ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA TỰ ĐỒNG CẤU VÀ ỨNG DỤNG

Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- LÊ THỊ NIÊN ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA TỰ ĐỒNG CẤU VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA TỰ ĐỒNG CẤU VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện LÊ THỊ NIÊN MSSV: 2114020140 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn ThS. PHẠM NGỌC HOÀNG Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành được khóa luận tốt nghiệp này, t ôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Quảng Nam đã cho tôi nhiều kiến thức trong thời gian học tập và đã tạo điều kiện cho tôi học tập và phát triển để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Phạm Ngọc Hoàng – thầy giáo trực tiếp hướng dẫn để tôi hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp. Tôi xin cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và góp ý kiến trong quá trình nghiên cứu và làm bài, để tôi hoàn thành bài khóa luận tốt hơn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khóa luận khó tránh khỏi những thiế u sót. Vậy mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Lê Thị Niên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi và được sự hướng dẫn khoa học của ThS. Phạm Ngọc Hoàng. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và không phải sao chép từ bất kỳ tài liệu nào. Nếu không đúng như đã nêu trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình. Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Lê Thị Niên MỤC LỤC Phần 2. NỘI DUNG ........................................................................................................1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ............................................................................1 1.1. Ánh xạ tuyến tính .....................................................................................................1 1.1.1. Định nghĩa .............................................................................................................1 1.1.3. Định lí cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính ...................................................1 1.1.4. Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính ................................................2 1.1.5. Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính: ....................................................................2 1.1.6. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu ..............................................................................3 1.2. Tự đ ng cấu tuyến tính và ma trận vuông chéo hóa được .......................................3 1.2.1. Định nghĩa .............................................................................................................3 1.2.2. Định nghĩa .............................................................................................................3 1.2.3. Nhận xét .................................................................................................................4 1.3. Giá trị riêng và vector riêng......................................................................................4 1.3.1. Định nghĩa .............................................................................................................4 1.3.2. Định nghĩa .............................................................................................................4 1.3.3. Đa thức đặc trưng ..................................................................................................6 1.4. Điều kiện chéo hóa được. Thuật toán chéo hóa .......................................................9 1.4.1. Định lí 1.3 ..............................................................................................................9 1.4.2. Định lí 1.4 ..............................................................................................................9 1.4.3. Thuật toán chéo hóa............................................................................................. 10 Chương 2: ĐA THỨC TỐI TIỂU VÀ ỨNG DỤNG ....................................................13 2.1. Dạng chuẩn Jordan của tự đ ng cấu và ma trận .....................................................13 2.1.1. Tự đ ng cấu lũy linh ............................................................................................ 13 2.1.2. Không gian con riêng suy rộng ...........................................................................15 2.1.3. Dạng chuẩn Jordan của một tự đ ng cấu............................................................. 17 2.2. Định lí Cayley- Hamilton ......................................................................................23 2.2.1.Định nghĩa: Cho một đa thức trên trường .......................................................23 2.2.2. Định lí Cayley-Hamilton .....................................................................................24 2.3. Đa thức tối tiểu và tính chất ...................................................................................27 2.3.1. Định nghĩa ...........................................................................................................27 2.3.2. Tính chất: .............................................................................................................27 2.3.3. Phương pháp tìm đa thức tối tiểu ........................................................................29 2.4. Một số ứng dụng của đa thức tối tiểu .....................................................................33 2.4.1. Xét tính chéo hóa của tự đ ng cấu: Dựa vào định lí 2.8 ta có hệ quả sau: .........33 2.4.2. Tính lũy thừa của một ma trận ............................................................................35 2.4.3. Ứng dụng tìm ma trận Jordan: .............................................................................36 2.4.4. Một số ứng dụng khác của đa thức tối tiểu ......................................................... 