MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ DẪN NHẬP Toán học chìa khóa nghành khoa học Mơn tốn môn khoa học tự nhiên thiếu đời sống người Nói đến mơn tốn khơng thể khơng nhắc tới phần hình học Với xã hội mà khoa học kĩ thuật ngày phát triển mơn tốn nói chung hình học nói riêng lại đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu Khoảng cách góc mặt phẳng tọa độ mảng kiến thức quan trọng phần hình học có mặt hầu hết kì thi đặc biệt kì thi đại học Các tốn khoảng cách góc đa dạng Vì việc nghiên cứu phân loại đưa phương pháp giải số toán khoảng cách góc mặt phẳng tọa độ cần thiết nhằm giúp cho người học tiếp nhận kiến thức cách đầy đủ, có hệ thống, tránh cảm giác mơ hồ, chán nản, lười suy nghĩ người học Với mục đích đó, em tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Tóm tắt lí thuyết liên quan Phân loại dạng tập Mỗi dạng đưa số toán theo độ khó tăng dần với nhiều cách giải khác Từ thấy ưu nhược điểm phương pháp để vận dụng cho phù hợp Trong trình nghiên cứu khơng tránh khỏi sai xót, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để nghiên cứu em hồn thiện NỘI DUNG 2.1 Tóm tắt lí thuyết 2.1.1 Khoảng cách 2.1.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M() đến đường thẳng ∆: ax + by + c = tính theo cơng thức d(M ; ) = Hình Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm 2.1.1.2 đường thẳng đến đường thẳng ngược lại Hình 2.1.1.3 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho hai điểm M(), N() đường thẳng ∆: ax + by + c = Khi đó: • M N nằm phía ∆ ()() > 0; Hình • M N nằm khác phía ∆ ()() < Hình 2.1.1.4 Cơng thức đường phân giác Cho hai đường thẳng : x + y + = : x + y + = Khi đó: Phương trình hai đường phân giác góc tạo =± 2.1.2 Góc hai đường thẳng 2.1.2.1 Định nghĩa Hai đường thẳng a b cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ góc gọi số đo góc hai đường thẳng a b, hay đơn giản góc a b Khi a song song trùng với b, ta quy ước góc chúng Hình Kí hiệu: góc hai đường thẳng a b kí hiệu (), hay đơn giản (a, b) 2.1.2.2 Liên hệ góc hai đường thẳng góc hai vectơ Gọi , hai VTCP đường thẳng a đường thẳng b Nếu () ≤ (a, b) = () Nếu () > (a, b) = () 2.1.2.3 Cơng thức tính góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng : x + y + = : x + y + = Khi góc hai đường thẳng xác định công thức = (5) Chú ý: ⟘ = Nếu đường thẳng cho dạng : y = kx + b, : y = k’x + b’ ( k, k’ hệ số góc hai đường thẳng ) ⟘ k.k’ = Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách góc mặt phẳng 2.2 tọa độ Dạng 1: tính góc hai đường thẳng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp: áp dụng linh hoạt cơng thức sau: • Khoảng cách hai điểm A( ), B( ) là: AB = • (1) Khoảng cách từ điểm M() đến đường thẳng ∆: ax + by + c = tính theo cơng thức d(M ; ) = • (2) Góc hai đường thẳng cắt góc nhỏ bốn góc tạo thành Gọi VTCP; VTPT hai đường thẳng thì: = = (3) Chú ý: • • góc hai đường thẳng song song trùng Góc A ABC góc hai vectơ • Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đường