CHUY£N §Ị THĨ TÝCH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN : Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dương có tính chất sau : a. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau . b. Nếu một khối đa diện được phân 1 Đònh nghóa chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó . c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1 . 2 Thể tích của kh ối h 3 đáy ĐL : V = abc với a,b,c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. ĐL : V = a vớ ộp chữ nhật 3 Thể tích của khối chóp i a là cạnh của hình lập phương 1 ĐL : V .S .h với h là chiều 3 = đáy cao ĐL : V 4 Thể tích S .h của khối lă với h là ch ng trụ iều cao= B. VÍ DỤ Vấn đề 1 : THỂ TÍCH KHỐI HỘP 1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 2 , chiều dài bằng 3 và chiều cao bằng 4 . Giải Ta có : V = 2.3.4 = 24 2 2 2 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo của hình hộp hợp với mặt đáy một góc 30 . Giải ABC vuông tại B nên AC AB∆ = + o g · · 2 (ABCD) (ABCD) BC 1 3 4 AC 2 Ta có : C'C (ABCD) C = hc C' AC = hc AC' (AC';(ABCD)) C'AC 30 1 2 Vì C'AC vuông tại C nên C'C = AC.tan30 2. 3 3 2 Ta có : V = AB.BC.C'C = 1. 3. = 2 3 = + = ⇒ = ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ = = ∆ = = o o g 3 Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là 2 . Thể tích bằng 64 . Tìm các kích thước đó . Giải Gọi kích thước nhỏ nhất là x với x 3 3 3 > 0 thì ba kích thước của hình hộp chữ nhật là x , 2x , 4x . Vì : V = x.2x.4x = 8x . Theo đề : V= 64 8x 64 x 8 x 2 (nhận) Vậy : Ba kích thước cần tìm là 2,4,8 . ⇔ = ⇔ = ⇔ = - 1 - 2 4 Tính thể tích của khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 . Giải Gọi a là cạnh của hình lập phương ta có diện tích của một mặt của hình lập phương là a Theo đề : Tổ 2 2 3 3 ng diện tích các mặt bằng 24 hay S = 6a 24 a 4 a 2 Vậy thể tích của hình lập phương là V = a = 2 8 = ⇔ = ⇔ = = 5 Các đường chéo của các mặt bên của một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13 . Tính thể tích hình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hộp đó . Giải Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' có AC = 5,AB' 10,AD' 13 . Đặt :AB a,AD b,AA' c ta có : a b AC 5 a 1 b c AD' 13 b 2 c 3 c a AB' 10 Vậy thể tích của kh = = = = =  + = =  =    + = = ⇔ ⇔ =     = + = =    ối hộp chữ nhật là V= abc = 1.2.3 = 6 6 Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm. Khi đó tính độ dài cạnh của hình lập phương . Giải Gọi a (với a > 0) là cạnh của hình lập 3 3 3 3 2 phương . Khi đó thể tích của hình lập phương là V = a . Thể tích của hình lập phương khi cạnh tăng thêm 2cm là V' = (a+2) a 3 (nhận) Theo đề : V' V = 98 (a+2) a 98 a 2a 15 0 a 5 = − ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − (loại) Vậy cạnh của hình lập phương đã cho là a = 3cm    7 Đáy của hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp . Tính thể tích của hình hộp . Giải ABCD là hình thoi cạnh o g · a và BAD 60 ABD là tam giác đều cạnh a BD a a 3 AC 2AO 2. a 3 2 Theo đề : Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp nên AC = B'D = a 3 B'BD vuông tại B nên = ⇒ ∆  =  ⇒  = = =   ∆ o g g 2 2 2 2 2 2 3 ABCD ABD BB' B'D BD 3a a a 2 a 3 a 6 Vậy V= S .BB' 2.S .BB' 2. .a 2 4 2 = − = − = = = = 8 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp. Giải Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' . Kẻ A'K AB và A'H (ABCD) suy ra A'H BD ⊥ ⊥ ⊥ o · · (1) Vì BD AC,BD A'C' nên BD (AA'C'C) (2) Từ (1),(2) suy ra H AC . 