38 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Đại số tuyến tính là lĩnh vực cơ bản của bộ môn Đại số, nghiên cứu về ma trậ n, không gian vector, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Trong đó có khái niệm về nghiệm của một đa thức là một ma trận vuông cấp n. Định lí Cayley –Hamilton nói rằng mọi ma trận vuông cấp n (hay tự đ ng cấ u trên kgvt n chiều) là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó. Đa thức tối tiểu là trường hợp đặc biệt, nó là ước của đa thức đặc trưng. Từ đó có thể sử dụng đa thức tối tiểu để giải các bài toán liên quan đến đa thức và ma trận như tính luỹ thừa của một ma trậ n hay tính giá trị của đa thức tại ma trận vuông cấp n... Vì vậy, với mong muốn học hỏi, tìm hiểu sâu thêm về phần đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và một số ứng dụng của nó để giải quyết một số vấn đề của đại số tuyến tính, tôi đã chọn đề tài: “Đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và ứng dụng” để làm khóa luận tố t nghiệp của mình. Khóa luận nhằm hệ thống lại kiến thức cơ sở về tự đ ng cấu, đa thứ c tối tiểu của tự đ ng cấu và một số ứng dụng sử dụng đa thức tối tiểu như công cụ để giải quyết một số bài toán. Tôi hy vọng khóa luận sẽ giúp chúng tôi có mộ t cái nhìn tổng quát hơn về đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu. 1.2. Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu về phương pháp tìm đa thức tối tiểu của ma trận hay tự đ ng cấu và ứng dụng của nó để giải các bài toán liên quan đến ma trận và đa thức. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Một số kiến thức cơ sở về tự đ ng cấu. Đa thức tối tiể u của tự đ ng cấu và ứng dụng. Phạm vi nghiên cứu: Lĩnh vực Đại số tuyến tính. 1.4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn. 1.5. Đóng góp của đề tài Đề tài hệ thống lại các kiến thức cơ sở của tự đ ng cấu, tìm hiểu đa thức tối tiể u của tự đ ng cấu và ứng dụng. Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để sinh viên nghiên cứu, b i dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức. 1.6. Cấu trúc đề tài Khóa luận g m phần mở đầu, kết thúc và hai chương: Chương 1: Các kiến thức cơ sở Chương 2: Đa thức tối tiểu và ứng dụng Phần tài liệu tham khảo và kiến nghị 1 Phần 2. NỘI DUNG Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Ánh xạ tuyến tính 1.1.1. Định nghĩa Cho hai không gian vector V và V’ trên trường K. Một ánh xạ: ''''f V V được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau đây: i)( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y V     (tính bảo toàn phép cộng). ii)( ) ( ), ,f x f x x V K       (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng). Nếu''''V V thì ánh xạ tuyến tính:f V V được gọi là một tự đ ng cấu. Gọi( )End V là tập tất cả các tự đ ng cấu: .f V V Chú ý: Các điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa có thể thay thế bằng điều kiệ n sau:( ) ( ) ( ), , ; ,f x y f x f y x y V K             . 1.1.2. Các tính chất Nếu f là một ánh xạ tuyến tính từ V vào V’ thì ta có: i)( ) ( ) ( );f x y f x f y      , ; ,x y V K      ii)''''(0 ) 0 ; ( ) ( );V Vf f x f x   x V  iii) Nếu: ''''f V V và: '''' ''''''''g V V là các ánh xạ tuyến tính thì: ''''''''gf V V cũng là ánh xạ tuyến tính. 1.1.3. Định lí cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính Định lí 1.1: Cho một cơ sở1 2{e ,e ,...,e }nB  của không gian vector V (1n  ) và1 2, ,..., nv v v là n vector tùy ý của không gian vector V’. Khi đó, t n tại duy nhất mộ t ánh xạ tuyến tính: ''''f V V sao cho( ) , 1,i if e v i n  hay nói khác hơn ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở. Chứng minh,x V  giả sử1 1 2 2 ... n nx x e x e x e    trong đó1 2( , ,..., )nx x x được xác đị nh duy nhất. Đặt1 1 2 2 1 (x) ... n n n i i i f x v x v x v x v        Dễ dàng kiểm tra đượcf là ánh xạ tuyến tính và( ) , 1,i if e v i n   2 Giả sử: V V''''g  sao cho( ) , 1,i if e v i n  Ta có:x V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i i i ig x g x e x g e x v x f e f x e f x f g              1.1.4. Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Cho: ''''f V V là ánh xạ tuyến tính từ không gian vector n chiều V vào không gian vector m chiều''''V (với , 1m n  . Giả sử1 2( , ,..., )nB e e e và'''' '''' '''' 1 2'''' ( , ,..., )mB e e e lần lượt là hai cơ sở của không gian V và V’. Khi đó, mỗi vector( )jf e trong V’ có dạng:'''' '''' '''' '''' 1 1 2 2 1 ( ) ... m j j j mj m ij i i f e a e a e a e a e        , hay tọa độ của vector( )jf e trong cơ sở B’ là 1 2( ) ( , ,..., ), 1,j B j j mjf e a a a j n  . Vậy f sẽ hoàn toàn xác định nếu biết các hệ sốija , hay f được xác định bởi ma trận( ) ( , ; )ijA a M m n K  . Ma trận cấpm n và( )ij m nA a  gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối vớ i cặp cơ sở (B; B’), cột thứ j của A chính là tọa độ của( )jf e trong cơ sở B’( 1, )j n . Nếu f một tự đ ng cấu thì ma trận của f là một ma trận vuông cấp n. Khi đó1 1 2 2 1 ( ) ... , 1, 2,..., . n j j j nj n ij i i f e a e a e a e a e j n        và( )ij nA a gọi là ma trận của tự đ ng cấu f đối với cơ sở1 2( , ,..., )nB e e e . Ví dụ: 1) Tự đ ng cấu2 2 :f  xác định bởi( , (2 ,3 2 )f x y x y x y   có ma trận biể u diễn của ánh xạ f trong cặp cơ sở chính tắc của2 là2 1 3 2      2) Tự đ ng cấu đ ng nhất: n n Vid  có ma trận biểu diễn trong cặp cơ sở chính tắc củan là ma trận đơn vịnI . 1.1.5. Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính: Định nghĩa: Cho ánh xạ tuyến tính: ''''f V V - Ảnh của f , ký hiệuIm ( ) { ( ) '''' } V''''f f V f x V x V     - Hạt nhân của f, ký hiệu  1 '''' ''''(0 ) ( ) 0V VKerf f x V f x V      Imf và Kerf là các không gian con của V. 3 Số chiều của Imf gọi là hạng, ký hiệu rank(f) . Số chiều củaer( )K f được gọ i là số khuyết của.f 1.1.6. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu Định nghĩa: Đ ng cấu: ''''f V V , ta nói f là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳ ng cấu) nếu và chỉ nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Định lý 1.2: Cho V là không gian vector hữu hạn chiều và: ''''f V V là mộ t ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương i) f là một đơn cấu; ii)0VKerf  ; iii) f biến một hệ vector độc lập tuyến tính thành một hệ vector độc lập tuyế n tính. Tức là nếu hệ1 2{ , ,..., }mu u u độc lập tuyến tính thì hệ1 2{ ( ), ( ),..., ( )}mf u f u f u độc lậ p tuyến tính; iv) f giữ nguyên hạng của một hệ vector, tức là1 2 1 2{ , ,..., } { ( ), ( ),..., ( )}m mrank u u u rank f u f u f u v) Nếu W là một không gian con của V thìdim( ( )) dimf W W ; vi)( ) dimrank f V . 1.2. Tự đ ng cấu tuyến tính và a trận vu ng ch o hóa được 1.2.1. Định nghĩa - Tự đ ng cấu tuyến tính f của K-không gian vector n chiều V gọi là chéo hóa được nếu trong V tìm được ít nhất một cơ sở để ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận chéo. Việc tìm một cơ sở như thế gọi là chéo hóa f. - Ma trận vuông cấp n trên K gọi là chéo hóa được nếu nó đ ng dạng với một ma trận chéo. Việc tìm một ma trận vuông cấp n khả nghịch C để C-1AC là ma trận chéo gọi là chéo hóa A. Cho tự đ ng cấu f có ma trận trong cơ sở nào đó là A. Khi đó f chéo hóa được khi và chỉ khi A chéo hóa được đ ng thời việc chéo hóa f và chéo hóa A là tương đương. 1.2.2. Định nghĩa Cho tự đ ng cấu tuyến tính f của K-không gian vector V và W là một không gian con của V. Ta nói W là không gian con bất biến đối với f (hay không gian con f-bất biến) nếu( )f W W , tức là( )f w W với mọiw W . 4 í ụ: - V và0 là các không gian con f-bất biến. - Imf và K rf là các không gian con f-bất biến. Vì( ( )) ( )f f V f V vàker , ( ) er .v f f v 0 K f    - NếuVf id thì mọi không gian con của V đều bất biến đối với f. 1.2.3. Nhận x t Cho V là không gian vector n chiều...1 2 kV V V V    , trong đó V1, V2,...,Vk lần lượt là các không gian con n1, n2,,...,nk chiều của V với n1+n2+...+nk=n. Cho f End(V), giả sử mỗi Vi là một không gian con f-bất biến. Trong mỗi Vi ta lấy một cơ sởi , khi đó...1 2 k       là một cơ sở của V và ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận chia khối 1 2 k M 0 0 0 M 0 0 0 0 M             trong đó Mi là ma trận của iVf đối với cơ sởi . - Đặc biệt, nếu mỗi Vi là không gian con f-bất biến 1 chiều, nghĩa là, , ,...,i iV e i 1 2 n  và: ( )i i i iK f e e    . Khi đó f chéo hóa được và ma trận của f đối với cơ sở( ) ( , ,..., )1 2 ne e e e của V là ma trận chéo có dạng ... ... ... 1 2 n 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0                1.3. Giá trị riêng và vector riêng 1.3.1. Định nghĩa Cho tự đ ng cấu tuyến tính f của K-không gian vector V. Vô hướngK gọi là một giá trị riêng của f nếu tìm được một vector,x V x 0  sao cho( )f x x . Vectorx 0 gọi là một vector riêng của f ứng với giá trị riêng . 1.3.2. Định nghĩa Cho( )f End V . Với mỗiK , đặt ( ) ( )V x V f x x    5 Khi đó( ) ( ) ( ) ( )( ) Ker( )V V x V f x x f x x 0 f id x 0 x f id                  tức là( ) Ker( )V f idv   nên( )V  là một không gian con của V. Mặc khác, với mọi( )x V  ta có( ( )) ( ) ( )f f x f x f x   , tức( ) ( )f x V  . o đó( ( )) ( )f V V  , hay( )V  là f-bất biến. Vậy( )V  là một không gian con của V f-bất biến và được gọi là không gian con riêng đối với f ứng với giá trị riêng . Th o định nghĩa giá trị riêng thì là giá trị riêng của f khi và chỉ khi( )V 0  . Khi đó ( )V 0  là tập tất cả các vector riêng đối với f ứng với giá trị riêng . Chú ý: Cho f là tự đ ng cấu tuyến tính của K- không gian vector n chiều V, giả sử trong cơ sở( ) ( , ,..., )1 2 ne e e e nào đó của V, f có ma trận là( )ij n nM a  . Khi đó, với mỗiK , ma trận trong ( ) của f- idv lànM I (vì idv có ma trận trong mọi cơ sở là ma trận đơn vị In ). iả sửK là một giá trị riêng của f. Khi đó0 x là một vector riêng của f ứng với khi và chỉ khi( ) Ker( )x V f idv    hay( )( )nM I x 0  . ọi cột tọa độ của x đối với ( ) là( , ,..., ) t 1 2 nx x x . Khi đó ta có hệ phương trình  ( ) ... ( ) ... .... .... .... .... ... ( ) 11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n n1 1 n2 2 nn n a x a x a x 0 a x a x a x 0 a x a x a x 0                         Như vậy,0 x V  là một vector riêng đối với f ứng với giá trị riêng khi và chỉ khi cột tọa độ( , ,..., ) t 1 2 nx x x của x là nghiệm không tầm thường của hệ phương trình ( ). Hệ ( ) gọi là hệ phương trình riêng đối với f ứng với giá trị riêng trong cơ sở ( ) đã cho. 6 1.3.3. Đa thức đ c trưng Định nghĩa: Cho( )ijA a là ma trận vuông cấp n trên K, K . Xét ma trậ n vuông11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n n nn a X a a a a X a A XI a a a X             Đa thức( ) det( )A nP X A XI  là một đa thức có biến X lấy hệ số trên trường K và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Phương trình( ) 0AP X  được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Nếu f là tự đ ng cấu tuyến tính của K- không gian vector n chiều V. Đa thức( ) det( )fP X f Xidv  gọi là đa thức đặc trưng của f. Phương trình( ) 0fP X  gọi là phương trình đặc trưng của f. NếuEnd( )f V nhận( )ij n nA a  là ma trận trong cơ sở ( ) nào đó của không gian vector n chiều V thì hiển nhiêndet( ) det( )nf Xidv A XI   . Vậy là một giá trị riêng của A (t.ư( )f End V với V hữu hạn chiều) khi và chỉ khi là nghiệm của đa thức đặc trưng của A (t.ư f). Nếu là nghiệm bội k của đa thức đặc trưng( )AP X (t.ư( )fP  ) thì được gọ i là giá trị riêng bội k của A (t.ư f). Số k được gọi là độ bội đại số của giá trị riêng . Số dim V( ) được gọi là độ bội hình học của . Nhận xét: 1) Với mỗi ma trận vuông cấp n trên K không có quá n giá trị riêng (kể cả bội). Mỗi ma trận vuông cấp n trên trường số phức luôn đủ n giá trị riêng (kể cả bội) còn mỗi ma trận vuông thực cấp lẻ đều có ít nhất một giá trị riêng. 