thẳng phải viết dạng phương trình tổng qt Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho tương ứng sau:(SBT hình học 10- bản) a) A(3 ; 5) : 4x + 3y + = b) B(-1 ; 2) ’: Giải a) Áp dụng cơng thức tính khoảng cách Ta có d(A , ) = = Từ phương trình (2) suy ra: t = - , thay vào phương trình (1) ta x = -1 + 2(- ) = -1 ̶ y phương trình tổng quát đường thẳng ’ là: x + y + = Do áp dụng cơng thức (2) ta có: d(B; ’’) = = b) Bài tốn 2: Tìm góc tam giác biết phương trình cạnh tam giác là: x + 2y = 0; 2x + y = 0; x+ y = ( SBT hình học 10- nâng cao) Giải Xét tam giác ABC với phương trình cạnh tam giác cho Khi tọa độ đỉnh tam giác nghiệm hệ phương trình sau: ; ; Giải hệ ta tọa độ đỉnh tam giác (0 ; 0), (2 ; -1), (-1 ; 2) Giả sử A(0 ; 0), B(2 ; -1), C(-1 ; 2) Suy =(2; -1), =(-1 ; 2), =(-3 ; 3) Vì AB = AC = nên tam giác ABC cân A cosA = = = ~ ⇒ = ~ Dạng 2: vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Phương pháp: để xét vị trí tương đối hai điểm A, B đường thẳng (d) ta làm sau: Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái phương trình đường thẳng (d) • • Nếu hai giá trị dấu kết luận A, B phía (d) Nếu hai giá trị khác dấu kết luận A, B khác phía (d) Bài tốn 1: : Biết cạnh tam giác ABC có phương trình: a) Hãy cho biết gốc tọa độ O nằm hay nằm tam giác ABC AB: x – y + = 0; BC: 3x + 5y + =0; AC: 7x + y – 12 = Giải Thay tọa độ O vào vế trái ptdt BC, AC, AB ta được: 3.0 + 5.0 + = 4; 7.0 + – 12 = -12; – + = Thay tọa độ A, B, C vào vế trái phương trình đường thẳng: BC, AC, AB ta được: + 5.5 + = 32; 7.(-3) + – 12 = 32; + + = Như : O A nằm phía BC, O B nằm phía AC, O C nằm phía AB Vậy O nằm tam giác ABC Nhận xét: Hai dạng toán dạng toán với mục đích người làm tốn nhớ công thức rèn kĩ tính tốn Tuy nhiên, ta khơng thể bỏ qua sở giúp hình thành ý tưởng việc giải toán phức tạp đặc biệt toán cực trị, tốn quỹ tích mà ta xét phần sau Khi làm gặp toán dạng ta việc sử dụng cơng thức, tính chất nêu phần phương pháp cần vẽ hình phác họa, mà khơng cần phải biểu diễn cách xác tọa độ điểm hay đường thẳng lên mặt phẳng tọa độ Đây ưu điểm phương pháp tọa độ mặt phẳng Dạng 3: số tốn viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc khoảng cách Bài tốn 1: viết phương trình đường phân giác góc tam giác Phương pháp: cách 1: Để tìm đường phân giác AD tam giác ABC ta làm sau: • • Lập phương trình hai cạnh AB, AC Tìm phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng AB, AC theo cơng thức biết • Xét vị trí tương đối hai điểm B, C hai đường phân giác vừa tìm Giả sử đường thẳng () Nếu B, C khác phía ( )thì () đường phân giác góc A Ngược lại ta kết luận đường phân giác ngồi góc A cách 2: • Tìm tọa độ ba đinh tam giác A, B, C Gọi D, E chân đường phân giác kẻ từ A tam giác ABC • • Tính tọa độ , ⇒ = , = Để tìm D ta áp dụng hệ thức: = ⇒ = - = - Từ hệ thức ta tìm tọa độ D Khi viết phương trình đường thẳng AD qua hai điểm A, D Hình • Để tìm tọa độ điểm E ta áp dụng hệ thức: = = = Từ hệ thức tìm tọa độ E Khi viết phương trình đường