chương 5 chuỗi số

Mục lụcKhái niệmChuỗi hình họcTính chất của chuỗiChuỗi không âmSự hội tụ tuyệt đối của chuỗiChuỗi đan dấuSơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗiChuỗi lũy thừa... Sự hội tụ của chuỗi sốNgược l

Chương 5: Chuỗi số

TS Nguyễn Thị Hoài Thương

Trường Đại học Bách Khoa (HCMC)-VNUKhoa Khoa học ứng dụngngththuong@hcmus.edu.vn

Ngày 26 tháng 3 năm 2023

Mục lục

Khái niệmChuỗi hình họcTính chất của chuỗiChuỗi không âm

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗiChuỗi đan dấu

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗiChuỗi lũy thừa

Chuỗi số

Chuỗi số - Đặt vấn đề

Để điều trị sốt rét, người ta tiêm quinine cho bệnh nhân liều 50mg/ngàyvào một thời điểm cố định trong ngày Sau 24 giờ, lượng quinine tồn đọngtrong cơ thể là 23% so với lượng quinine trong cơ thể ngay sau khi tiêm.Hỏi sau n ngày, lượng quinine còn lại là bao nhiêu?

Giải: Ta cóP1 = 50

P2 = 50 + P1× 0.23 = 50 + 50 × 0.23

P3 = 50 + P2× 0.23 = 50 + 50 × 0.23 + 50 × 0.232

Pn= 50 + P2× 0.23 = 50 + 50 × 0.23 + 50 × 0.232+ + 50 × 0.23n−1

4 + +12n + được gọi là một chuỗi số.

Dãy các tổng riêng (Sn)n∈Z+ được gọi là mộtchuỗi số.

Sự hội tụ của chuỗi số

Ngược lại, nếu dãy tổng riêng (Sn)n∈Z+ phân kì thì chuỗi được gọi là

phân kì.

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.2: Xét sự hội tụ của chuỗi

1n(n + 1).Vì

1n + 1.Ta có Sn hội tụ về 1 khi n → ∞ Vậy chuỗi hội tụ về 1 (hay tổng củachuỗi bằng 1) và ta viết

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.3: Xét sự hội tụ của chuỗi

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.4: Xét sự hội tụ của chuỗi

n.Ta có tổng riêng phần của chuỗi này là

Sn= 1 +√1

3 + +1√

n > n1√

n phân kì.

Sự hội tụ của chuỗi số

Ví dụ 1.5: Xét sự hội tụ của chuỗi

1.Ta có:

là một chuỗi hình học với a = 1, r = 1/2 Vì r = 1/2 < 1 nên

12n−1

Suy ra

un = Sn− Sn−1

↓↓↓n → ∞0 = S − S

Lưu ý:Chiều ngược lại (mệnh đề đảo) là không đúng, xem ví dụ sau:

Chứng minh: Đối với chuỗi số đặc biệt này, chúng ta xét các tổng riêngS2, S4, S8, S16, S32, và chứng minh rằng chúng tiến ra vô cùng.Ta có

S2 = 1 +12S4 = 1 +1

 1

2

 1

5 + +18

9 + +116

8 + +18

16 + +116

Tính chất của chuỗi

Tương tự, S32> 1 +5

2, S64> 1 +6

2, tổng quát ta cóS2n > 1 +n

2.Điều này cho thấy rằng lim

n→∞S2n = ∞ Do đó, dãy (Sn)n∈Z phân kì Vậychuỗi điều hòa phân kì.

Chuỗi không âm

Định nghĩaChuỗi số

Định lí 1.5 (Tiêu chuẩn tích phân)

Cho f là một hàm không âm, giảm, liên tục trên [1, ∞) và đặt an= f (n).Chuỗi

Chuỗi không âm

Chuỗi không âm

x−p+1−p + 1

1tp−1 − 1

.(⇐) Nếu p > 1 thì p − 1 > 0 Vì vậy, tp−1 t→∞−−−→ ∞ Do đó,

−−−→ 0.Suy ra:

Chuỗi không âm

Nếu p < 1 thì 1 − p > 0 Khi đó:1

tp−1 = t1−p t→∞−−−→ ∞.Suy ra:

Chuỗi không âm

Định lí 1.6 (Tiêu chuẩn so sánh)Cho

Chuỗi không âm

52n2 = 5

2n2+ 4n + 3 hội tụ.

Chuỗi không âm

1n1/2.

Chuỗi không âm

Định lí 1.7 (Tiêu chuẩn so sánh ở dạng giới hạn)Cho

Chuỗi không âm

Định lí 1.7 (Tiêu chuẩn so sánh ở dạng giới hạn) (tt)Nếu L = ∞ thì

Chuỗi không âm

Chuỗi không âm

5 + n5 hội tụ hay phân kì?Đặt

an= 2n

2+ 3n√

n1/2.Khi đó

Chuỗi không âm

Định lí 1.8 (Tiêu chuẩn d’Alembert hay Tiêu chuẩn tỷ số)Cho

Chuỗi không âm

Ví dụ 1.13: Xét sự hội tụ của các chuỗi sốa)

3nn!1.3 (2n − 1).Giải:

4n, an+1= n + 14n+1.Khi đó

Chuỗi không âm

n

Chuỗi không âm

Định lí 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy hay Tiêu chuẩn căn thức)Cho

Chuỗi không âm

Ví dụ 1.14: Xét sự hội tụ của chuỗi

 2n + 33n + 2

.Giải: Ta chọn

an= 2n + 33n + 2

.Khi đó

hội tụ.

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Định nghĩa 1.10Chuỗi

là một chuỗi hội tụ (xem Ví dụ 1.9).

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Mệnh đề 1.11:Nếu

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Ví dụ 1.17: Xét sự hội tụ của chuỗi

n2.Vì

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Ví dụ 1.18: Xét sự hội tụ của chuỗi

(−1)nx2n22n(n!)2 Giải: Áp dụng mệnh đề 1.11, để chứng minh

hội tụ.Đặt

(−1)n+1x2n+222n+2[(n + 1)!]2

22n+2[(n + 1)!]2.

Sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Khi đó,lim

hội tụ với mọi x ∈ R.

Chuỗi đan dấu

Định nghĩaChuỗi

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số, ta thực hiện sơ đồ sau:Bước 1: Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Bước 2: Khảo sát sự hội tụ có điều kiện Nếu chuỗi

|an| là chuỗiđan dấu thì ta áp dụng tiêu chuẩn Leibniz.

Bước 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi không âm bằng cách áp dụngcác tiêu chuẩn tích phân, so sánh, d’Alembert, Cauchy.

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

tụ tuyệt đối Tuy nhiên,lim

= lim

có nghĩa là điều kiện cần để chuỗi hội tụ thỏa mãn.

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

n→∞an= 0.

2 {an}+∞n=1 là dãy giảm.Theo tiêu chuẩn Leibniz chuỗi

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

− n

n + 1n

− nn + 1

nn + 1

− nn + 1

n = lim

nn + 1

= lim

1 − 1

n + 1

−(n+1)×−nn + 1= e−1= 1

e6= 0.Như vậy, chuỗi đã cho

− n

n + 1n

phân kì.

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2n + 1n

32n + 1

= lim

32n + 1

2n + 1n

hội tụ tuyệt đối nên hội tụ.

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa

Định lí 1.14 (Qui tắc tìm bán kính hội tụ)Nếu

ρ, nếu 0 < ρ < ∞,

Chuỗi lũy thừa

Các bước khảo sát miền hội tụ của chuỗi lũy thừaBước 1: Tìm bán kính hội tụ.

2n + 1.Suy ra

ρ = lim