ThS Đồn Vương Ngun Bài tập thường kỳ Tốn cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI TẬP THƯỜNG KỲ MƠN TỐN CAO CẤP A2 – C2 ĐẠI HỌC (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) GVHD: ThS Đồn Vương Ngun Lớp học phần:……………………… Khoa: KHCB Học kỳ:………Năm học: 2011 – 2012 Danh sách nhóm: (ghi theo thứ tự ABC) Nguyễn Văn A Lê Thị B ……… HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY 1) Trang bìa (đánh máy, khơng cần in màu, khơng cần lời nói đầu) 2) Trong phần làm tập, chép đề câu xong giải rõ ràng câu 3) Trang cuối Tài liệu tham khảo: Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP HCM Đỗ Cơng Khanh – Tốn cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP HCM Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp A2 – NXB Giáo dục Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Tốn cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục Hồng Xn Sính – Bài tập Tốn cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính – ĐH KHTN TP HCM Chú ý • Phần làm bắt buộc phải viết tay (không chấp nhận đánh máy) 01 02 mặt giấy A4 đóng thành tập với trang bìa • Thời hạn nộp bài: Tiết học cuối (sinh viên phải tự đọc trước học cuối để làm bài!) • Nếu nộp trễ ghi sót tên thành viên nhóm khơng giải bị cấm thi • Mỗi nhóm từ 01 đến tối đa 07 sinh viên Sinh viên tự chọn nhóm nhóm tự chọn tập • Phần làm tập, sinh viên phải giải hình thức tự luận rõ ràng * Sinh viên làm yêu cầu mà chọn tồn câu hỏi dễ điểm tối đa nhóm điểm • Cách chọn tập sau 1) Nhóm có sinh viên chọn làm 40 câu hỏi nhỏ (các câu hỏi nhỏ phải nằm câu hỏi khác nhau) gồm: Chương 1: chọn 12 câu hỏi nhỏ 16 câu hỏi; Chương 2: chọn câu hỏi nhỏ câu hỏi; Chương 3: chọn câu hỏi nhỏ 10 câu hỏi; Chương 4: chọn 10 câu hỏi nhỏ 11 câu hỏi; Chương 5: Nhóm A-2 chọn câu hỏi nhỏ câu phần I câu hỏi nhỏ câu phần II Nhóm C-2 chọn câu hỏi nhỏ câu phần I 2) Nhóm có từ đến tối đa sinh viên làm nhóm có sinh viên, đồng thời sinh viên tăng thêm phải chọn làm thêm 20 câu hỏi nhỏ khác (nằm câu hỏi khác nhau) ……………………………………………………… Trang ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 ĐỀ BÀI TẬP CHƯƠNG I MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Câu Thực phép tính ma trận sau   1  1      1 −3    2       0 1 0    1)   3   3 2 ;          1        3        1        1 −3      0 −1 0 −2 1 ;     3)          2 0           1     3     1 2 1    4    2   0 1 0    2)    −3 1        1 1 3     4     −3 1    4)   −3  0     1   −1  3 −1                  5)  −1 3 1 0 −1   ;              −1 2 3 1 −1 −1             1 −        6) 0 1  3     1 −1 −1 2      T  −3        1 −3 −1 −2      7) −2      2 −1  −3 −1  ;         3         Câu Thực phép tính ma trận sau n 1 1  2 1      1)  2)  0 1 ; 1 3 ;           1 −        5) 0 1 ;     1 −1      0   0   8*) Cho A =  0    0   1 0       6) 0 1 ;     1 0       0   0   , tính:  0 1    0 0   Câu Thực phép tính ma trận sau 0 0  2011  , tính (A − I ) ;  1) Cho A =   1 0     1 1    1 1 1 , tính A4 ;  3) Cho A = I −     3 1 1      4    1  ;  2     3   4    2     −2    ; −1 −1 0     −2    1     4 3       3 1 −1          1 1 −1 −1   ;          3 0 −1 −1       T    2 0−3 1 1 3          8)  1 5  −3 0 3 1            2       3  2   ;  3)    −4 −2   0   0   7) Cho A =  0    0   2011 a) ∑2 A n n ; n x 1    ;  4)    0 x     0   0   , tính AT A AAT ;  0 1    0 0   2011 b) (A + I ) n =0  0  2011  , tính (I − A) ;  2) Cho A =   −1 0     1 1  −1       , tính A2011 ;  4*) Cho A =      1 2 0 −1 −1         Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 0    5) Cho A = 0   0   0    6) Cho A = 0   0   0   0   7) Cho A =  0    0   0 0 0 0 Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012  0   1 , tìm số nguyên dương n nhỏ để An ma trận không;    0    1   0 , tìm số nguyên dương n nhỏ để An ma trận không;    0   1    1   , tìm số nguyên dương n lớn để An khác ma trận không  0     0  Câu Tìm phần tử aij ma trận A2 , với A = (aij )n sau 1) Cho A = (aij )2011 , phần tử cột thứ j (−1)i + j Tìm phần tử a 32 A2 ; 2) Cho A = (aij )2011 , phần tử dịng thứ i (−1)i + j Tìm phần tử a 32 A2 ; 3) Cho A = (aij )2011 , phần tử dịng thứ i (−1)i i Tìm phần tử a 32 A2 ; 4) Cho A = (aij )2011 , phần tử cột thứ j (−1)j j Tìm phần tử a 32 A2 ; 5*) Cho A = (aij )2011 , phần tử cột thứ j j Tìm phần tử a 32 A2 ; 6*) Cho A = (aij )2011 , phần tử dịng thứ i i Tìm phần tử a 32 A2 ; 7*) Cho A = (aij )2011 , phần tử dịng thứ i 2i −1 Tìm phần tử a 32 A2 ; 8*) Cho A = (aij )2011 , phần tử cột thứ j j −1 Tìm phần tử a 32 A2 ; i −1 9*) Cho A = (aij )2011 , phần tử dịng thứ i C 2011 Tìm phần tử a 32 A2 ; j −1 10*) Cho A = (aij )2011 , phần tử cột thứ j C 2011 Tìm phần tử a 32 A2 n(n + 1)(2n + 1) , n ∈ ℕ* ; − qn 2) a + aq + aq + + aq n = a , n ∈ ℕ* & q ≠ ; 1−q Chú ý: 1) 12 + 22 + 32 + + n = n k 3) (1 + 1)n = C n + C n + C n + + C n , n ∈ ℕ* & C n = n! k !