Chun đề TÍCH PHÂN CƠNG THỨC Bảng ngun hàm Ngun hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp ∫ dx = x + C ∫ x α dx = ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C ∫ dx ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ e dx = e + C ∫ ax + C ( < a ≠ 1) ln a cos xdx = sin x + C ∫ ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C a x dx = ∫ ∫ ∫ 2 x ∫ ∫ x ∫ sin ∫ du = u + C x α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 x Nguyên hàm hàm số hợp ∫ dx = − cot x + C α +1 ( ax + b ) α dx = ( ax + b ) + C (α ≠ 1) a α +1 dx = ln ax + b + C ( x ≠ ) ax + b a e ax + b dx = e ax +b + C a cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C a 1 dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 1 dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) u α du = u α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ∫ e du = e + C u u au + C ( < a ≠ 1) ln a cos udu = sin u + C ∫ ∫ ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C a u dx = ∫ sin u du = − cot u + C I ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b Để tính tích phân u( u ò f[ x)] (x)dx ta thực bước sau: / a x) Bước Đặt t = u(x) tính dt = u/( dx a) x b) Bước Đổi cận: x = a Þ t = u( = a,  = b Þ t = u( = b b b Bước u( u ò f[ x)] (x)dx = ò f(t)dt / a a e Ví dụ Tính tích phân I = dx ị xl x n e Giải dx x x = e Þ t= x = e Þ t= ,  n Đặt t = l x Þ dt = Þ I= ị Ví dụ Tính tích phân I = p dt = l t = l n n t Vậy I = l n cosx dx cosx) ò (si x + n Hướng dẫn: p I= cosx dx = cosx) ò (si x + n ĐS: I = p dx ò (tan x + 1) cos x Đặt t = tan x + 3 Ví dụ Tính tích phân I = ò (1 + dx x) 2x + Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 n ĐS: I = l Ví dụ 10 Tính tích phân I = ị 3- x dx 1+ x Hướng dẫn: Đặ t t = ĐS: I = Chú ý: 3- x t dt an ; đặt t = t u L Þ L 8ò 2 1+ x ( + 1) t p 3 + Phân tích I = ò 3- x dx , đặt t = 1+ x + x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính ∫ f ( x)dx ta thực bước sau: a Bước Đặt x = u(t) tính dx = u / (t )dt Bước Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β b Bước β β ∫ f ( x)dx = ∫ f [u(t )]u (t )dt = ∫ g (t )dt / a α α Ví dụ Tính tích phân I = ò dx - x2 Giải p pù i ,  é dt Đặt x = s n t t ẻ ; ỳị dx = cost 2û p x = Þ t = 0,  = Þ t = x p Þ I= ò cost dt = - s n2 t i p cost ò cost dt= p Vậy I = Ví dụ Tính tích phân I = ị - x2 dx p p ò dt = t = p p - 0= 6 Hướng dẫn: Đặt x = 2s n t i ĐS: I = p Ví dụ Tính tích phân I = dx x2 ị1+ Giải ổ p pử an , ỗ t dt ữ t x = t t t ẻ ỗ- ; ữị dx = ( an x + 1) ỗ 2ữ è ø p x = Þ t = 0,  = Þ t = x p Þ I= t t+ an dt = t 2t an p Vậy I = ò1+ 3- ò Ví dụ Tính tích phân I = p dx x + 2x + 2 Hướng dẫn: 3- I= ò dx = x + 2x + 3- dx ò + (x + 1) an Đặ t x + = t t p ĐS: I = 12 Ví dụ Tính tích phân I = p ĐS: I = ò 3- Ví dụ Tính tích phân I = p ĐS: I = 12 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác ò dx - x2 dx x + 2x + 2 Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I = p n ò cos x si xdx Hướng dẫn: Đặt t = cosx ĐS: I = 15 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I = p ị cos xdx Hướng dẫn: Đặ t t = s n x i ĐS: I = 15 p ị dt = Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân I = p ò cos x s n2 xdx i Giải p I= ò cos p x s n2 xdx = i p p p 1 n n ò cos2 x si 2xdx = 16 ò (1 - cos4x)dx + ò cos2x si 2xdx 0 p p æ x s n3 2x i 1 ÷ = p s n 4x + i = ( - cos4x) + ũ s n2 2xd( i 2x)= ỗ dx i sn ữ ỗ16 64 ữ ũ ố 24 ứ0 32 16 p Vậy I = 32 Ví dụ 14 Tính tích phân I = p ò cosx + dx sn x + i Hướng dẫn: x Đặ t t = t an ĐS: I = l n Biểu diễn hàm số LG theo t = tan 3.2 Dạng liên kết p Ví dụ 15 Tính tích phân I = a : sin a = 2t +t ; cos a = −t +t ; tan a = 2t −t xdx ò si x + n Giải Đặt x = p - t Þ dx = - dt x = Þ t = p,  = p Þ t = x ( - t dt p ) Þ I= - ị = s n( - t + i p ) p p p ò ( si t + n p t dt sn t+ i ) p dt p dt = pị - IÞ I= ị s n t+ i sn t+ i p p = ò dt ( t t2 s n + cos i 2 ) ổ pử t p dỗ - ữ ữ p p ỗ p dt ữ ỗ2 ứ ổ pử ố p p = ũ ỗt - ữ = p = t ỗ an ữ cos2 t - p = ũ ữ ỗ2 ứ ổ pử ố 2 ỗt ữ cos ỗ - ữ ữ ỗ2 ø è Vậy I= p ( Tổng quát: ) p p p n n ò xf(si x)dx = ị f(si x)dx 0 Ví dụ 16 Tính tích phân I = p s n2007 x i ò si 2007 x + cos2007 x dx n Giải p Đặt x = - t Þ dx = - dt x = Þ t= s n2007 i Þ I= - ò si n 2007 p Mặt khác I + J = p dx = ( p - t) + cos ( p - t) 2 2007 ò dx = Tổng quát: ( p - t) p p ,  = Þ t = x 2 p 2007 cos t ò si 2007 t + cos2007 tdx = J (1) n p (2) Từ (1) (2) suy I = p p s nn x i ò si n x + cosn x dx = n p p cosn x p ò si n x + cosn x dx = ,n Ỵ Z+ n sn x i ò si x + cosx dx J = n Ví dụ 17 Tính tích phân I = p cos x ò si x + cosx dx n Giải I- 3J = p (1) p dx ò si x + p n cosx p Đặt t = x + Þ dt = dx ⇒I + J = l (2) n 1- 1- l 3+ n ,  = J l 3n Từ (1) (2)⇒I = 16 16 l + x) n( dx Ví dụ 18 Tính tích phân I = ị + x2 I+ J = ò si x + n dx dx = ( ) Giải Đặt x = t t Þ dx = ( + t t dt an an ) p x = Þ t = 0,  = Þ t = x p Þ I= p l 1+ t t n( an ) n( ò + tan2 t ( + tan2 t) dt = ò l + tan t)dt 0 p Đặt t = - u Þ dt = - du p p t = Þ u = ,  = Þ u = t 4 p Þ I= n( ị l + tan t)dt = é ỉ ứ p ú l + t ỗ - u ữ du n an ỗ ữ ũ ữ ỗ4 ố ứỳ ỷ p p = ổ nỗ ũ l ỗ1 + ỗ ố 1- t u ữ an du ÷ = 1+ t an ø p = p 0 n n ò l 2du - ò l ( + p ổ nỗ ũ l ỗ1 + ỗ ố t u ) du = an ÷ du ÷ t uø an ÷ p l - I n Vậy I = p Ví dụ 19 Tính tích phân I = p l n cosx dx x + ò 2007 - p Hướng dẫn: Đặ t x = - t ĐS: I = Tổng quát: ( a > Với a    , a > , hàm số f x) chẵn liên tục đoạn [ - a;  ] a a f x) ( ị ax + dx = ò f(x)dx - a ( ( Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục ¡ thỏa f - x)+ 2f x) = cosx p Tính tích phân I = ò f(x)dx - p Đặt J = Giải ị f(- x)dx , x = - t Þ - dx = - dt p p p p p Þ t = ,  = Þ t = x 2 2 x=p Þ I= p ò f(- t)dt = J Þ p 3I = J + 2I = p ò[ f(- x)+ 2f(x)] dx - p = p p ò cosxdx = 2ò cosxdx = - p Vậy I = 3.3 Các kết cần nhớ a ( > i/ Với a    , hàm số f x) lẻ liên tục đoạn [–a; a] ị f(x)dx = - a a ( > ii/ Với a    , hàm số f x) chẵn liên tục đoạn [–a; a] a ị f(x)dx = 2ị f(x)dx - a iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) ì ( - 1)! ! ï n ï ,  un lẻ nế ï n! ! cosn xdx = ò s nn xdx = ï i í ò ï ( - 1)! p ! ï n 0 ,nế n chẵ u n ï ï ï ỵ n! ! p Trong p n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0! = 1! = 2! = 2;  != 4! = 5! = 5; ! ;  ! ;  ! 