Chuyên:  -     10  11  12        CÁC     11  12   CHUYÊN TOÁN  0937 448 229  Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 1 GIẢI TÍCH Vấn đề 1: Miền xác định của hàm số: Miền xác định (MXĐ) của hàm số ()y f x là tập hợp tất cả các giá trị của biến số xR sao cho ta tính đƣợc giá trị ()y f x . Kí hiệu: f D hoặc D và   / ( )D x R f x R    Dạng 1: 1 1 1 0 nn nn y a x a x a x a        là D = R  Dạng 2: () () Px y Qx  , có nghĩa khi ( ) 0Qx  Dạng 3: 2 () n y P x , có nghĩa khi ( ) 0Px  Dạng 4: 21 () n y f x   là ()f x R  Dạng 5: () ( ) log ( ) Ax f x B x có nghĩa khi 0 ( ) 1Ax và ( ) 0Bx .  Dạng 6: 1 () () fx Ax  có nghĩa khi ( ) 0Ax  .  Dạng 7:   () () Bx y A x là  / ( ) 0D x R A x   và  ()B x R .  Dạng 8: sinyx , osy c x là D = R tanyx có nghĩa khi , 2 x k k z      ty co x có nghĩa khi ,x k k z   Vấn đề 2: Miền giá trị hàm số Miền giá trị (MGT) của hàm số ()y f x là tập hợp tất cả các giá trị yR sao cho ta tìm đƣợc biến số xR thỏa mãn ()y f x . Kí hiệu G và  /G y R x R    thỏa  ()y f x . Phƣơng pháp giải toán  Bƣớc 1: Xét phƣơng trình ( ) 0f x y (*), trong đó x là ẩn số và y là tham số.  Bƣớc 2: Tìm y để (*) có nghiệm.  Bƣớc 3: Giải điều kiện ta tìm đƣợc y với yG . Lƣu ý: Đây cũng là một phương pháp tìm GTLN- GTNN của hàm số Vấn đề 3: Tính chẵn – lẻ của hàm số Tập hợp DR đƣợc gọi là đối xứng x D x D     Cho hàm số ()y f x có MXĐ là DR , khi đó:  ()fx đƣợc gọi là hàm số chẵn D đối xứng và ( ) ( )f x f x  ()y f x đƣợc gọi là hàm số lẻ D đối xứng và ( ) ( )f x f x   Chú ý: ▪ Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. ▪ Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. Vấn đề 4: Phƣơng pháp khử dạng vô định 1. Dạng 0 0 :  Phân tích tử và mẫu (chia cho 0 xx )(khi tử và mẫu là đa thức) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n x x x x x x x x K x P x K x K x Q x R x R x x x R x          Dùng lƣợng liên hợp (khi tử hoặc mẫu có chứa căn). 2. Dạng   : Chia tử và mẫu cho n x 3. Dạng   : Dùng lƣợng liên hợp 4. Dạng 0. : Biến đổi 1 0.       Kết quả cần nhớ: Vấn đề 5: Hàm số liên tục a) ()y f x liên tục bên phải 0 x nếu 0 x 0 0 lim ( ) ( ) xx f x f x    ; b) ()y f x liên tục bên trái 0 x nếu 0 0 lim ( ) ( ) xx f x f x    ; c) ()y f x l.tục tại 0 x 0 00 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) xx x x x x f x f x f x f x f x            d) ()y f x l.tục trên (a; b) nếu ()fx l.tục tại mọi điểm 0 x thuộc (a; b) e) ()y f x liên tục trên đoạn   ,ab nếu ()fx liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Chú ý: Hàm số sơ cấp xác định tại đâu thì liên tục tại đó. Vấn đề 6: Đạo hàm 1. Qui tắc tính đạo hàm:   1 0 1 lim 1 ,lim 1 x x xx x e e x          a) ( . ) . ( )au au a R  b) ( )' ' 'u v u v   c) ( . ) . .uv u v uv    d) ( . . ) . . . . . . 'uv w u vw u v w uvw      e) 2 ' . ' ( 0) u u v u v v vv       f) 2 ' ( 0, ) av a v a R vv         a) ( . ) . ( )au au a R   b) ( )' ' 'u v u v   c) ( . ) . .uv u v u v     d) ( . . ) . . . . . . 'u v w u vw uv w uv w       e) 2 ' . 'u u v u v v v       f) 2 ' ( 0, ) av a v a R v v           1 0 1 lim 1 lim 1 x x xx xe x          Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 2 2. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp: 3. Đạo hàm cấp 2:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trƣớc tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n-1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 2 1 đến 2 n (không kể dấu).  