thẳng AE cách 3: • • • Tính tọa độ , ⇒ = , = Đặt = = = (* ; *) ; = = = (*; *) Khi VTCP đường phân giác góc A là: ⇒ phương trình đường • phân giác góc A VTCP đường phân giác ngồi góc A là: ⇒ phương trình đường phân giác góc A Ví dụ: Viết phương trình đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC với: A(2 ; 6), B(-3 ; -4), C(5 ; 0) Giải Cách 1: Phương trình đường thẳng AB là: = ⇔ 2x – y + = Phương trình đường thẳng AC là: ⇔ 2x + y – 10 = Áp dụng cơng thức phương trình đường phân giác ta có phương trình hai đường phân giác góc A là: = ± ⇔ y – = () x – = () Thay toạ độ B vào vế trái phương trình đường thẳng (), ta có: -4 – = -10 < Thay tọa độ điểm C vào vế trái phương trình đường thẳng (), ta có: – = -6 < Suy B C nằm phía (⇒ () đường phân giác ngồi góc A Vậy phương trình đường phân giác góc A là: x – = Cách 2: Ta có: = ( -5 ; -10) ⇒ AB = 5; = ( ; -6) ⇒ AC = Gọi D chân đường phân giác kẻ từ A tam giác ABC Ta có hệ thức: = ⇒ = - ⇔ (-3 – x ; -4 – y) = - (5 –x; -y)⇔ ⇔ Vậy D(2 ; - ) Khi đường phân giác góc A cần tìm là: AD: x- = Hình Cách Gọi , vectơ đơn vị trục AB AC, ta có: = = = ( -5 ; -10) = ( - ; -2) = ( ; -2) Khi ta đặt = (0 ; -4) // (0 ; 1) VTCP đường phân giác góc A Do phương trình đường phân giác là: = ⇔ x – = Bài toán 2: a) Cho hai điểm A(1 ; 1) B(3 ; 6), Viết phương trình đường thẳng qua A cách B khoảng b) Cho đường thẳng d có phương trình 8x – 6y – = Viết phương trình đường thẳng song song với d cách d khoảng Bài tốn 3: viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A tạo với đường thẳng (d) góc α Phương pháp: gọi VTPT đường thẳng (∆) = (a ; b) • • Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A Dùng cơng thức tính góc hai đường thẳng (∆) (d), từ tìm biểu thức liên hệ a b, • Vì đường thẳng có vơ số VTPT nên ta chọn a, b thỏa mãn biểu thức vừa tìm Thay a, b vào phương trình tổng quát ban đầu ta tìm phương trình đường thẳng cần tìm Ví dụ: viết phương trình đường thẳng a) Qua A(-2 ; 0) tạo với đường thẳng d: x + 3y – = góc ; b) Qua B(-1; 2) tạo với đường thẳng d: góc ( SBT hình học 10 nâng cao) Phương pháp: Giải a) Đường thẳng qua A(-2 ; 0) với VTPT (a ; b) có phương trình : a(x +2) + by = hay ax + by + 2a = ( ; VTPT đường thẳng (d): (1 ; 3) Theo gt: tạo với (d) góc Nên cos = - 3ab -2 = Với a = 2b, chọn b = 1, a = ta đường thẳng : 2x + y +4 = Với a = - , chọn b = -2, a = 1, ta đường thẳng : x - 2y + = b) Gọi (a ; b) VTCP đường thẳng cần tìm ( ) Đường thẳng (d) có VTCP = (3; -2) tạo với (d) góc ⇔ ⇔ 13() ⇔ 23 = a = a = Với a = , chọn b = 1, a = , VTPT ∆ = ( -1 ; ) đường thẳng : - (x + 1) + = -2x + 5y – = - ⇔ 2x – 5y + - = Vậy quỹ tích điểm M hai đường thẳng song song có phương trình: 2x – 5y +1 +3 = 2x – 5y + - = Bài toán 2: mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 1), B(9 ; 7) Tìm quỹ tích điểm M cho (vở) Giải Cách 1: Gọi M(x ; y) Khi đó: Do ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm I(5 ; 4), bán kính R = Cách 2: Vì A(1 ; 1), B(9 ; 7) ⇒ gọi I trung điểm đoạn thẳng AB, suy I(5 ; 4), IA = IB = Ta có: Nên ⇔2 ⇔ Gọi M(x ; y) Khi đó: Vậy quỹ tích điểm đường trịn tâm I(5 ; 4), bán kính R = Tổng quát: cho n điểm , , , n+1 số: thỏa mãn : Tìm tập hợp điểm M cho (SBT hình hoc 10 – nâng cao) Giải Gọi M(x ;y), ta có ⇔ [].