3! 3;  ! 4;  ! 6! = 6;  != 8! = 9! = 9;  != 10 ! 7! 7;  ! 8;  ! 10! Ví dụ 21 Ví dụ 22 p ị cos 11 xdx = 10! ! 10 256 = = 11! ! 11 693 n ò si 10 xdx = 9! p ! p 63p = = 10! 2 10 ! 512 p II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Cơng thức x) v( Cho hai hàm số u( ,  x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có / / / / ( uv ) / = u v + uv Þ ( uv ) / dx = u vdx + uv dx b b ị d(uv) = Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ a b Þ uv b a = b b ò vdu + a b ị vdu + ị udv Þ ị udv = uv a a a b a - ò udv a b ị vdu a Cơng thức: b b ò udv = uv b a - a ò vdu (1) a Cơng thức (1) cịn viết dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a a - ò f (x)g(x)dx (2) / a Phương pháp giải tốn b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực a Cách ( ,  x) x) Bước Đặt u = f x) dv = g( dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v( vi b / x) phân du = u ( dx không phức tạp Hơn nữa, tích phân ị vdu phải tính a Bước Thay vào cơng thức (1) để tính kết Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b n ò P(x)si axdx, ò P(x)cosaxdx, ò e ax a b ii/ Nếu gặp b a x) x) với P(x) đa thức đặt u = P( P( dx a n n ò P(x)l xdx đặt u = l x a Cách b Viết lại tích phân b ị f(x)g(x)dx = ò f(x)G a / ( dx sử dụng trực tiếp cơng thức (2) x) a Ví dụ Tính tích phân I = ị xe dx x Giải ìu=x ï Đặt ï dv = ex dx ị ù ù ợ ị ỡ du = dx ï ï (chọn C = ) í x ï ïv=e ỵ ị xe dx = xe x x - ò e dx = (x x 1) x e = e Ví dụ Tính tích phân I = n ị x l xdx Giải ì ï du = dx ï ï x ï í ï x ï ïv= ï ỵ e e e x e2 + Þ ị x l xdx = n l x - ò xdx = n 2 1 n ìu=l x ï Þ Đặ t ï í ï dv = xdx ï î Ví dụ Tính tích phân I = p òe x s n xdx i Giải i ì u = sn x ï Þ Đặt ï í ï dv = ex dx ï ỵ p Þ I= ì du = cosxdx ï ï í ï v = ex ï ỵ p n n ò ex si xdx = ex si x p - ì u = cosx ï Đặt ï dv = ex dx ị ù ù ợ p Þ J= ịe x i ì du = - s n xdx ï ï í x ï ïv=e ỵ cosxdx = ex cosx p ò ex cosxdx = e2 - J p p + òe x s n xdx = - + I i p p e2 + Þ I= e - ( + I Þ I= ) Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân I = p2 ị cos xdx Hướng dẫn: Đặ t t = p x L Þ I = 2ị tcost = L = p - dt e Ví dụ Tính tích phân I = n( n ị si l x)dx ĐS: I = ( i - cos1) + s n1 e III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b ò f(x) dx , ta thực bước sau Giả sử cần tính tích phân I = a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a + f x) ( b Bước Tính I = x1 x1 x2 - + x2 b b ò f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx a a x1 x2 ịx Ví dụ Tính tích phân I = - 3x + dx - Giải Bảng xét dấu x x - 3x + 2 - + 1 I= - 2 ò( x ò( x - 3x + 2) dx - - p 59 59 Vậy I = Ví dụ 10 Tính tích phân I = - 3x + 2) dx = - 4cos x - 4s n xdx i ò p ĐS: I = - Dạng b ò[ Giả sử cần tính tích phân I = f x) ± g( ] dx , ta thực ( x) a Cách b Tách I = ò[ b f x) ± g( ] dx = ( x) a b ò f(x) dx ± ò g(x) dx sử dụng dạng a a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11 Tính tích phân I = ò( x - x - ) dx - Giải Cách I= ò( - =- x - x - ) dx = ò x dx - ò x - - dx - ò xdx + ò xdx + ò (x - 1) dx ò (x 1) dx x2 =- + - x2 2 ổ2 ổ2 x x + ỗ - xữ - ỗ - xữ = ữ ữ ỗ2 ỗ2 ữ ữ ố ứ- ố ứ1 Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 0 – – – I=  + + + ò( - x + ò( x + x - 1) dx + - =- x - Dạng x + 1) dx 1 + ( x - x) + x = Vậy I = b Để tính tích phân I = ị( x - x - 1) dx + b n ò m ax { f(x), g(x)} dx J = ò m i { f(x), g(x)} dx , ta thực a a bước sau: x) ( x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số h( = f x)- g( đoạn [a; b] Bước x) ( ,  x) ( n ( ,  x) x) + Nếu h( > m ax { f x) g( } = f x) m i { f x) g( } = g( x) ( ,  x) x) n ( ,  x) ( + Nếu h( < m ax { f x) g( } = g( m i { f x) g( } = f x) Ví dụ 12 Tính tích phân I = ị m ax { x + 4x - 2} dx ,  Giải 2 x) Đặt h( = ( x + 1) - ( 4x - 2) = x - 4x + Bảng xét dấu x h(x) + I= – + ò( x ò ( 4x - + 1) dx + 2) dx + ò( x + 1) dx = 80 80 Vậy I = Ví dụ 13 Tính tích phân I = n ị m i { , 4 x x } dx Giải x x x) Đặt h( = - ( - x ) = + x - Bảng xét dấu x h(x) I= – ò dx + ò x 0 + 3x ỉ x2 ÷ ç4x + ç + ÷ = ÷ l 30 è n ø1 l n ( - x ) dx = Vậy I = + l n IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải tốn Dạng 10 b Để chứng minh b ò f(x)dx ³ ò f(x)dx £ (hoặc a ( ( ) ta chứng minh f x) ³ (hoặc f x) £ ) với a " x Ỵ [ a;  ] b Ví dụ 14 Chứng minh ị - x6 dx ³ Giải 1 Với " x Ỵ [ 0;  ] :x £ Þ ị 1- x ³ Þ - x6 dx ³ Dạng b Để chứng minh b ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh f(x) ³ a g( với " x Ỵ [ a;  ] x) b a Ví dụ 15 Chứng minh p ị1+ dx £ s n10 x i p ò1+ dx s n11 x i Giải pù é 0;  :0 £ s n x £ Þ £ s n11 x £ s n10 x i i i Với " x Ỵ ê ë 2ú û 1 Þ + s n10 x ³ + s n11 x > Þ i i £ 10 + s n x + s n11 x i i Vậy p dx £ s n10 x i ò1+ p ò1+ dx s n11 x i Dạng b Để chứng minh A £ ò f(x)dx £ B ta thực bước sau a ( Bước Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m £ f x) £ M b b Bước Lấy tích phân A = m ( - a) £ ò f(x)dx £ M ( - a) = B b a Ví dụ 16 Chứng minh £ ò + x2 dx £ Giải Với " x Ỵ [ 0;  ] :4 £ + x2 £ Þ £ + x2 £ Vậy £ ò + x2 dx £ Ví dụ 17 Chứng minh p £ 3p ò3p dx p £ 2s n x i Giải p 3p ù é £ sn x £ Þ i Với " x Ỵ ê ;  ú: 4û ë Þ £ - 2s n2 x £ Þ i £ 3- 11 £ s n2 x £ i £1 2s n2 x i Þ 3p p £ 4 ) ò3- dx 3p p £1 4 2s n x i p £ ò3- dx p £ 2s n x i ( Vậy Ví dụ 18 Chứng minh 3p £ 12 p ò p ( p 3p p ) cot x dx £ x Giải cot x ( ,  Ỵ x Xét hàm số f x) = x é p pù ê ;  ú ta có ê 3ú ë û - x - cot x é p pù s n2 x i / f( = x) < 0  " x Ỵ ê ;  ú   ê 3ú x ë û p p p pù Þ f £ f x) £ f (   " x Ỵ é ;  ú   ê ë 