Xét khai triển:   0 1 2 2 1 1 1 n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x         (1)  Đạo hàm 2 vế của (1) ta đƣợc: 1 2 3 2 1 1 2 3 (1 ) n n n n n n n C C x C x nC x n x        (2)  Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta đƣợc: 2 3 4 2 2 2 1.2 2.3 3.4 ( 1) ( 1)(1 ) n n n n n n n C C x C x n nC x n n x          (3)  Nhân x vào 2 vế của (2) ta đƣợc: 1 2 2 3 3 1 2 3 (1 ) n n n n n n n C x C x C x nC x nx x        (4)  Đạo hàm 2 vế của (4) ta đƣợc: 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2 3 (1 )(1 ) n n n n n n n C C x C x n C x n nx x         (5) 4. Đạo hàm cấp cao của hàm số: Nếu hàm số ()y f x có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì ()fx  là một hàm mới xác định trên khoảng (a, b). Đạo hàm ()fx  là đạo hàm cấp một. Đạo hàm của ()fx  (nếu có) là đạo hàm cấp hai và ký hiệu:   ( ) ( )f x f x     Bằng quy nạp, giả sử ()fx có đạo hàm đến cấp n-1 và ký hiệu ( 1) () n fx  ta định nghĩa và ký hiệu đạo hàm cấp n là ( ) ( 1) ( ) ( ) nn f x f x      Vấn đề 7: Hàm số đơn điệu Cho hàm số ()y f x xác định trên K 1. Định nghĩa: a) ()y f x tăng trên K nếu: 1, 2 1 2 1 2 : ( ) ( )x x K x x f x f x     b) ()y f x giảm trên K nếu: 1, 2 1 2 1 2 : ( ) ( )x x K x x f x f x     Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. 2. Định lý: Cho hàm số ()y f x có đạo hàm trên K a) Nếu ( ) 0,f x x K     và ( ) 0fx   chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số ()y f x đồng biến trên K. b) Nếu ( ) 0,f x x K     và ( ) 0fx   chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số ()y f x nghịch biến trên K. Chú ý: ▪ Nếu ( ) 0,f x x K     thì hàm số ()y f x không đổi (còn gọi là hàm hằng) trên K. ▪ Nếu ( ) 0, ( , )f x x a b     và ()fx liên tục trên   ,ab thì hàm số ()y f x tăng trên   ,ab (tƣơng tự cho các trƣờng hợp khác). Vấn đề 8: Cực trị của hàm số 1. Định lý 1: Giả sử hàm số ()y f x liên tục trên khoảng 00 ( ; )K x h x h   và có đạo hàm trên K hoặc trên K\   0 ( 0)xh . a) Nếu ( ) 0fx   trên khoảng 00 ( ; )x h x và ( ) 0fx   trên khoảng 00 ( ; )x x h thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số ()fx b) Nếu ( ) 0fx   trên khoảng 00 ( ; )x h x và ( ) 0fx   trên khoảng 00 ( ; )x x h thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số ()fx .  Quy tắc 1 (áp dụng định lý 1 tìm cực trị) * Bƣớc 1: Tìm tập xác định * Bƣớc 2: Tính ()fx  . Tìm các điểm tại đó ( ) 0fx   hoặc ()fx  không xác định. * Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên. a) ( . ) . ( )au au a R  b) ( )' ' 'u v u v   c) ( . ) . .uv u v uv    d) ( . . ) . . . . . . 'uvw u vw uv w uvw      e) 2 ' . ' ( 0) u u v uv v vv       f) 2 ' ( 0, ) av a v a R vv         Đạo hàm h.số sơ cấp Đ.h hàm hợp ()ux 1) 1 ( ) .xx      2) 2 11 x x      3)   1 2 x x   1) 1 ( ) . '.u u u      2) 2 1 u u u       3)   2 u u u    4) (sin )' osx c x 5) ( os )' sinc x x 6) 2 1 (tan )' os x cx  2 1 tan x 7) 2 1 (cot )' sin x x   2 (1 cot )x   4) (sin )' . osu u c u   5) ( osu)' .sinc u u   6) 2 (tan )' os u u cu   2 (1 tan )uu   7) 2 (cot )' sin u u u    2 (1 cot )uu     8) () xx ee   9) ( ) .ln xx a a a   8) ( ) . uu e u e   9) ( ) . .ln uu a u a a   10)   1 ln x x   11)   1 log .ln a x xa   10)   ln u u u    11)   ' log .ln a u u ua   Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 3 * Bƣớc 4: Từ bảng biến thiên ta suy ra các điểm cực trị. 2. Định lý 2: Cho hàm số ()y f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng 00 ( ; )x h x h với h > 0. a) Nếu 0 ( ) 0fx   và 0 ( ) 0fx   thì 0 x là điểm cực tiểu b) Nếu 0 ( ) 0fx   và 0 ( ) 0fx   thì 0 x là điểm cực đại.  Quy tắc 2 (áp dụng định lý 2 tìm cực trị) * Bƣớc 1: Tìm tập xác định. Tính ()fx  * Bƣớc 2: Giải phƣơng trình 0 ( ) 0fx   và kí hiệu ( 1,2, ) i xi là các nghiệm của nó. * Bƣớc 3: Tính ()fx  và () i fx  * Bƣớc 4: Dựa vào dấu () i fx  suy ra tính chất cực trị của i x . 3. Đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba. Cho hàm số 32 y ax bx cx d    có đồ thị ()C . Giả sử ()C có 2 điểm cực trị là 11 ( , )A x y và 22 ( , )B x y trong đó 12 ,xx là nghiệm của phƣơng trình 0y   , để viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A và B ta thực hiện các bƣớc sau: * Bƣớc 1: Chia y cho y  ta đƣợc ()y px q y ax       (*). * Bƣớc 2: Thế tọa độ của A và B vào (*) ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ). ( ) ( ). ( ) y px q y x ax y px q y x ax                11 22 y ax y ax         * Bƣớc 3: Đƣờng thẳng (AB): y ax   4. Đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 2/1 Cho hàm số 2 ax bx c y dx e    có đồ thị ()C & có 2 điểm cực trị là 11 ( , )A x y và 22 ( , )B x y trong đó 12 ,xx là nghiệm của phƣơng trình 0y   , để viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A và B ta thực hiện các bƣớc sau: * Bƣớc 1: Đặt 2 ,U ax bx c V dx e     ta có 2 ''u v uv y v    (*) * Bƣớc 2: Thế tọa độ của A và B vào (*) ta có: (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) 2 (1,2) '( ). ( ) ( ). ( ) () U x V x U x V x yx Vx     (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) '( ). ( ) ( ). ( ) 0U x V x U x V x     (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) U x U x ab yx V x V x d d        * Bƣớc 3: Đƣờng thẳng (AB): 2ab yx dd  Lƣu ý: Định m để hàm số  Đạt cực đại tại x 0 khi: 0 0 0 '( ) 0 '( ) '( ) 0 ''( ) 0 fx fx fx fx                 Đạt cực tiểu tại x 0 khi: 0 0 0 '( ) 0 '( ) '( ) 0 ''( ) 0 fx fx fx fx                 Đạt cực trị tại x 0 khi: 0 0 0 '( ) 0 '( ) '( ) 0 ''( ) 0 fx fx fx fx                 Có 1 cực trị: '0y  có 1 nghiệm đơn  Có n cực trị: '0y  có n nghiệm đơn (bội đơn)  Không có cực trị: '0y  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (bội kép). Lƣu ý: Cực trị các hàm số như sau - Hàm bậc 3 và bậc 2/bậc 1 hoặc có 2 cực trị hoặc không có cực trị - Hàm trùng phƣơng hoặc có 3 cực trị hoặc có 1 cực trị - Hàm nhất biến không có cực trị. Vấn đề 9: Đồ thị lồi, lõm, điểm uốn 1. Định nghĩa: Cho ()y f x xác định trên (a, b) và có đồ thị là ()C a) ()C đƣợc gọi là đồ thị lồi trên khoảng (a, b) nếu mọi tiếp tuyến tại 0 ( , )x a b đều nằm ở phía trên ()C . b) ()C đƣợc gọi là đồ thị lõm trên khoảng (a, b) nếu mọi tiếp tuyến tại 0 ( , )x a b đều nằm ở phía dƣới ()C c) Điểm phân chia giữa lồi và lõm của ()C đƣợc gọi là điểm uốn. 2. Định lý: ()y f x có đ.hàm đến cấp 2 trên (a, b) và có đ.thị ()C a) Nếu ( ) 0, ( , )f x x a b     thì ()C lõm trên khoảng (a, b). b) Nếu ( ) 0, ( , )f x x a b     thì ()C lồi trên khoảng (a, b). c) Nếu 0 ( ) 0fx   và 0 ( ) 0fx   đổi dấu tại 0 xx thì 00 ( , ( ))U x f x là điểm uốn. Vấn đề 10: Giá trị lớn nhất (max) – Giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x 0 đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua x 0 đổi dấu khi qua x 0 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 4 1. Định nghĩa: Cho hàm số ()y f x có MXĐ D và XD a) Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất của ()fx trên X nếu: 00 ( ) , : ( ) f x M x X x X f x M          Ký hiệu ax ( ) x M m f x a b) Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất của ()fx trên X nếu 00 ( ) , : ( ) f x m x X x X f x m          Ký hiệu min ( ) x m f x 2. Tìm max – min của hàm số liên tục trên đoạn   ,ab * Bƣớc 1: Giải phƣơng trình ( ) 0fx   , giả sử có nghiệm 12 ; ; ; n x x x  đoạn   ,ab (ta loại nghiệm nằm ngoài   ,ab ) * Bƣớc 2: Tính ()fa , 12 ( ), ( ), , ( ), ( ). n f x f x f x f b * Bƣớc 