(n − k )! Câu Tìm hạng ma trận A sau 1   1         2 11 2 10        ;  1) A =  2) A =      3 11 ;   3 12 14           4 12 16 20 4 10 12        1  1   −1 3         −1 −2 −1 −3 2 −1       ; 5) A =   4) A =     2 3 −5 −1 ;  3              4 1 17 21  7        Trang 1      5 10 15 20 35     3) A =   3 12 14  ;        4 13 16 20     2 3 5       4 10    6) A =    12 20 ;        10 15 26     ThS Đoàn Vương Nguyên 1 8      2 −1 2       3 10  ; 7) A =       3 − − −      1 17 18 36        −1 −2       3 −1     10) A =   −2 −4  ;         15 2    Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 4    −2   8) A =  5    2 −   5    4  ;  9     −3  1 − 1       2 −2     11) A =  4 − 2  ;         7 15 −9 18      −1 −2       −1      9) A =   −1 −2  ;         13 2 −1     −1 −2       −1      12) A =   −1 −2          15 2 −1    Câu Biện luận hạng ma trận sau theo tham số m : 1 1 m  m            2 3m − 2 3m −  m +4 m +4        1) A =  2) A =  4 5m − m + 2m + 7 ;  4 5m − m + 2m + 7 ;                  2m  2m m +4   2 2   3 1 m  m           6 2 3m − m + m +    2m m       ;  3) A =  4) A =   9  4 5m − m + 2m + 7 ;  3m m + 2              15 5m + 2  2m        1 1 − m            2 3m − 8 −4 16 2m + 5   m +4      ; ; 5) A =  6) A =   4 5m − m + 2m + 7   −2 m                4 5 − 4m  m        1 1            2 5 11 m + 15         ; ; 7) A =  8) A =    1 m +  2                4 10 m + 10 3 10 + m        1 5  m 1 1          10 2m 3         ;  9) A =  10) A =   11 13 16  3m 4  ;                10 16 22 26 m  5m 12 m        1 5  2          10 1 1 0          ;  11) A =  12) A =    11 13 16 3 4 −1 ;               10 16 22 26 m  5 5 m         −1 −1   1 m           m −1 −1 −1 2 2m         ;  13) A =  14) A =   1 m  3 3m   1              1 5 12 5m m  2 −1        Trang ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 Câu Tính định thức sau 1 2 2 1) A = B = 4 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 ; 2) A = B = 1 1 ; 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 1 1 1 1 2 1 2 1 3) A = B = 1 1 ; 4) A = 3 B = 1 1 ; 3 1 1 2 1 1 1 1 5 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 5) A = B = 1 1 ; 6) A = 3 B = 1 1 ; 2 1 2 1 1 1 1 5 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 7) A = B = 1 1 ; 8) A = B = 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Câu 8* Khơng tính định thức, chứng minh rằng: y +z 1) y1 + z y2 + z z +x z1 + x1 z2 + x2 x +y x y x + y1 = x y1 x + y2 x y2 z z1 ; z2 a a3 2) b b = (a − b)(b − c)(c − a )(a + b + c) ; c c3 a1 + b1x a1x + b1 c1 a1 b1 c1 3) a2 + b2x a2x + b2 c2 = (1 − x ) a2 b2 c2 a + b3x a 3x + b3 c3 a b3 c3 Câu Tính định thức cấp cao sau a x x ⋯ x x a x x x 1) A = x x a x x (cấp n ); ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x x x ⋯ a + a1 ⋯ an + a2 a3 ⋯ an a1 a2 + a3 ⋯ an ⋮ ⋮ ⋮ a1 Trang a3 a1 2*) A = a2 a2 a3 ⋱ ⋮ ⋯ + an (cấp n ); ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 a1 + b1 3*) A = 1 ⋯ (cấp n ); ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ a2 ⋯ an a2 ⋯ an a + b2 ⋯ an a1 4*) A = ⋮ a1 ⋮ ⋮ ⋱ a1 a2 n x1 x2 ⋯ xn 3 ⋯ n a n (cấp n ); 5*) A = ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ n +1 2x −1 −1 x −1 −1 1 x x x 1 x x x x 1 1 x 1 = 0; 5) x 1 1 1 = 0; 8) x 2 x x −1 −1 1 x − −1 x2 1 6) 1 1 = 0; 1 x x −1 = 0; x +2 = 0; 0 x −1 = x x x −2 9) 0 x5 +1 x Câu 11 Tìm điều kiện m để ∆ ≥ m +8 2m − ; 1) ∆ = m + m m −1 m −1 m −1 m +8 m 2m − ; m +1 m +1 m +1 7) ∆ = m 1 ; m 1 m m 6) ∆ = m + ; m +2 m 4) ∆ = m ; m +2 2) ∆ = m + 2m − ; m m +1 m +1 m +1 m 5) ∆ = 2m − ; 2 m +8 3) ∆ = m + = 0; x 1 1 −1 −1 x x = 0; x x 3) x −1 −1 x x2 ⋯ xn 6*) A = x a ⋯ x n (cấp n + ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x1 x2 ⋯ a Câu 10 Giải phương trình sau x +1 x x 1 1 x 1 x2 1) = 0; 2) 1 x 1 1 x x 7) ⋮ ⋯ an + bn 2 ⋯ 4) (cấp n + ); 2m + 8) ∆ = m + 2m + ; 2m Trang x 100 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 + 2m 9) ∆ = −3 m +3 + 2m −1 −m ; m −5 10) ∆ = m − 12 m + −3m −m − 3m m +3 Câu 12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp biến đổi sơ cấp dòng 1 3  0 2  1 2  1 5                      1) A = 2 1 ; 2) A = 1 0 ; 3) A = 2 3 ; 4) A = 5 1 ;                    3 2 2 1 3 1 3 0                  4 −1  1 1  1  3   2                     5) A = 2 −3 ; 6) A = 2 3 ; 7) A = 2 −1 −3 ; 8) A = 4 4 ;                   −4  1 3 4 1      3                 1 2 2  1 1 1                  1 0 2 0 0 1 0 0 1            ;  ; 11) A =   ; 12) A =  10) A =  9) A =     0 1   2 1  0 1 1                         2 1 1 2   0 1 0            1    0    1     1  Câu 13 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp dùng ma trận phụ hợp ( adjA ) 1 3       1) A = 2 1 ;     3 2      4 −1       5) A = 2 −3 ;      −4       1 0       9) A = 3 1 ;     4 2       2 3       13) A = 1 −2 5 ;     3 4      0 2       2) A = 1 0 ;     2 1      1 1       6) A = 2 3 ;     1 3      0 2       10) A = 1 2 ;     2 3      1 −4       14) A = 1 −2  ;     1 −3      1 2       3) A = 2 3 ;     3 1      1  2      7) A = 2 −1 −3 ;      4 3     1 2       11) A = 2 3 ;     0 1      2 −        15) A = 