2) Giả sử A và B là hai ma trận vuông cấp n trên K đ ng dạng với nhau, tức là B=C-1AC với C là ma trận vuông khả nghịch cấp n nào đó. Khi đó( ) det( ) det( ) det( ( ) ) det( ( ) ) det( ) ( ) 1 1 1 B n n n 1 n n A P X B XI C AC XI C AC C XI C C A XI C A XI P X                Như vậy hai ma trận đ ng dạng có cùng đa thức đặc trưng. 7 1.3.4. Thuật toán tìm giá trị riêng và vector riêng Để tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của( )f End V ta thực hiện các bước sau Bước 1: Tìm ma trậnA củaf đối với cơ sở nào đó củaV (cơ sở chính tắc). Bước 2: Lập đa thức đặc trưng AP X . Bước 3: Giải phương trình đặc trưng  0AP X  - Nếu  0AP X  vô nghiệm thìf không có giá trị riêng, do đó f không có vector riêng. Thuật toán kết thúc. - Nếu  0AP X  có nghiệm thì tập nghiệm chính là tập các giá trị riêng củaf . Chuyển sang bước 4. Bước 4: Tìm vector riêng Với mỗi giá trị riêng ta giải hệ phương trình riêng  ( ) ... ( ) ... .... .... .... .... ... ( ) 11 1 12 2 1n n 21 1 22 2 2n n n1 1 n2 2 nn n a x a x a x 0 a x a x a x 0 a x a x a x 0                         để tìm không gian con riêng( )V  . Khi đó ( ) 0V   là tập các vector riêng củaf ứng với giá trị riêng.  Thuậ t toán kết thúc. Ví dụ 1: Tìm vector riêng, giá tri riêng của tự đ ng cấu3 3 :f  được xác định3 ( , , ) ( , 4 4 , 2 2 ), , ,f x y z y x y x y z x y z        Giải: Ma trận củaf đối với cơ sở chính tắc của3 là0 1 0 4 4 0 2 1 2 A           Đa thức đặc trưng3 1 0 ( ) 4 4 0 (2 ) 2 1 2 A X P X X X X         A có một giá trị riêng2   (bội 3). 8 Với2   , xét hệ phương trình:1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 4 2 0 2 2 0 x x x x x x x x              (2) ( , 2 , ) t,s R (1, 2,0),(0,0,1)V t t s      2 2 (2) \ 0 ( , 2 , ) t 0V t t s s   là tập hợp các vector riêng củaf ứng vớ i giá trị riêng2   . Ví dụ 2: Cho3 (R )f End có ma trận trong cơ sở chính tắc là1 3 3 3 5 3 6 6 4 A           . Tìm giá trị riêng, vector riêng củaf . Giải: Đa thức đặc trưng3 1 3 3 ( ) 3 5 3 12 16 6 6 4 A X P X X X X X                  Phương trình đặc trưng3 ( ) 0 12 16 0AP X X X      4 2 X X      f có hai giá trị riêng4   (đơn),2    (bội) + Với4   . Xét hệ phương trình:1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 21 2 3 3 3 0 3 9 3 0 26 6 0 x x x x x x x x x R x xx x                    Không gian con riêng(4)V là     (4) ( ; ;2 ) (1;1;2) 1;1;2V t t t t R t    là không gian con một chiều cơ sở là  1 1;1;2u    (4) 0 ( ; ;2 ) 0V t t t t   là tập các vector riêng củaf ứng với giá trị riêng4   . 9 + Với2    . Xét hệ phương trình:1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 0 3 3 3 0 0 6 6 6 0 x x x x x x x x x x x x                  Không gian con riêng( 2)V  là        ( 2) ( ; ;s) , (1;1;0) s 1;0;1 1;1;0 , 1;0;1V t s t t s R t         là không gian con hai chiều cơ sở là    2 31;1;0 , 1;0;1u u    2 2 ( 2) 0 {( , , ) 0V t s t s t s      là tập các vector riêng củaf ứng vớ i giá trị riêng2    . 1.4. Điều kiện ch o hóa được. Thuật toán ch o hóa 1.4.1. Định lí 1.3 Cho V là không gian vector n chiều,( )f End V (t.ư( )nA Mat K ). Khi đó nếu f (t.ư A) có đủ n giá trị riêng, ,...,1 2 n   đôi một phân biệt thì f chéo hóa được, đ ng thời ma trận chéo của f (t.ư A) là ... ... ... 1 2 n 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0                Nhận xét: Điều ngược lại của định lí trên nói chung không đúng. Thật vậy, tự đ ng cấuVf id có giá trị riêng1 (bội n), nhưngVid là chéo hóa được. Định lí sau đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự chéo hóa 1.4.2. Định lí 1.4 Cho V là không gian vector n chiều,( )f End V (t.ư( )nA Mat K ) là chéo hóa được khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Đa thức đặc trưng của f (t.ư A) có đủ nghiệm trong trường K1 2 1 21 k s ss n f kP ( X ) ( ) (X ) (X ) ...(X ) trong đó, ,...,1 2 k   là các vô hướng đôi một khác nhau trong K. (ii)1 2i V irank(f id ) n s , i , ,...,k , ở đây si là bội củai x m như là nghiệm của đa thức đặc trưng. 10 Hệ quả: Cho V là không gian vector n chiều,( )f End V (t.ư( )nA Mat K ) và, ,...,1 2 k   là tất cả các giá trị riêng đôi một phân biệt của f (t.ư A). Khi đó f chéo hóa được với mọii 1, k , độ bội đại số củai bằng độ bội hình học củai . 1.4.3. Thuật toán ch o hóa Cho V là không gian vector n chiều,( )f End V có ma trận trong cơ sở nào đó là( )nA Mat K . Để chéo hóa f hay A (nếu có thể) là tìm một ma trận vuông cấp n khả nghịch C sao cho C-1AC là ma trận chéo, ta có thuật toán sau: Bước 1: Lập đa thức đặc trưngA nP (X) A XI   . Chuyển sang bước 2. Bước 2: Giải phương trìnhAP (X) 0 tìm các giá trị riêng i ) Nếu phương trình không có đủ n nghiệm (kể cả bội) thì A không chéo hóa được. Thuật toán kết thúc. ii) Nếu phương trình có các nghiệm phân biệt, ,...,1 2 k   mài  có độ bội đại số là si, i=1,2,..,k. + Nếu t n tại i,1 i k  sao chodim ( )i iV s   thì A không chéo hóa được. Thuậ t toán kết thúc. + Nếu với mọi i,1 i k  màdim ( )i iV s   thì A chéo hóa được. Chuyển sang bước 3 Bước 3: Với mỗi i=1,2,..,k chọn một cơ sở (i ) của( )iV  . Khi đó1 k i i (e) ( ) là một cở sở của V (g m toàn vector riêng của A). Lập ma trận C như sau: các cột thứ 1 đến thứ n của C lần lượt là các tọa độ của các vector trong cơ sở ( ). Khi đó Thuật toán kết thúc. s1 s2 sk 11 Ví dụ 1: Cho ma trận1 3 4 A 4 7 8 6 7 7           Hãy chéo hóa A nếu có thể. - Lập đa thức đặc trưng( ) (X ) ( ) 2 A 1 X 3 4 P 4 7 X 8 1 3 X 6 7 7 X            Vậy( )Ap  có đủ 3 nghiệm và A có 2 giá trị riêng(béi 2)1 1    và(¬n)2 3   . - Với1    . Xét hệ phương trình1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2x 3x 4x 0 x x 4x 6 x 8x 0 x 2x 6 x 7 x 8x 0              Suy ra   ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )V 1 t 2t t t t 1 2 1 t 1 2 1      vàdim ( )V 1 1  . o độ bội đại số của1    bằng 2 khác độ bội hình học của1    bằng 1 nên A không chéo hóa được. Ví dụ 