TOÁN HỌC RỜI RẠC PHẦN 1 DISCRETE MATHEMATICS PART ONE NỘI DUNG ÔN TẬP PHẦN 1 1. CƠ SỞ LOGIC a. Phép tính mệnh đề & vị từ b. Quy tắc suy luận. Quy nạp 2. ĐẠI SỐ BOOL a. Quan hệ thứ tự & tập hợp được sắp b. Dàn và đại số bool c. Hàm bool d. Phương trình bool & hệ phủ tối tiểu e. Công thức tối tiểu của hàm bool PHẦN 2 1. PHÉP ĐẾM a. Nguyên lý cộng, nhân & bù trừ b. Giải tích tổ hợp c. Nguyên lý Dirichlet d. Công thức đệ quy 2 NỘI DUNG ÔN TẬP (cont.) 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ a. Đại cương b. Đồ thị liên thông c. Đường đi ngắn nhất d. Cây khung trọng lượng tối tiểu e. Luồng cực đại 2. SỐ HỌC a. Lý thuyết chia hết b. Lý thuyết đồng dư 3 CƠ SỞ LOGIC (1) A. PHÉP TÍNH MỆNH ĐỀ & VỊ TỪ – Mệnh đề – Chân trị của mệnh đề: đúng, sai (true, false) – Các phép toán mệnh đề • Phép phủ định (NOT, ¬, …) • Phép hội (AND, ∧) • Phép tuyển: (OR, ∨) • Phép tuyển loại trừ (XOR, ⊕) • Phép toán trên bit • Phép kéo theo: → • Phép tương đương: ↔ – Biểu thức mệnh đề – Mệnh đề hệ quả & mệnh đề tương đương • Hằng đúng (tautology), hằng sai • Tiếp liên • Mệnh đề hệ quả: P → Q hằng đúng • Tương đương logic: P ↔ Q hằng đúng 4 CƠ SỞ LOGIC (2) Các tương đương thường dùng (T=hằng đúng, F=hằng sai) P ∨ T = T Domination laws (P ∨ Q) ∨ R=P ∨ (Q ∨ R) = P ∨ Q ∨ R Associative laws P ∧ F = F (P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R) = P ∧ Q ∧ R P ∨ F = P Identity laws P ∨ (Q ∧ R)=(P∨Q) ∧ (P∧R) Distributive laws P ∧ T = P P ∧ (Q ∨R)=(P∧Q) ∨ (P∧R) P ∨ P = P Idempotent laws ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q De Morgan’s laws P ∧ P = P ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q ¬(¬P)=P Double negation laws P ∨ (P ∧ Q) = P Absortion laws P ∨ ¬P = T Comlement laws P ∧ (P ∨ Q) = P P ∧ ¬P = F P → Q = ¬P ∨ Q P ∨ Q = Q ∨ P Commutative laws P ∧ Q = Q ∧ P 5 CƠ SỞ LOGIC (3) – Vị từ • Vị từ P: E → {0, 1} • Không gian của một vị từ: E = E 1 xE 2 x…xE n • Trọng lượng của một vị từ: n • Các phép toán vị từ: ¬, ∧, ∨, … • Các lượng tử – ¬ (∀ X: P(X)) = ∃ X: ¬P(X) – ¬ (∃ X: P(X)) = ∀ X: ¬P(X) 6 CƠ SỞ LOGIC (4) B. QUY TẮC SUY LUẬN – Các quy tắc suy luận: Quy tắc Hằng đúng Tên P → (P ∨ Q) Cộng P ∧ Q → P Rút gọn (P ∧ (P → Q)) → Q Modus ponens (¬Q ∧ (P →Q)) → ¬P Modus tollens ((P →Q) ∧(Q → R)) → (P → R) Tam đoạn luận giả định (¬P ∧ (P ∨ Q)) → Q Tam đoạn luận tuyển QP P ∨ Q QPP →, P QP ∧ P QPQ ¬ →¬ , RP RQQP → →→ , Q QPP ∨¬ , 7 CƠ SỞ LOGIC (5) – Các phương pháp chứng minh: P → Q • Chứng minh rỗng (P = false) • Chứng minh tầm thường (Q = true) • Chứng minh trực tiếp (P = true kéo theo Q = true) • Chứng minh gián tiếp (Chứng minh ¬Q → ¬P đúng) • Chứng minh phản chứng (Chứng minh ¬Q ∧ P → False) • Chứng minh quy nạp 8 ĐẠI SỐ BOOL (1) A. QUAN HỆ – Quan hệ tương đương • Def: (phản xạ, đối xứng, bắc cầu) • Lớp tương đương • Tập thương – Quan hệ thứ tự • Def: (phản xạ, phản xứng, bắc cầu) (E, ≤) • Trội, trội trực tiếp, sơ đồ Hasse • Quan hệ thứ tự toàn phần, bộ phận • Phần tử – tối đại: M∈A ⊆ E, ∀x ∈A: M ≤ x ⇒ x=M – tối tiểu: m ∈A ⊆ E, ∀x ∈A: x ≤ m ⇒ x=M – phần tử lớn nhất: M∈A ⊆ E, ∀x ∈A: x ≤ M – phần tử nhỏ nhất: m∈A ⊆ E, ∀x ∈A: m ≤ x 9 ĐẠI SỐ BOOL (2) B. DÀN (LATTICE) – Cận trên: (E, ≤), x, y ∈ E, A={z| x ≤ z, y ≤ z}, nếu A có phần tử nhỏ nhất thì phần tử nhỏ nhất đó được gọi là cận trên (đúng), ký hiệu sup(x, y) / x∨y – cận dưới: (E, ≤), x, y ∈ E, A={z| z ≤ x, z ≤ y}, nếu A có phần tử lớn nhất thì phần tử lớn nhất đó được gọi là cận dưới (đúng), ký hiệu inf(x, y) / x∧y / xy – Dàn: (E, ≤), ∀x, y ∈ E, ∃ sup(x, y) = x∨y, inf(x, y)=x∧y • Các tính chất (giao hoán, kết hợp, phân phối) • Phần tử bù: (E, ≤)-dàn có phần tử lớn nhất ký hiệu 1, phần tử nhỏ nhất ký hiệu 0, x ∈ E phần tử bù của x (trong E) là phần tử, ký hiệu sao cho • Dàn mà mọi phần tử đều có phần tử bù được gọi là dàn bị bù 10 x      =∧ =∨ 0 1 xx xx [...]