3û é cot x p pù Þ £ £   " x Ỵ ê ;  ú   ê p x p 3ú ë û ( ) Þ ( ) 3ổ ỗp - p ữÊ ữ ỗ ố ứ p ỗ3 ữ p cot x 4ổ p pử dx Ê ỗ - ữ ữ ỗ ũ x ữ ố p ỗ3 ứ p Vy £ 12 p ò p cot x dx £ x Dạng (tham khảo) b Để chứng minh A £ ò f(x)dx £ B (mà dạng không làm được) ta thực a ì f x)£ g(   x Ỵ [ a;  ] x) " b ï ( ï b ï b ï Þ ị f x) £ B ( dx Bước Tìm hàm số g(x) cho í ï g( dx = B ï ò x) a ï a ï ỵ ì x) (   b ï h( £ f x) " x Ỵ [ a;  ] ï b ï b ï Þ A £ ị f x) ( dx Bước Tìm hàm số h(x) cho í ï h( dx = A ï ò x) a ï a ï ỵ Ví dụ 19 Chứng minh 2 dx p £ - x2007 Giải é 2ù 0;  ú:0 £ x2007 £ x2 £ Với " x Ỵ ê ú ê ë û £ ị 12 Þ £ - x2 £ - x2007 £ Þ £ 2 Þ 2 1 - x2 2 dx dx £ ò 2007 1- x - x2 0 i dt Đặt x = s n t Þ dx = cost p x = Þ t = 0,  = x Þ t= ị dx £ ị 2 ị Þ Vậy Ví dụ 20 Chứng minh £ - x2007 3+ £ p dx = - x2 £ 2 ò cost dt p = cost dx p £ - x2007 ò xdx 2+ £ x + 2- Giải Với " x Ỵ [ 0;  ] : - £ x2 + - £ - 1 x x x Þ £ £ 3- 2- x2 + - 1 Þ ị Vậy ị xdx £ 3- 3+ £ xdx £ x + 2- ò 1 ò xdx £ x2 + - ò xdx 2- 2+ V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong ( Cho hàm số f x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y = f x) x = a,  = b trục hoành S = ( ,  x ò f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ị f(x) dx a n x ,  Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = l x,  = x = e Ox Giải n " ;  Do l x ³ 0  x Ỵ [ e] nên e S= e n n n ò l x dx = ò l xdx = x ( l x 1) e = 1 Vậy S = (đvdt) x x Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - x2 + 4x - 3,  = 0,  = Ox Giải Bảng xét dấu 13 x y – ò( - x S=- + ò( - x + 4x - 3) dx + + 4x - 3) dx 1 ỉ x ỉ x3 2 ữ ỗ = - ỗữ ữ ỗ + 2x + 3x ø + è- + 2x + 3x ữ = ỗ ữ ữ ố ứ1 Vậy S = (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y = f x) y = g( ,  = a,  = b S = ( ,  x) x x ò f(x)- g( dx x) a Phương pháp giải toán ( x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ị f(x)- g( dx x) a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y = f x) y = g( S = ( ,  x) ò f(x)- b g( dx Trong a,  nghiệm nhỏ lớn x) a ( x) phương trình f x) = g( ( a £ a < b £ b ) Phương pháp giải toán ( x) Bước Giải phương trình f x) = g( ( x) b Bước Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( đoạn [ a;  ] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ị f(x)- g( dx x) a y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6,  = 6x2 , x = 0,  = x Giải x) x Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h( = Û x = Ú x = Ú x = (loại) x) Bảng xét dấu x h(x) – + S=- ò( x ò( x - 6x + 11x - 6) dx + - 6x2 + 11x - 6) dx 1 ỉ ỉ x 11x x 11x2 = - ỗ - 2x3 + - 6x ữ + ỗ - 2x3 + - 6x ữ = ữ ữ ỗ4 ỗ4 ữ ữ è ø0 è ø1 2 Vậy S = (đvdt) y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6,  = 6x2 4 14 Giải x) x Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h( = Û x = Ú x = Ú x = x) Bảng xét dấu x h(x) + – S= 3 ò( x ò( x - 6x2 + 11x - 6) dx - - 6x2 + 11x - 6) dx 2 æ ö æ ö x 11x x 11x2 = ç - 2x3 + - 6x ÷ - ç - 2x3 + - 6x ữ = ữ ỗ ữ ç4 ÷ è4 ÷ è ø1 ø2 2 Vậy S = (đvdt) 4 Chú ý: b ( x) Nếu đoạn [ a;  ] phương trình f x) = g( khơng cịn nghiệm ta dùng b cơng thức ị f(x)- b ò [ f(x)- g( dx = x) a g( ] dx x) a y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3,  = 4x Giải Ta có x3 = 4x Û x = - Ú x = Ú x = Þ S= ị( x ò( x - 4x ) dx + - - 4x ) dx 0 ỉ4 ỉ4 x x = ỗ - 2x2 ữ + ỗ - 2x2 ữ = ữ ữ ỗ4 ỗ4 ÷ ÷ è ø- è ø0 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - x + trục hồnh Giải 2 t Ta có x - x + = Û t - 4t + = 0,  = x ³ t x é =1 éx = é = ±1 Û ê Û ê Û ê ê =3 êx = ê = ±3 t x ë ë ë Þ S= òx - - x + dx = 2ò x2 - 4x + dx é ù = êò ( x2 - 4x + 3) dx + ò ( x2 - 4x + 3) dx ú ê ú ê0 ú ë û 3 éỉ ỉ ù 16 x x = ờỗ - 2x2 + 3x ữ + ỗ - 2x2 + 3x ữ ỳ= ữ ữ ỗ3 ỗ3 ữ ữ ờố ứ0 ố ứ1 ú ë û 16 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - 4x + y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - 4x + = x + 3 15 ì ï ï ï Û ï í ï ï ï ï ỵ Bảng xét dấu x+ 3³ x é =0 é - 4x + = x + Û ê x ê ê = x ë ê - 4x + = - x - x ê ë x x - 4x + Þ S= + – + ò( x - 5x ) dx + ò( - x + 3x - 6) dx + ò( x - 5x ) dx 3 2 ỉ 5x2 x - x3 ÷ + ỉ x + 3x - 6x + ỉ - 5x = 109 ÷ ÷ ç ç = ç ÷ ÷ ÷ ç3 ç ç3 ÷ ÷ ÷ è ø1 è ø0 è 2 ø3 109 Vậy S = (đvdt)   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - ,  y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - = x + Û t - = t + 5,  = x ³ t ì t= x ³ ï ï ì t= x ³ ï ï t Û ï é - = t+ Û ï Û x = ±3 íê í ï ï t= ï ê2 ï ỵ ï ê - = - t- t ùở ợ ị S= ũ x - 1- x + 5) dx = 2ò x2 - - ( - ( x + 5) dx Bảng xét dấu x x - – + Þ S=2 ị( - x - x - 4) dx + ò( x - x - 6) dx 1 ỉ x3 x2 x3 ÷ + ỉ - x - 6x = 73 ÷ ç ç =2ç - 4x ÷ ÷ ç ÷ ÷ è ø0 è ø1 2 73 Vậy S = (đvdt) Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Trường hợp ( b Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f x) ³ 0" x Ỵ [ a; ] , y = , b x = a x = b  a < b) quay quanh trục Ox V = pò f ( dx ( x) a C):x + y = R quay quanh Ox Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình trịn ( Giải Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 = R Û x = ±R C):x2 + y2 = R Û y2 = R - x2 Phương trình ( 16 R R Þ V = pò ( R - x ) dx = 2pò ( R - x2 ) dx 2 - R R ỉ x ÷ = 4pR = 2p ỗR 2x ữ ỗ ố ứ ÷0 3 4pR Vậy V = (đvtt) 3 Trường hợp y) ; Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x = g( ³ 0" y Ỵ [ c d ] , x = , d y = c y = d  c < d) quay quanh trục Oy V = p g2( dy ( ò y) c x2 y2 E): + = quay quanh Oy Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse ( a b Giải y2 Tung độ giao điểm (E) Oy = Û y = ±b b 2 x y a2y2 2 E): + = Û x = a Phương trình ( a b b2 b b 2 ỉ a2y2 ÷ = 2p ỉ - a y ửdy ữ ỗa ị V = pũ ỗa dy ữ ữ ỗ ũỗ ố ứ ố ø b2 ÷ b2 ÷ - b R ỉ a2y3 ÷ = 4pa b = 2p ça2y ÷ ç ÷ è 3b2 ø0 4pa b Vậy V = (đvtt) 3 Trường hợp ( ,  x) Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f x) y = g( , x = a x = b  a < b,  ( ³ 0, x) ³ 0  x Ỵ [ a;  ]) quay quanh trục Ox ( f x) g( " b b V = pò f2( - g2( dx