3: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị ở bƣớc 2 là các giá trị tƣơng ứng cần tìm. Chú ý: a) Nếu đề bài chƣa cho đoạn   ,ab thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trƣớc khi làm bƣớc 1. b) Có thể đổi biến số ()t t x và viết ( ) ( ( ))y f x g t x . Gọi T là miền giá trị của hàm số ()tx (thƣờng gọi là điều kiện của t đối với x), thì: min ( ) min ( ), ax ( ) axg(t). xT xT f x g t m f x m c) Tìm max – min của hàm số l.tục trên khoảng (a, b) hoặc trên R. * Bƣớc 1: Giải phƣơng trình ( ) 0fx   . Giả sử n có nghiệm 12 ; ; ; n x x x D (ta loại các nghiệm không thuộc D). * Bƣớc 2: Tính 1 lim ( ) xa f x L    , 12 ( ), ( ), , ( ), n f x f x f x 2 lim ( ) xb f x L    * Bƣớc 3: i)     1 2 1 2 min ( ), ( ), , ( ) min , n f x f x f x L L   1 min ( ) min ( ) ( ) n D f x f x f x (1) ii)     1 2 1 2 max ( ), ( ), , ( ) max , n f x f x f x L L   1 max ( ) max ( ) ( ) n D f x f x f x (2) iii) Nếu không thỏa (1) hoặc (2) thì hàm số không đạt min (max). Vấn đề 11: Tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Đƣờng thẳng 0 yy đƣợc gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số ()y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đƣợc thỏa mãn: 0 lim ( ) x f x y   , 0 lim ( ) x f x y   2. Đƣờng thẳng 0 xx đƣợc gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số ()y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đƣợc thỏa mãn: 0 lim ( ) xx fx     , 0 lim ( ) xx fx     0 lim ( ) xx fx     , 0 lim ( ) xx fx     . 3. Phƣơng pháp tìm tiệm cận xiên (d): y ax b Cách 1: Tìm () lim x fx a x   ,   lim ( ) x b f x ax   Cách 2: Ta viết ( ) ( )f x ax b x     với lim ( ) 0 x x    Vấn đề 12: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số I) Bổ sung lý thuyết: 1) Định nghĩa: a) Cho ()y f x có đồ thị là ()C và giả sử ()fx có đạo hàm tại điểm 0 x . Đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình 0 0 0 ( )( )y f x x x y     đƣợc gọi là tiếp tuyến với ()C . b)Cho hàm số ()y f x , ()y g x có đồ thị lần lƣợt là 1 ()C và 2 ()C . Ta nói 1 ()C và 2 ()C tiếp xúc với nhau tại điểm 00 ( ; )M x y nếu chúng có một tiếp tuyến chung tại điểm 00 ( ; )M x y . 2) Định lý (điều kiện tiếp xúc): Cho 2 hàm số ()y f x , ()y g x có đồ thị lần lƣợt là 1 ()C và 2 ()C . Điều kiện cần và đủ để 1 ()C và 2 ()C tiếp xúc với nhau là hệ phƣơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x       (1) (2) có nghiệm Chú ý: i) Phƣơng trình (1) là ph.trình hoành độ giao điểm của 1 ()C và 2 ()C ii)Nghiệm 0 x của phƣơng trình là hoành độ của tiếp điểm và 00 ( ) ( )f x g x   là hệ số góc của tiếp tuyến chung. II) Các dạng tiếp tuyến thƣờng gặp: 1) Tiếp tuyến tại điểm 00 ( ; ) ( ): ( )M x y C y f x   Bƣớc 1: Kiểm tra điểm M thuộc đƣờng cong ()C Bƣớc 2: Áp dụng công thức   0 00 () x y f x x y     2) Tiếp tuyến với đƣờng cong ()C : ()yx biết hệ số góc k Bƣớc 1: Giải ph.trình 0 0 0 ()f x k x y    00 ( ; )M x y Bƣớc 2: Áp dụng công thức 00 ()y y k x x   3) Tiếp tuyến đi qua điểm ( ; ) AA A x y (A có thể thuộc ()C ) Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 5 Bƣớc 1: Gọi 00 ( ; )M x y là tiếp điểm. Phƣơng trình tiếp tuyến có dạng: ' 0 0 0 ( ).( ) ( )y f x x x f x   (d) Bƣớc 2:   ' 0 0 0 ( ; ) : ( ).