...ĐẠI SỐ BOOL (3) • ĐẠI SỐ BOOL – Def1: dàn (E, ≤) có nhiều hơn một phần tử , là dàn phân phối và bị bù Def2: (E, ∨, ∧) kết hợp, giao hoán, phân phối, có phần tử trung hòa và phần tử bù – Định lý Stone • Atom: phần tử trội trực tiếp của phần tử nhỏ nhất • (E, ≤) là một đại số bool hữu hạn với phần tử nhỏ nhất ký hiệu là 0, ∀x ≠ 0∈ E, a1, a2, …, ak là tất cả các atom... thức của một hàm bool f là phần tử tối tiểu của tập các công thức tối giản dạng đa thức của f 18 ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (3) • PHƯƠNG PHÁP KARNAUGH – Bảng Karnaugh a a a a c 101 111 011 001 c 100 110 010 b b b a a a a c 1010 1110 0110 0010 d 000 c 1011 1111 0111 0011 d b c 1001 1101 0101 0001 d c 1000 1100 0100 0000 d b b b b Sắp xếp các phần tử của B3 vào bảng karnaugh Sắp xếp các phần tử của B4 vào bảng... ký hiệu là 0, ∀x ≠ 0∈ E, a1, a2, …, ak là tất cả các atom bị trội bởi x khi đó: x=a1 ∨ a2 ∨ … ∨ ak cách viết này là duy nhất nếu không kể đến thự tự của các atom • Số phần tử của một đại số bool là lũy thừa của 2 • Đại số bool gồm 2n phần tử có n atom 11 HÀM BOOL (1) A HÀM BOOL – – B=({0, 1}, ∨, ∧) là một đại số bool f : Bn → B – f tương ứng với một dãy nhị phân độ dài 2n (dãy các giá trị của f trên... Phương trình tương đương với tuyển 6 Do mỗi hi là tích các biến hoặc phủ định của biến, ta suy ra các nghiệm của hệ phương trình h1 = 1   hm = 1  PHỦ TỐI TIỂU – • Cho tập hợp E, e1, e2, …, en là các phần tử của E, A1, A2, …, Ap là các tập con của E, ∪ { Ai | i=1,…, p} ⊇ {e1, e2, …, en} Tìm họ con của họ {Ai} (phủ tối tiểu) sao cho: – – • Hợp các tập của họ con này chứa {e1, e2, …, en} Bỏ đi một tập... đó Chồng lên sơ đồ phụ Thực hiện 4 Xây dựng công thức tối tiểu của f : là tổng của các công thức của các cell lớn được chọn So sánh các công thức xây dựng được để xác định công thức tôt nhất (ít phép toán nhất) 22 ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7) 1010 1110 0110 0010 1011 1111 0111 0011 1001 1101 0101 0001 1000 1100 0100 0000 Các cell lớn x 1 xyz 2 yzt 3 xy t x x 4 xzt 5 x yz 23 ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7) Chồng các... tối tiểu các nguyên nhân nguyên tố: ⇒ Lập và giải hệ phương trình bool cho phủ tối tiểu » Đơn thức C phủ đơn thức m ⇔ C là ước của m 27 ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (10) PHƯƠNG PHÁP QUINE-MC CLUSKEY • Giai đoạn 1: Tìm công thức tối giản dạng đa thức – • • Lập bảng giá trị của f Lập bảng gồm nhiều cột để ghi kết quả của các bước sau: 1 2 3 Viết vào cột thứ nhất các dãy bit làm f = 1, gom thành từng nhóm theo số . phân phối) • Phần tử bù: (E, ≤)-dàn có phần tử lớn nhất ký hiệu 1, phần tử nhỏ nhất ký hiệu 0, x ∈ E phần tử bù của x (trong E) là phần tử, ký hiệu sao cho • Dàn mà mọi phần tử đều có phần tử bù. TOÁN HỌC RỜI RẠC PHẦN 1 DISCRETE MATHEMATICS PART ONE NỘI DUNG ÔN TẬP PHẦN 1 1. CƠ SỞ LOGIC a. Phép tính mệnh đề & vị từ b. Quy. BOOL – Def1: dàn (E, ≤) có nhiều hơn một phần tử , là dàn phân phối và bị bù Def2: (E, ∨, ∧) kết hợp, giao hoán, phân phối, có phần tử trung hòa và phần tử bù – Định lý Stone • Atom: phần tử