NG GIÁC MT S  VÀ NG DNG TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH NG GIÁC MT S  VÀ NG DNG TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG TP. H CHÍ MINH, THÁNG 7  2011 LU CuNG GIÁC  MT S  VÀ NG Dc biên son vi m cp, b sung kin thc cho hc sinh THPT và mt s bc n mng kin thc này trong quá trình hc tp và làm vic.  cun sách này, ngoài ving khái nim và dng bài tn, chúng tôi s ch s và ng dng ca môn hc này  các bn hiNó xut phát t i sao chúng ta li phi hc nó  n : - Phần I : Nêu lý thuyt cùng ví d minh hc hiu và bit cách trình bày bài. ng thra các dng gp trong quá trình làm bài trên lp ca hc sinh THPT.  phn này, chúng tôi s trình bày mt s  bn c có th nm v - Phần II : Trong quá trình tham kho và tng hp tài liu, chúng tôi s vào phn này các dng toán khó nhm giúp cho các hc sinh bng, rèn luy giNG GIÁC thành thp phi nhng dng toán này. - Phần III : Chúng tôi s i gii gi ý cho mt s c kim tra l, li gii ho tham kho thêm. Trong quá trình biên son, m gng bng vic tham kho mng rt ln các tài liu có sn và tip thu có chn lc ý kin t các bng nghi dn hoàn thin cukhi nhng thiu sót bi tm hiu bit và kinh nghim còn hn ch, chúng tôi rt mong nhc ý kia bc gn xa. Chi tit liên h ti : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH. LI C Trong quá trình biên son, cn nhng bcung cp tài liu tham kho và vui lòng nhn kim tra li tng phn ca bn tho hoc bu kin hoàn thành cun sách này : - Tô Nguyn Nht Minh c T Tp.HCM) - Ngô Minh Nht  Tp.HCM) - Mai Ngc Thng  Tp.HCM) - Trn Lam Ngc (THPT Chuyên Tr - Nguyn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hng Phong Tp.HCM) - Nguyn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bi Châu Tp.Vinh) - c Minh c T Nhiên Hà Ni) và mt s thành viên di MC LC TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1 CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4 2.1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7 BÀI TP T LUYN 15 2.2 TÍNH GIÁ TR CA BIU THC 21 BÀI TP T LUYN 33 2.3 CHNG THNG GIÁC SUY T NG THC C 36 BÀI TP T LUYN 45 2.4 CHNG MINH BIU THNG GIÁC KHÔNG PH THUC VÀO BIN S 46 BÀI TP T LUYN 51 CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52 3.1 CHNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 BÀI TP T LUYN 77 3.2 CHNG MINH BNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 81 BÀI TP T LUYN 133 3.3 NHN DNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 143 BÀI TP T LUYN 191 ĐỌC THÊM : TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 199 TÀI LIU THAM KHO 205 c v khái nim và lch s 1  C V KHÁI NIM VÀ LCH S I. KHÁI NIỆM Trong toán hng giác hng giác là các hàm toán hc cc dùng khi nghiên cu tam giác và các hing có tính cht tung giác ca mi t l chiu dài hai cnh ca tam giác vuông chc t l chiu dài gin thng ni c bit trên vò khía cnh hi ng giác là chui vô hn hoc là nghim cu này cho ng giác có th i s là mt s thc hay mt s phc bt k. ( D th hàm sin ) II. LỊCH SỬ Nhng nghiên cu mt cách h thng và vic lp bng giác c cho là thc hiu tiên bi Hipparchus (1) (180-p bng tính  dài các cung tròn và chiu dài c (2) tip tc phát trin công trình, tìm ra công thc cng và tr cho   và   , c công thc h bc, cho phép ông lp bng tính vi bt k  chính xác cn thit nào. Tuy nhiên, nhng b tht truyn. Các phát trin tip theo din ra  , công trình ca Surya Siddhanta (3) (th k 4-5) a góc và nn th k i  R dùng c n v n 8 ch s thp phân. Các công trình u tiên này v c phát trin nhm phc v c, c th  ng h mt tri. c v khái nim và lch s 2  ng cách ti các ngôi sao gn, gia các mc gii hn hay trong các h thng hoa tiêu v tinh. Rc áp dng vào nhic khác : quang hc, phân tích th n t hc, lý thuyt xác sut, thng kê, sinh hc khoa, hóa hc, lý thuyt sa chn hng hc, h Ta ly ví d t mt bài toán sau trích t Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time : Vic mô hình hóa v s gi chiu sáng ca mt tri là hàm thi gian trong i nhi khác nhau. Cho bit Philadelphia nm     Bc, tìm hàm biu th s gi chiu sáng ca mt tri ti Philadelphia. Chú ý rng m vi mt hàm s sin mà b di chuyn và kéo T cao ca Philadelphia, thi gian chiu sáng kéo dài 14,8 gi vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 gi vào ngày 21 tháng 12, v cng cong (h s kéo u dc) là :        H s nào mà chúng ta c  th hình sin theo chiu ngang nu i gian  trong ngày? Bchu k ca mô hình nên là 365. n ca  là , nên h s kéo u ngang là : c v khái nim và lch s 3     ý rng cong bu mt chu trình ca nó vào ngày 21 tháng 3, ngày th 80 c chúng ta phi phi dch chuyng cong v bên ph. Ngoài ra, chúng ta ph hình hóa s gi chiu sáng ca ca mt tri  Philadelphia vào ngày th  ca ng hàm s :              i ng giác 4  CÁC BING GIÁC I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ta gc bit vi cung  là các cung : - i vi  :  - Bù vi  :   - Hiu  vi  :   -    vi  :                  cos      sin      tan      cot      Ngoài ra, có mt s ng giác khác :           II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. CÔNG THỨC CƠ BẢN                                            [...]