1 A'KA vuông tại K có A'AK 60 nên AK = a 2 a 3 AKH vuông tại K có AKH 30 nên AH = 3 a 6 A'H . 3 ABD là tam giác ⊥ ⊥ ⊥ ∈ ∆ = ∆ = ⇒ = ∆ o o g g g 2 ABD a 3 đều cạnh a nên S 4 = 2 3 ABCD ABD a 3 a 6 a 2 Vậy V = S .A'H 2S 'A'H 2. . 4 3 2 = = = 9 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối h o o · · ABCD ộp . Giải Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' với BAD 45 . Kẻ A'H (ABCD) tại H thì A'AH 45 2 Ta có : S AB.AD.sin45 6.6. 18 2 2 10 2 A'HA vuông cân tại H nên A'H = 5 2 2 Vậy thể tích hình = ⊥ = = = = ∆ = o o o 2 ABCD hộp là V = S .A'H 18 2.5 2 180(cm )= = 10 Với một tấm bìa hình vuông , người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm , rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp . Nếu dung tích của cái ho 3 äp đó là 4800cm , hãy tính độ dài cạnh của tấm bìa . Giải Gọi x là cạnh của tấm bìa ( x > 24) Khi gấp lại ta được một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông có cạnh x 24 − 2 2 2 và chiều cao h = 12 Khi đó thể tích hình hộp là V = (x 24) .12 x 44 (nhận) Theo đề : V = 4800 (x 24) .12 4800 (x 24) 400 x 24 20 x 4 (loại vì x > 24) Vậy cạnh tấm bìa có độ dài 44 −  = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔  =  cm · ABD 11 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy (ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp . Giải ABD là tam giác đều cạnh a nên S = α ∆ o g 2 2 2 ABCD ABD 2 3 ABCD a 3 4 a 3 a 3 S 2.S 2. 4 2 ABB' vuông tại B nên BB' = AB.tan atan a 3 3 Vậy thể tích của hình hộp là V = S .BB' .atan a tan 2 2 = ⇒ = = = ∆ α = α = α = α g Vấn đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 1 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh bằng a . Giải Gọi khối tứ diện đều đã cho là ABCD . Khi đó ta coi đó chính là khối chóp A.BCD . Kẻ AH (BCD) tại H thì là tâm của tam ⊥ 2 2 2 2 2 2 ABCD A.BCD giác đều BCD ( tâm của đường tròn ngoại tiếp ) 2 2 a 3 a 3 Gọi M là trung điểm BC . Ta cóù : AH = AM . 3 3 2 3 AHD vuông tại H nên : a 3 3a a 6 AH = AD AH a ( ) a 3 9 3 Vậy : V V = = ∆ − = − = − = = = 2 3 BCD 1 1 a 3 a 6 a 2 .S .AH . . 3 3 4 3 12 = = Tứ diện có thể coi là một khối chóp theo 4 cách khác nhau . Chú ý Lấy 1 đỉnh là : m chu( ẩn ) 3 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp . Giải Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là o · · · (ABC) (ABC) S.ABC nên SA = SB = SC . Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC . Gọi M là trung điểm BC . Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH 60 SHA vuông tại H có SAH 60 nên A ⊥ ⇒ ⇒ = = ∆ = o o 2 ABC ABC 1 H = SA.cos60 2. 1 , 2 2 3 3 SH = AH.tan60 3 . Mặt khác : AH = AM AM .AH 3 2 2 2.AM 2 3 Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . 3 2 3 3 AB . 3 3 3 S 4 4 1 Vậy thể tích của khối chóp là V = .S . 3 = = = ⇒ = = ∆ = = ⇒ = = o o 1 3 3 3 SH . . 3 3 4 4 = = 4 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 5 và các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 . Tính thể tích của khối chóp . Giải Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là o (ABCD) (ABCD) S.ABC nên SA = SB = SC . Kẻ SH (ABCD) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC . Gọi N là trung điểm AB . Khi đó : CH AB hay NH AB (1) Vì H = hc S NH = hc NS nên theo đlí ba đư ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ · · 2 2 2 2 2 ờng vuông ta có SN AB (2) Từ (1),(2) ((SAB);(ABCD)) SNH 45 SNH vuông tại H , ta có : SH = NH.tan45 NH SHC vuông tại H , ta có : SC = SH HC 5 NH (2NH) NH 1 Do đó : SH = NH = 1 . Vì A ⊥ ⇒ = = ∆ = ∆ + ⇔ = + ⇔ = ∆ o o 2 2 ABC ABC BC đều có đường cao CH nên CH = 3NH = 3 . AB. 3 2CH 6 Mà CH = AB 2 3 2 3 3 AB . 3 (2 3) . 3 S 3 3 4 4 1 1 Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .3 3.1 3 3 3 ⇒ = = = ⇒ = = = = = 5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp . Giải Gọi M là trung điểm BC , vì ⊥ α ∆ · · đl3đ (ABC) ABC đều nên AM BC (1) Do AM = hc SM,AM BC SM BC (2) Mặt khác : (SBC) (ABC) = BC (3) Từ (1),(2),(3) ((SBC);(ABC)) = SMA ⊥ ⊥ ⊥ → ⊥ ∩ ⇒ = α a 3 SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = .tan 2 ∆ α α 2 3 ABC 1 1 a 3 a 3 a Vậy thể tích hình chóp là V= .S .SA . . .tan tan 3 3 4 2 8 = α = α 6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp . Giải Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S. α · · · (ABC) (ABCD) ABC nên SA = SB = SC . Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC . Gọi M là trung điểm BC . Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH SHA vuông tại H có SAH nên AH = S ⊥ ⇒ ⇒ = = α ∆ = α 2 2 2 ABC A.cos a.cos . SH = AH.tan acos .tan asin . 2 3 3 Mặt khác : AH = AM AM .AH acos 3 2 2 2.AM 2 3 Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos 2 3 3 ( 3acos ) . 3 3 3a cos S 4 4 Vậy thể tích α = α α = α α = α ⇒ = = α ∆ = α = α α α ⇒ = = 2 2 3 2 ABC 1 1 3 3a cos 3 của khối chóp là V = .S .SH . .asin a cos sin 3 3 4 4 α = α = α α a 3 7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và 2 mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) . b o ) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) . c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC Giải a) Dựng SH (ABC) a 3 Ta có : SA = SB = SC = HA = HB = HC 2 H là tâm của đường tròn ngoại ⊥ ⇒ ⇒ · · · · 2 2 2 2 2 2 (ABC) (ABC) tiếp ABC Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC . a 3 a 3a a 2 Do SH SB HB ( ) ( ) SH 2 2 4 2 b) Do SH (ABC) H hc S AH hc AS (SA;(ABC)) SAH 60 SH SAH vuông tại H nên tanSAH 2 SAH AH ∆ ∆ = − = − = ⇒ = ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ∆ = = ⇒ o acrtan 2= c) Gọi M là trung điểm AB · · (ABC) (ABC) đlí 3 đ 2 Do SH (ABC) H hc S MH hc MS mà HM AB (1) vì HM // AC MS AB (2) Từ (1),(2) (SA;(ABC)) SAH 60 a 2 1 a 6 a 6 SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60 . AC 2MH , 2 6 3 3 MB HB MH ⊥ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⊥ → ⊥ ⇒ = = ∆ = = ⇒ = = = − o o 2 2 2 a a 6 a 3 a 3 ( ) ( ) AB 2MB 2 6 6 3 = − = ⇒ = = 2 2 3 ABC ABC 1 1 a 3 a 6 a 2 1 1 a 2 a 2 a S .AB.AC . . V .S .SH . . 2 2 3 3 6 3 2 6 2 12 ⇒ = = = ⇒ = = = 8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC . a) Tính thể tích khối chóp ∆ 2 3 S.ABC ABC S.ABC . b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') . c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' . HD 1 1 a a a) Ta có : V .S .SA .a. 3 3 2 6 b) Ta có : BC AB BC (SAB) BC AB' (1) BC SA SAB c = = =  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  ∆ S.AB'C' AB'C' ân tại A nên SB AB' (2) Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC . Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C') c) Ta có 1 1 V .SC'.S .SC'.AB'.B'C' 3 6 SAB vuông cân tại A, ta có : SB = a 2,AB' ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ = = ∆ =g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 a 2 SB' SB 2 2 SAC vuông cân tại A, ta có : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3 SA a a 3 SA SC'.SC SC' SC 3 a 3 a 2 B'C' SB' 6 a 6 2 B'C' BC SC 6 6 a 3 1 a 3 a 2 a 6 a Vậy V = . . . 