[] = k ⇔( )( - 2()x – 2()y + = k Đặt a= , b = , c = Thay vào phương trình ta được: ⇔ - Nếu tập hợp điểm M đường trịn tâm I(a ; b), bán kính R= Nếu tập hợp điểm M điểm I(a ; b) Nếu tập hợp điểm M tập rỗng Bài toán 2: mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vng góc Oxy cho hai điểm cố định A(a ; b), A’(a’ ; b’) tìm quỹ tích điểm M cho góc() khơng đổi chiều độ lớn.( tốn bồi dưỡng học sinh THPT hình giải tích) Giải Đặt () khơng đổi Gọi α, α’là góc hợp tia AM A’M với chiều dương trục hồnh Ox Ta có α’ = α.tan, 𝛽 = α’ – α ⇔ tan ’ = Ta có: tanα’= ; tanα = n tan= = = hay : (1) Vì chiều góc () khơng đổi nên quỹ tích M đường trịn có phương trình (1) Đường trịn qua A A’ Cho thay đổi ta họ đường trịn có phương trình (1) nhận A A’ hai điểm • Nếu A A’ trục hoành, trục tung chứa đường trung trực AA’ a trở thành -a; a’ trở thành a; b = b’ = phương trình (1) trở thành: Dạng 5: toán cực trị Bài toán 1: mặt phẳng tọa độ Oxy cho n điểm , số thực: đường thẳng ∆ a) Tìm tọa độ điểm M ∆ cho nhỏ nhất; b) Tìm tọa độ điểm N ∆ cho nhỏ Phương pháp: Cách 1: Gọi I điểm thỏa mãn: + + = 0, suy tọa độ điểm I a) Khi đó: + + = + + + = () Do đó: ⇔ ⇔ M hình chiếu I đường thẳng ∆ b) Khi đó: = = = ( + Vì khơng đổi nên ⇔ ⇔ N hình chiếu I lên đường thẳng ∆ cách 2: M thuộc ∆ nên M(x ; y(x)) a) • • • Tính , , theo x, suy theo x ⇔ tam thức bậc hai x, ta tìm GTNN tam thức này, suy tọa độ điểm M cần tìm b) Tính , , theo x suy tam thức bậc hai x ta tìm GTNN tam thức suy tọa độ điểm N cần tìm Ví dụ: mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2 ; 3), B(-4 ; 1) đường thẳng (d): x + y + = Tìm điểm M (d) cho a) nhỏ b) () nhỏ Giải Cách 1: a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB ⇒ I(-1 ; 2) Ta có: = = 2MI Nên ⇔ ⇔ M hình chiếu điểm I lên đường thẳng (d) Phương trình đường thẳng (d’) qua I vng góc với (d): -1(x + 1) +1(y – 2) = ⇔ -x + y – = Điểm M giao (d) (d’) nên tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: ⇔ suy M(-2 ; 1) b) Gọi J(x ; y) điểm cho + = Ta có: = (2 – x ; – y), = (-4 – x ; – y) nên + = (-8 – 5x ; – 5y) Do đó: + = ⇔ ⇔ hay J() Do: = + = + + + khơng đổi nên ⇔ ⇔ M hình chiếu điểm J lên đường thẳng (d) Phương trình đường thẳng (d’’) qua J() vng góc với (d): -1(x + ) + 1(y - ) = ⇔ -x + y - = Vì M giao điểm (d) (d’’) nên tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: ⇔ Vậy M(; ) Cách 2: a) Gọi M(x ; -x – 1) thuộc (d) A(2 ; 3), B(-4 ; 1) nên = (2 – x ; + x), = (-4 – x ; + x) Do đó: = (-2 – 2x ; + 2x), suy = = 8[] ≥ Từ ta có: = x = -2 ⇒ y = Vậy M(-2 ; 1) b) Gọi M(x ; -x – 1) thuộc (d) A(2 ; 3), B(-4 ; 1) nên = (2 – x ; + x) ⇒ = = + 4x =20 = (-4 – x ; + x) ⇒ = = 2+12x + 20 Do đó: = 10 + 44x + 100 = 10[+] ≥ Suy ra: = x = , y = Vậy M( ; ) Bài toán 2: cho hai điểm