3 −2 −1 ;     4 −       1 5       4) A = 5 1 ;     3 0      3        8) A = 4 4 ;     1       1 5       12) A = 5 1 ;     2 2      1 1       16) A = 2 1     3 3      Câu 14 Tính detA , cho biết −1 0 2 1 2         1 0 2 3 ;               2 1 3 1         −1 0 2 1 0           1 0 3 1 ;          2 1 4 2            1 3       1) A = 2 1     3 2      1 3       3) A = 2 1     3 2      T −1 1 3       2) A = 2 1     3 2      −1 T −1 1 3       4) A = 2 1     3 2      −1 Trang 0 2 1 5         1 0 5 1 ;               2 1 3 0         T −1 0 2 0 2           1 0 1 2 ;          2 1 2 3            T −1 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 −1 0 2 1 2         1 0 2 3 ;               2 1 0 1         −1 0 2 1 2           1 0 2 3 ;            2 1 0 1          −1     0 2 1 2     1 0 2 3 ;               2 1 0 1         1 3       5) A = 2 1     3 2      1        7) A = 2 3     3 1      1 0       9) A = 3 1     4 2      T −1 1 3       6) A = 2 1     3 2      T −1 1 5       8) A = 5 1     3 0      T −1 0 2 0 2 1 5                 10) A = 1 2 1 0 5 1             2 3 2 1 2 2                   −1    Câu 15 Cho hai ma trận P = 1   1   −1 1) A = P dig(1 −1 1).P ; 2) −1 0 2 1 5         1 0 5 1 ;               2 1 2 2         T −1 0 2 1 5           1 0 5 1 ;            2 1 2 2          T −1 −1 −1 T −1  1  −1 1         P −1 =  −1 Tính detA A−1 , biết        −1 −1    1      −1 3) A = P −1.dig(1 −1).P ; A = P dig(−1 1).P ; 4) A = P dig(1 −1 1).P −1 ; 5) A = P dig(−1 1).P −1 ; 6) A = P dig(1 −1).P −1 ; 7) A = P −1.dig(1 3).P ; 8) A = P −1.dig(1 2).P ; 9) A = P −1.dig(3 2).P ; 10) A = P dig(1 3).P −1 ; 11) A = P dig(1 2).P −1 ; 12) A = P dig(3 2).P −1  −1    Câu 16 Cho hai ma trận P = 1   1   1) A = P −1.dig(1 −1 1).P ; 2)  1  −1 1         P −1 =  −1 Tính A2011 , biết        −1 −1    1      3) A = P −1.dig(1 −1).P ; A = P −1 dig(−1 1).P ; 4) A = P dig(1 −1 1).P −1 ; 5) A = P dig(−1 1).P −1 ; 6) A = P dig(1 −1).P −1 ; 7) A = P −1.dig(1 −1 −1).P ; 8) A = P −1.dig(−1 −1 1).P ; 9) A = P −1.dig(−1 −1).P ; 10) A = P dig(1 −1 −1).P −1 ; 11) A = P dig(−1 −1 1).P −1 ; 12) A = P dig(−1 −1).P −1 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Câu Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Cramer Gauss       4x + y − z = x + 2y + z = x + y + 2z =    2x + y − 3z = 2x + 6y + 3z = 2x − y − 3z = −1 1)  2)  3)     3x + 2y − 4z = x + 5y + 3z = 4x + y + 3z =           2x + 3y + 3z =     3x + 6y + 2z = 11  x + 3y − 4z =    5) x − 2y + 5z = 6) x − 2y + z = −11 4) 4x + 9y + 4z = 17       x + 3y + z = 3x + y + 4z = x + 2y − 3z =          Trang ThS Đoàn Vương Nguyên   2x − y + 2z =  7) 3x − 2y − z = −3   4x − 3y + z =      x − 3y + 4z =  2x − 5y + z = 10)   5x − 13y + 6z =    Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012   x + y + z = 12  8) 2x + 3y + z =   3x + 4y + 3z =      x − 3y − z = 13  2x + y − 2z = 11)   5x + y − 5z = 12      x − y − 2z =  9) x + y + 4z =   2x − 2y − 5z =    3x + 4y − 3z =    12) 5x + 2y − 4z =   2x + 3y − 2z =    Câu Tìm nghiệm riêng nghiệm tổng qt hệ phương trình tuyến tính sau       x + y − z = x + 2y + z = x + y + 2z =    1) 2x + y − 3z = 2) 3x + 12y + 7z = 3) 2x − y − z = −4       3x + 2y − 4z = x + 5y + 3z = 4x + y + 3z =              2x + 3y + 3z =   3x + 6y + 2z = 11 x + 3y − 4z =    4) 4x + 9y + 3z = 5) x − 2y + z = 6) x − 2y + z = −11       3x + y + 4z = 2x + y − 3z = 13 x + 3y + z =          x − y + 2z = x + y + 2z = 12       x − y − 2z =    7) 3x − 2y − z = −3 8) 2x + 3y + z = 9) x − y − 3z = 12       4x − 3y + z = 3x + 4y + 3z = 2x − 2y − 5z =            x + y + z + t + u = 2x + y − z − t + u =     3x + 2y + z + t − 3u = −2 x − y + z + t − 2u =    10*)  11*)   y + 2z + 2t + 6u = 23 3x + 3y − 3z − 3t + 4u =     5x + 4y + 3z + 3t − u = 12 4x + 5y − 5z − 5t + 7u =       2x − 2y + z − t + u = 3x + y − 2z + t − u =       x + 2y − z + t − 2u = 2x − y + 7z − 3t + 5u =   12*)  13*)    4x − 10y + 5z − 5t + 7u = x + 3y − 2z + 5t − 7u =     2x − 14y + 7z − 7t + 11u = −1 3x − 2y + 7z − 5t + 8u =       x + y + z + t + u = 2x + y − z − t + u =       3x + 2y + z + t − 3u = x − y + z + t − 2u =    14*)  15*)   y + 2z + 2t + 6u = 3x + 3y − 3z − 3t + 4u =     4x + 5y − 5z − 5t + 7u = 5x + 4y + 3z + 3t − u =       2x − 2y + z − t + u = 3x + y − 2z + t − u =       x + 2y − z + t − 2u = 2x − y + 7z − 3t + 5u =   16*)  17*)    4x − 10y + 5z − 5t + 7u = x + 3y − 2z + 5t − 7u =     2x − 14y + 7z − 7t + 11u = 3x − 2y + 7z − 5t + 8u =       Câu Biện luận số nghiệm hệ phương trình tuyến tính theo tham số m   2x + 3y − z =  1) 4x + my + z =   8x + 12y + (m + 6)z =      x + 2y − 2z = m  2) 2x + my − 5z =   3x + 6y + mz =    Trang mx + y + z =     3) x + 2y − mz =  2x + 3y + 2z =    ThS Đoàn Vương Nguyên   x + 2y − 2z = 2m  4) 3x + 7y − z = 5)   2x + 4y + mz =      2x + 3y − z =  4x + (m + 5)y + (m − 3)z = 7)   8x + (m + 11)y + (m − 5)z =      2x + 3y − z =  9) 4x + (m + 5)y + mz =   8x + 12y + (m − 4)z =      (m + 3)x + y + 2z =  mx + (m − 1)y + z = 11)   3(m + 1)x + my + (m + 3)z =      x − 2y + z + 2t = m  13) x + y − 2z + t = 2m +   2x − y − mz + 3t = −m     x − y + 2z − 2t =   2x + y − z + t =  15)   3x + z − t =   5x + y = m    2x − y + z + t =    x + 2y − z + 4t =  17)   x + 7y − 4z + 11t = m   4x + 8y − 4z + 16t = m +    Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 mx + 2y − 2z = mx + y + 2z =       2x + 4y − 5z =  6) 2x − my − z = −4    3x + 6y − mz = 4x + y + 3z = 2m         2x + 3y − z =  4x + (m + 5)y + (m − 3)z = 8)   8x + 12y + (m − 4)z =      x + 4y + (7 − m )z =  10) 2x + (m + 4)y − 5z =   5x + 10y + (m − 5)z =    (3m − 1)x + 2my + (3m + 1)z =    12) 2mx + 2my + (3m + 1)z =   x + y + 2z =      x + 2y − z + t = m  14) 2x + 5y − 2z + 2t = 2m +   3x + my − 3z + 3t =     2x − y + z − 2t + 3u =   x + y − z − t + u =  16)   3x + y + z − 3t + 4u =   5x + 2z − 5t + 7u = − m    2x + y − z + 2t =    x − y + z + 2t =  18)   2x + 2y − 2z + t =   x + y − 2z + t = m    Câu Tìm điều kiện tham số m để hai hệ phương trình tuyến tính (trong câu) có nghiệm chung x + y − z + t = 2m +  1)   x + 7y − 5z − t = −m   x + 2y − z + t = m   ;  2x + 5y − 2z + 2t = 2m +   x − 2y + z + 2t = m  2)   x + 7y − 5z − t = −m   x + 2y − z + t = m   ;  3x + 7y − 3z + 3t =   x − 2y + z + 2t = m  3)   x + y − z + t = 2m +   2x + 5y − 2z + 2t = 2m +   ;  3x + 7y − 3z + 3t =   x − y + 2z − 2t =  4)   2x + my − z + t =   2x − y + z − 2t + 3u =   ;  x + y − z − t + u = m   2x − y + z − 2t + 3u =   ;  5x + 2z − 5t + 7u = − m   x − y + 2z − 2t =  5)   5x + y = m   Trang 10 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 2x + y − z + t = m  6)   3x + z − t =   x + y − z − t + u =   ;  3x + y + z − 3t + 4u = 2m   x + 2y − z + 4t =  7)   x + 7y − 4z + 11t = m   2x + y − z + 2t =   ;  x + y − 2z + t = m   x + 2y − z + 4t =  8)   4x + 8y − 4z + 16t = m +   2x + 2y − 2z + t =   ;  x + y − 2z + t = m   2x − y + z + t =  9)   x + 7y − 4z + 11t = m   2x + 2y − 2z + t =   ;  x + y − 2z + t = m   2x − y + z + t =  10)   4x + 8y − 4z + 16t = m +   2x + y − z + 2t =   ;  x + y − 2z + t = m     x + 2y − z + t = m  2x + 5y − 2z + 2t = 2m + ;   3x + 7y − 3z + 3t =    x + 2y − z + t = m   ;  3x + 7y − 3z + 3t =     2x − y + z − 2t + 3u =  x + y − z − t + u = ;   3x + y + z − 3t + 4u = 2m    2x − y + z − 2t + 3u = 3m   ;  x + y − z − mt + u =   2x + 2y − 2z + t =   ;  x + y − 2z + t = m   2x + y − z + 2t =   ;  x + y − 2z + t = m   x − 2y + z + 2t = m  11)   x + y − z + t = 2m +     x − 2y + z + 2t = m  x + y − z + t = 2m + 12)   x + 7y − 5z − t = −m    x − y + 2z − 2mt =  13)   2x + y − z + t = m     x − y + 2z − 2t =  2x + y − z + t = 3m 14)   3x + z − mt =      2x − y + z + t =  15) x + 2y − z + 4t =   x + 7y − 4z + 11t = m      2x − y + z + t =  x + 2y − z + 4t = 16)   4x + 8y − 4z + 16t = m +      2x + y − z + 2t =  2x + 2y − 2z + t =   x + y − 2z + t = m    x + 7y − 4z + 11t = m  17)   4x + 8y − 4z + 16t = m +   Trang 11 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 CHƯƠNG III KHÔNG GIAN VECTOR Câu Xét xem tập hợp với phép toán xác định sau đây, tập hợp không gian vector ℝ ? 1) Tập hợp đa thức hệ số thực, có bậc tùy ý với phép cộng đa thức phép nhân số với đa thức; 2) Tập hợp ℝ với phép cộng phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (a + c; d ), λ(a; b) = (λa; λb) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 3) Tập hợp ℝ với phép cộng phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (a + c; b − d ), λ(a; b) = (a + λ; b) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 4) Tập hợp ℝ với phép cộng phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (a; d ), λ(a; b) = (a; λb) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 5) Tập hợp ℝ với phép cộng phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (ac; bd ), λ(a; b) = (a + λ; b) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 6) Tập hợp ℝ với phép cộng phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (ac + bd; ad − bc), λ(a; b) = (λa; λb) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ Câu Xét xem tập hợp xác định sau đây, tập hợp không gian vector ℝ n ? { 2) Tập hợp B = {(x ; x ; ; x ) ∈ ℝ 3) Tập hợp C = {(x ; x ; ; x ) ∈ ℝ 4) Tập hợp D = {(x ; x ; ; x ) ∈ ℝ 5) Tập hợp E = {(x ; x ; ; x ) ∈ ℝ 6) Tập hợp C = {(x ; x ; ; x ) ∈ ℝ } = x }; 1) Tập hợp A = (x 1; x ; ; x n ) ∈ ℝ n x = 2x n ; n n n n n n x1 } n x i +1 = x i + 1, i = 1, 2, , n − ; n x1 = xn = ; n 2 x1 = x n x i ∈ ℚ, i = 1, 2, , n } = 1} ; } Câu Trong ℝ , xét xem vector u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u không? 1) u1 = (−2; 1; 0) , u2 = (3; −1; 1) , u = (2; 0; −2) ; u = (1; 1; 1) ; 2) u1 = (2; −1; 3) , u2 = (0; −1; 1) , u = (2; 2; 2) ; u = (2; −1; 5) ; 3) u1 = (2; 4; 3) , u2 = (1; −1; 0) , u = (3; 3; 3) ; u = (−1; 2; 0) ; 4) u1 = (−2; 1; 0) , u2 = (3; −2; 1) , u = (1; 2; −3) ; u = (2; −1; 1) ; 5) u1 = (2; −1; 3) , u2 = (3; −1; 2) , u = (1; −2; 2) ; u = (2; −4; 3) ; 6) u1 = (2; 4; 3) , u2 = (1; −1; 3) , u = (1; 3; −3) ; u = (−1; 2; 4) Câu Trong P3 [x ] , xét xem vector u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u khơng? 1) u1 = x − 3x + , u2 = x − 2x + , u = −2x + ; u = 5x − 4x − 2x ; 2) u1 = x + 2x − 2x + , u2 = x + 3x − x + , u = 2x + 5x − 3x + ; u = x − 3x + ; 3) u1 = 5x − 4x − 2x , u2 = x − 2x + , u = −2x + ; u = x − 3x + ; 4) u1 = x − 3x + , u2 = x + 3x − x + , u = 2x + 5x − 3x + ; u = x + 2x − 2x + ; 5) u1 = x − 3x + , u2 = 5x − 4x − 2x , u = −2x + ; u = x − 2x + ; 6) u1 = x + 2x − 2x + , u2 = x − 3x + , u = 2x + 5x − 3x + ; u = x + 3x − x + ; 7) u1 = x − 3x + , u2 = x − 2x + , u = 5x − 4x − 2x ; u = −2x + ; Trang 12 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 8) u1 = x + 2x − 2x + , u2 = x + 3x − x + , u = x − 3x + ; u = 2x + 5x − 3x + 3 Câu Trong ℝ , tìm m để u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u trường hợp sau 1) u1 = (m; 2; −1) , u2 = (−2; 1; 3) , u = (0; 1; −1) ; u = (1; m; 2) ; 2) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (0; −1; m ) , u = (1; −3; 1) ; u = (m; −1; 2) ; 3) u1 = (1; −2; m ) , u2 = (−2; 1; 3) , u = (1; 3; 1) ; u = (m; −1; 1) ; 4) u1 = (m; 2; −1) , u2 = (1; m; 2) , u = (0; 1; −1) ; u = (−2; 1; 3) ; 5) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (0; −1; m ) , u = (m; −1; 2) ; u = (1; −5; 1) ; 6) u1 = (1; −2; m ) , u2 = (−2; 1; 3) , u = (1; −1; 1) ; u = (m; −1; m ) ; 7) u1 = (3; −2; 3) , u2 = (2; −m; m ) , u = (m; −1; 2) ; u = (0; 2; 1) ; 8) u1 = (1; −m; m ) , u2 = (−2; 1; 1) , u = (2; −1; −1) ; u = (m + 1; −1 + m; m ) Câu Trong ℝ , xác định a, b, c để u = (a; b; c) tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u 1) u1 = (1; 2; −1) , u2 = (−2; 1; 3) , u = (0; 1; −1) ; 2) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (0; −1; 3) , u = (1; 2; 1) ; 3) u1 = (1; −3; 0) , u2 = (−3; 1; 2) , u = (1; −4; 1) ; 4) u1 = (0; 2; −1) , u2 = (1; −5; 2) , u = (2; 1; −1) ; 5) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (2; −1; 4) , u = (−1; −1; 2) ; 6) u1 = (1; −2; −3) , u2 = (5; 1; 3) , u = (1; −1; 1) ; 7) u1 = (0; −2; 3) , u2 = (2; −3; 4) , u = (7; −1; 2) ; 8) u1 = (1; −2; 7) , u2 = (−2; 1; 3) , u = (3; −1; −2) Câu Trong ℝ , biện luận độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính hệ vector sau theo m 1) A = {(m; 1; 3; 4), (m; m; m + 2; 6), (2m; 2; 6; 10)} ; 2) B = {(2; 8; 4; 7), (2; 3; 1; 4), (4; 11; 5; 10), (6; 14; m + 5; 18)} ; 3) C = {(1; 2; 1; 4), (2; 3; m; 7), (5; 8; 2m + 1; 19), (4; 7; m + 2; 15)} ; 4) D = {(m + 2; 3; 2), (1; m; 1), (m + 2; 2m + 1; m + 2)} ; 5) E = {(2; 1; 1; m ), (2; 1; −1; m ), (10; 5; −1; 5m )} ; 6) F = {(2; 3; 1; 4), (3; 7; 5; 1), (8; 17; 11; m ), (1; 4; 4; −3)} ; 7*) G = {(m; 2m; 3; 4), (1; 2; 3m; 4m ), (1; 2m; 3; 4m ), (m; 2; 3; 4m )} ; 8*) H = {(m; 2m; 3; 4), (1; 2m; 3m; 4), (1; 2m; 3; 4m ), (1; 2; 3m; 4m )} Câu Trong ℝ , tìm ma trận chuyển từ sở U = {u1, u2 , u } sang sở V = {v1, v2 , v } tìm [x ]V trường hợp sau 1) U = {u1 = (1; 1; −1), u2 = (1; 1; 0), u = (2; 0; 0)} , [x ]U = (1 0)T V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 0; −1), v = (1; 1; 1)} ; 2) U = {u1 = (1; 1; −1), u2 = (1; 1; 0), u = (2; 0; 0)} , [x ]U = (1 2)T V = {v1 = (1; −1; 0), v2 = (2; −1; 0), v = (1; 1; −1)} ; 3) U = {u1 = (3; 2; 1), u2 = (1; −2; 1), u = (2; 2; 3)} , [x ]U = (3 1)T Trang 13 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 0; −1), v = (1; 1; 1)} ; 4) U = {u1 = (2; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u = (1; 1; −1)} , [x ]U = (1 0)T V = {v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 0; −1), v = (1; 1; 0)} ; 5) U = {u1 = (1; 1; −1), u2 = (2; 0; 0), u = (1; 1; 0)} , [x ]U = (1 2)T V = {v1 = (1; −1; 0), v2 = (1; 1; −1), v = (2; −1; 0)} ; 6) U = {u1 = (3; 2; 1), u2 = (2; 2; 3), u = (1; −2; 1)} , [x ]U = (3 1)T V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 1; 1), v = (1; 0; −1)} ; 7) U = {u1 = (1; −1; 0), u2 = (1; 1; −1), u = (2; −1; 0)} , [x ]U = (1 2)T V = {v1 = (1; 1; −1), v2 = (2; 0; 0), v = (1; 1; 0)} ; 8) U = {u1 = (1; 1; 0), u2 = (1; 1; 1), u = (1; 0; −1)} , [x ]U = (3 1)T V = {v1 = (3; 2; 1), v2 = (2; 2; 3), v = (1; −2; 1)} Câu Tìm sở số chiều không gian W sinh hệ vector sau ℝ n 1) u1 = (2; 3; 4) , u2 = (5; −4; 0) , u = (7; −1; 5) , u = (3; −2; 6) ℝ ; 2) u1 = (−2; 1; 1) , u2 = (2; −3; 1) , u = (0; −1; 4) , u = (1; −2; 7) ℝ ; 3) u1 = (1; 0; 0; −1) , u2 = (2; 1; 1; 0) , u = (1; 1; 1; 1) ℝ ; 4) u1 = (1; 0; 0; −1) , u2 = (2; 1; 1; 0) , u = (1; 2; 3; 4) ℝ ; 5) u1 = (1; 1; 1; 1) , u2 = (1; 2; 3; 4) , u = (0; 1; 2; 3) ℝ ; 6) u1 = (1; 1; 1; 1; 0) , u2 = (1; 1; −1; −1; −1) , u = (2; 2; 0; 0; −1) ℝ ; 7) u1 = (1; 1; 1; 1; 0) , u2 = (2; 2; 0; 0; −1) , u = (1; 1; 5; 5; 2) ℝ ; 8) u1 = (2; 2; 0; 0; −1) , u2 = (1; 1; 5; 5; 2) , u = (1; −1; − 1; 0; 0) ℝ Câu 10 Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau 2x + 3y + 3z = x + 3y − 4z = 5x + 12y − 12z =           x − 2y + z = x − 2y + z = 1)  2)  3)  2x + 5y − 5z =      3x + y + 4z =  3x − y − 2z =  3x + 7y − 7z =           x − y + 2z =  x +y +z =  3x − y − z =          3x − 2y − z = 2x + 3y + z = 5)  6) x + y + 4z = 4)      4x − 3y + z = 3x + 4y + 2z = 2x − 2y − 5z =          3x + 5y + 2z = x + 3y + 2z = 3x + 5y + 2z =          4x + 7y + 5z = 2x + y + 5z = x + 7y + 15z =      7)  8)  9)   2x + 9y + 6z = 2x + 7y + 6z = 2x + 7y + 6z =        x + y − 4z =  x + 2y − 4z = 5x − y − 4z =          x + 2y − 2z + 2t − u = x + 2y − z + 3t − 4u = x + 2y − z + 3t − 4u =          x + 2y − z + 3t − 2u = 2x + 4y − 2z − t + 5u = 11)  12) x + 2y − z + t + 2u = 10)      2x + 4y − 7z + t + u = x + 2y − z + 2t − u = x + 2y − z + 2t − u =          …………………………………………………… Trang 14 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 CHƯƠNG IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Câu Tìm biểu thức ánh xạ tuyến tính f : ℝn → ℝm , biết ảnh vector không gian tương ứng sau: 1) f (1; 1) = (1; −2; −2) f (3; 5) = (1; 0; −3) ; 2) f (1; 2) = (1; −2; 8) f (2; −3) = (2; 3; −5) ; 3) f (1; −1) = (3; −1; −2) f (−3; 5) = (1; 2; −3) ; 4) f (1; −2) = (1; −2; 1) f (1; −3) = (2; 0; −5) ; 5) f (1; 1; 0) = (1; 2) , f (1; 0; 1) = (2; −1) f (0; 1; 1) = (−1; −1) ; 6) f (1; 1; 0) = (3; −1; 2) , f (1; 0; 1) = (1; 2; 2) f (0; 1; 1) = (0; −1; 2) ; 7) f (1; 1; 1) = (1; 2) , f (1; 1; 0) = (2; −1) f (1; 0; 0) = (−1; −1) ; 8) f (1; 0; 0) = (3; −1; 2) , f (1; 1; 0) = (1; 2; 2) f (1; 1; 1) = (0; −1; 2) Câu Tìm Ker( f ) , d ( f ) , Im( f ) r ( f ) ánh xạ tuyến tính sau: 1) f : ℝ → ℝ , f (x ; y ) = (x − y; x + 2y; 2x + y ) ; 2) f : ℝ → ℝ , f (x ; y ) = (2x − y; x + 2y; x − y ) ; 3) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x + y; 2x − y − 3z ) ; 4) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (2x − y − 3z ; x + y ) ; 5) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (3x ; x − z ; x + y + 2z ) ; 6) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x − y + z ; x + y − z ) ; 7) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x + y + z ; x − y − z ) ; 8) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x + 2y + 3z ; 4x + 5y + 6z ; 7x + 8y + 9z ) Câu Tìm m để tốn tử tuyến tính sau song ánh: 1) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x − 2y + mz ; my + z ; x + y − 2mz ) ; 2) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (3x + 5y + 2z ; 4x + 7y + (m + 1)z ; x + y − 4mz ) ; 3) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x − 2y + 3z ; mx − y + z ; x + y − 2mz ) ; 4) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x + 5y + 2mz ; 4x + 7y + mz ; x + y − z ) ; 5) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (x − 2y − z ; y + mz ; x + my − 2z ) ; 6) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ) = (3x + my + 2z ; x + 3y + (m + 1)z ; x + y − z ) ; 7) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ; t ) = (x + y + mz ; x + my + z ; y + z + mt; mz + t ) ; 8) f : ℝ → ℝ , f (x ; y; z ; t ) = (mx + y + z ; x + my + z ; my + z + t; mz + t ) Trang 15 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 Câu Trong ℝ cho sở tắc E sở B = {u1 = (3; 1), u2 = (1; −2)} Cho toán tử tuyến tính f : ℝ → ℝ vector v Tìm [ f −1(v )]B trường hợp sau: 1  −2  f  =   [v ] =   ;    1)    4 1 E2  B          4) 1  2  f  =   [v ] =   ;    2)   3  −1 E2   B         1 3 1  f  =   [v ] =   ;    −2   B 2 4 E2           5)  1 3  f  =   [v ] =   ;     1   B 2 4 E2           4 1 −1  f  =   [v ] =   ;    3)   3 2 2 E2   B         6) 4 2  1  f  =   [v ] =   ;    3   B 3 1 E2           1  2    [v ] =   ;   7)  f  =    4 0 E2  B         5  0    [v ] =   ;   8)  f  =    4  1 E2  B         1 2 0    [v ] =   ;   9)  f  =   5 4 −1 E2  B         1 3 0    [v ] =   ;   10)  f  =  5 7  1 E2   B         1   1    [v ] =   ;   11)  f  =   5 0 E2   B         7 1 0    [v ] =     12)  f  =  5 3  1 E2   B         Câu Trong ℝ , xét sở tắc E = {e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1)} Toán tử tuyến tính 2 −1        f : ℝ → ℝ có [ f ]E = 0 −1 Tìm [ f ]B trường hợp sở B sau:      0 1     1) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = −e2 + 2e3 , u = 3e1 + e3 } ; 2) B = {u1 = 2e1 + e3 , u2 = −e1 + 2e3 , u = 3e1 + e3 } ; 3) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = −e1 + 2e3 , u = 3e2 + e3 } ; 4) B = {u1 = 2e1 + e2 + e3 , u2 = −e2 + 2e3 , u = 3e1 + e3 } ; 5) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = e1 − e2 + 2e3 , u = 3e1 + e3 } ; 6) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = −e2 + 2e3 , u = 3e1 − e2 + e3 } ; 7) B = {u1 = 2e1 + e2 − e3 , u2 = e1 − e2 + 2e3 , u = 3e1 + e3 } ; 8) B = {u1 = 2e1 + e2 − e3 , u2 = e1 − e2 + 2e3 , u = 3e1 − e2 + e3 } Câu Trong ℝ cho sở B = {(1; −1; 0; 0), (0; 1; −1; 0), (0; 0; 1; −1), (0; 0; 0; 1)} Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ → ℝ , tìm [ f ]B trường hợp sau: E 1) f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x + y; x + z ; y − z ) ; 2) f (x ; y; z ) = (x + y; x + y + z ; x + z ; y − z ) ; 