( S6 ) Ta xét hiệu trên: - ; - ; …… Ta có: - = ; - = ; - = ; … * Cách giải: 4S6 = + + + ……+ = - + - + - + ……+ - = = = ( S7 giải tương tự ) Nhận xét: Như cách giải tốn khơng có khác so với cách giải tốn trước Từ cách giải nhận xét trên, em tự đặt tốn tương tự giải khơng khó khăn * Khai thác toán: Ta xét toán theo khía cạnh khác, chẳng hạn: Chứng minh: A = + + +………… + < B = + + +……….+ < (Bài tập 347 – BT nâng cao toán Bùi Văn Tuyên, NXB GD 2003) Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trường hợp cụ thể toán Như từ cách giải tốn ta tính nhanh chóng giá trị biểu thức A Đối với tổng B, tử phân số 36, mà 36 = 9.4, cách tính tổng B cho khơng khác cách tính tổng S Từ nhận xét trên, ta có: A = (- + - + + ……+ - ) = ( - ) = = Do < = suy A < B = 9( + + + ……+ ) = 9( - + - + - + ……+ - ) = 9( - ) = = Do < = Từ suy B < Nhận xét: kết rút gọn tổng A = , Tổng B= thực phép chia ta suy điều phải chứng minh Tuy nhiên, cách so sánh cho ta kết rõ ràng (một cách so sánh phân số nêu sách BT toán tập 2) Qua nội dung toán trên, kết hợp với tốn giải, em lại đặt toán tương tự để giải Trở lại toán1: Bây ta lại xét toán theo nội dung khác, chẳng hạn: Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 13 Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: BÀI TỐN 6: Tìm số tự nhiên x, biết: + + + +…… + = (*) * Tìm hiểu tốn: Bài tốn yêu cầu tìm số tự nhiên x từ đẳng thức, vế trái đẳng thức dãy cộng phân số có tử mẫu số tự nhiên khác nhau, phân số cuối dãy có mẫu dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp giống tổng C toán 1; vế phải đẳng thức phân số có tử nhỏ mẫu đơn vị * Tìm lời giải: Trước hết để ý mẫ số: = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;………như mẫu phân số vế trái đẳng thức cho tích hai số tự nhiên liên tiếp Dãy cộng tổng C tốn1 Từđó suy cách giải * Cách giải: Ta có: + + + +…… + = + + + …… + = - + - + - + …… + =1Vậy (*) 1 - = = = => x +1= 2005 hay x = 2004 * Khai thác toán: Ta giải tốn tìm x khơng khó khăn cách áp dụng cách giải toán Bây ta thay đổi mẫu phân số vế trái đẳng thức (*) theo quy luật khác, chẳng hạn: Thay phân số phân số , phân số phân số , phân số phân số , ……… Khi ta lại có tốn sau: BÀI TỐN 7: Tìm số tự nhiên x, biết: + + + + …… + = (**) * Tìm hiểu bái tốn: Giống tốn , tốn u cầu ta tìm x, vế trái (**) khác vế trái (*) chỗ phân số cuối lại có tử cịn mẫu số dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp Vấn đề làm để đưa phân số vế trái (**) thành phân số vế trái (*)? * Tìm lời giải: Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 14 Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: Xét phân số Ta có : = = 2( - ) Như ta phải biến đổi phân số ; ; ; ; … thành phân số có tử mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp Để ý, ta có: = ; = = ; = = ; = = ;….(Áp dụng tính chất phân số) Đến ta dễ dàng suy cách giải toán * Cách giải: Ta có: + + + + ….+ = + + + + …… + = + + + + …… + = 2.( + + + + …… + ) = 2.( - + - + - + - +…… + - ) = 2.( - ) Vậy (**) 2( - ) = => - = : = => = - = => x+1 = 4010 hay x = 4010 – = 4009 Nhận xét: Cách giải tốn tìm x khơng khác so với cách giải tốn giải trước Nếu tiếp tục sử dụng kết toán trước em lại có tốn tương tự khác, chẳng hạn: + + + …… + = ,…( phân số tuỳ y ù) Để ý rằng, tất toán giải sử dụng đẳng thức (1) – Đó “chìa khố ” quan trọng giúp ta khơng gặp khó khăn tính giá trị biểu thức, chứng minh, hay tìm thừa số x đẳng thức Hãy thử với toán sau xem “chìa khố ” có cịn “mở” tiếp khơng? BÀI TỐN 8: Tính nhanh tổng sau: P = + + + + …… + * Tìm hiểu toán: Khác với toán trên, toán tính nhanh tổng phân số có tử 1, mẫu phân số tổng có số mũ khác (Từ đến n) Vậy làm để tính nhanh áp dụng (1) khơng? * Tìm lời giải: Để ý, ta có: = – = – = = - = = = - = = = - = - ; ………; = * Cách giải: P = + + + + …… + Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 15 Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: = (1- ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + …… + ( - ) = - + - + - + - + …… + Vậy P = Như vậy, để giải toán ta tách phân số thành hiệu hai phân số thu dãy cộng, trừ phân số đối giống quy luật toán nhanh chóng tính giá trị P Nếu để ý ta lại có cách giải khác sau: Ta có: + = + = = - = + + = + = = 1- = 1+ + + = + = = 1- = 1………………………………… + + + + …… + + = Đây cách giải suy luận phổ biến áp dụng cho nhiều dạng tập chương trình hành (bài tập 66 trang 29, 72 trang 31 SGK toán tập 1; Hay 113, 114 SBT toán tập trang 19,…) Mặt khác, tiếp tục để ý ta có cách giải khác độc đáo áp dụng từ cách giải dạng tập phổ biến – So sánh, chẳng hạn: Bài tập 210* SBT toán trang 27 tập “Tổng A = +22 + 23 + … + 210 có chia hết cho khơng?” Để giải tốn này, ngồi cách áp dụng tính chất kết hợp phép cộng tính chất phân phối phép nhân phép cộng, ta xét hiệu sau 2A – A (bằng A) Khi đó, dễ dàng tìm giá trị A Hãy thử áp dụng cách với P Ta có: 2P = + + + + …… + + = + + + + + …… + + => 2P - P = + + + + …… + + - (+ + + +…+ + ) P =1Nhận xét: Cách giải giúp ta tính tổng P khơng khó khăn, 2P – P = P Với cách giải ta lại có vơ số tốn tương tự, chẳng hạn: BÀI TỐN 9: Tính tổng Q = + + + + …… + R = + + + + …… + ; v v… Áp dụng cách ta có: 3Q = + + + + …… + = + + + + + …… + 3Q - Q = 1+ + + + + …… + - ( + + + +…… + ) Q = - (Cách tính R tương tự ) * Khai thác tốn: Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 16 Sáng kiến kinh nghiệm Toán Môn: Nếu ta suy xét tốn theo hướng khai thác tốn ta có: P = + + + + …… + + < V ì P = Hãy xét tiếp toán sau: BÀI TOÁN 10: Ch ứng minh + + + + …… +