( ) ( ) A A A A A x y C y f x x x f x    Bƣớc 3: Giải phƣơng trình trên tìm đƣợc 00 xy tiếp tuyến Vấn đề 13: Hàm số 32 ( 0)y ax bx cx d a     * Tập xác định D = R * Đạo hàm 2 32y ax bx c      0: 0y     vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  hàm số đơn điệu trên R  0: 0y     có 2 nghiệm ph.biệt 12 ,xx  hàm số có hai cực trị * Giới hạn tại vô cực: 3 23 lim lim xx b c d y x a x xx            * Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng  a > 0 và hàm số có 2 cực trị  a < 0 và hàm số có 2 cực trị  a > 0 và hàm số không có cực trị  a < 0 và hàm số không có cực trị Vấn đề 14: Hàm số 42 ( 0)y ax bx c a    * Tập xác định D = R. * Đạo hàm 32 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b       0ab  : 00yx      hàm số có 1 cực trị.  0ab  : 0y   có 3 nghiệm phân biệt  hàm có 3 cực trị. * Giới hạn tại vô cực 4 24 lim lim xx bc y x a xx         lim x y     nếu a > 0, lim x y    nếu a < 0 * Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng:  a > 0 và hàm số có 3 cực trị  a < 0 và hàm số có 3 cực trị  a > 0 và hàm số có 1 cực trị  a < 0 và hàm số có 1 cực trị Vấn đề 15: Hàm số ( 0, 0) ax b y c ad bc cx d       * Tập xác định \ d DR c     * Đạo hàm 2 () ad cb y cx d     ▪ 0: ' 0ad cb y    hàm số đồng biến trên D ▪ 0: ' 0ad cb y    hàm số nghịch biến trên D * Tiệm cận đứng d x c  , tiệm cận ngang a y c  * Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng:  0ad cb và hàm số đồng biến trên MXĐ  x y’ y 1 x 2 x + 0 0 _ _  CĐ CT 0  + C Đ 0  O 2 x y 2 x y’ y 1 x 2 x _ 0 0 _ +  CĐ CT    O 2 x y -2  x y’ y  +   O 2 x y O 2 x y  2  x y’ y 1 x 2 x _ 0 0 + +  CT CĐ 0  _ CT 0  O 2 y -2  x y’ y 1 x  2 x + 0 0 + _ CT C Đ   O 2 X y -2  x y’ y  _ 0 0 +   CT O 2 y x  x y’ y  + 0 0 _   CĐ O 2 x y - x  + - d/c + a/c   a/c  y y’ O 4 x -2 2 x  x y’ y  -   Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 6  0ad cb và hàm số nghịch biến trên MXĐ Vấn đề 16: Hàm số hữu tỉ 2 ax bx c y dx e    0( , e ad d  không là nghiệm của tử số) * Tập xác định \ e DR d     * 2 ' 0 2 . . ( ) 0y adx ae x be cd      (1) ▪ (1) Có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có 2 cực trị. ▪ (1) Vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đơn điệu trên D * Giới hạn, tiệm cận 2 ax bx c C y Ax B dx e dx e       lim e x d e yx d       là tiệm cận đứng lim 0 x C y Ax B dx e       là tiệm cận xiên * Bảng biến thiên và đồ thị tƣơng ứng:  ad > 0 và hàm số có 2 cực trị  ad < 0 và hàm số có 2 cực trị  ad > 0 và hàm số không có cực trị  ad < 0 và hàm số không có cực trị Vấn đề 17: Công thức dời trục tọa độ Đổi hệ trục 00 Ox IXY ( ; ) OI y I x y ,có công thức đổi trục: 0 0 x x X y y Y      Vấn đề 18: Phép Biến Đổi Đồ Thị a) Vẽ đồ thị ()C : ()y f x b) Từ ()C ( '): ( )C y f x m   - Tịnh tiến ()C theo phƣơng Oy lên phía trên một đoạn m ta đƣợc ( ')C (khi m > 0) - Tịnh tiến ()C theo phƣơng Oy lên phía xuống một đoạn m ta đƣợc ( ')C (khi m < 0) c) Từ ()C : ()y f x ( '): ( )C y f x m   - Tịnh tiến ()C theo phƣơng Ox sang phải một đoạn m ta đƣợc ( ')C (khi m < 0) - Tịnh tiến ()C theo phƣơng Ox sang trái một đoạn m ta đƣợc ( ')C (khi m > 0) d) Từ ()C : ()y f x ( '): ( )C y f x  Nhận xét: ( ) ( )f x f x   hàm chẳn  đồ thị ( ')C có 2 nhánh đối xứng qua Oy  () () () fx fx fx      ( ( khi khi 0) 0) x x   - nhánh - nhánh 1 2 + Nhánh 1 của ( ')C trùng với ()C khi 0x  (phần bên phải trục tung) + Nhánh 2 của ( ')C đối xứng nhánh 1 qua Oy. e) Từ ()C : ()y f x ( '): ( )C y f x  () () () fx fx fx      ( ( khi khi ( ) 0) ( ) 0) fx fx   - nhánh - nhánh 1 2 + Nhánh 1 của ( ')C trùng với ()C khi ( ) 0fx (phần (C) trên Ox) + Nhánh 2 của ( ')C đối xứng ()C khi ( ) 0fx (phần (C) dƣới Ox) Vấn đề 19: Sự tƣơng giao của 2 đồ thị Cho hàm số ()y f x , ()y g x có đồ thị lần lƣợt là 1 ()C và 2 ()C . Để tìm số giao điểm (có thể có điều kiện) của 2 đồ thị ta thực hiện các bƣớc sau: * Bƣớc 1: Lập phƣơng trình hoành độ giao điểm của 1 ()C và 2 ()C : ( ) ( )f x g x (*) * Bƣớc 2: Số nghiệm của (*) (thỏa điều kiện) là số giao điểm của 1 ()C và 2 ()C .  