2: Chéo hóa ma trận A nếu được với1 3 3 3 5 3 3 3 1 A              - Lập đa thức đặc trưng( ) ( )( )3 2 2 A 1 3 3 P 3 5 3 3 4 1 2 3 3 1                     ( )A 1 P 0 2    cã é béi ¹i sè lμ 1 cã é béi ¹i sè lμ 2       Vậy( )AP  có đủ 3 nghiệm và A có 2 giá trị riêng(béi 2)1 2    và(¬n)2 1   . - Với2    . Xét hệ phương trình, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3x 3x 3x 0 x x x 3x 3x 3x 0 x x 3x 3x 3x 0               ( ) ( ) ( ) cã é béi ¹i sè lμ 2 cã é béi ¹i sè lμ 1 2 A 1 p 0 1 3 0 3                 12 Suy ra   ( ) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) , ( , , ),( , , )V 2 t s t s t s t 1 1 0 s 1 0 1 t s 1 1 0 1 0 1             vàdim ( )V 2 2  . - Với1   . Xét hệ phương trình2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 3x 3x 0 x x 3x 6 x 3x 0 x x 3x 3x 0             Suy ra   ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )V 1 t t t t t 1 1 1 t 1 1 1        vàdim ( )V 1 1 . Vậ y A chéo hóa được. Chọn1 1 1 C 1 0 1 0 1 1             . Ta có dạng chéo của A là1 2 0 0 C AC 1 2 0 0 0 1             13 Chương 2: ĐA THỨC TỐI TIỂU À ỨNG DỤNG 2.1. Dạng chuẩn Jor an của tự đ ng cấu và a trận 2.1.1. Tự đ ng cấu lũy linh Định nghĩa: - Tự đ ng cấuf củaK  không gian vectorV được gọi là lũy linh nếu có mộ t số nguyên dương k sao cho0k f  .k o o of f f f Nếu1 0k f   thì k gọi là bậc lũy linh của.f - Cơ sở   1 2, , , ne e e e củaV gọi là một cơ sở xyclic đối vớif nếu  1j jf e e  ,1,2,..., 1j n   và  0nf e  . - Không gian vector con U của V được gọi là một không gian con xyclic đối vớif nếu U làf  bất biến và U có một cơ sở xyclic đối với :Uf U U . Nhận xét: Nếu 1 2, , , ne e e là một cơ sở xyclic đối vớif khi và chỉ khi ma trận củaf đối với cơ sở này có dạng0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0                    Định lí 2.1: Giả sử(V)f End là lũy linh vớiV làK  không gian vector n chiều. Khi đó,V được phân tích thành tổng trực tiếp của các không gian con xyclic đố i với.f Hơn nữa, với mỗi số nguyên dươngs , số không gian cons chiều xyclic đố i vớif trong mọi phân tích như thế là không đổi và bằng1 1 ( ) 2 ( ) ( )s s s rank f rank f rank f    Chú ý: Giả sử,iV V iV là không gian con xyclic đối vớif . DoiV làf  bấ t biến nên .iVrankf rankf  NếuW là một không gian conm chiều xyclic đối vớif thìW , ( ) 0, s m s s m rank f s m       14 Suy ra, số không gians chiều trong mọi phân tích là không đổi và bằng1 1 ( ) 2 ( ) ( ).s s s rank f rank f rank f    Ví dụ: Cho tự đ ng cấu4 4 :f  có ma trận đối với cơ sở chính tắc là0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 A              . Tìm một cơ sở xyclic đối với.f Giải: Ta có2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A               3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A            f lũy linh bậc 3. Tìm một cơ sở xyclic đối với.f Chọn1 1 (1,0,0,0)e   1 2 1 1 2 3 2( ) ( ) ( ) (0, 1, 1,0)f f f e e e             2 3 2 2 3 2 3( ) ( ) ( e ) ( ) ( )f f f e f e f e          1 2 4 1 3 4 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 e e e e e e e e e e            3 ( 2, 2, 2, 2).     Do4( ) 0f  4 erK f   Chọn4 1 4 (1,0,0,1).e e     Vậy cơ sở xyclic đối vớif là 1 2 3 4, , ,     Tính số không gian con xyclic1s  chiều đối vớif .1 0 4 4s rankA rankA rankE   2s rankA rankA  151 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 A                                              1 2 1s rankA rankA   Số không gian con xyclic 1 chiều đối vớif bằng0 1 2 2 4 2.2 1 1rankA rankA rankA     4 1 2V V  1V là không gian con xyclic 1 chiều đặt1 1V  .2V là không gian con xyclic 3 chiều đặt1 1 2 3 .V      Hơn nữa, ma trận củaf đối với cơ sở xyclic 1 2 3 4, , ,     có dạng0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0             2.1.2. Kh ng gian con riêng suy rộng Định nghĩa: Cho( )f End V , với mỗiK   , tập \ m : ( ) ( ) 0 m VR x V f id x        là một không gian con của vìR  là hợp của các không gian con1 er( ) m V m R K f id       Khi{0}R   thìR  gọi là không gian con riêng suy rộng củaf ứng với.  Tính chất i)R  làf  bất biến. Thật vậy, dof vàVf id  nên( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0,m m V Vf id f x f f id x f      .x V ( )f x R   hayR  làf  bất biến. 16 ii)( ) RVf id   là lũy linh. Thật vậy, giả sử1 2( , ,..., )pe e e là cơ sở củaR  . Khi đó1,j p  đều có: ( ) ( ) 0. j j m V jm f id e    Chọn max ( ) ( ) 0, K j V jK m f id e    .j( ) 0 K Vf id    tứcVf id  là lũy linh. iii) 0R   là giá trị riêng của.f Thật vậy, giả sử là giá trị riêng của.f Ta có không gian con riêngV( ) ( )VKer f id    làerK f của0R R    . Ngược lại, giả sử 0R   , lấyx R  . Chọn m là số nguyên dương nhỏ nhấ t sao cho( ) (x) 0 m Vf id   và1 ( ) (x) 0. m Vf id     Lúc đó,1 u ( ) (x) m Vf id     là vector riêng củaf ứng với giá trị riêng.  Với mỗiK   gọi dim :V  độ bội hình học của (số chiều hình học);dimR :  độ bội đại số của (số chiều đại số) Mệnh đề: Nếu là giá tri riêng của tự đ ng cấu:f V V thìd imR  bằng bộ i của x m như là nghiệm của đa thức đặc trưng của f. Chứng minh: VìR  là một không gian conf  ổn định của V và( ) :V Rg f id R R       là một đ ng cấu lũy linh nên t n tại một cơ sở 1 2, ,..., mu u u  củaR  sao cho ma trận là chéo khối với các khối ở đường chéo có dạng(0)sJ . o đó, ma trận củaRf  đối với cơ sở là ma trận chéo khối với các khối đường chéo có dạng0 0 0 1 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 1 sJ                      Từ đó suy ra đa thức đặc trưng củaRf  là ( ) ( 1) (X ) .R m m fP x     17 Bổ sung vào hệ vector để nhận được một cơ sở 1 2 1, ,..., , ,...,m m nC u u u u u của.V Khi đó, ma trận củaf đối với cơ sởC có dạng  0 R B c f B f A            o đó, đa thức đặc trưng củaf có dạng(X) (X) (X) ( 1) (X ) (X)R m m f fP P g g      Từ đó suy rad imRm s   , trong đós là bội của x m như nghiệm của(X).fP Nếu là một nghiệm của(X) det( )g A XI  thì t n tại các vector1( ,..., ) n m ...

