Bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht ca mt biu thc bng cỏch cõn i biu thc. Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dơng thoả mãn điều kiện: 1x y z+ + = (1) tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 P x y z = + + (2). Bài này dễ dàng nhìn ra cách giải. Xét 9P + = 1 1 1 9( )x y z x y z + + + + + = 1 1 1 9 9 9 18x y z x y z + + + + + ữ ữ ữ . Dấu bằng khi 1 3 x y z= = = . Bài 2: Ta hãy nhìn nhận bài tập này ở góc khác nếu thay đổi các hệ số của x, y, z ở tổng 1 2 3 1 1 1 P a x a y a z = + + ta có giá trị nhỏ nhất của tổng P đợc xác định nh thế nào? Trớc hết nhìn lại bài 1 ta thấy vai trò của x, y, z trong cả hai biểu thức (1) và (2) đều bình đẳng nên nếu đạt đợc GTNN thì 1 3 x y z= = = . Hãy thử với a 1 = 16; a 2 = 4; a 3 = 1. Nếu lúc này thử theo hớng chọn hệ số? Nếu thử với 1 3 x y z= = = không đạt đợc yêu cầu. Hãy cân đối dới dạng: ( ) 1 2 3 1 1 1 P x y z a x a y a z + = + + + + + . Vấn đề đặt ra cần đạt đợc dấu bằng sau khi đánh giá bới BĐT Cosi có dấu bằng tơng ứng với tổng 1x y z+ + = . Chọn 49 16 = có ( ) 49 1 1 1 49 1 49 1 49 1 49 ( ) ( ) ( ) 16 16 4 16 16 16 4 16 16 P x y z x y z x y z x y z + = + + + + + = + + + + + . Có : 2 1 49 49 14 2 16 16 16 16 x x + = ; 1 49 49 14 2 4 16 16.4 8 y y + = ; 1 49 49 14 2 16 16 4 z z + = . 49 98 49 16 16 16 P P+ Dấu bằng khi và chỉ khi; 2 2 2 1 49 1 1 16 16 49 7 1 49 4 2 4 16 49 7 1 49 16 4 16 49 7 1 x x x x y y y y z z z z x y z = = = = = = = = = + + = . Gía trị nhỏ nhất của P là 49 max 16 P = đạt khi ( ) 1 2 4 ; ; ; ; 7 7 7 x y z = ữ . Vấn đề đặt ra chọn nh thế nào? Nếu tổng 2 1 2 3 1 1 1 1x y z a a a + + = = + + ữ ữ ; NÕu tæng 2 2 1 2 3 1 1 1 1 x y z a a a β α β   + + = ⇒ = + +  ÷  ÷   . Nh vËy cã thÓ gi¶i quyÕt bµi tËp tæng qu¸t khi hÖ sè cña (1) nh nhau. Bµi tËp ¸p dông: 1)Tìm gía trị nhỏ nhất cuả: 2 2 2 1 1 1 2 32 P x y z = + + biÕt x, y, z lµ c¸c sè thùc kh¸c kh«ng tho¶ m·n 2 2 2 4 2 5x y z+ + = + . Ta có: 2 2 1 1 1 32 2 2 x x + ≥ dấu bằng đạt được khi và chỉ khi 2 4 2 2 1 1 32 4 2 32 x x x x = ⇔ = ⇔ = 2 2 1 1 1 2 32 4 y y + ≥ dấu bằng đạt được khi và chỉ khi 2 4 2 2 1 1 16 4 2 32 y y y y = ⇔ = ⇔ = . 2 2 1 1 1 32 32 16 z z + ≥ dấu bằng đạt được khi và chỉ khi 2 4 2 2 1 1 1 1 32 32 z z z z = ⇔ = ⇔ = . Khi đó ( ) 4 2 5 32 P + + ≥ 4 2 5 16 + ⇒ ( ) 4 2 5 32 P + ≥ dấu bằng đạt được khi và chỉ khi. 2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 4 2 5 x y z x y z  =  =   =   + + = +  2 2 2 4 2 4 1 x y z  =   ⇔ =   =   2)Tìm gía trị nhỏ nhất cuả: 1 1 1 3 2 P x y z = + + biÕt x, y, z lµ c¸c sè thùc dương kh¸c kh«ng tho¶ m·n 3 2 x y z+ + = 3. đặt X = 3 2 x; Y = y; Z= z thì 3x = 2X; 2y = 2Y; z = Z và 3X Y Z+ + = thì 1 1 1 2 2 P X Y Z = + + . 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 9 2 9 2 9 9 P X Y Z X Y Z + + + + + = + + + + + . Có ( ) 2 2 1 1 3 2 2 2 9 3 X X + + + ≥ dấu bằng đạt được khi và chỉ khi 1 3 2 2 2 9 X X + = ⇔ ( ) 3 2 2 1 X = + ( ) 2 2 1 1 3 2 2 2 9 3 Y Y + + + ≥ dấu bằng đạt được khi và chỉ khi 1 3 2 2 2 9 Y Y + = ⇔ ( ) 3 2 2 1 Y = + 1 3 2 2 9 Z Z + + ≥ ( ) 2 2 1 3 + dấu bằng đạt được khi và chỉ khi 1 3 2 2 9 Z Z + = ( ) 3 2 1 Z⇔ = + Từ đó ta có ( ) 5 3 2 2 3 P + ≥ dấu bằng đạt được khi và chỉ khi ( ) 3 2 2 1 X Y= = + ; ( ) 3 2 1 Z = + và 3X Y Z+ + = Vậy Min ( ) 5 3 2 2 3 P + = đạt khi ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 X Y Z   =  +   =  +    =  +  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 x y z   =  +   ⇔ =  +    =  +  _____________________________________________________________________ . hai biểu thức (1) và (2) đều bình đẳng nên nếu đạt đợc GTNN thì 1 3 x y z= = = . Hãy thử với a 1 = 16; a 2 = 4; a 3 = 1. Nếu lúc này thử theo hớng chọn hệ số? Nếu thử với 1 3 x y z= = = không