... của 15 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 6 Cho 3 góc thỏa Chứng minh 2 .1. 7 Chứng minh 2 .1. 8 Chứng minh (ĐHQG Hà Nội 19 96) 2 .1. 9 Chứng minh [ ] 2 .1. 10 Chứng minh ừ ứ ớ ọ 2 .1. 11 Chứng minh 2 .1. 12 Chứng minh √ (ĐHQG Hà Nội 20 01) 16 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 13 Chứng minh (ĐH Phòng Cháy Chữa Cháy 20 01) 2 .1. 14 Chứng minh √ (ĐHQG Hà Nội 19 95) 2 .1. 15 Chứng minh... có điều cần chứng minh tương đương với : 18 ] www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 5 Sử dụng công thức Cho , ta có : √ Suy ra 2 .1. 6 Áp dụng công thức : 2 .1. 9 Cần chứng minh [ ] 2 .1. 10 Để ý 2 .1. 12 Ta có : 2 .1. 13 Nhân 2 vế cho 2 .1. 14 Áp dụng công thức 19 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Viết lại thành 2 .1. 15 a) Để ý b) Sử dụng công thức Ta có điều phải chứng minh tương... minh 2 .1. 16 Chứng minh 2 .1. 17 Chứng minh 2 .1. 18 Chứng minh 2 .1. 19 Chứng minh ( ) ( ) 2 .1. 20 Chứng minh 17 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 21 Chứng minh 2 .1. 22 Chứng minh GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 .1. 1 – Sử dụng công thức hạ bậc 2 .1. 3 Đặt Khi đó ( √ √ ) ( √ √ ) Áp dụng tính tổng, viết lại thành Rồi sử dụng công thức đã chứng minh ở trên 2 .1. 4 a) Để ý b) Để ý [ c) Ta có : d) Ta... Bài 9: Chứng minh Giải: Ta có : 12 ( ) www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác ( ) Do đó, ta có điều phải chứng minh Bài 10 : Chứng minh √ (ĐHSP Hải Phòng 20 01) Giải: Đặt Ta có : Áp dụng công thức trên, ta được : Nhân lại, ta được : √ Vậy √ 13 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Bài 11 : Chứng minh rằng ( ( Giải:  Ta có : Sử dụng công thức này, ta được : ……………………………………… Cộng... có : ( 8 ) ) www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Bài 3: Chứng minh : a b Suy ra giá trị : Giải: a Ta có : Vậy ta có điều phải chứng minh b Ta có : Nên √ √ √ Vậy ( √ ) ( √ ) Bài 4: Chứng minh Áp dụng tính tổng sau : 9 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có : ( ) Suy ra Vì Nên Bài 5: Cho với Chứng minh Giải: Ta có : ( 10 ) www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng. .. đương với [ ] 2 .1. 16 a Cần chứng minh Suy ra b Ta có điều cần chứng minh tương đương với 2 .1. 17 Để ý rằng 2 .1. 18 Áp dụng công thức 2 .1. 19 Ta chỉ cần chứng minh ( 20 ) ( ) ( ) ( ) www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 21 Sử dụng công thức sau : 2 - TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Ở loại bài tập này, ngoài các công thức biến đổi cơ bản, ta cần chú ý thêm các công thức sau : ( - ) ( ) Nhờ cung... Chương 2 : Các biến đổi lượng giác c CÔNG THỨC BỔ SUNG √ ( ) √ ( ) √ ( ( ) ( √ ) ) ( ) √ Trong đó { √ III 1 - - √ CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Ta thường sử dụng các phương pháp : biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng thành vế đơn giản; biến đổi tương đương; xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến đổi về đẳng thức cần chứng minh Trong khi biến đổi ta sử dụng các... lại, ta có được điều phải chứng minh  Ta sử dụng công thức Ta có : [ ] Vậy ta có điều phải chứng minh  Ta sử dụng công thức Ta có : [ ] Vậy ta có điều phải chứng minh 14 ) ) www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 .1. 1 Chứng minh các đẳng thức sau a b c 2 .1. 2 Chứng minh 2 .1. 3 Chứng minh ( ) ( ) Áp dụng tính tổng : 2 .1. 4 Chứng minh [ ] [ 2 .1. 5 Chứng minh ] , , là nghiệm của... trình thì 21 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác { Từ đó có thể suy ra Bài 1: Tính Giải: Ta có : ( Bài 2: Rút gọn biểu thức [ Tính giá trị của ] nếu ( 22 ) ) www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có : Mặt khác √ √ Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau Giải: Ta có : ( ) 23 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác ( ) ( ) ( ) ( ) ( Bài 4: Rút gọn biểu thức sau... công thức thích hợp hướng đến kết quả phải đạt được Lưu ý một số công thức trên phải chứng minh trước khi sử dụng Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau : a b Giải: a Ta có : b Ta có : ( ) 7 www.VNMATH.com Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau : Giải: a Ta có : ( b Ta có điều cần chứng minh tương đương với Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh c Ta có : d . Châu Tp.Vinh) - c Minh c T Nhiên Hà Ni) và mt s thành viên di MC LC TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ. SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1 CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4 2 .1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7 BÀI TP T LUYN 15 2.2 TÍNH GIÁ TR CA BIU THC 21 BÀI TP T LUYN. NG GIÁC MT S  VÀ NG DNG TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG TP. H CHÍ MINH, THÁNG 7  2 011 LU CuNG GIÁC  MT S  VÀ NG