ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU Học viên: Đinh Xuân Nhân Mã số: 02 09 4601 12 Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Hoàng Quân Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ với , trong đó thoả ( ) ( ) , , , ,0,v x y t u x y t = , , 0x y t ∈ >  ( ) , , ,u x y z t 0, , , 0 2, 0 u u x y z t t ∂ ∆ − = ∈ < < > ∂  (1) ( ) ( ) , ,1, , , , , , 0u x y t f x y t x y t = ∈ >  (2) ( ) ( ) , , 2, , , , , , 0u x y t g x y t x y t = ∈ >  (3) ( ) , , ,0 0, , , 0 2u x y z x y z = ∈ < <  (4) trong đó, là các hàm cho trước. ,f g ( ) ( ) ( ) 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,G x y z t x y z t x y z t ξ η θ τ ξ η θ τ ξ η θ τ = Γ − Γ Đặt với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 , , , , , , , exp 4 4 x y z x y z t t t ξ η θ ξ η θ τ τ π τ   − + − + − Γ = −   −   −       (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 4 1 , , , , , , , exp 4 4 x y z x y z t t t ξ η θ ξ η θ τ τ π τ   − + − + − − Γ = −   −   −       . (6) ( ) ( ) 0div G u u G uG τ ∂ ∇ − ∇ − = ∂ (7) Ta có . Lấy tích phân hai vế của (7) theo trên ,và cho ( ) , , , τ ξ η θ ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , , 1,2t n n n n ε − × − × − × ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , ,1, , , , , , ,1, , , , , , , , ,1, t t u G x y z t d d d f G x y z t d d d θ θ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ + ∞ + ∞ +∞ +∞ − ∞ − ∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , , , , 2, , , , . t g G x y z t d d d u x y z t θ ξ η τ ξ η τ ξ η τ +∞ +∞ −∞ −∞ − − ∫ ∫ ∫ (8) Cho trong (8), ta có 1z + → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 4 0 1 , ,1, 4 x y x y t t t u e e d d d t ξ η ξ η τ τ θ ξ η τ ξ η τ π τ − + − − + − + +∞ +∞ − − − − −∞ −∞     −   −   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 3 2 2 1 4 0 1 , , 4 x y t t g e d d d t ξ η τ ξ η τ ξ η τ π τ − + − + +∞ +∞ − − −∞ −∞ = − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 3 2 2 4 4 0 1 , , , , . 4 x y t t f e d d d f x y t t ξ η τ ξ η τ ξ η τ π τ − + − + +∞ +∞ − − −∞ −∞ − − − ∫ ∫ ∫ (9) Đặt ( ) ( ) ( ) 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,N x y z t x y z t x y z t ξ η θ τ ξ η θ τ ξ η θ τ = Γ − Γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 , , , , , , , exp 4 4 x y z x y z t t t ξ η θ ξ η θ τ τ π τ   − + − + − Γ = −   −   −       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1 , , , , , , , exp 4 4 x y z x y z t t t ξ η θ ξ η θ τ τ π τ   − + − + + Γ = −   −   −      ( ) ( ) 0div N u u N uN τ ∂ ∇ − ∇ − = ∂ với (10) . (11) Ta có . (12) Lấy tích phân hai vế của (12) theo trên , và cho ( ) , , , τ ξ η θ ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , , 0,1t n n n n ε − × − × − × ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , ,1, , , , , , ,1, , , , , , , , ,1, t t u N x y z t d d d f N x y z t d d d θ θ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ +∞ +∞ + ∞ +∞ −∞ −∞ − ∞ −∞ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , , , ,0, , , , . t v N x y z t d d d u x y z t θ ξ η τ ξ η τ ξ η τ +∞ +∞ −∞ −∞ − + ∫ ∫ ∫ (13) 1z − → Cho trong (13), ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 4 4 4 0 , ,1, 4 y x y x t t t u e e d d d t η ξ η ξ τ τ θ ξ η τ ξ η τ π π τ − + − − + − + +∞ +∞ − − − − −∞ −∞     −   −   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 4 4 0 , , 4 y x t t f e d d d t η ξ τ ξ η τ ξ η τ π π τ − + − + +∞ +∞ − − −∞ −∞ = − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 1 4 0 , , , , 4 y x t t v e d d d f x y t t η ξ τ ξ η τ ξ η τ π π τ − + − + +∞ +∞ − − −∞ −∞ − + − ∫ ∫ ∫ . (14) , 0n ε → +∞ → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5 3 5 2 2 2 2 1 4 4 4 0 0 , , , , 1 2 2 2 y x y x t t t t v f e d d d e d d d t t η ξ η ξ τ τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ π τ π τ − + − + − + − + +∞ +∞ +∞ +∞ − − − − −∞ −∞ −∞ −∞ = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 2 2 1 4 0 , , 1 2 2 , , 2 x y t t g e d d d f x y t t ξ η τ ξ η τ ξ η τ π τ − + − + +∞ +∞ − − −∞ −∞ − + − ∫ ∫ ∫ Từ (9) và (14), ta có . (15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] 2 2 5 2 4 2 4 2 1 , , 0, , , , 0 , , ,0 , x y t e x y t R x y t t x y t + + −  ∈ × +∞  =   ∈ × −∞    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] 2 2 5 2 1 2 4 2 1 , , 0, , , , 0 , , ,0 , x y t e x y t S x y t t x y t + + −  ∈ × +∞  =   ∈ × −∞    Đặt Từ (15) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) * , , 2 * , , * , , 2 2 , , .S v x y t R f x y t S g x y t f x y t = − + (16) Nếu đặt ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2 * , , * , , 2 2 , , ,F x y t R f x y t S g x y t f x y t = − +  ( ) ( )  ( ) , , w , , w , , wS p r v p r F p r =  và biến đổi Fourier hai vế của (16) thì (17) . (18) và định nghĩa khi . ( ) ( ) ( ) , , , , , , 0v x y t f x y t g x y t = = = 0t < Định lí 1. Cho và . Giả sử là nghiệm duy nhất của (16) ứng với dữ liệu chính xác . Đồng thời, cho là các dữ liệu đo được thoả , với là chuẩn trong . Khi đó, ta xây dựng được hàm thoả ( ) 0, 2 γ ∈ 3 0,e γ ε −   ∈     ( ) 2 3 0 v L ∈  ( ) 2 3 0 0 , f g L ∈  ( ) 2 3 , f g L ∈  0 0 2 2 , f f g g ε ε − ≤ − ≤ 2 . ( ) 2 3 v L ε ∈  ( ) 2 0 2 v v C γ ε ε η ε − − ≤ + trong đó là hằng số và . C ( ) 0 lim 0 ε η ε → = Nếu giả sử thêm và thì ( ) ( ) 1 3 1 3 0 v H L ∈ ∩   { } 2 4 0 min , e e e ε − − < < 1 0 2 1 ln ,v v D ε ε −     − ≤         ( ) 2 3 L  trong đó và phụ thuộc vào . 0D > 0 v (19) (20) Định lí 2. Với như trong định lí 1, ta có v ε ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , k n k m n m n k v x y t v S m x S n y S k t a a a a a a ε ε ε ε ε ε ε ε π π π π π π ∈ ≤ ≤         =                 ∑ ∑ ∑  trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) sin , , , 0. z pd d S p d z p d z pd d π π −     = ∈ > −  [...]...Ví dụ số Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ v ( x, y, t ) = u ( x, y, 0, t ) , trong đó u ( x, y , z , t ) thoả ∂u ∆u − = 0, ∂t x, y ∈  , 0 < z < 2, t > 0 1 u ( x, y,1, t ) = f ( x, y, t ) = 3 e t2 x2 + y 2 + 4 − 4t 1 u ( x, y, 2,... 2 t x 2 + y 2 +1 − 1+ ε g ε ( x , y , t ) = ( 1 + ε ) g ( x , y , t ) = 3 e 4 t , x, y ∈  , t > 0 t2 fε ( x, y, t ) = ( 1 + ε ) f ( x, y, t ) = Bảng đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ ε v0 − vε ε = 10− 5 1,744496 × 10− 2 −8 −3 ε = 10 − 10 ε = 10 ε = 10− 15 2 3,858909 × 10 1, 274943 × 10− 3 9,149228 × 10− 6 (26) (27) 00:39:54 . NHIÊN DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU Học viên: Đinh Xuân Nhân Mã số: 02 09 4601 12 Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Hoàng Quân Xét bài toán tìm hàm. , 0. z pd d S p d z p d z pd d π π −     = ∈ > −  Ví dụ số. Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ , trong đó thoả ( ) ( ) , , , ,0,v x y t u x y t = ( ) , , ,u x y z t 0,.      . (6) ( ) ( ) 0div G u u G uG τ ∂ ∇ − ∇ − = ∂ (7) Ta có . Lấy tích phân hai vế của (7) theo trên ,và cho ( ) , , , τ ξ η θ ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , , 1,2t n n n n ε − × − × −