P, Q đường thẳng ∆ a) Tìm tọa độ điểm M ∆ cho MP + MQ nhỏ nhất; b) Tìm tọa độ điểm N ∆ cho lớn Phương pháp: Xét vị trí tương đối hai điểm P, Q đường thẳng (∆) • Nếu P, Q khác phía đường thẳng (∆) a) Với điểm M thuộc (∆) ta có MP + MQ ≥ PQ Do min( MP + MQ) = PQ ba điểm P M Q thẳng hàng Tọa độ M giao điểm (∆) PQ b) Gọi P’ điểm đối xứng với P qua ∆ Tìm tọa độ điểm P’ Với N thuộc ∆ ta có NP = NP’ nên = ≤ P’Q Do đó: max = P’Q N thuộc đường thẳng P’Q nằm đoạn thẳng P’Q N giao đường thẳng P’Q ∆ • Nếu P, Q phía đường thẳng (∆) a) Gọi P’ điểm đối xứng với P qua ∆ Tìm tọa độ điểm P’ Với M thuộc ∆ ta có MP = MP’ nên MP + MQ = MP’ + MQ ≥ P’Q Do min(MP +MQ) = P’Q P’, M, Q thẳng hàng Tọa độ điểm M giao điểm P’Q ∆ b) Với M thuộc ∆ ta có ≤ PQ nên max = PQ điểm N nằm ngồi đoạn PQ, N giao điểm PQ đường thẳng ∆ Ví dụ : Cho hai điểm P(1 ; 6), Q(-3 ; -4) đường thẳng ∆: 2x – y – = a) Tìm tọa độ điểm M ∆ cho MP + MQ nhỏ nhất; b) Tìm tọa độ điểm N ∆ cho lớn (SBT hình 10- nâng cao) Giải a) Thay tọa độ điểm P, Q vào vế trái ∆ ta được: P: 2.1 – – = -5 , Q: (-3) – (-4) – = -3 Suy hai điểm P, Q phía đường thẳng ∆ Gọi P’ điểm đối xứng với P qua ∆ Phương trình đường thẳng (d) qua P vng góc với ∆ là: ( x – 1) + 2( y – ) = ⇔ x + 2y - 13 = Hình 13 Tọa độ giao điểm I (d) (∆) nghiệm hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta tìm I(3 ; 5) Vì I trung điểm PP’ nên , nên Từ tìm tọa độ điểm P’(5 ; 4) Phương trình đường thẳng P’Q qua P’(5 ; 4) Q(-3 ; -4) là: ⇔ x – y – = Với M thuộc ∆ ta có MP = MP’ nên MP + MQ = MP’ + MQ ≥ P’Q Do min(MP +MQ) = P’Q P’, M, Q thẳng hàng Tọa độ điểm M giao điểm P’Q ∆ nên nghiệm hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta có tọa độ điểm M(0 ; -1) b) Với điểm N thuộc ∆ ta có ≤ PQ nên max = PQ N, P, Q thẳng hàng N giao điểm PQ ∆ Phương trình đường thẳng PQ qua P(1 ; 6) Q(-3 ; -4) là: ⇔ 5x – 2y -11 = Giải hệ phương trình : ta N(9 ; 17) Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆(m), ∆’ (m) phụ thuộc vào tham số m, có phương trinh là: ∆(m) : x – my = 0, ∆’ (m): X – ( m +1) y + = 0, -1 < m < a) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng ∆(m) qua điểm cố định đường thẳng ∆’(m) qua điểm cố định b) Tìm tọa độ giao điểm M ∆(m) ∆’ (m) c) Chứng minh m thay đổi, điểm M ln nằm đường trịn cố định d) Với giá trị m góc hai đường thẳng ∆(m) ∆’ (m) (SBT hình học 10 nâng cao) Kết luận ... biểu diễn cách xác tọa độ điểm hay đường thẳng lên mặt phẳng tọa độ Đây ưu điểm phương pháp tọa độ mặt phẳng Dạng 3: số toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc khoảng cách Bài tốn... y = k’x + b’ ( k, k’ hệ số góc hai đường thẳng ) ⟘ k.k’ = Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách góc mặt phẳng 2.2 tọa độ Dạng 1: tính góc hai đường thẳng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng... Dạng 5: tốn cực trị Bài toán 1: mặt phẳng tọa độ Oxy cho n điểm , số thực: đường thẳng ∆ a) Tìm tọa độ điểm M ∆ cho nhỏ nhất; b) Tìm tọa độ điểm N ∆ cho nhỏ Phương pháp: Cách 1: Gọi I điểm thỏa