x) x) a Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y2 = x quay quanh Ox Giải x ìx³ é =0 ï ï Û ê Hồnh độ giao điểm í ê = ïx =x x ï ë ỵ 1 Þ V = pị x - x dx = p ò( x - x ) dx 3p x = 10 3p Vậy V = (đvtt) 10 =p ( 1x 5 ) - Trường hợp ( ,  y) Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x = f y) x = g( , y = c [ c d ]) quay quanh trục Oy y = d  c < d,  ( ³ 0, y) ³ 0  y Ỵ ;  ( f y) g( " d V = pò f2( - g2( dy y) y) c 17 Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x = - y2 + , x = - y quay quanh Oy Giải y é =- Tung độ giao điểm - y + = - y Û ê ê =2 y ë Þ V = pị ( - y2 + 5) - ( - y ) dy - =p ò( y - 11y2 + 6y + 16) dy - ổ 11y3 y 153p =pỗ + 3y2 + 16y ữ = ữ ỗ ữ ỗ5 ố ứ- Vậy V = VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 153p (đvtt) 10 1 10 Tính I= ∫ ( − x ) dx Áp dụng kết tính tổng sau: S = − C10 + C10 − + C10 11 Tính: I = x ( − x ) ∫ 19 dx Áp dụng kết tính tổng sau: S= 1 1 18 19 C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 20 21 3 Chứng minh rằng: + Cn + Cn + + 2n +1 − n Cn = n +1 n +1 BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x + cos x  π , biết F  −  = ln sin x − cos x  4 Tính tích phân sau: e2 A= ∫ 2 x + - 7x dx x B= ∫ x -1 dx x C= ∫ ln 2dx -2 Tính tích phân sau: π A= ∫ e e cos x sin xdx ln x dx B= ∫ x * C= ∫ dx x x +4 2 x dx x -1 1+ D =∫ * Tính tích phân sau: e sin(ln x) dx I= ∫ x ln dx L= ∫ x −x −3 ln e + 2e C= π π J= ∫ π dx sin x cot x π M= ∫ sin xdx cos x + sin x 10 K= ∫ lg xdx N= ∫ dx x -9 sin x dx x)2 ∫ (1 + cos Tính tích phân sau: dx A= ∫ - x2 B= ∫ dx x2 + 18 C= ∫ 16 - x dx ln ∫ D= 1- e x dx + ex E= ∫ Tính tích phân sau: e ln x dx A= ∫ x dx x −1 π 2 x sin x dx B =∫ + cos2 x eπ * 3x − x dx E= ∫ x3 D = ∫ cos(ln x)dx * ln x dx x C =∫ * F* = x2 − ∫1 + x dx − Tính: π π A= ∫ cos xdx e F= ∫ ln x + dx x x C= ∫ xe dx B= ∫ cos3 xdx 0 G= ∫ x + x dx H= ∫ x + xdx 0 D= ∫ e I= ∫ x x dx x dx x +1 E= ∫ x ln xdx 1 x dx 1+ x J= ∫ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a x=1; x=e; y=0 y= + ln x x b y=2x; y=3− x=0 x π c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x= Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x3− 2+4x− (C) tiếp tuyến với 2x đường cong (C) điểm có hồnh độ 10 Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1 quay quanh: a)Trục Ox b) Trục Oy − ết − H 19 ... ò xdx £ x2 + - ò xdx 2- 2+ V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong ( Cho hàm số f x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y... TỰ GIẢI Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x + cos x  π , biết F  −  = ln sin x − cos x  4 Tính tích phân sau: e2 A= ∫ 2 x + - 7x dx x B= ∫ x -1 dx x C= ∫ ln 2dx -2 Tính tích phân sau:... với P(x) đa thức đặt u = P( P( dx a n n ị P(x)l xdx đặt u = l x a Cách b Viết lại tích phân b ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G a / ( dx sử dụng trực tiếp công thức (2) x) a Ví dụ Tính tích phân I = ị