3) f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x − y; x − z ; y + z ) ; 4) f (x ; y; z ) = (x − y; x − y + z ; x + z ; y − z ) ; 5) f (x ; y; z ) = (x − y + z ; x − z ; x + z ; y − z ) ; 6) f (x ; y; z ) = (x − y; x + y + z ; x − z ; y − z ) ; 7) f (x ; y; z ) = (x + y − z ; x − y; x + z ; y + z ) ; 8) f (x ; y; z ) = (x + y; x − y − z ; x + z ; y − z ) ; 9) f (x ; y; z ) = (x − y − z ; x − y; x + z ; y − z ) ; 10) f (x ; y; z ) = (x + y; x − y − z ; x − z ; y + z ) ; 11) f (x ; y; z ) = (y − z ; x − y; y + z ; x − y − z ) ; 12) f (x ; y; z ) = (x + y; y − z ; x + y − z ; x + z ) Trang 16 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 3 Câu Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ → ℝ g : ℝ → ℝ Xác định ánh xạ tuyến tính 2f − g biết: 1) f (x ; y ) = (x ; x + 2y; x − y ) g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; 3y ) ; 2) f (x ; y ) = (x + 2y; x + y; x − y ) g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; 3y ) ; 3) f (x ; y ) = (x ; x + 2y; x − y ) g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; x + 3y ) ; 4) f (x ; y ) = (x − y; x + 2y; x ) g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; 3y ) ; 5) f (x ; y ) = (x ; x + 2y; x − y ) g(x ; y ) = (x − y; x − 2y; x + y ) ; 6) f (x ; y ) = (x + y; x + 2y; x − y ) g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; x − y ) ; 7) f (x ; y ) = (x − 4y; x + 2y; x − y ) g(x ; y ) = (x + 2y; x − y; 2x ) ; 8) f (x ; y ) = (2y; 3x − y; 5x − 2y ) g(x ; y ) = (3x + y; 2x − 3y; 3x + 5y ) Câu Tìm trị riêng vector riêng tốn tử tuyến tính sau: 1) f (x ; y; z ) = (x − y; 2x + 3y + 2z ; x + y + 2z ) ; 2) f (x ; y; z ) = (x + y; y + z ; − 2y − z ) ; 3) f (x ; y; z ) = (x − y + 2z ; 2x + 3y + 2z ; x + y ) ; 4) f (x ; y; z ) = (x + y; y + z ; x − 2y − z ) ; 5) f (x ; y; z ) = (x − y; 2x + 3y + 2z ; y + 2z ) ; 6) f (x ; y; z ) = (x + y − z ; y + z ; x − 2y − z ) ; 7) f (x ; y; z ) = (x − y − z ; 2x + 3y + z ; x + y + z ) ; 8) f (x ; y; z ) = (x + 2y − 3z ; y + 2z ; − 2y − z ) ; 9) f (x ; y; z ) = (x − 2y; 2y − 3z ; 3y + 5z ) ; 10) f (x ; y; z ) = (3y − z ; y + 3z ; 2x − 2y − z ) ; 11) f (x ; y; z ) = (2x − 3z ; 2x − 5z ; x + 2y + 3z ) ; 12) f (x ; y; z ) = (y − 3z ; 3y + 2z ; x − 2y − z ) Câu Tìm trị riêng sở khơng gian riêng tốn tử tuyến tính f : ℝ →  −1    0   −3          −3  ; −4 0 ;    1) [ f ]E =  2) [ f ]E =  3) [ f ]E = −2 −6        3    −1 −2 −2 2 −1 −4             4 −        4) [ f ]E = 5 −7 3 ;     6 −9 4      1 −3 4       5) [ f ]E = 4 −7 8 ;     6 − 7        −4 −8        7) [ f ]E = −4 −4 ;     −8 −4       15 −18 −16       8) [ f ]E =  −12 −8       − −6        −12        6) [ f ]E = 10 −19 10 ;     12 −24 13      Câu 10 Dùng định lý Cayley – Hamilton để tính det B trường hợp sau: 1        1) B = A8 − 3A6 + 3A5 − 3A3 + A , với A = 0  ;     5 −2      Trang 17 ℝ , biết:  3   13 ;    8   ThS Đồn Vương Ngun Bài tập thường kỳ Tốn cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 4  −1      2) B = A5 − 5A4 + 8A3 − 3A2 + 7A , với A = −6 −4  ;     −6 −6       4  −1      3) B = A5 − 5A4 + 8A3 + 4A2 − 7I , với A = −6 −4  ;     −6 −6       2  3      4) B = A5 + 3A4 − 6A2 − 7I , với A = −4 −6 −3 ;      3 1     2  3      5) B = A5 + 3A4 + 2A2 − 7A , với A = −4 −6 −3 ;      3 1     3 −1       6) B = A5 − 5A4 + 8A3 − 3A2 − 7I , với A = 2 −1 ;     2       3 −1       7) B = A5 − 5A4 + 8A3 + 3A2 − 2A , với A = 2 −1 ;     2       1  3      8) B = −A6 − 3A5 + 4A3 + 3A2 − A , với A = −3 −5 −3      3 1     Câu 11* Chéo hóa ma trận vng sau: −1 −2       1) A = −3  ;     −3        −1       4) D = −1 1  ;     1 1      2  −1      2) B =  −1 ;     −1 −2       1    3) C = 3   6   1  1   3  1    −3 −5 −3 ;   5) E =  6) F =     1    3  1      1   Trang 18  −3 3   −5 3 ;    −6 4   1    −1 −1    −1 −1     −1 −1   1 ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 CHƯƠNG V DẠNG TOÀN PHƯƠNG PHẦN I PHẦN CHUNG CHO A-2 VÀ C-2 Câu Trong ℝ , cho x = (x ; x ) y = (y1; y2 ) Xét xem ánh xạ sau có phải dạng song tuyến tính ℝ khơng Nếu có, lập ma trận dạng song tuyến tính sở tắc 1) f (x , y ) = 3x 1x + y1y2 − 3x 2y1 ; 2) f (x , y ) = 3x 1y1 + x 1y2 − 3x 2y1 ; 3) f (x , y ) = 3x 1y1 − 5x 2y2 + x 1y2 + 7x 2y1 ; 2 4) f (x , y ) = 3x − 5x 2y2 + x 1y2 + y2 ; 5) f (x , y ) = 3x 1y1 − 2x 1y2 + x 2y1 − x 2y2 ; 6) f (x , y ) = 3x 1y1 + x 1y2 − 3x 2y1 + 2y1 ; 7) f (x , y ) = 3x 1y1 − 5x 1y2 + x 2y2 + y2 ; 2 8) f (x , y ) = 3x − 5x 2y1 + x 2y1 − 4y2 Câu Trong ℝ , cho hai sở A B Cho dạng song tuyến tính ℝ xác định sau: f ((x 1; x ), (y1; y2 )) = x 1y1 − 2x 2y2 + 5x 1y2 + 5x 2y1 Chứng tỏ f đối xứng kiểm chứng [ f ]B = P T [ f ]A P , với P = PA→B trường hợp sau: 1) A = {(1; 1), (2; −1)} B = {(1; −1), (2; 1)} ; 2) A = {(2; −1), (−1; 1)} B = {(2; −3), (2; 5)} ; 3) A = {(1; 2), (2; −1)} B = {(1; −1), (2; 1)} ; 4) A = {(2; −1), (−1; 1)} B = {(2; 5), (2; −3)} ; 5) A = {(1; 3), (2; −1)} B = {(1; −1), (2; 1)} ; 6) A = {(2; −1), (−1; 1)} B = {(1; −3), (3; −5)} ; 