Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 1 ĐỀ THAM KHẢO 3 MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT (Được sử dụng tài liệu và máy tính) (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) oOo Câu 1. Một máy sản xuất sản phẩm X với tỉ lệ loại tốt là 60%. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm X với tỉ lệ loại tốt là 60%. Cho máy sản xuất 3 sản phẩm rồi bỏ vào lô hàng, sau đó từ lô hàng chọn ra 4 sản phẩm thì được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất để 2 sản phẩm tốt thu được là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước. Câu 2. Một xưởng có 15 máy gồm 9 máy loại I và 6 máy loại II, trong đó tỉ lệ sản phẩm tốt do máy I sản xuất là 60%, do máy II sản xuất là 70%. Chọn ngẫu nhiên một máy để sản xuất và đóng sản phẩm thành 250 kiện, mỗi kiện 8 sản phẩm. Một kiện được xếp vào loại A nếu số tốt nhiều hơn số xấu. Tính xác suất để trong 250 kiện có từ 150 đến 235 kiện loạ i A. Câu 3. Để khảo sát trọng lượng X của một loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau: X(kg) 10−18 18−26 26−34 34−42 42−50 50−58 58−66 Số con 12 25 30 28 18 15 10 a) Nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nuôi trên với độ chính xác 2,5kg thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu? b) Những con vật có trọng lượng từ 50kg trở lên được xếp vào loại A. Ước lượng trọng lượng trung bình của con loại A của loại vật nuôi trên với độ tin cậy 99% (Giả sử X có phân phối chuẩn). Câu 4. Trước đây, bệnh lao đượ c chữa trị bằng loại thuốc A với tỉ lệ khỏi bệnh là 72%. Năm nay, người ta nhập thêm loại thuốc B để chữa bệnh lao. Điều tra 350 bệnh nhân được điều trị bằng thuốc B thì thấy có 273 người khỏi bệnh. a) Có ý kiến cho rằng thuốc B có khả năng chữa bệnh lao tốt hơn thuốc A. Với mức ý nghĩa 1%, hãy nhận định về ý kiế n trên. b) Theo một tài liệu khoa học, tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh lao khi được điều trị bằng loại thuốc B là 82%. Hãy nhận định về tài liệu này với mức ý nghĩa 5%. Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 2 Lời giải Câu 1. Từ giả thiết ta suy ra lô hàng chứa 20 sản phẩm gồm 20.60% = 12 sản phẩm tốt và 8 sản phẩm xấu. Gọi • A là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước. • B là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(A/B). Ta có P(AB) P(A / B) P(B) = . Sau đây ta tìm P(B) và P(AB). Gọi A j (j = 0, , 3) là biến cố có j sản phẩm tốt và (3-j) sản phẩm xấu có trong 3 sản phẩm lấy từ lô I. Khi đó A 0 , A 1 , A 2 , A 3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và theo công thức Bernoulli với n = 3 , p = 60% = 0,6, ta có: 003 3 03 112 1 2 13 22 2 1 23 330 3 23 p(A ) C p q (0,4) 0,064; p(A ) C p q 3(0,6) (0,4) 0,288; p(A ) C p q 3(0,6) (0,4) 0,432; p(A ) C p q (0,6) 0,216. === == = == = === Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: • P(B) = P(A 0 )P(B/A 0 ) + P(A 1 )P(B/A 1 ) + P(A 2 )P(B/A 2 ) + P(A 3 )P(B/A 3 ) Theo công thức Xác suất lựa chọn, ta có: 22 12 11 0 4 23 22 13 10 1 4 23 22 14 9 2 4 23 22 15 8 3 4 23 CC 66 P(B / A ) ; 161 C CC 702 P(B / A ) ; 1771 C CC 468 P(B / A ) ; 1265 C CC 84 P(B / A ) . 253 C == == == == Suy ra: 66 702 468 84 P(B) =0,064 0,288 0,432 0,216 0,3719. 161 1771 1265 253 +++= • P(AB) = P(A 0 )P(AB/A 0 ) + P(A 1 )P(AB/A 1 ) + P(A 2 )P(AB/A 2 ) + P(A 3 )P(AB/A 3 ) Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 3 Nhận xét rằng AB là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu mà 2 sản phẩm tốt là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước. Theo công thức Xác suất lựa chọn, ta có: 22 12 11 0 4 23 22 12 10 1 4 23 22 12 9 2 4 23 22 12 8 3 4 23 CC 66 P(AB / A ) ; 161 C CC 54 P(AB / A ) ; 161 C CC 216 P(AB / A ) ; 805 C CC 24 P(AB / A ) . 115 C == == == == Suy ra: 66 54 216 24 P(AB) =0,064 0,288 0,432 0,216 0,2838. 