VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. Một số kiến thức đã học (trong mặt phẳng): 1/ Quy tắc 3 điểm 2/ Hiệu hai véc tơ 3/ Quy tắc hình bình hành 4/ Quy tắc trung điểm 5/ Trọng tâm tam giác 6/ Điều kiện để hai véc tơ cùng phương 7/ Hai véc tơ bằng nhau 8/ Tích vô hướng của hai véc tơ 9/ Góc giữa hai véc tơ 10/ Điều kiện hai véc tơ vuông góc Mọi kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng đều đúng trong không gian II. Các kiến thức mới (trong không gian): 1/ Quy tắc hình hộp 2/ Sự đồng phẳng của ba véc tơ a/ Định nghĩa b/ Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN, ĐẲNG THỨC VỀ VÉC TƠ Bài 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ Nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 1/ GA + GB + GC + GD = 0 2/ OA + OB + OC + OD = 4 OG ( O là điểm tùy ý) Bài 2. Trong không gian cho 4 điểm tùy ý A, B, C, D. Chứng minh rằng: . . . 0AB DC BC DA CA DB+ + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Bài 3. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R thứ tự là trung điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ thứ tự là giao điểm của các đường chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’. Chứng minh rằng: 1/ 0''' =++ RRQQPP 2/ Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng trọng tâm DẠNG 2. CHỨNG MINH BA ĐIỂM PHÂN BIỆT THẲNG HÀNG Phương pháp: Để CM ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh: Cách 1. A, B, C phân biệt thẳng hàng ⇔ CDkAB = Cách 2. A, B, C phân biệt thẳng hàng, O là điểm tùy ý ⇔ OBnOAmOC += , với m + n =1 Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọ G, G’ lần lượt là trộng tâm tứ diện ABCD và tam giác BCD. Chứng minh rằng: A, G, G’ thẳng hàng Bài 2. Chứng minh lý thuyết (cách 2) DẠNG 3. CHỨNG MINH BA VÉC TƠ (HAY BỐN ĐIỂM) ĐỒNG PHẲNG Phương pháp: Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta có thể CM: Cách 1. A, B, C, D đồng phẳng ADACAB ,, ⇔ đồng phẳng ⇔ nm,∃ sao cho ADnACmAB += Cách 2. A, B, C, D đồng phẳng (O là điểm tùy ý) ODpOCnOBmOA ++=⇔ , với m+n+p=1 Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Ba điểm M, N, P trong không gian thỏa mãn: OCOBtOAOM 2. −+= OCOBOAtON +++= 2)1( OCOAtOP 2)2( +−= 1/ Xác định t để ba véc tơ OM , ON , OP đồng phẳng 2/ Khi t=0, hãy biểu diễn véc tơ OCOBOAv 15.105 −+= Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là bốn điểm lấy trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BB’, A’C’. K là điểm trên B’C’ sao cho KBKC 2' −= . Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng DẠNG 3. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG, ĐƯỜNG THẲNG //MP Phương pháp: 1/Để CM hai đường thẳng AB, CD song song với nhau ta chứng minh đồng thời: +) Hai véctơ AB uuur và CD uuur cùng phương +) Hai đường thẳng AB, CD // 2/CM đường thẳng AB//mp(P) ta làm như sau: +)Trong mp(P) lấy hai véctơ ,a b r r không cùng phương +)CM các véctơ AB uuur , ,a b r r không đồng phẳng và AB không có điểm chung với mp(P) Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có , ' ,BA a BB b BC c= = = uuur r uuur r uuur r . M, N lần lượt là hai điểm nằm trên AC, DC’ sao cho . , ' 'MC n AC C N mC D= = uuuur uuur uuuur uuuur 1/ Hãy phân tích 'BD uuuur theo các véctơ , ,a b c r r r 2/ Chứng minh rẳng: ( ) (1 )MN m n a m b nc= − + − + uuuur r r r 3/ Tìm m, n để MN//BD’ Bài 2. Cho hai hình vuông ABCD và ADD’A’ cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. M, N là hai điểm nằm trên hai đường chéo BD và AD’ sao cho DM=AN=x (0<x<a a ). Chứng minh rằng: MN//(BCD’A’) DẠNG 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM: Các bài toán quỹ tích cần nhớ A, B, C là các điểm cố định; v r là một véctơ không đổi cho trước Bài toán 1: Tìm các điểm M thoả mãn AM v= uuuur r Bài toán 2: Tìm các điểm M thoả mãn MA MB= uuur uuur Đáp án: M thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Bài toán 3: Tìm các điểm M thoả mãn MA k AB= uuur uuur , k R∈ Đáp án: M thuộc mặt cầu tâm C và bán kính k AB Bài toán 4: Tìm các điểm M thoả mãn MA kBC= uuur uuur Đáp án: +)Nếu k R ∈ , M thuộc đường thẳng qua A và //BC +)Nếu k R + ∈ , M thuộc nửa đường thẳng qua A, //BC và cùng hướng véctơ BC uuur +)Nếu k R − ∈ , M thuộc nửa đường thẳng qua A, //BC và ngược hướng véctơ BC uuur Bài 1. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Tìm tập hợp các điểm M, M thoả mãn: 1/ 2MA MB MC MA MB MC+ + = − − uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur 2/ 2NA NB NC NB BA+ − = − uuur uuur uuur uuur uuur Bài 2. Cho tứ diện ABCD, hai điểm M, N thoả mãn: . 0MA t MC+ = uuur uuuur r , . 0NB t ND+ = uuur uuur r Chứng minh khi t thay đổi thì trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định Bài 3. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng; M là một điểm di động 1/ Chứng minh rằng véctơ 2 3v MA MB MC= + − r uuur uuur uuuur là một véctơ không phụ thuộc vào M 2/ D là điểm thoả mãn AD v= uuur r và giả sử đường thẳng AD cắt BC tại N. Chứng minh: 3NB NC= uuur uuur . tơ 10/ Điều kiện hai véc tơ vuông góc Mọi kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng đều đúng trong không gian II. Các kiến thức mới (trong không gian) : 1/ Quy tắc hình hộp 2/ Sự đồng phẳng của ba véc tơ a/. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. Một số kiến thức đã học (trong mặt phẳng): 1/ Quy tắc 3 điểm 2/ Hiệu hai véc tơ 3/ Quy tắc hình bình. diện ABCD ⇔ Nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 1/ GA + GB + GC + GD = 0 2/ OA + OB + OC + OD = 4 OG ( O là điểm tùy ý) Bài 2. Trong không gian cho 4 điểm tùy ý A, B, C,