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

ThS PHẠM NGỌC HOÀNG

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Quảng Nam đã cho tôi nhiều kiến thức trong thời gian học tập và đã tạo điều kiện cho tôi học tập và phát triển để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Phạm Ngọc Hoàng – thầy giáo trực tiếp hướng dẫn để tôi hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp Tôi xin cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và góp ý kiến trong quá trình nghiên cứu và làm bài, để tôi hoàn thành bài khóa luận tốt hơn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót Vậy mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 Sinh viên

Lê Thị Niên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi và được sự hướng dẫn khoa học của ThS Phạm Ngọc Hoàng Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và không phải sao chép từ bất kỳ tài liệu nào Nếu không đúng như đã nêu trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình

Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 Sinh viên

Lê Thị Niên

1.1.4 Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính 2

1.1.5 Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính: 2

1.1.6 Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu 3

1.2 Tự đ ng cấu tuyến tính và ma trận vuông chéo hóa được 3

1.4.3 Thuật toán chéo hóa 10

Chương 2: ĐA THỨC TỐI TIỂU VÀ ỨNG DỤNG 13

2.1 Dạng chuẩn Jordan của tự đ ng cấu và ma trận 13

2.1.1 Tự đ ng cấu lũy linh 13

2.1.2 Không gian con riêng suy rộng 15

2.1.3 Dạng chuẩn Jordan của một tự đ ng cấu 17

2.3.2 Tính chất: 27

2.3.3 Phương pháp tìm đa thức tối tiểu 29

2.4 Một số ứng dụng của đa thức tối tiểu 33

2.4.1 Xét tính chéo hóa của tự đ ng cấu: Dựa vào định lí 2.8 ta có hệ quả sau: 33

2.4.2 Tính lũy thừa của một ma trận 35

2.4.3 Ứng dụng tìm ma trận Jordan: 36

2.4.4 Một số ứng dụng khác của đa thức tối tiểu 38

Phần 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Đại số tuyến tính là lĩnh vực cơ bản của bộ môn Đại số, nghiên cứu về ma trận, không gian vector, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng Trong đó có khái niệm về nghiệm của một đa thức là một ma trận vuông cấp n Định lí Cayley –Hamilton nói rằng mọi ma trận vuông cấp n (hay tự đ ng cấu trên kgvt n chiều) là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó Đa thức tối tiểu là trường hợp đặc biệt, nó là ước của đa thức đặc trưng Từ đó có thể sử dụng đa thức tối tiểu để giải các bài toán liên quan đến đa thức và ma trận như tính luỹ thừa của một ma trận hay tính giá trị của đa thức tại ma trận vuông cấp n

Vì vậy, với mong muốn học hỏi, tìm hiểu sâu thêm về phần đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và một số ứng dụng của nó để giải quyết một số vấn đề của đại số tuyến tính, tôi đã chọn đề tài: “Đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và ứng dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp của mình Khóa luận nhằm hệ thống lại kiến thức cơ sở về tự đ ng cấu, đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và một số ứng dụng sử dụng đa thức tối tiểu như công cụ để giải quyết một số bài toán Tôi hy vọng khóa luận sẽ giúp chúng tôi có một cái nhìn tổng quát hơn về đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về phương pháp tìm đa thức tối tiểu của ma trận hay tự đ ng cấu và ứng dụng của nó để giải các bài toán liên quan đến ma trận và đa thức

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Một số kiến thức cơ sở về tự đ ng cấu Đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và ứng dụng

Phạm vi nghiên cứu: Lĩnh vực Đại số tuyến tính

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu - Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn

1.5 Đóng góp của đề tài

Đề tài hệ thống lại các kiến thức cơ sở của tự đ ng cấu, tìm hiểu đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và ứng dụng

Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để sinh viên nghiên cứu, b i dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức

1.6 Cấu trúc đề tài

Khóa luận g m phần mở đầu, kết thúc và hai chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương 2: Đa thức tối tiểu và ứng dụng

Phần tài liệu tham khảo và kiến nghị

Phần 2 NỘI DUNG

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Ánh xạ tuyến tính

1.1.1 Định nghĩa

Cho hai không gian vector V và V’ trên trường K Một ánh xạ f V: V'được

gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

i) (f x y ) f x( ) f y( ),x y V,  (tính bảo toàn phép cộng)

ii) (f x)f x( ), x V,K (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) Nếu VV' thì ánh xạ tuyến tính f V: V được gọi là một tự đ ng cấu Gọi End V là tập tất cả các tự đ ng cấu :( ) f V V.

Chú ý: Các điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa có thể thay thế bằng điều kiện

Giả sử g: VV' sao cho ( )f ei v ii, 1,nTa có: x V 

1.1.4 Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

Cho f V: V' là ánh xạ tuyến tính từ không gian vector n chiều V vào không

gian vector m chiều V (với ' m n,1 Giả sử B( ,e e1 2, ,en) và '''12

if ea ea ea ea e

     , hay tọa độ của vector f e( )j trong cơ sở B’ là

( )jB ( j, j, , mj), 1,

f e  a aaj n Vậy f sẽ hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số aij,

hay f được xác định bởi ma trận A(aij)M m n K( , ; )

Ma trận cấp m n và A(aij m n)  gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (B; B’), cột thứ j của A chính là tọa độ của f e( )j trong cơ sở B’(j1, )n

Nếu f một tự đ ng cấu thì ma trận của f là một ma trận vuông cấp n Khi đó

njjjnj nij i

2) Tự đ ng cấu đ ng nhất idV : n  n có ma trận biểu diễn trong cặp cơ sở chính tắc của n

Số chiều của Imf gọi là hạng, ký hiệu rank(f) Số chiều của Ker( )f được gọi là

số khuyết của f .

1.1.6 Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu

Định nghĩa: Đ ng cấu :f V V', ta nói f là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu và chỉ nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh)

Định lý 1.2: Cho V là không gian vector hữu hạn chiều và :f V V'là một ánh xạ tuyến tính Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

i) f là một đơn cấu; ii) Kerf 0V;

iii) f biến một hệ vector độc lập tuyến tính thành một hệ vector độc lập tuyến

tính Tức là nếu hệ { ,u u1 2, ,um}độc lập tuyến tính thì hệ { ( ), (f u1 f u2), , (f um)} độc lập tuyến tính;

iv) f giữ nguyên hạng của một hệ vector, tức là

- Tự đ ng cấu tuyến tính f của K-không gian vector n chiều V gọi là chéo hóa

được nếu trong V tìm được ít nhất một cơ sở để ma trận của f đối với cơ sở này là ma

trận chéo Việc tìm một cơ sở như thế gọi là chéo hóa f

- Ma trận vuông cấp n trên K gọi là chéo hóa được nếu nó đ ng dạng với một ma trận chéo Việc tìm một ma trận vuông cấp n khả nghịch C để C-1

AC là ma trận chéo gọi là chéo hóa A

Cho tự đ ng cấu f có ma trận trong cơ sở nào đó là A Khi đó f chéo hóa được khi

và chỉ khi A chéo hóa được đ ng thời việc chéo hóa f và chéo hóa A là tương đương

1.2.2 Định nghĩa

Cho tự đ ng cấu tuyến tính f của K-không gian vector V và W là một không gian

con của V Ta nói W là không gian con bất biến đối với f (hay không gian con f-bất

biến) nếu ( )f W W, tức là ( )f w Wvới mọi w W

í ụ:

- V và 0 là các không gian con f-bất biến - Imf và K rf là các không gian con f-bất biến Vì ( ( ))f f V  f V( ) và  v ker , ( )f f v  0Ker f

- Nếu f idV thì mọi không gian con của V đều bất biến đối với f

f đối với cơ sở i

- Đặc biệt, nếu mỗi Vi là không gian con f-bất biến 1 chiều, nghĩa là , , , ,

V  ei1 2n và  iK: f e( )i i ie Khi đó f chéo hóa được và ma trận của f đối với cơ sở ( )e ( ,e e12, ,en) của V là ma trận chéo có dạng

12

Chú ý: Cho f là tự đ ng cấu tuyến tính của K- không gian vector n chiều V, giả

sử trong cơ sở ( )e ( ,e e12, ,en) nào đó của V, f có ma trận là M (aij n n)  Khi đó, với mỗi K, ma trận trong ( ) của f-idv là M In (vì idv có ma trận trong mọi cơ sở là ma trận đơn vị In )

iả sử Klà một giá trị riêng của f Khi đó 0 x là một vector riêng của f ứng với  khi và chỉ khi x V ( ) Ker(f idv) hay (M In)( )x 0 ọi cột tọa độ của x

đối với ( ) là ( ,x x12, ,xn)t Khi đó ta có hệ phương trình

Đa thức P XA()det(AXIn) là một đa thức có biến X lấy hệ số trên trường K và

được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A Phương trình P XA()0 được gọi là

phương trình đặc trưng của ma trận A

Nếu f là tự đ ng cấu tuyến tính của K- không gian vector n chiều V Đa thức

Nếu  là nghiệm bội k của đa thức đặc trưng P XA() (t.ư Pf( ) ) thì  được gọi là

giá trị riêng bội k của A (t.ư f) Số k được gọi là độ bội đại số của giá trị riêng  Số

dim V() được gọi là độ bội hình học của 

Nhận xét:

1) Với mỗi ma trận vuông cấp n trên K không có quá n giá trị riêng (kể cả bội)

Mỗi ma trận vuông cấp n trên trường số phức luôn đủ n giá trị riêng (kể cả bội) còn mỗi ma trận vuông thực cấp lẻ đều có ít nhất một giá trị riêng

2) Giả sử A và B là hai ma trận vuông cấp n trên K đ ng dạng với nhau, tức là

B=C-1AC với C là ma trận vuông khả nghịch cấp n nào đó Khi đó

1.3.4 Thuật toán tìm giá trị riêng và vector riêng

Để tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f End V( ) ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Tìm ma trận A của f đối với cơ sở nào đó của V(cơ sở chính tắc)

Bước 2: Lập đa thức đặc trưng PA X

Bước 3: Giải phương trình đặc trưng PA X 0

- Nếu PA X 0 vô nghiệm thì f không có giá trị riêng, do đó f không có

vector riêng Thuật toán kết thúc

- Nếu PA X 0 có nghiệm thì tập nghiệm chính là tập các giá trị riêng của f

Chuyển sang bước 4

Bước 4: Tìm vector riêng

Với mỗi giá trị riêng  ta giải hệ phương trình riêng

để tìm không gian con riêng ( )V 

Khi đó V( )  0 là tập các vector riêng của f ứng với giá trị riêng .Thuật toán kết thúc

Ví dụ 1: Tìm vector riêng, giá tri riêng của tự đ ng cấu f: 3 3 được xác định f x y z( , , )( , 4y x4 , 2y  xy2 ),zx y z, , 3

Giải:

Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 là 0 1 0

4 4 02 1 2

   

       

   

trong đó  1, 2, ,k là các vô hướng đôi một khác nhau trong K

(ii) rank(fiid )Vns , ii 1 2, , ,k , ở đây si là bội của i x m như là nghiệm của đa thức đặc trưng

Hệ quả: Cho V là không gian vector n chiều, f End V( ) (t.ư AMatn(K)) và

  là tất cả các giá trị riêng đôi một phân biệt của f (t.ư A) Khi đó

f chéo hóa được  với mọi i1, k, độ bội đại số của ibằng độ bội hình học của i

1.4.3 Thuật toán ch o hóa

Cho V là không gian vector n chiều, f End V( ) có ma trận trong cơ sở nào đó là

AMat K Để chéo hóa f hay A (nếu có thể) là tìm một ma trận vuông cấp n khả nghịch C sao cho C-1AC là ma trận chéo, ta có thuật toán sau:

Bước 1: Lập đa thức đặc trưng P (X) | AA XI |n Chuyển sang bước 2

Bước 2: Giải phương trình P (X)A 0 tìm các giá trị riêng

i ) Nếu phương trình không có đủ n nghiệm (kể cả bội) thì A không chéo hóa được Thuật toán kết thúc

ii) Nếu phương trình có các nghiệm phân biệt  1, 2, ,k mà i có độ bội đại số là si, i=1,2, ,k

+ Nếu t n tại i, 1 i k sao cho dim ( )V i si thì A không chéo hóa được Thuật toán kết thúc

+ Nếu với mọi i, 1 i k mà dim ( )V i si thì A chéo hóa được Chuyển sang bước 3

Bước 3: Với mỗi i=1,2, ,k chọn một cơ sở (i) của V( )i Khi đó

(e)() là

một cở sở của V(g m toàn vector riêng của A) Lập ma trận C như sau: các cột thứ 1 đến thứ n của C lần lượt là các tọa độ của các vector trong cơ sở ( ) Khi đó

Thuật toán kết thúc

s1

s2

sk

Vớ dụ 1: Cho ma trận

    

xx4x6 x8x0

x2x6 x7 x8x0

  

    

   

Suy ra V( 1) ( ,t 2t t t, ) |    t 1 2 1 t( , , ) |   ( , , )1 2 1 và dim (V  1) 1 o độ bội đại số của  1 bằng 2 khỏc độ bội hỡnh học của  1 bằng 1 nờn A khụng chộo húa được

Vớ dụ 2: Chộo húa ma trận A nếu được với

có độ bội đại số là 1 có độ bội đại số là 2

x x3x3x3x0

  

  

    

   

có độ bội đại số là 1

2A

xx3x6 x3x0

 

    

     

Chương 2: ĐA THỨC TỐI TIỂU À ỨNG DỤNG 2.1 Dạng chuẩn Jor an của tự đ ng cấu và a trận

2.1.1 Tự đ ng cấu lũy linh Định nghĩa:

- Tự đ ng cấu f của K không gian vector V được gọi là lũy linh nếu có một

số nguyên dương k sao cho fk 0fk  f fo oof  Nếu fk10 thì k gọi là bậc

lũy linh của f

- Cơ sở  ee e1, 2,,en của V gọi là một cơ sở xyclic đối với f nếu

f e e  ,  j1,2, ,n1 và f e n 0

- Không gian vector con U của V được gọi là một không gian con xyclic đối với

f nếu U là f bất biến và U có một cơ sở xyclic đối với f | :UU U

Nhận xét: Nếu e e1, ,2 ,en là một cơ sở xyclic đối với f khi và chỉ khi ma

trận của f đối với cơ sở này có dạng

rank f  rank frank f 

Chú ý: Giả sử V  Vi, Vi là không gian con xyclic đối với f Do Vi là f bất

  

Suy ra, số không gian s chiều trong mọi phân tích là không đổi và bằng

rank f  rank frank f 

Ví dụ: Cho tự đ ng cấu f: 4  4 có ma trận đối với cơ sở chính tắc là

Vậy cơ sở xyclic đối với f là    1, 2, 3, 4

Tính số không gian con xyclic s1 chiều đối với f

V là không gian con xyclic 3 chiều đặt V1 1 2 3 .

Hơn nữa, ma trận của f đối với cơ sở xyclic    1, 2, 3, 4 có dạng 0 0 0 0

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

2.1.2 Kh ng gian con riêng suy rộng

Định nghĩa: Cho f End V( ), với mỗi K, tập

f xR

  hay Rlà f  bất biến

ii) (f idV) / R là lũy linh Thật vậy, giả sử ( ,e e1 2, ,ep) là cơ sở của R Khi

(f idV)K 0

   tức f idV là lũy linh iii) R  0  là giá trị riêng của f .

Thật vậy, giả sử  là giá trị riêng của f Ta có không gian con riêng .V( ) Ker f( idV) là K f của er R R 0

Ngược lại, giả sử R  0 , lấy xR Chọn m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho (f idV) (x)m 0 và (f idV)m1(x)0.

Lúc đó, u (f idV)m1(x) là vector riêng của f ứng với giá trị riêng . Với mỗi K gọi dimV  : độ bội hình học của  (số chiều hình học); dimR : độ bội đại số của  (số chiều đại số)

Mệnh đề: Nếu  là giá tri riêng của tự đ ng cấu f V: V thì d imR bằng bội của  x m như là nghiệm của đa thức đặc trưng của f

Chứng minh:

Vì R là một không gian con f ổn định của V và g(fidV) | :R R R

là một đ ng cấu lũy linh nên t n tại một cơ sở  u u1, 2, ,um của Rsao cho ma

trận là chéo khối với các khối ở đường chéo có dạng Js(0) o đó, ma trận của f|R đối với cơ sở  là ma trận chéo khối với các khối đường chéo có dạng



Bổ sung vào hệ vector  để nhận được một cơ sở Cu u1, 2, ,u um, m1, ,un

của V. Khi đó, ma trận của f đối với cơ sở C có dạng

                

2.1.3 Dạng chuẩn Jor an của ột tự đ ng cấu

Định lí 2.2: Giả sử f End V( ), V là K không gian vector n chiều có đa thức đặc trưng P X được phân tích thành f ( )