GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Công nghệ thông tin UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: GIẢI PHƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƠNG PHÁP THẾ Sinh viên thực hiện TRẦN THỤY TUYỀN MSSV: 2112020139 CHUYÊN NGÀNH: S PHẠM TOÁN KHÓA: 2012 – 2016 Cán bộ hướng dẫn ThS. PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ MSCB: .…………. Quảng Nam, tháng 05 năm 2016 MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................................ 1 2. Mục tiêu của đề tài ........................................................................................................ 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu .............................................................................................. 2 5. Lịch sử nghiên cứu ........................................................................................................ 2 6. Đóng góp của đề tài ....................................................................................................... 2 7. Cấu trúc đề tài................................................................................................................ 2 B. NỘI DUNG .................................................................................................................... 3 Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ..................................................................................... 3 1.1. Ánh xạ .......................................................................................................................... 3 1.2. Hàm số ......................................................................................................................... 3 1.3. Tính chất của hàm số ................................................................................................. 3 1.4. Hàm số liên tục............................................................................................................ 4 1.6. Một số kết quả về phƣơng trình hàm ...................................................................... 5 Chƣơng II: CÁC DẠNG PHƠNG TRÌNH HÀM GIẢI ĐỢC BẰNG PHƠNG PHÁP THẾ ......................................................................................................................... 7 2.1. Phƣơng pháp thế giải bằng cách đặt ẩn phụ............................................................ 7 2.1.1. Phƣơng pháp ............................................................................................................ 7 2.1.2. Một số bài toán vận dụng ........................................................................................ 7 2.2. Phƣơng pháp thế giải bằng cách đƣa về hệ phƣơng trình hàm mới ..................... 9 2.2.1. Phƣơng pháp ............................................................................................................ 9 2.2.2. Một số bài toán vận dụng ...................................................................................... 10 2.3. Phƣơng pháp thế giải bằng cách tính giá trị hàm số theo hai cách khác nhau .. 15 2.3.1. Phƣơng pháp .......................................................................................................... 15 2.3.2. Một số bài toán vận dụng ...................................................................................... 15 2.4. Phƣơng pháp thế tại các giá trị đặc biệt của đối số ............................................... 19 2.4.1. Phƣơng pháp .......................................................................................................... 19 2.4.2. Một số bài toán vận dụng ...................................................................................... 19 2.5. Phƣơng pháp thế giải đƣợc bằng cách vận dụng một số tính chất của hàm số .. 28 2.5.1. Phƣơng pháp .......................................................................................................... 28 2.5.2. Một số bài toán vận dụng. ..................................................................................... 29 2.6. Phƣơng pháp thế vận dụng kết quả của phƣơng trình cauchy mở rộng ............ 38 2.6.1. Phƣơng pháp .......................................................................................................... 38 2.6.2. Một số bài toán vận dụng ...................................................................................... 39 C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................................... 47 1. KẾT LUẬN .................................................................................................................. 47 2. KIẾN NGHỊ ................................................................................................................. 48 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 49 1 A. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Có thể nói toán học là khoa học của mọi khoa học, toán học cũng là công cụ củ a các môn học khác, toán học cũng có vai trò rất quan trọng trong đời sống thực ti ễn. Do đó các lĩnh vực của toán học được quan tâm đặc biệt. Toán học bao gồm nhiều lĩnh vực khác nhau và nó đều có vai trò và tầm ảnh hưởng khác nhau trong toán học. Một trong những lĩnh vực rất quan trọng trong toán học đó là lĩnh vực liên quan đến hàm số, có thể nói hàm số xuất hiện và đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực của toán học như: Giả i tích, Hình học, Phương pháp tính, Toán ứng dụng,...Trong các lĩnh vực liên quan đế n hàm số thì việc giải phương trình hàm đóng một vai trò rất quan trọng, và tương đố i khó. Cái khó ở đây là không có một phương pháp nào tổng quát để có thể giải quyết tất cả các bài toán về phương trình hàm. Chính vì vậy mà phương trình hàm trở thành một chuyên đề quan trọng trong bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông (THPT). Các bài toán về phương trình hàm thường có trong các đề thi học sinh giỏi toán trong và ngoài nước. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên nói chung và người giỏ i toán nói riêng còn biết rất ít về phương trình hàm, thậm chí là còn lúng túng khi tiếp cậ n một phương trình hàm bởi vì đây là loại toán đòi hỏi ở người học phải vận dụng nhiề u kiến thức khi giải, có khả năng tư duy tốt, khả năng khái quát, phán đoán vấn đề… Có rấ t nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhờ phương pháp thế. Do đó, việc giúp học sinh tiếp cận với phương pháp thế để giải quyết một số bài toán về phương trình hàm là rất cần thiết. Do vậy trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi đã chọn đề tài “Giải phƣơng trình hàm bằng phƣơng pháp thế” làm đề tài nghiên cứu; với mong muốn được hiể u vấn đề một cách sâu sắc và cặn kẽ, qua đó vận dụng những kiến thức mà b ản thân đã tích lũy được trong thời gian qua và điều quan trọng là có thêm kiến thức về phương trình hàm cũng như giúp học sinh được tiếp cận và có cái nhìn nhận mới về phương trình hàm. 2. Mục tiêu của đề tài + Hệ thống một số cách giải các bài toán phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế. + Phân loại, định dạng một số phương trình hàm thường gặp để bồi dưỡng họ c sinh giỏi THPT giải được bằng phương pháp thế. 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: + Lý thuyết và bài tập phương trình hàm. + Phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế. - Phạm vi nghiên cứu: + Lý thuyết phương trình hàm. + Phương trình hàm trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phân tích tổng hợp lý thuyết. - Phương pháp nghiên cứu lí luận: phân tích các tài liệu về phương trình hàm, các tạp chí toán học và tuổi trẻ, 40 năm Olympic Toán học Quốc tế. - Tham khảo ý kiến chuyên gia. 5. Lịch sử nghiên cứu Đã có những công trình nghiên cứu liên quan tới một số vấn đề về phương trình củ a một số tác giả như: + Sách “Bài toán hàm số qua các kì thi olimpic” của Nguyễn Trọng Tuấn. + Sách “Phương trình hàm” của Nguyễn Văn Mậu. + Sách bồi dưỡng học sinh giỏi “Chuyên khảo phương trình hàm” củ a Lê Hoành Phò. 6. Đóng góp của đề tài + Định dạng các dạng bài toán liên quan đến phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế. + Giải chi tiết các bài toán phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế. + Thống kê các dạng và phương pháp giải các dạng phương trình hàm giải đượ c bằng phương pháp thế hay gặp ở toán bồi dưỡng học sinh giỏi. + Giúp HS có một cái nhìn và cách tiếp cận mới về phương trình hàm. 7. Cấu trúc đề tài Bài khóa luận ngoài phần mở đầu và kết luận thì được chia làm hai chương: + Chương 1: Cơ sở lý thuyết. + Chương 2: Các dạng phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế. 3 B. NỘI DUNG Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, khóa luận trình bày tóm lượt một số kiến thức cơ bản về ánh xạ , hàm số, phương trình hàm cơ bản làm cơ sở để nghiên cứu chương II. 1.1. Ánh xạ Cho hai tập hợp,X Y   . Một ánh xạf từX vàoY là quy tắc đặt tương ứ ng mỗi phần tửx củaX với một phần tử duy nhất y củaY mà ta kí hiệu là( )f x và gọi là ảnh củax qua ánh xạf . Ta viết::f X Y x f x Đơn ánh: Ánh xạf được gọi là đơn ánh nếu: i. Với mọi1 2x x X  thì1 2( ) ( )f x f x hoặc ii. Nếu1 2( ) ( )f x f x thì1 2x x . Toàn ánh: Ánh xạf được gọi là toàn ánh nếu(X)f Y , hay với mỗiy Y , tồ n tạix X sao cho f x y . Nói cách khác, phương trình f x y có nghiệm với mọiy Y . Song ánh: Ánh xạf được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Nói cách khác, phương trình f x y có nghiệm duy nhất với mọiy Y . 