x y’ y  _ - d/c _ a/c a/c   O 4 x y -2 2  x y 1 x 2 x + 0 + _  C CT  _ 0    -e/d y’ O x y -2 2  x y’ y 1 x 2 x _ 0 _ +  CT CĐ -e/d  + 0   O x y -2 2  x y’ y  + -e/d +     O x y -2 2  x y’ y  _ _     - e/c O x y -2 2 O x y 0 y Y x I 0 x Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 7 Lƣu ý: nếu (*) là bậc ba thì nhẫm 1 nghiệm x 0 , rồi tách thành tích Vấn đề 20: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị Để biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình ( , ) 0f x m  (1) (m đồng bậc) ta thực hiện các bƣớc sau: * Bƣớc 1: Viết lại phƣơng trình (1) thành ( ) ( )g x h m (2) (cô lập m) * Bƣớc 2: Vẽ đồ thị ()C (hoặc lập bảng biến thiên) của hàm số ()y g x . * Bƣớc 3: Số nghiệm của (1) tùy thuộc vào số giao điểm của đồ thị ()C và đƣờng thẳng song song với trục hoành (d): ( ).y h m ĐẠI SỐ Vấn đề 1 Cần nhớ : a) Đẳng thức cần nhớ: ▪ 2 A AA A      khi khi ( 0) ( 0) A A   ▪ 2 2 22 3 24 BB A AB B A         ▪ 2 2 24 b ax bx c a x aa          b) Hằng đẳng thức cần nhớ: ▪ 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2A B A AB B A B A B AB         ▪ 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2A B A AB B A B A B AB         ▪ 3 3 2 2 3 ( ) 3 3A B A A B AB B     3 3 2 2 ( )( )A B A B A AB B      ▪ 3 3 2 2 3 ( ) 3 3A B A A B AB B     3 3 2 2 ( )( )A B A B A AB B      ▪ 2 2 2 2 ( ) 2 2 2A B C A B C AB BC CA        ▪ 2 2 2 2 ( ) 2 2 2A B C A B C AB BC CA        ▪ () n AB dùng nhị thức Newton hoặc tam giác Pascal. c) Bất đẳng thức cần nhớ: * a < b: Nếu 22 ,0a b a b (ví dụ 22 2 3 2 3 ) Nếu 22 ,0a b a b a (ví dụ 5 4 25 16    ) Nếu 22 0; 0ab ab ab          (ví dụ 2 3 4 9   ) Nếu 22 0; 0ab ab ab          (ví dụ 4 3 16 9   ) * m x n Nếu 2 2 2 ,0m n m x n   (ví dụ 2 2 3 4 9xx    ) Nếu 2 2 2 ,0m n m x n   (ví dụ 2 3 2 9 4xx      ) Nếu 22 0; 0 0 mn xn mn          (ví dụ 2 2 3 0 9xx     ) Nếu 22 0; 0 0 mn xm mn          (vd 2 4 2 0 16xx     ) * 11 ab  Nếu ,0 ,0 ab ab ab        ví dụ 11 32 32 11 24 24               Nếu 0 0 a ab b        ví dụ 11 23 23           * AB AM AM BM BM              * 22 0 0 0 A AB B        * AM AM BN BN A B M N               * 1 11 1 11 .1 A AA B BB B hay A                       Vấn đề 2: Phƣơng trình bậc nhất 1 ẩn Cho phƣơng trình bậc nhất 0ax b ax b     (1) a) 0a  : (1) có nghiệm duy nhất b s a       b) a = 0 và b = 0: (1) có vô số nghiệm sR c) a = 0 và 0b  : (1) vô nghiệm s   Vấn đề 3: Bất phƣơng trình bậc nhất 1 ẩn Cho bất phƣơng trình bậc nhất ax > b (2) a) a > 0: (2) có nghiệm b x a  b) a < 0: (2) có nghiệm b x a  c) a = 0 và 0b  : (2) vô nghiệm d) a = 0 và b < 0 : (2) có nghiệm với x . Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 8 Vấn đề 4: Phƣơng trình bậc hai 1 ẩn Cho phƣơng trình bậc hai: 2 0ax bx c   , 0a  (3) Có 2 4b ac   a) 0 : (3) vô nghiệm b) 0 : (3) vô nghiệm kép 2 b x a   c) 0 : (3) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2 b x a     A. Định lý Vi-et: (thuận và đảo) a) Cho phƣơng trình 2 0ax bx c   có hai nghiệm 12 ,xx thì 12 12 . b S x x a c P x x a             b) Nếu biết . S x y P x y      thì x.y là nghiệm của phƣơng trình 2 0X SX P   Vi-et bậc 3: 32 ax 0bx cx d    1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 b x x x a c x x x x x x a d x x x a                  Cần nhớ: Đối với bài toán phương trình bậc 2 có tham số m, định m để: a) Phƣơng trình vô nghiệm 0 0 0 0 0 a b c a                      b) Phƣơng trình có 1 nghiệm 0 0 0 0 a b a                   c) Phƣơng trình có nghiệm 0 0 0 0 a b a                   d) Phƣơng trình có nghiệm kép 0 0 a       e) Phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt 0 0 a       f) Phƣơng trình có 2 nghiệm dƣơng phân biệt 0 0 0 0 a S P             g) Phƣơng trình có 2 nghiệm âm phân biệt 0 0 0 0 a S P             h) Phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu 0 0 a P       i) Phƣơng trình có 2 nghiệm cùng dấu 0 0 0 a P           j) Phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt không âm 12 (0 )xx   . k) Phƣơng trình có 2 nghiệm không âm (0 K x  12 0)xx l) Phƣơng trình có nghiệm không âm (0 x đơn (a = 0)  0 x kép  12 0 )xx . m) Phƣơng trình có duy nhất 1 nghiệm dƣơng (0 x đơn (a = 0)  0 x kép  12 0xx  12 0)xx Vấn đề 5: Dấu của tam thức bậc 2 2 ( ) ( 0)f x ax bx c a    ▪ 0 . ( ) 0a f x x  (tức là ()fx cùng dấu với a) ▪ 0 . ( ) 0a f x x  (dấu “ = “ xảy ra khi 2 b x a  ) ▪ 0 ()fx có 2 nghiệm 12 ,xx (Giả sử 12 xx ) ta có bảng xét dấu: Cần nhớ: cho 2 ()f x ax bx c   (có tham số m)  x 2 ()fx  Cùng dấu a  x  0 Cùng dấu a x kép Cùng dấu a ()fx  x 1 x 2 x Cùng dấu a 0 0 trái dấu a  ()fx Cùng dấu a Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 9 a) 2 0ax bx c   xR b) 2 0ax bx c   xR 0 0 0 0 0 a b c a                      0 0 0 0 0 a b c a                      c) 2 0ax bx c   xR d) 2 0ax bx c   xR 0 0 0 0 0 a b c a                      0 0 0 0 0 a b c a                      Vấn đề 6: Bảng biến thiên của hàm số bậc hai 2 ()f x ax bx c   1) a < 0 2) a > 0 Vấn đề 7: So sánh nghiệm của tam thức bậc hai 2 ()f x ax bx c   với một số a) 12 . ( ) 0x x a f     b) 12 . ( ) 0 . ( ) 0 af xx af             c) 12 12 ( ). ( ) 0 xx ff xx               d) 12 0 . ( ) 0 2 xx af s                  e) 12 0 . ( ) 0 2 xx af s                  f) 12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af s                      Vấn đề 8: Phƣơng trình đại số bậc cao Phƣơng trình bậc n tổng quát có dạng 1 10 0( 0) nn n n n n a x a x a x a a         Thông thƣờng ta chỉ giải đƣợc phƣơng trình bậc 3 trở lên bằng cách nhẩm nghiệm. a) Ph.trình bậc ba 32 0( 0)ax bx cx d a     (4) * Bƣớc 1: Nhẩm 1 nghiệm x   của (4) (bấm máy) * Bƣớc 2: Chia 32 ax bx cx d   cho x   (dùng sơ đồ Horner), đƣa (4) về phƣơng trình tích:   x     2 0ax Bx C   * Sơ đồ Horner: Cách nhớ: “ Đầu rơi Nhân ngang và cộng chéo …………………………. Nhân ngang và cộng chéo” b) Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt: * Dạng 1 (trùng phƣơng): 42 0ax bx c   ( 0)a  Đặt 2 ,0t x t và đƣa về phƣơng trình bậc hai: 2 0at bt c   * Dạng 2: ( )( )( )( )x a x b x c x d k     ( 0)k  với a + c = b + d Đặt ( )( )t x a x c   và đƣa về phƣơng trình bậc hai theo t. * Dạng 3: 44 ( ) ( )x a x b k    ( 0)k  Đặt 2 ab tx   và đƣa phƣơng trình trùng phƣơng theo t. * Dạng 4: 4 3 2 0ax bx cx bx a     ( 0)a  * Bƣớc 1: Do x = 0 không là nghiệm nên ta chia 2 vế cho 2 x thì ta đƣợc 2 2 11 0a x b x c x x                  * Bƣớc 2: Đặt 1 tx x  và đƣa phƣơng trình bậc 2 theo t. * Dạng 5: 4 3 2 0ax bx cx dx e     trong đó ,0ae và 2 eb ad     Hay dạng: 4 3 2 2 0ax bx cx kbx k a     Cách giải: Chia 2 vế cho 2 0x  2 2 2 0 kk a x b x c x x            Đặt k tx x   Điều kiện của t. Đƣa về phƣơng trình bậc 2 ẩn số t biết cách giải.  x    CĐ 2 b a   x ()fx  2 b a    CT  b a b B   c d B c C   0Cd   a a [...]... ĐỀ 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 22 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học 4 Trục đƣờng tròn ngoại tiếp đa giác: Là đƣờng thẳng đi qua tâm của đƣờng tròn ngoại tiếp đa giác, đồng thời vuông góc với mặt phẳng đa giác Lƣu ý: 2 kết quả quan trọng phần vuông góc Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường... Nghịch:   2  Thuận: * Bài toán Tìm điều kiện tham số m để phƣơng trình f ( x)  g (m) (1) có nghiệm x  X (m là tham số, X là tập hợp con của R) * Cauchy mở rộng: Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 12 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Vấn đề 2: Giải phƣơng trình bậc hai - Cho n sô không âm a1 , a2 , , an ta có:... Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 11 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học c) D  Dx  Dy  0 : Hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm Vấn đề 14: Hệ phƣơng trình đẳng * Các bƣớc giải tổng quát: Bƣớc 1: Tìm GTNN (minf(x)) và GTLN (maxf(x)) của f(x) trên X Bƣớc 2: min f ( x)  g (m)  max f ( x) Chú ý: 1) Nếu bài toán không hạn... kxB   xM  1  k    y  y A  kyB  M 1 k  HÌNH HỌC PHẦN I: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: VÉCTƠ TỌA ĐỘ Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 17 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học ▪ I là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC IA = IB = IC  IA2  IB 2  giải tìm I  2 2  IA  IC  - Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp... f) Phƣơng trình đƣờng thẳng (không cho dữ kiện gì) Cách 1: Ax  By  C  0 ( A2  B2  0) Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 19 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học a1 x  b1 y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a2  b2 2 2 b) (d ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt  d ( I ; d )  R c) (d ) không cắt (C )  d ( I ;(d )) ... mặt phẳng phân biệt Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 21 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học IV CHỨNG MINH 3 ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG QUI : Ta chứng minh giao điểm của hai đƣờng thẳng này nằm trên hai mặt phẳng phân biệt mà có giao tuyến là đƣờng thẳng thứ ba V THI T DIỆN : Ví dụ hình bên có thi t diện là  IJK A ( ABC ) ... cosx  0  x   2 2  k , kiểm tra xem có là nghiệm của (*) không (nếu có ta thu đƣợc nghiệm) b) Định lý hàm số cosin: Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 16 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học a 2  b2  c 2  2bc.cos A  cos A  1 Hệ tọa độ đề các vuông góc Oxy: b2  c 2  a 2 2bc Phân giác I (y = x) y = (0; 1) j... toán, phƣơng pháp 1 rất dài Do đó ta sử dụng phƣơng pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A A  X  A  X \ A Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 29 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học b) Biến cố  ko bao giờ xảy ra, biến cố chắc chắn  luôn xảy ra 4 Quan hệ giữa các biến cố: * Biến cố hội ( A  B ): Nó xãy ra khi ít nhất... Vấn đề 8: Công thức biểu diễn sinx, cosx, tanx theo t  tan 1) sin x  2t 1 t2 2) cosx  7) cos( x  k )   x 2 1 t2 1 t2 8) tan( x  k )  tan x 3) tan x  2t 1 t2 9) cot( x  k )  cot x Vấn đề 12: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 15 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học  x ...  )  isin( ) (r  0) z r và c  di , ta nhân a  bi cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 13 Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Vấn đề 2: Cung góc liên kết d) Công thức Moivre: z n  r n (cosn  isin n ) e) Căn bậc hai của số phức: Số phức z dƣới dạng lƣợng giác (r > 0) . Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 3 * Bƣớc 4: Từ bảng biến thi n ta. của R) Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 13 - Cho n sô không âm 12 ,. M  r Chuyên Toán – Thầy Dũng Toán 10 – 11 – 12 Bồi Dƣỡng HS Giỏi – Luyện Thi Đại Học – Cao Học Nhận Luyện Thi: Lớp 6 – 10 – Trƣờng Chuyên; Đại Học Khối A-B-D… 14 d) Công thức Moivre: