HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN I LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )  a D =  x +2x y + xy + y   3 x + xy + y ( x + y) +  4a − 9a −1 a − + 3a −1   B= + b 1 − −   a2 − a   2a − 3a 3y ( x − y )   x −1 ( x − y )   2 − : ( x + y) −1 ( đáp số : D=1 ) Giải a/  x + x3 y + xy + y y ( x2 − y )   D= ( x + y) + 2 x ( x − y)   x + xy + y   = ( x + y )    − :( x + y) −1 −  ( x3 + y3 ) ( x + y ) ( x + y) ( x − y)  −1  : ( x + y) =  + xy ( x − y)   ( x + y)   − =1  4a − 9a −1 a − + 3a −1   + b/ B =  1 − −   a2 − a   2a − 3a 2      2 2a + ) + ( a − )  a − 4a +   (  4a −  = 9a = + = ( 2a − 3) a ( a − 1)    a   a2  1   2 a a   Bài Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) a − n + b− n a − n − b− n − ( ab ≠ 0; a ≠ ±b ) a−n − b−n a−n + b−n −1 − x −1 a −1 + x −1  −1 -1  a b B = ( xa − ax )  −1 −1 + −1 −1 ÷ a −x  a +x a A = Giải a − n + b− n a − n − b− n A = −n − = a a − b−n a−n + b−n a n + bn  bn − a n a nb n  n n  ab ( a n + b n ) − ( b n − a n ) = 4a n b n bn − an − = n n  ( a n + bn ) ( bn − a n ) b2 n − a n n n  a +b  ab  n n ÷ ÷   ab   a −1 − x −1 a −1 + x −1  b/ B = ( xa −1 − ax -1 )  −1 −1 + −1 −1 ÷ = a −x  a +x 2 2  x2 − a2   x − a x + a  ( x + a ) x + a + =  ÷ ÷=  ax   x + a x − a  ax ax LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài Cho a,b số dương Rút gọn biểu thức sau   a b  a  − + ÷:  a − b ÷  b a÷     b a4 − a4 a −a − b − − b2 b2 + b − Giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 1 = ( x + y) HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 2    a b  a a  − + ÷:  a − b ÷ = 1 − ÷ :   b a÷  b÷      4 a −a b/ a −a − b − −b b +b − = a ( − a2 ) a ( 1− a) − b b − − ( a− b ) ( = b− a ) b ( a− b ) = b ( 1− b ) = 1+ a +1 = a + ( b − 1) 2 Bài Cho a,b số dương Rút gọn biểu thức sau : a (   a + b  a + b − ab ÷    ) 1   a 3b + ÷ b a÷  b  a + b ÷:  +     Giải a/ (   a + b  a + b − ab ÷ =   ) 3 ( ) ( a) a+3b    −3 a3b+ ( b) =   ( a) +( b) 3 3 = a+b 1   1   1 1 a + b ÷a b  a + b ÷a b     a 3b  a 3b    3 = = b/  a + b ÷:  + b + a ÷ = 1 2  ÷       2a b + a + b 3 a3 + b3 a +b ÷   Bài 3.Đơn giản biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa ) 2   a b 2  a      A =  ÷ + :  a4 + b4 ÷ a ÷  b a ÷  a b ÷          b B= a2 +  a2 −  a  ÷ +4  2a  Giải a/ 2   1  a b  +  a   :  a + b  =  a b A=  ÷  ÷  ÷  b a ÷  a b ÷     b a           B= a2 +  a2 −  a  ÷ +4  2a  = a   1 1 a 2b + ÷+ a  :  a + b  =  a +  :  a + b  =  ÷   ÷ ÷ 1 ÷ a 2b  ÷   b ab    ab3  a + b      ÷    2 a 2 : ↔ a ≥ a +4 = = a  −2 : ↔ a < a2 + ( ) 4a Bài Tính giá trị biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa ) −1  + x + x2 − x + x2  +2− a A =  ÷ 2x − x2   2x + x ( − x ) Với x = 3,92     + 27 y + 310 32 y − ÷.3−2  b B =  ÷  Với y = 1,2  + 35 y ÷      Giải Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT  −4 x + 10  ( − x2 ) ( − x2 ) = − x2 2 ( − x ) =  x − x2  ( − x ) =  ( ) ( − 2x2 )   2 Với x= 3,92 ⇒ x = 3,92 ⇔ − x = 0, 08 ⇔ ( − x ) = 0,16 −1 −1  + x + x2 − x + x2  +2− a/ A =  ÷ 2x − x2   2x + x    2 + 27 y  ÷.3−2  10 B= + 32 y −  + 35 y ÷   ÷         3  3     2 ÷ +  y ÷ ÷  1      + 3.2 y − ÷3−2  = =  1 ÷   ÷  22 + 3y  ÷     5 1     2 =  − 2.3 y + 32 y + 3.2 y − ÷3−2  =  y ÷ = y Với y=1,2 suy y = 1, 44        Bài Rút gọn biểu thức sau : 3 3 −1  b 1 − a A = ÷ − a ĐS: A=0  a÷  a + ab + 4b  1 1   3 8b − a  a b a − 2b ÷ + b B = 1  −1 − − − − ÷  3 4a + 2a b + b ÷  2a − b  a − 8a b Giải −1 2  a ( a − 8b ) b a3 1 − ÷ − a = − a3 a/ A = 2  1 a÷  a + ab + 4b  a + 2a b + 4b a − 2b a − 8a b = a 3 3 ( a − 8b ) 3 3 −a = a + 2a b + 4a b − 2a b − 4a b − 8b  8b − a  a b a − 2b + b/ B = 1 1  −3  2a − b − 4a − + 2a b − + b −  3 3 a ( a − 8b ) − a = a − 8b     3 2    a − 2b ÷a b ÷ 8b − a  a b  ÷= ÷= +  1 ÷ ÷    ÷  2b − a  4b + 2a b + a ÷÷   ÷    1 2     3 3  4b + 2a b + a −  a − 2b ÷ ÷ 2 8b − a    ÷a b = 8b − a  6ab  = ab =  ÷ 3  ÷   8b − a   1  1 ÷ 3  2b ÷ −  a ÷  ÷       Bài Rút gọn biểu thức sau    −    1    a A=   ÷:  : 16 :  3.2 4.3 ÷  ( đáp số : A= 15/2 )               Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT b B = ( 0,5 ) −4 −1  1 − 6250,25 −  ÷  4 + 19 ( −3) −3 Giải            1   a/ A=   ÷:  : 16 :  4.3 ÷        B = ( 0,5 ) − 625 −     1 4.5 4 =  24   1 2  3252  15 ÷ = = ÷  22 ÷  ÷   b/ −4 −1 0,25  1 −2 ÷  4 + 19 ( −3) −3 −4 − 1 =  ÷ − ( 54 ) 2 −2 3 − ÷ 2 + 19 ( −3) = 16 − − 19 − = 10 27 27 Bài Rút gọn biểu thức sau :   1 −1  a − b − a − b  :  a4 − b4  a A =  ÷ 1 1     4 4 a +b  a + a b   2 3     4   a − b ÷ a + b ÷ ÷   − ab ÷  b B =  1 ÷ a − b2  ÷  ÷   Giải a/   1 1 1     1    a − b − a + a 2b a −b a2 − b2   a −b a2 − b2   A= − : a − b ÷= 1 − : a − b ÷= 1 1     1         a2 a4 + b4  a + a2b4 a + b4   a4 + b4   a  a + b4 ÷     ÷         1   b2  a2 − b2 ÷ b = = 1 ÷  a a2  a2 − b2 ÷   3 1 1            a − b ÷ a + b ÷ ÷  a − b − a b  a − b ÷÷  a − b ÷( a − b )   − ab ÷ =    ÷=    = ( a − b) b/ B =  1 1 1 ÷  ÷   2 2 a −b a −b  ÷  ÷ a −b ÷  ÷  ÷          x2 − a2 x2 − a2    Bài a Rút gọn biểu thức sau : C =  1 + ( ax )   (đáp số C=1) x−a  x2 − a2       b Chứng minh : a + a 4b2 + b + b a = ( a2 + b2 Giải Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 ) 1   a −b ÷   = HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT    x2 − a2 x2 − a2   2 + ( ax ) a/ C =  1  x−a  2 x −a      1      1 x − a ÷ x + x a + a ÷ 1     x2 − a2   + x2a2     = 1 1       x2 − a2     x − a ÷ x + a ÷         2   2 x +a ÷  =1 = 1   x +a ÷   ) ( ( ( a + a 4b + b + b a = b Chứng minh : ) a2 + b2 ) ⇔ a + a 4b + b + a 2b + 2a 2b + a a 2b + b a 4b = a + 3 a 4b + 3 a b + b ⇔ a b + a a b + b a b = a b + a b ⇔ a b + a b + a b = a 8b + a b + a b Bài a Không dùng bảng số máy tính tính : b Chứng minh : = 3+ ( 3−8 )( 847 847 ( đáp số : =3 ) + 6− 27 27 6+ 3+ )( 3+ ) Giải a/ Đặt y= 12 + y 125 = 12 + y ⇔ y − y − 12 = ⇔ ( y − ) ( y + y + ) = ⇒ y = 27 b/ ⇔ = ⇔ (     847 847   + 847 ÷ + 847 ÷÷ = 12 + y 36 − 847 = 6+ + 6− ⇒ y = 12 + y  ÷ 27 27   27 ÷ 27  ÷ 27    ( 3+8 3− )( )( 3−8 ) )( 3+ )( ) + ; VP ⇔ ( 3− )( 3+ )( 3+ ) + = − = = VT Bài 10 Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ biểu thức sau : 11 a A = 2 c C = x x b B = a a a a : a 16 ( x > 0) d D = b3a a b ( a > 0) ( ab > ) Giải       a A = 2 =   2.2 ÷            1 31          = 2.2 = 2 = 210  =  ÷   ÷           Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1  2 15  2    11 11 11 11   2  +1  16 a 16  +1     b/ B = a a a a : a 16 =   a ÷ a  a  : a 16 =  a ÷ a : a =  a ÷ : a = 11 = a             a 16           LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài Đơn giản biểu thức : a a    ÷ a −1 a a    ÷ a −1 ( ) b aπ a : a 4π 3 c a d a .a1,3 : a3 Giải =a ( ) 3 c/ a =a 3 (a ) −1 −1 = a b/ aπ a : a 4π = aπ a = a = a aπ a a1,3 = a1,3 d/ a .a1,3 : a = a 1− =a a = a3 Bài Đơn giản biểu thức : a ( a2 −b a c a a/ a − b2 2 a2 ( (a b/ a d/ − b2 −b )( ) a a +b −b 3 +a b −a 3 +b (đáp số : a (a +1 = 2 −b )( −1 a2 + a a −b (a +b +b +a −b ) d 2 3 ) +1 = a +b 3  a  = (đáp số : a + ) π π   π π −  π ab ÷ (đáp số : a − b   Giải )(a −b ) π ) 3 −a + a3 3 2a = a ( a −b ) ( ) + a ) ( a − 1) ( a + 1) a ( a + + a ) = =(a a ( a − 1) ( a + + a ) a −b a π π (a 7 3 b − a2 + a (a −b +a b c/ a ) +1 3 2 3 3  ÷ a + a b ÷  3 +a b +b +b   + bπ ) −  π ab ÷ = a 2π + b 2π + 2a π bπ − 4aπ bπ =   −b 3  ÷ ÷ =a (a π 3 ) +1 −b − b π ) = a π − bπ DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ • Nếu hai số hai không số , ta phải đưa chúng dạng có số , sau dó so sánh hai biểu thức dấu với nha • Nếu hai số hai lũy thừa , ta phải ý đến số , sau sử dụng tính chất lũy thừa dạng bất đẳng thức Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Hãy so sánh cặp số sau : ∨ 20 a 30 b ∨ c 17 ∨ 28 1 e   ∨  ÷  ÷  3  3 d 13 ∨ 23 f ∨ Giải a/ b/ c/ d/  30 = 15 305 = 15 243.105  ⇒ 30 > 20 ∨ 20 Ta có  15 15  20 = 20 = 8.10   = 12 53 = 12 125  ⇒37>45 ∨ Ta có :   = 12 = 12 2401   17 = 173 = 4913  ⇒ 17 > 28 17 ∨ 28 Ta có :  6  28 = 28 = 784   13 = 20 135 = 20 371.293  ⇒ 13 > 23 13 ∨ 23 Ta có :   23 = 20 234 = 20 279.841  30 1 e/   ∨   Vì  ÷  ÷  3  3 f/ ∨ ; 1 1 > ⇒ ÷ 5⇒4 0,8 ⇒ > 1,7 1,2 0,8 1 1 b  ÷ ∨  ÷ 2 2 0,8 1,7 0,8 f 0, ∨ 0, Giải b/ 1, > 0,8 1,7 0,8 1,7 0,8  1 1 1 1 ⇒ ÷   ÷  ÷  ÷  ÷ ÷ 0<  2,5 − e/ 12 12    = >  = 2  ÷   ÷ 36  36 ÷  ÷     ∨ 0, ; :    ⇒ 0,  < 0, <  < ( 2) − ( 2,5) = ( 2) − 6,25 f/ 0, < 0, Bài Chứng minh : 20 + 30 > Giải  > =1  20 20 Ta có : 30 30  > =1  ⇒ 20 + 30 > Bài Tìm GTLN hàm số sau a y = 3− x + x b y = ( 0,5 ) sin x Giải − x+ x a/ y = Đặt t = x ≥ ⇒ y = − x + x = −t + t ( t ≥ ) ↔ y ' = −2t + = → t = Do : y = 3− x + b/ y = ( 0,5 ) sin x 1 ⇔ maxy=y  ÷ = 2 x ≤ = ↔ GTLNy = 2 sin x ≤ 0,51 ⇒ y = 0,5sin x ≤ Vì : ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ 0,5 1 ↔ GTLNy = 2 Bài Tìm GTNN hàm số sau “ b y = x −1 + 23− x a y = x + x 2 c y = 5sin x + 5cos x Giải GTNNy = x −x → x = −x ↔ x = a/ y = + ≥ ⇔  x −x ⇔ = 2 x −1 = 23− x y = x −1 + 23− x ≥ 2 x −1+3− x = 22 = ⇔ y = ⇔  ⇔ x=2 b/ ↔ x − = − x 2 5sin x = 5cos x π π  sin x cos x sin x + cos x ≥2 = ⇔ y = ⇔  ↔ cos2x=0 → x= + k c/ y = + 2 sin x = cos x  x x e/ y = e1+ x ≥ e x = e = e ⇔ { x = VẼ ĐỒ THỊ Bài Hãy vẽ đồ thị cặp hàm số sau hệ trục a y = x ∨ y = x ( Học sinh tự vẽ đồ thị ) Trang b y = x ∨ y = x −5 c y = x ∨ y = x Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 x e y = e1+ x HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Chứng minh hàm số sau đơn điệu : y= x − 2− x Sau khảo sát vẽ đồ thị ? Giải 2 > ( 1) 2 x1 > x2 ( 1) 2 x1 > x2 ( 1)    x1 x2 ⇔ ⇔ Giả sử : x1 > x2 ⇒      − x1 − x2 − x1 − x2  ÷ <  ÷ ( ) < ( ) − ( ) > − ( ) ( )   2    x1 > x2 x1 − 2− x1 x2 − 2− x2  ⇒ > ⇔ Vậy hàm số đồng biến R 2  y ( x1 ) > y ( x2 )  x1 x2 Bài Trong hàm số sau , hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến ? x x x x    π  2 −x  a y =  ÷ b y =  ÷ c y =  d y =  ÷ ÷ 3  3+ 2 e  3− 2 Giải x x π π  π  a/ y =  ÷ Do > ⇒ y =  ÷ Là hàm số đồng biến 3 3 x x 2 2 b/ y =  ÷ Do < < ⇒ y =  ÷ Là hàm số nghịch biến e e e x   c/ y =  ÷ Do  3+ 2 ( =3 3+    −x  d/ y =  ÷ =  3−  3  x )   − 3 ) BÀI TẬP VỀ LƠ-GA-RÍT I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài Tìm tập xác định hàm số sau : a y = log d y = log x −1 x+5  x2 +  b y = log  log5 ÷ x+3   x −1 − log x − x − x +1 c y = log 2 e y = lg ( − x + 3x + ) + x−3 x +1 x − x−6  x2 +  f y = log 0,3  log ÷ x+5   g y = log x −1 2x − Giải x −1   x −1 ≤1  x −1  −2 log x + ≥  −1 ≤ ≤ → x ≥ −1 x −1   x +1   ⇔ ⇔  x +1 ⇔  x +1 a/ y = log Điều kiện :  x+5  x −1 >  x −1 >  x < −1 ∨ x >  x < −1 ∨ x >    x +1  x +1   Vậy D= ( 1; +∞ ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT   x2 +   x2 − x − log  log ÷≥  x+3 ≥ x+3   x2 +  3  ≥1    x2 +  x − x − 14 x2 +    x+3 ⇔ ⇔ ≤0 b/ y = log  log ÷ Điều kiện : 0 ≤ log x + ≤ x+3 x+3  x +1   0 < ≤5     x > −3 x2 + x+3  ≤5 0 <  x+3     −3 < x < − ∨ x > ⇔ ⇒ x ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( 2;7 ) −∞ < x < −3 ∨ −2 < x < Phần lại học sinh tự giải Bài Tính giá trị biểu thức sau :  − log9  + 25log125 ÷.49log7 a  814   b 161+ log4 + log 3+ 3log5  log7 9−log7 − log  +5 c 72  49 ÷   d 36log6 + 101− lg2 − 3log9 36 Giải  a/  81  1 − log9 4  1− log3 =3  +5 + 25 log125 3log5  log7  4 − log9 ÷ 2log53 23  2log7 =  ( 3)   + ÷.49 7     log7   =  + ÷4 = 19 ÷7 4   b/ 161+ log4 + log2 3+ 3log5 = 42( 1+ log 5) + 2log2 3+ 6log5 = 16.25 + 3.26 = 592  log7 −log7 − log   1 72  49 + 5 ÷ = 72 log7 −2log7 + 5−2log5 = 72  + ÷ = 18 + 4,5=22,5 c/  36 16    ( d/ 36log6 + 101− lg − 3log9 36 ) = 6log6 25 + 10log5 = 25 + = 30 II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài Tính giá trị biểu thức sau : a A = log 15 + log 18 − log 10 c C = log 36 − log 3 b B = log − log 400 + 3log 45 d D = log ( log 4.log 3) Giải 15.18 = log 33 = log 33 = a/ A = log 15 + log 18 − log 10 = log 10 2 36.45   b/ B = log − log 400 + 3log 45 = log  ÷ = log = − log 3 = −4 3 3  20  1 1 c/ C = log 36 − log = log + log = log 2.3 = 2 2 Trang 10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT d/ D = log ( log3 4.log 3) = − log ( log 3.log ) = − log ( log ) = − log 2 = − Bài Hãy tính   a A = log  2sin π  π ÷+ log cos 12  12 b B = log ( ) − 3 + log ( 49 + 21 + ) c log10 tan + log10 cot d D = log x = log 216 − log 10 + log Giải π π  π  π   π ÷+ log cos = log  2sin cos ÷ = log sin  = log = −1 12  12 12 12    6 3 b/ B = log − 3 + log 49 + 21 + = log  − 3 49 + 21 +  = log ( − ) =   c/ C= log10 tan + log10 cot = log ( tan 4.cot ) = log1 =   a/ A = log  2sin ( ) ( ) ( )( ) d/ log x = log 216 − log 10 + log = log 63 − log 102 + log 34 = log 6.34 35 ⇒x= 102 50 Bài Hãy tính : a A = 1 1 + + + + log x log x log x log 2011 x b Chứng minh : ( x = 2011!) log a b + log a x + log a x • log ax ( bx ) = • k ( k + 1) 1 + + + = log a x log a x log ak x log a x Giải a/ A = 1 1 + + + + = log x + log x + + log x 2011 = log x 1.2.3 2011 log x log x log x log 2011 x = log x 2011! Nếu x=2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = log a b + log a x + log a x log a bx log a b + log a x = = VP ⇒ ( dpcm ) Vế trái : log ax bx = log a ax + log a x k ( k + 1) 1 + + + = Chứng minh : log a x log a x log ak x log a x b/ Chứng minh : log ax ( bx ) = k VT= log x a + log x a + log x a = ( + + + + k ) log x a = k ( 1+ k ) = VP log a x Bài Tính : a A = log a a a a b B = log a a a 25 a a a a3 a c log a4 a a d log tan10 + log tan 20 + log tan 30 + + log tan 890 e A = log 2.log 3.log log15 14.log16 15 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 11 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Giải   1 37 ÷= + + = 10   1  1+ + +    ÷  27  3 25  ÷ = 1+  ÷ = 1+ b/ B = log a a a a a = log a  a   ÷ 10  10   ÷    1+ +  a a3 a a ÷  34  91 = − log a  1 = −  − ÷ = − c/ log  + ÷  15  60 a a a  a2 ÷   a/ A = log a a a a = log a  a 1 3+ + 0 0 0 0 d/ log tan1 + log tan + log tan + + log tan 89 = log  tan1 tan 89 tan tan 87 tan 45  =   0 0 0 ( : tan 89 = cot1 ⇒ tan1 tan 89 = tan1 cot1 = ; Tương tự suy kết e/ A = log 2.log 3.log5 log15 14.log16 15 = log16 15.log15 14 log5 4.log 3.log = log16 = − Bài Chứng minh : a.Nếu : a + b = c ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ , : log c +b a + log c −b a = log c +b a.log c −b a b Nếu 0 3b > 0; a + 9b = 10ab b Cho a,b,c đôi khác khác 1, ta có : log a • b c = log a c b log a b.log b c.log c a = ; c a b 2 Trong ba số : log a b ;log b c ;log c a ln có số lớn b c a Giải 2 a/ Từ giả thiết : a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab • Ta lấy log vế : log ( a − 3b ) = log + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log = b c = log a c b −1 b c c  b * Thật : log a = log a  ÷ = − log a ⇒ log a =  − log a c b c  b * log a b.logb c.log c a = ⇔ log a b.log b a = log a a = 1 ( log a + log b ) b/ Chứng minh : log a c c ÷ = log a b b * Từ kết ta có : c a b  b c a log log log =  log a log b log c ÷ = Chứng tỏ số ln có số lớn b c b c c a a c a a b  bc a b IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH Trang 14 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT • Nếu so sánh hai loga rít có số ta ý đến số hai trường hợp (0;1) lớn để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với • Trong trường hợp hai lo ga rít khác sơ , khác biểu thức bị lo ga rít hóa ta chọn số b Sau ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ suy kết Ta có : 1 log > log 3 = 1;log < log 4 = ⇒ log > log 3 log 1,1 log 0,99 ∨7 Ví dụ So sánh : Ta có : log6 1,1 log log 0,99 log >3 = 1; 7log 0,99 • Ví dụ 1: so sánh hai số : log ∨ log • Bài Khơng dùng bảng số máy tính Hãy so sánh : a log 0,4 ∨ log 0,2 0,34 e log ∨ log 11 h log + log 9 ∨ ∨ log 4 b log f 2log 5+ log log6 − log   g 4log ∨ k    ÷ c 2log ∨ 3log d log ∨ log 3 + log 11 ∨ 18 ∨ 18 Giải  > → log 0,4 < log 0,4 =  ⇒ log 0,2 0,3 > log 0,4 0,3 < → log 0,2 0,3 > log 0,2 =  a/ log 0,4 ∨ log 0,2 0,34 Ta có :  3 5  > → < < ↔ log < log = 2  3 ⇒ log > log b/ log ∨ log Ta có :  4 5 0 < < 1, < < ↔ log > log = 3   log5 log5 log > log ⇒ >2 = =1 1  ⇒ log > log c/ 2log5 ∨ 3log5 Ta có :  log log5 = =1 log < log ⇒ <  log < log < log 3 ⇒ < log < ⇒ log > log3 d/ log ∨ log Ta có :  log 2 < log < log → < log < 1 < log < ⇒ log 11 > log e/ log ∨ log 11 Ta có :  log 11 > log = 25 2log + log log 2log 5+ log 25 25 =2 = f/ ∨ Ta có : log + log = log 25 − log = log ⇒ Nhưng : g/ 4log 2log + log 25 252 625 648 = = < = 8⇒2 < 9 81 81 + log Nhưng : 11 ∨ 18 Ta có : log 3+ log 11 =2 2log 3− log 2 11 =2 log 9− log 11 =2 log 11 = 11 81.11 = 5 log 3+ log 81.11 891 90 11 = > = 18 ⇒ > 18 5 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 15 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT h/ 9 + log log ∨ Ta có : log + log 9 2log3 − log =3 log − log k/    ÷ 6  2.3  log  ÷  8 log3 2− log3 =3 =3 = 36 40 = < = 8 ∨ 18 log6 − log Ta có :    ÷ 6 = 6− log6 −log6 = 6− log6 10 = log 10 = = < 18 10 1000 Bài Hãy so sánh : a log 10 ∨ log 30 b log ∨ log c ln e3 ∨ − ln e Giải log 10 > log = ⇒ log 10 > log 30 log 30 < log 36 = a/ log 10 ∨ log 30 Ta có :  log > log 3 = ⇒ log > log log < log 7 = b/ log ∨ log Ta có :   ln e3 = 2.3 = 1  ⇒ − ln > ln e3 c/ ln e ∨ − ln Ta có :  e e 8 − ln = + = e  Bài Hãy chứng minh : a log + log < −2 d 3log = 5log b 4log = 7log e 23 c log + log > 54 + log ∨ log19 − log 2 f log 5+ ∨ log + log Giải 1 1 log = ⇒ log + ≥2 1 a/ log + log < −2 Ta có : log log 2 2 1 1 log < ⇒ − log3 − > ⇔ log + < −2 Nhưng : 2 log log 3 2 b/ 4log = 7log Ta có : 4log = ( 7log 5 ) log = log5 7.log7 = 7log5 Vậy số c/ log + log > Ta có : log > ⇒ log + log = log + d/ 3log = 5log Ta có : 3log = ( 5log Trang 16 2 53 ) log ( *) >2 log = 5log 5.log5 = 5log2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT 1  + log = log 10 + log = log 10 = log 900  e/ + log ∨ log19 − log Ta có :  log19 − log = log 19 = log 361   361 ⇔ + log > log19 − log log + log 5+ 5+ log + log Ta có : ∨ ≥ ⇒ log ≥ log = 2 2 ⇒ log 900 > log f/ log 5+ Bài Hãy so sánh : 5 ∨ log 2 a log ∨ log log c log e ∨ log π b log ∨ log 17 3 2 d Giải  6 log > log = 6   > ⇒ log > log Hoặc :  ⇒ log > log a/Ta có :  6 log < log = 3 >  3  6   0 < < log ∨ log 17 b/ Ta có :  ⇒ log > log 17 3 3 9 < 17  c/ log e ∨ log π 2  0 < < Ta có :  ⇒ log e > log π 2 e < π  HÀM SỐ LO-GA-RÍT I ĐẠO HÀM : Bài Tính đạo hàm hàm số sau : x a y = ( x − x + ) e 2x b y = ( s inx-cosx ) e d y = ln ( x + 1) e y = ln x x e x − e− x c y = x − x e +e f y = ( + ln x ) ln x Giải x x a/ y = ( x − x + ) e ⇒ y ' = ( x − ) e + ( x − x + ) e = ( x ) e x x 2x 2x 2x 2x b/ y = ( s inx-cosx ) e ⇒ y ' = ( cosx+sinx ) e + ( s inx-cosx ) e = ( 3sin x − cosx ) e ( e x + e− x ) ( e x + e− x ) − ( e x − e− x ) ( e x − e− x ) = e x − e− x c/ y = e x + e − x ⇒ y ' = 2 ( e x + e− x ) ( e x + e− x ) ln x 1 2x  − ln x ⇒ y ' =  x − ln x ÷ = e/ y = x x x x2 x +1  ln x + ln x + ln x + = f/ y = ( + ln x ) ln x ⇒ y ' = x x x d/ y = ln ( x + 1) ⇒ y ' = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 17 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Tính đạo hàm hàm số sau : a y = x ln ( x2 + ) b log ( x − x + 1) a/ y = x ln ( e y = log  ) x + ⇒ y ' = x.ln 1− x  ÷ ÷  x   x2 −  ÷  x+5   x−4 ÷  x+4 d y = log  c y = ln x ( ) f y = log   Giải x2 x x +1 + = x.ln ( x + 1) ( ) x3 x +1 + ( x + 1) 2x −1 b/ y = log ( x − x + 1) ⇒ y ' = x − x + ln ( ) 2 −   y = ln x ⇒ y ' = ( ln x )  ' = ( ln x ) = c/ x x ln x    16 x−4 16  x−4 ⇒ y' = :  ÷= d/ y = log  ÷ ln  ( x + ) x + ÷ ( x − ) ln  x+4   2  x −9  x ( x + 5) − x + x −  x + 10 x + y = log  ⇒ y'= :  = e/ ÷ ln  x +  ( x + ) ( x − ) ln ( x + 5)  x+5      x +1 1− x   x +1 1− x  : = f/ y = log  ÷⇒ y ' =  x ÷ ln10  16 x x x  x ln10 − x     ( ) ( ( ) ) II GIỚI HẠN Bài Tìm giới hạn sau : ln ( 3x + 1) − ln ( x + 1) x→0 x x+3 e −e d lim x→0 2x a lim ln ( 3x + 1) x→0 sin x ex −1 e lim x→0 x +1 −1 b lim ln ( x + 1) x→0 x ln ( + x ) f lim x→0 2x c lim Giải ln ( 3x + 1) − ln ( x + 1) ln ( x + 1) ln ( x + 1) = lim − lim = 3− =1 x→0 x →0 a/ x→0 x x x ln ( 3x + 1) 3x ln ( 3x + 1) ln ( x + 1) ln ( x + 1) 3x = lim = , = lim =4 b/ lim c/ lim x→0 x →0 x→0 x →0 sin x sin x x 4x 2x 2x 5x ( e − 1) = 5e3 , ex −1 ex −1 e5 x + − e3 = lim x + + = 1.2 = = lim e3 d/ lim e/ lim x→0 x→0 x →0 2x ( x ) x + − x →0 x lim ( Bài Tìm giới hạn sau ln ( x + 1) x→0 tan x a lim Trang 18 e x − e3 x x→0 5x b lim e3 x − x→0 x c lim Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 ) HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT   d xlim  xe x − x ÷ →+∞  e lim x→0  sin x x f lim x→0 − cos5x x2 Giải ln ( x + 1) ln ( x + 1) 2x = lim =2 a/ lim b/ x→0 x →0 tan x tan x x x 2x 3x 2x e −e e −1 e3 x − lim = lim − lim = − =− x→0 x →0 x →0 ( x ) 5x 5 x 2x c/ lim x→0 e/ lim x→0    e x −1 ÷     d/ xlim  xe x − x ÷ = xlim x  e x − 1÷ = xlim  ÷ = →+∞   →+∞   →+∞  ÷  x  5x 2sin − cos5x = 25 = lim f/ lim x x→0 x →0  5x   ÷ 25   e −1 e −1 = lim =3 x→0 x 3x sin x sin x = lim =3 x→0 x 3x 3x 3x Bài Tìm giới hạn sau : a lim x→0 cosx − cos3x sin x   b lim  cosx − t anx ÷ π x→   c xlim ( x + ) sin →+∞ x    − cos x ÷ ÷ d lim  π π÷  x→   sin  x − ÷ ÷    Giải −2sin x sin ( − x ) cosx − cos3x cos x.sin x = lim = lim =4 x→0 x→0 x →0 sin x sin x sin x   b/ lim  cosx − t anx ÷ π x→   a/ lim 1 − cost π  − tan  − t ÷ = − cot t = sint π  Đặt :   sin t cos  − t ÷ 2  t t 2sin tan t π   = tan =∞ = − t anx ÷ = lim Khi x → ; t → ⇒ lim  π cosx t →0 t t t t 2 x→   2sin cos 2 2  x → +∞; t → 3  ⇒ lim ( x + ) sin = lim ( 6t + 3) = 3  1 c/ xlim ( x + ) sin Đặt : t = ⇒  x →+∞ →+∞ x x t →0 x ( x + ) x =  + t ÷3t = 6t +    t= π π −x⇒x= t ⇔ − t anx= 2 cosx Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 Trang 19 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT π π  x = t + ; x → ;t →     − cos x ÷ π  π  ÷ Đặt : x − = t ⇒  − cos  + t ÷ d/ lim  π − cos x π÷  x→    = ( − cost+sint )  =  sin  x − ÷ ÷ π  sin t sint      sin  x − ÷    t t t t t 2sin + 2sin cos sin + cos ( − cost+sint ) 2 2= 2 = tan t + = Do : t t t sint 2sin cos cos 2    − cos x ÷ t ÷ = lim  tan +  = Vậy : lim   ÷ π t →o π  x→    sin  x − ÷ ÷  ÷ 4   Trang 20 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 ... Nếu hai số hai lũy thừa , ta phải ý đến số , sau sử dụng tính chất lũy thừa dạng bất đẳng thức Trang Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Bài Hãy so sánh... số ln có số lớn b c b c c a a c a a b  bc a b IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH Trang 14 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT • Nếu so sánh hai loga rít có số ta ý... 10 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT d/ D = log ( log3 4.log 3) = − log ( log 3.log ) = − log ( log ) = − log 2 = − Bài Hãy tính   a A = log  2sin