6 3 2 6 36 = = ∆ + = + + = ⇒ = = ⇒ = = = = = = ⇒ = = g 9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 . Giải Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD . Ta có : SH (AB⊥ 2 2 2 ABCD 1 CD) tại H và AH = AC 2 2 Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3 1 1 Vậy V = .S .SH .2 .3 4 3 3 = ∆ − = − = = = 10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó . SCD 2 2 Giải Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt đáy ABCD và M là trung điểm của CD. Cạnh đáy : a = 4 2 1 Mặt bên : S 2 .CD.SM 2 SM 2 2 Chiều cao : SH = SM HM 2 1 1 = = ⇔ = ⇔ = − = − = g g g ABCD 1 1 4 Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .4.1 3 3 3 = = 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . G ⊥ o · · (ABCD) (ABCD) 2 2 ABCD ABCD iải Vì SA (ABCD) A = hc S AC = hc SC (SC;(ABCD)) SCA 30 3 2 3 SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 2. 2 3 AC S AB ( ) 2 2 1 1 2 3 4 3 V = .S .SA .2. 3 3 3 9 ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ = = ∆ = = ⇒ = = = = = o o g g 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a . a) Tính diện tích SBD theo a . b) Chứng minh rằng : BD SC . c) Tính góc tạo ∆ ⊥ bởi SC và mặt phẳng (SBD) . d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD . BCD 2 2 2 2 2 BCD Giải a) Ta có : SA (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD . 1 Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S .BD.SH 2 a 2 a 6 1 a 6 a 3 ASH vuông tại A : SH SA AH a ( ) = S .a 2. 2 2 2 2 2 ⊥ ⊥ ⊥ = ∆ = + = + ⇒ = = g g · · (SBD) BD AC ( hai đường chéo hình vuông) b) Ta có : BD (SAC) mà SC (SAC) nên BD SC BD SA ( vì SA (ABCD)) c) Kẻ CK SH thì CK BD ( do BD (SAC)) CK (SBD) K= hc C (SC;(SBD)) = CSH Áp dụng đlí  ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⊥  ⊥ ⊥  ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⇒ · · · 2 2 2 3 2 ABCD hàm số cosin trong SCH ta được : 2 2 2 2 HC SH SC 2SH.SC.cosHSC cosHSC HSC acr cos . 3 3 1 1 a d) V = .S .SA .a .a 3 3 3 ∆ = + − ⇒ = ⇒ = = = 12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a . a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a . b) Tính cosin của góc nhò diện (SBA,SAD) . 2 2 2 tp ABCD SAB 3 2 2 2 2 2 ABCD HD a 3 a) S S 4.S a 4. (1 3)a . 4 1 a 2 a 2 1 a 2 a 2 V = .S .SH , ta có : SH = SA HA a ( ) V= .a . = 3 2 2 3 2 6 = + = + = + − = − = ⇒ g g · b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhò diện (SAB,SAD) . ⊥ ⊥ ⇒ α · · · 2 2 2 2 2 2 2 Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được : 3a 3a 3a 1 BD MB MD 2MB.MD.cosBMD 2a 2. .cosBMD cosBMD 4 4 4 3 ∆ = + − ⇒ = + − ⇒ = − 13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều . HD Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và α · · · · 3 2 ABCD mặt đáy là hình vuông ABCD có tâm H . Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH a 2 Xét SAH vuông tại H nên SH = AH .tan tan 2 1 1 a 2 a 2 Vậy V = .S .SH .a . tan tan 3 3 2 6 = = = = α ∆ α = α = α = α 14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều . α · 2 3 ABCD HD Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH a SH HM.tan tan 2 1 1 a 1 V .S .SH .a . tan a tan 3 3 2 6 = α = α = α = = α = α · 15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và . HD Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB = α α đlí 3 đ (ABCD) (ABCD) 2 2 2 2 2 2 2 . Khi đó : SH (ABCD) và HM AB . Vì H = hc S HM= hc SM SM AB a a SMA vuông tại M nên SH SM HM ( tan ) 2 4 a a (tan 1) SH ta 4 2 ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ → ⊥ ∆ = − = α − = = α − ⇒ = 2 3 2 2 2 ABCD 2 n 1 1 1 a a Vậy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1 3 3 2 6 Với điều kiện tan 1 0 4 2 α − = α − = α − π π α − > ⇔ < α < 16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng .α · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 HD Gọi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC : BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin sin 1 cos BC 2SB (1 cos ) cos cos β ∆ ∆  = − β ⇔ = β ⇒ β = − α  = − α ⇔ α = β   g 2 2 2 2 2 2 2 ABCD 2 1 cos 1 cos S BC 2HB 2a tan 2a . 2a . cos cos − β − α = = = β = = α β g 2 2 2 2 2 3 ABCD 4a sin 2 S = cos 4a sin sin 1 1 4a 2 2 V = .S .SH . .a . 3 3 cos 3 cos α ⇒ α α α = = α α g 17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a . Giải Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình vuông BCDE có cạnh bằng a . Vì mặt BCDE chia khối tám mặ 3 2 ABCDEF ABCDE BCDE t đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a 2 a 2 V = 2.V 2. .S .AO 2. .a . 3 3 2 3 = = = 18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của các mặt hình lập phương . Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD a 2 có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng 2 Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh : ∆ 2 2 2 2 3 2 ABCDEF A.BCDE BCDE a a a 2 AB = OA OB ( ) ( ) 2 2 2 Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a 2 a a V = 2.V 2. .S .AO 2. .( ) . 3 3 2 2 6 ( xem hình bài 17 ) + = + = = = = 19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đều . Giải . Khối tám mặt đều được tạ a o thành có các cạnh bằng nhau và bằng 2 Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC . Khi đó : PQ vuông góc với AB, CD . Tam giác APQ vuông tại P . Ta có : PQ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ABCDEF a 3 a a 2 AQ AP ( ) ( ) 2 2 2 a PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ 2 a a a 2 RP cạnh RP = đường cao AO = . 4 2 4 Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên : V = 2 − = − = ∆ + ⇔ = = ⇒ = ⇒ ⇒ 3 2 A.BCDE BCDE 1 1 a a 2 a 2 .V 2. .S .AO 2. .( ) . 3 3 2 4 24 = = = · a 5 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD. 2 a) Tính thể tích của khối chóp . = o tp b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) . c) Tính S của hình chóp . Giải a) Gọi O = AC BD ⊥ ∩ [...]... Chứng minh : tan 2α + tan 2β = 1 Giải a) Gọi H là trung điểm của BC ∆ABC cân tại A nên AH ⊥ BC (1) Mặt khác : AI ⊥ (ABC) ⇒ A = hc(ABC)I ⇒ AH = hc(ABC)IH (2) Từ (1) , (2) suy ra : IH ⊥ BC ( Đlí 3 đường ⊥ ) ⇒ ∆BIC vuông tại I , có đường cao IH vừa là trung tuyến nên cân tại I AH 2AH = BH BC · Mặt khác : C = hc(ABC)C' ⇒ BC = hc(ABC)BC' ⇒ C' BC = β b) ∆AHB vuông tại H cho tanα = ∆BCC' cho tanβ = CC' AA... (A'AB) Mặt khác : AN ⊥ CA' ( do CA' ⊥ (AMN)) Suy ra : AN ⊥ A'B (đlí 3 đường ⊥ ) c) Ta có : VA '.AMN = VM.AA ' N = VM.AA ' B ( Vì NB//AA') = VC.AA ' B ( do MC//(AA'B)) = a3 d) SAMN = 3.VA '.AMN A'I 3a3 = = (3a)2 a2 14 3 a2 + (2a)2 + (3a)2 11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BB'C'C) bằng ϕ a 3 2sin ϕ b) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ... b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy 30 2 2 · b) Sxq = 2(1 + 3) c) SCA = arctan 3 10 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=AB= a a) Tính diện tích ∆SBD theo a b) Chứng minh rằng : BD ⊥ SC · c) Tính (SC,(SBD)) Đáp số : a) V = d) Tính thể tích hình chóp a2 3 2 2 a3 · c) HSC = arccos d) VS.ABCD = 2 3 3 11... a) Tính độ dài đoạn thẳng AC′ b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho Giải a) Tính AC' g∆ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60o = a 3 gTa có : AB ⊥ AC,AB ⊥ AA' ⇒ AB ⊥ (AA'C'C) ⇒ A= hc(AA 'C' C)B · · ⇒ AC'= hc BC' ⇒ (BC';(AA 'C'C)) = BC' A = 30o (AA 'C'C) ∆AC'B vuông tại A ⇒ AC' = AB tan30o = a 3 1/ 3 = 3a b) gAA'= AC'2 − A 'C'2 = (3a)2 − a2 = 2 2a gSABC = a2 3 2 Vậy : VABC.A′B′C′ = AA '.SABC = 2 2a a2... vuông tại I nên A'I = AI.tanA ' IA = 3= 2 2 2 3 3a a 3 3 3a Vậy : V = A'I.SABC = = 2 4 8 9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ Giải... BC = β b) ∆AHB vuông tại H cho tanα = ∆BCC' cho tanβ = CC' AA ' = BC BC Mặt khác : ∆IAH vuông tại H cho IA 2 + AH 2 = IH2 ⇒ Chia hai vế cho AA '2 BC2 + AH2 = 4 4 BC2 AA '2 4AH2 ta được : + = 1 ⇔ tan 2 α + tan 2 β = 1 2 2 4 BC BC Vấn đề 4 : TỈ SỐ THỂ TÍCH 1 (Bài 23-P29 SGK)Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V và V' lần lượt là thể... Ta có : Từ đó ta có : A'O = AO.tan60o = AO 3 = Sxq = 2.SAA ' B' B + SBB'C'C = 2.A ' H.AB + BB'.BC = a2 3 (2 + 13 ) 3 10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB b) Chứng minh rằng : AN ⊥ A'B c) Tính thể tích khối tứ... 289 ⇒ x + y = 17 → Vậy : Sxq = CVi đáy × cạnh bên = (17+13) × 20 = 600cm 2 Stp = Sxq + 2.Sđáy = 600 + 2.30 = 660cm 3 3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện tích xung quanh bằng 480 Tính thể tích của khối lăng trụ Giải Chu vi đáy của khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 ⇒ p = 40 480 Chiếu cao của khối lăng trụ : h = =6 80 Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy của... 5 (Bài 16-P28 SGK) Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước Giải Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = kCE Hạ AM , AN lần lượt vuông góc với mp(BDE) tại M và N 1 VA.BDE 3 AM.SBDE AM AE Khi đó : = = = =k VC.BDE 1 CN CE CN.SBDE 3 5 (Bài 24-P29 SGK) Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC... phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giải a3 3 4 Gọi I là giao điểm của đường thẳng MB' và đường thẳng AA' , N là giao điểm của IC' và AC Thiết diện của khối lăng trụ khi cắt bởi mp(B'C'M) là hình thang cân B'C'NM Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 là thể tích của phần chứa cạnh AA' và V2 là thể tích phần còn lại Gỉa sử khối lăng trụ có đáy là S và chiều cao AA' = h Khi . α 2 2 2 ABC A.cos a.cos . SH = AH.tan acos .tan asin . 2 3 3 Mặt khác : AH = AM AM .AH acos 3 2 2 2.AM 2 3 Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos 2 3 3 ( 3acos ) . 3 3 3a cos S 4 4 Vậy. đl cosin vào SBD và SBC : BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin sin 1 cos BC 2SB (1 cos ) cos cos β ∆ ∆  = − β ⇔ = β ⇒ β = − α  = − α ⇔ α = β   g 2 2 2 2 2 2 2 ABCD 2 1 cos 1 cos S BC 2HB 2a tan. M nên SH SM HM ( tan ) 2 4 a a (tan 1) SH ta 4 2 ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ → ⊥ ∆ = − = α − = = α − ⇒ = 2 3 2 2 2 ABCD 2 n 1 1 1 a a Vậy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1 3 3 2 6 Với điều kiện tan 1 0 4 2 α − = α