7) A = {(1; 4), (2; −1)} B = {(1; −1), (2; 1)} ; 8) A = {(2; −1), (−1; 1)} B = {(3; −5), (1; −3)} ; 9) A = {(3; 1), (2; −1)} B = {(1; −1), (2; 1)} ; 10) A = {(2; −1), (−1; 1)} B = {(2; −5), (3; 4)} ; 11) A = {(4; 1), (1; 2)} B = {(1; −1), (2; 1)} ; 12) A = {(2; −1), (−1; 1)} B = {(3; 4), (2; −5)} Câu Tùy theo m , biện luận tính suy biến hay khơng suy biến dạng tồn phương ℝ xác định sau: 1) f (x ; y; z ) = x + y + z + 2xz + 2myz ; 2) f (x ; y; z ) = x + y + z + 2mxz + 2yz ; 3) f (x ; y; z ) = x + y + mz + 2xz + 2yz ; 4) f (x ; y; z ) = x + my + z + 2xz + 2yz ; 5) f (x ; y; z ) = 2x + 3y + z + 2xy + 2mxz ; 6) f (x ; y; z ) = 2x + 3y + z + 2mxy + 2xz ; 7) f (x ; y; z ) = 2x + 3y + mz + 2xy + 2xz ; 8) f (x ; y; z ) = 2x + my + z + 2xy + 2xz ; 9) f (x ; y; z ) = 3x + 2y + mz + 4xy + 2xz ; 10) f (x ; y; z ) = 3x + my + z + 4xy + 2xz ; 11) f (x ; y; z ) = 3x + 2y + z + 2mxy + 2xz ; 12) f (x ; y; z ) = 3x + 2y + z + 4xy + 2mxz Câu Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận  −4 −2  3       −4 ;  2 2) A = 1 1) A =        −2 1  2       −3   3      −3 −1 ;    5) A = 2 4) A =         −1  0       Trang 19 A sau:  1   1 ;    3    0   2 ;    1    −2        3) A = −2 0 ;      2 7      −2        6) A = −2 10 −2      −2       ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 Câu Dùng thuật tốn chéo hóa trực giao để đưa dạng toàn phương f ≡ f (x ; y; z ) ℝ xác định sau dạng tắc: 1) f = 5x + 5y + 2z − 8xy − 4xz + 4yz ; 2) f = 6x + 5y + 7z − 4xy + 4xz ; 3) f = 3x + 3y + 3z + 2xy + 2xz + 2yz ; 4) f = −3x − 3y − 3z + 2xy + 2xz + 2yz ; 5) f = 5x + 5y + 5z + 2xy + 2yz + 2xz ; 6) f = −5x − 5y − 5z + 2xy + 2yz + 2xz ; 7) f = −9x − 9y − 9z + 2xy + 2yz + 2xz ; 8) f = 9x + 9y + 9z + 2xy + 2yz + 2xz ; 9) f = −8x − 8y − 8z + 2xy + 2yz + 2xz ; 10) f = 8x + 8y + 8z + 2xy + 2yz + 2xz ; 11) f = 10x + 10y + 10z + 2xy + 2yz + 2xz ; 12) f = −10x − 10y − 10z + 2xy + 2yz + 2xz ; 13) f = 6x + 3y + 3z + 4xy − 8yz + 4xz ; 14) f = 2x + 5y + 2z − 4xy + 4yz − 2xz ; 15) f = −3y + 4xy − 4yz + 10xz ; 16) f = −x + y − 5z + 4yz + 6xz Câu 6* Dùng thuật toán Lagrange để đưa dạng toàn phương f ≡ f (x 1; x ; x ) ℝ xác định sau dạng tắc tìm ma trận đổi biến P : 2 1) f = x + 5x − 4x + 2x 1x − 4x 1x ; 2) f = x 1x + x 2x + x 1x ; 3) f = x 1x + 2x 2x + 4x 1x ; 2 4) f = 4x + x + x − 4x 1x − 3x 2x + 4x 1x ; 2 5) f = 2x + x + 2x − 4x 1x − 2x 2x ; 2 6) f = x + 3x + 6x + 2x 1x + 2x 1x − 2x 2x ; 2 7) f = −x + 2x − 2x 1x + 2x 1x + 4x 2x ; 2 8) f = −x − 2x − 3x + 2x 1x + 2x 1x − 2x 2x Câu Dùng thuật toán Jacobi thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng để đưa dạng toàn phương xác định sau dạng tắc: 1) q(x ; y ) = 2x + y − 6xy ; 2) q(x ; y ) = x − 3y + 8xy ; 3*) q(x ; y; z ) = x + 4xy − 2yz ; 4*) q(x ; y; z ) = −x + 2z − 2xy + 2xz + 4yz ; 5*) q(x ; y; z ) = x + 7y + 8z − 6xy + 4xz − 10yz ; 6*) q(x ; y; z ) = x + 6y + 4z − 4xy + 6xz − 18yz ; 7*) q(x ; y; z ; t ) = x + 2y + 6z + 11t +2xy − 4xz − 6xt − 10yz − 2yt + 18zt ………………………………… PHẦN II PHẦN RIÊNG CHO A-2 Câu Nhận dạng lập phương trình tắc (nếu đường không suy biến) đường bậc hai cho phương trình tổng quát sau: 1) 2x − y − 4xy + = ; 2) 11x + 4y + 24xy − 15 = ; 3) x + y + 2xy + 8x + y = ; 4) x − 2y − 4xy − 6x + 8y − 25 = ; Trang 20 ThS Đoàn Vương Nguyên 2 Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 5) x + y + xy + x + y = ; 6) 3y + 4xy + 16x + 12y − 36 = ; 7) 9x + 4y + 12xy + 8x + 14y + = ; 8) x + 9y + 6xy − 12x + 24y + 15 = ; 9) 27x + 3y − 10xy = ; 10) 5x + 8y − 4xy − 36 = ; 11) 2x − y − 4xy + = ; 12) x + y + 2xy + 8x + y = ; 13) 5x + 5y + 4xy − = ; 14) x + y + xy − 18 = ; 15) 11x + 4y + 24xy − 15 = ; 16) 9x + 16y − 24xy − 20x + 110y − 50 = Câu Nhận dạng lập phương trình tắc (nếu mặt khơng suy biến) mặt bậc hai cho phương trình tổng quát sau: 1) 5x + 5y + 5z − 10x + 30y − 20z + 15 = ; 2) x + 5y + 3z + 4xy + 2xz + 4yz − 2x − 4y − 2z − = ; 3) x + 6y + 14z − 4xy + 2xz + 8yz + 2x − 4y + 2z − = ; 4) x + 5y + 4z − 4xy + 4xz − 8yz − 4x − 2y − 4z − = ; 5) x + y + z − 4y + 2z + = ; 6) 3x + 8y + 8z − 8yz − 6x − = ; 7) x − 20y − 3z + 14xz − 48y = ; 8) x + y + 48z − 14xy − 96z + 48 = ; 9) 2x + 2y + 3z − 2xz − 2yz − 16 = ; 10) 2x + 2y + 5z − 4xy − 2xz + 2yz + 10x − 2z − 26 = ; 11) 3y + 3z + 4xy + 4xz − 2yz + 4x + = ; 12) 11x + 5y + 2z + 16xy + 4xz − 20yz + 2x + 2y + 2z + = ……………………………………………Hết………………………………………… Trang 21 ... a1 a2 + a3 ⋯ an ⋮ ⋮ ⋮ a1 Trang a3 a1 2*) A = a2 a2 a3 ⋱ ⋮ ⋯ + an (cấp n ); ThS Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 a1 + b1 3*) A = 1 ⋯ (cấp. .. Vương Ngun Bài tập thường kỳ Tốn cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 CHƯƠNG III KHÔNG GIAN VECTOR Câu Xét xem tập hợp với phép toán xác định sau đây, tập hợp không gian vector ℝ ? 1) Tập hợp đa...ThS Đồn Vương Ngun Bài tập thường kỳ Tốn cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 ĐỀ BÀI TẬP CHƯƠNG I MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Câu Thực phép tính ma trận sau   1  1