161 161 805 115 +++= Từ các kết quả trên ta suy ra: P(AB) 0,2838 P(A / B) 0,7631 P(B) 0,3719 == = . Vậy xác suất cần tìm là 0,7631. Câu 2. Gọi X là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện. Yêu cầu bài toán là tính xác suất P(150 ≤ X ≤ 235). Gọi - A 1 , A 2 lần lượt là các biến cố chọn được máy loại I, loại II. - X 1 , X 2 lần lượt là các ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong trường hợp chọn được máy loại I, loại II. Khi đó A 1 , A 2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và giả thiết cho ta: P(A 1 ) = 9/15 = 0,6; P(A 2 ) = 6/15 = 0,4. Theo công thức xác suất đầy đủ, với mỗi k ta có: P(X= k) = P(A 1 )P(X = k /A 1 ) + P(A 2 )P(X= k/A 2 ). = 0,6.P(X 1 = k) + 0,4.P(X 2 = k). Do đó P(150 ≤ X ≤ 235) = 0,6.P(150 ≤ X 1 ≤ 235) + 0,4.P(150 ≤ X 2 ≤ 235) (1) Bây giờ ta tìm phân phối của X 1 và X 2 . • Phân phối của X 1 : Ta có X 1 là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong trường hợp chọn được máy loại I. Ta xét trường hợp đã chọn được máy loại I. Trước hết ta cần tính xác suất p 1 để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này. Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 4 Chọn ngẫu nhiên một kiện. Gọi B là biến cố kiện thuộc loại A. Ta cần tính p 1 = P(B). Theo giả thiết, mỗi kiện gồm 8 sản phẩm và kiện thuộc loại A nếu số tốt nhiều hơn số xấu. Do đó theo công thức Bernoulli ta có: 553 662 77 8 81 1 81 1 81 1 1 53 62 7 8 P(B) C p q C p q C p q p = 56(0,6) (0,4) 28(0,6) (0,4) 8(0,6) (0,4) (0,6) 0,5941. =+++ +++= Vậy xác suất để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này là p 1 = 0,5941. Từ kết quả trên, ta suy ra X 1 có phân phối nhị thức X 1 ∼ B(n 1 ,p 1 ) với n 1 = 250, p 1 = 0,5941. Vì n 1 = 250 khá lớn và p 1 = 0,5941 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X 1 có phân phối chuẩn như sau: X 1 ∼ N(μ 1 , σ 1 2 ) với μ 1 = n 1 p 1 = 250.0,5941 = 148,525; 1 111 n p q 250.0,5941.(1 0,5941) 7,7644σ= = − = . • Phân phối của X 2 : Ta có X 2 là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong trường hợp chọn được máy loại II. Ta xét trường hợp đã chọn được máy loại II. Trước hết ta cần tính xác suất p 2 để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này. Chọn ngẫu nhiên một kiện. Gọi C là biến cố kiện thuộc loại A. Ta cần tính p 2 = P(C). Theo giả thiết, mỗi kiện gồm 8 sản phẩm và kiện thuộc loại A nếu số tốt nhiều hơn số xấu. Do đó theo công thức Bernoulli ta có 553 662 77 8 82 2 82 2 82 2 2 53 62 7 8 P(C) C p q C p q C p q p = 56(0,7) (0,3) 28(0,7) (0,3) 8(0,7) (0,3) (0,7) 0,8059. =+++ +++= Vậy xác suất để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này là p 2 = 0,8059. Từ kết quả trên, ta suy ra X 2 có phân phối nhị thức X 2 ∼ B(n 2 ,p 2 ) với n 2 = 250, p 2 = 0,8059. Vì n 2 = 250 khá lớn và p 2 = 0,8059 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X 2 có phân phối chuẩn như sau: X 2 ∼ N(μ 2 , σ 2 2 ) với μ 2 = n 2 p 2 = 250.0,8059 = 201,475; 2222 n p q 250.0, 8059.(1 0, 8059) 6,2535.σ= = − = Bây giờ từ (1) ta suy ra 12 11 22 11 22 P(150 X 235) 0,6.P(150 X 235) 0,4.P(150 X 235) 235 150 235 150 = 0,6 ( ) ( ) 0,4 ( ) ( ) 235 148,525 150 148,525 235 201,475 15 = 0,6 ( ) ( ) 0,4 ( ) ( 7,7644 7,7644 6,2535 ≤≤ = ≤ ≤ + ≤ ≤ ⎛⎞⎛⎞ −μ −μ −μ −μ ϕ−ϕ +ϕ−ϕ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ σσ σσ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞ −− − ϕ−ϕ +ϕ−ϕ ⎜⎟ ⎝⎠ 0 201,475 ) 6,2535 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 5 ( ) ( ) ()() ()() = 0, 6 (11,14) (0, 19) 0, 4 (5, 36) ( 8, 23) 0, 6 (5) (0,19) 0, 4 (5) (5) 0, 6 0, 5 0, 0754 0, 4 0, 5 0, 5 0, 6548 ϕ−ϕ+ϕ−ϕ− =ϕ−ϕ +ϕ+ϕ =−++= Vậy xác suất để trong 250 kiện có từ 150 đến 235 kiện loại A là 65,48%. Câu 3. Lập bảng X i 14 22 30 38 46 54 62 n i 12 25 30 28 18 15 10 Ta có: n = 138 ; ii X n = ∑ 4940; 2 ii Xn= ∑ 202152. - Kỳ vọng mẫu của X là ii 1 X Xn n == ∑ 35,7971 - Phương sai mẫu của X là:  2 22 ii 1 SXnX n =−= ∑ (13,5439) 2 - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:  2 2 n SS n1 == − (13,5932) 2 a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1 − α khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác ε = 2,5kg. Vì n ≥ 30, σ 2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: S z n α ε = trong đó ϕ(z α ) = γ /2 . Suy ra n 2,5. 138 z2,16 S 13,5932 α ε == = Tra bảng B giá trị hàm Laplace ta được: 2 (z ) 2 (2,16) 2.0, 4846 96, 92%. α γ= ϕ = ϕ = = Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 6 Vậy độ tin cậy đạt được là 96,92%. b) Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ A = M(X A ) của chỉ tiêu X = X A của những con loại A với độ tin cậy γ = 1 − α = 99% = 0,99. Các số liệu của X A thu được như sau: X Ai 54 62 n Ai 15 10 Từ bảng trên ta tính được: A n = 25; Ai Ai X n = ∑ 1430; 2 Ai Ai X n = ∑ 82180. - Kỳ vọng mẫu của X A là AAiAi 1 XXn n == ∑ 57,2 - Phương sai mẫu của X A là:  2 22 A Ai Ai A 1 SXnX n = −= ∑ (3,9192) 2 - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X A là:  2 22 A A A A n SS4 n1 = = − Vì n A < 30, X A có phân phối chuẩn, σ 2 A = D(X A ) chưa biết, nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: kk AA AA A A SS (X t ; X t ) nn αα −+ , trong đó k t α được xác định từ bảng phân phối Student với k = n A – 1= 24 và α = 1 – γ = 1 – 0,99 = 0,01. Tra bảng phân phối Student ta được k t α = 2,797. Vậy ước lượng khoảng là 44 (57,2 2,797 ;57,2 2,797 ) (54, 9624; 59,4376). 25 25 −+= Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình của con loại A từ 54,9624kg đến 59,4376kg. Câu 4. Từ các giả thiết của bài toán ta suy ra đối với loại thuốc B: • Cỡ mẫu n = 350. • Số bệnh nhân khỏi bệnh: 273. • Tỉ lệ mẫu bệnh nhân khỏi bệnh F n = 273/350 = 0,78. a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các bệnh nhân khỏi bệnh khi được điều trị bằng thuốc B với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 7 H 0 : p = 72% = 0,72 với giả thiết đối H 1 : p > 0,72. Ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có n0 00 (F p ) n (0,78 0,72) 350 z2,5. p(1p) 0,72(10,72) − − == = −− Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1 − 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta được z 2α = 2,33. Bước 3: Vì z = 2,5 > 2,33 = z 2α nên ta bác bỏ giả thiết H 0 : p = 0,72, nghĩa là chấp nhận H 1 : p > 0,72. Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, có thể cho rằng thuốc B có khả năng chữa bệnh tốt hơn thuốc A. b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các bệnh nhân khỏi bệnh khi được điều trị bằng thuốc B với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05: H 0 : p = 82% = 0,82 với giả thiết đối H 1 : p ≠ 0,82. Ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có n0 00 (F p ) n (0,78 0, 82) 350 z 1, 9478. p(1p) 0,82(10,82) − − == =− −− Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z α thoả ϕ(z α ) = (1 − α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta được z α = 1,96. Bước 3: Vì |z| = 1,9478 < 1,96 = z α nên ta chấp nhận thiết H 0 : p = 0,82. Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, tài liệu khoa học về loại thuốc B là đáng tin cậy. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com . Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 1 ĐỀ THAM KHẢO 3 MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT (Được sử dụng tài. A 2 , A 3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và theo công thức Bernoulli với n = 3 , p = 60% = 0,6, ta có: 0 03 3 03 112 1 2 13 22 2 1 23 330 3 23 p(A ) C p q (0,4) 0,064; p(A ) C p q 3( 0,6). đã chọn được máy loại I. Trước hết ta cần tính xác suất p 1 để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này. Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 4 Chọn ngẫu nhiên một kiện.