1.2. Hàm số Định nghĩa: Cho tậpX  . Ta gọi một ánh xạf từ tậpX vào tập số thực là một hàm số (thực). TậpX được gọi là miền xác định (hay tập xác định) và tập ảnh( )Y f X của ánh xạ được gọi là miền giá trị (hay tập giá trị) của hàm sốf . Kí hiệu::f X  Hoặc: ( )f x y f x . Một hàm số thường được cho dưới dạng bảng hoặc công thức. Thông thường hàm số được biểu diễn bởi công thức( )y f x . Khi đóx chỉ nhậ n các giá trị làm cho công thức( )f x có nghĩa. Tập các giá trị củax làm cho hàm số có nghĩa gọi là tập xác định của hàm số , kí hiệu là D. 1.3. Tính chất của hàm số 4 Xét hàm số( )f x với tập xác định( )D f  và tập giá trị( )R f  . + Hàm số chẵn Hàm số( )f x được gọi là hàm số chẵn (gọi tắt là hàm chẵn) trên M,( )M D f nếu:x M  thìx M  và( ) ( ), .f x f x x M    + Hàm số lẻ Hàm số( )f x được gọi là hàm số lẻ (gọi tắt là hàm lẻ) trên M,( )M D f nếu:x M  thìx M  và( ) ( ), .f x f x x M     + Hàm tuần hoàn Định nghĩa. Cho hàm số( )y f x xác định trên D. Ta nói hàm số( )y f x là hàm tuần hoàn trên D nếu tồn tại số dương0T  sao chox D ta cóx T D  và  ( )f x T f x  Số dươngT nhỏ nhất thỏa mãn (1) gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn. + Hàm số đồng biến Hàm số( )y f x được gọi là hàm số đồng biến trên ,a b nếu1 2, ( ; )x x a b  ,1 2x x thì1 2( ) ( )f x f x . Ví dụ: Hàm số3 4y x  là hàm số đồng biến trên . + Hàm số nghịch biến Hàm số( )y f x được gọi là hàm số nghịch biến trên ,a b nếu1 2, ( ; )x x a b  ,1 2x x thì1 2( ) ( )f x f x . Ví dụ: Hàm số7 2y x   là hàm số nghịch biến trên . 1.4. Hàm số liên tục Định nghĩa: + Hàm số( )y f x xác định tại0x và ở trong lân cận0x , khi đó hàm( )f x đượ c gọi là liên tục tại0x nếu0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   . + Nếu hàm số( )f x không liên tục tại0x thì ta nói rằng hàm số( )f x bị gián đoạ n tại điểm0x . 5 + Hàm( )f x được gọi là liên tục trong khoảng( , )a b nếu( )f x liên tục tại mọix thuộc khoảng( , )a b . + Hàm( )f x được gọi là liên tục trên đoạn , a b nếu( )f x liên tục trong khoảng( , )a b và liên tục phải tạix a và liên tục trái tạix b . 1.5. Phƣơng trình hàm Định nghĩa: Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số, giải phương trình hàm tức là tìm các hàm số chưa biết đó. Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần phần chính: + Miền xác định và miền giá trị. + Phương trình hoặc hệ phương trình hàm. + Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả vi,…). 1.6. Một số kết quả về phƣơng trình hàm  Bài toán phƣơng trình hàm Cauchy Hàm:f  liên tục trên và thỏa mãn( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y     thì có dạng( ) , .f x ax x   Tuy nhiên, ở một số bài toán người ta có thể thay đổi giả thiết và phát biểu bài toán phương trình hàm Cauchy dưới một số dạng khác mà kết quả bài toán vẫn không thay đổi. Chính vì thế chúng ta cần nhận dạng được đâu là phương trình hàm Cauchy. Sau đây là một số tiêu chuẩn nhận dạng phương trình hàm Cauchy thường gặp. + Tiêu chuẩn 1: Hàm( )f x xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn điều kiện:( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y     thì( )f x có dạng( )f x ax,x R a   tùy ý. + Tiêu chuẩn 2: Nếu hàm số:f  thỏa mãnf cộng tính và liên tục trên thì( )f x có dạng là( )f x ax (a tùy ý thuộc ). Chú ý: Ở tiêu chuẩn trên điều kiệnf liên tục trên có thể thay đổi bởi điề u kiện hẹp hơn làf liên tục tại một điểmox  . + Tiêu chuẩn 3: Nếu hàm:f  là hàm cộng tính và đơn điệu trên thì( )f x có dạng( )f x ax a  . + Tiêu chuẩn 4: Nếu hàm:f  cộng tính và( ) 0, 0f x x   thì( ) .f x ax 6 +Tiêu chuẩn 5: Nếu hàm:f  là hàm cộng tính và đơn điệu trên đoạn ,a b thì( ) .f x ax  Bài toán phƣơng trình hàm Cauchy mở rộng Hàm:f  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:     , ,f x y f x f y x y         , ,f xy f x f y x y   thì có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là  0,f x x   và  , .f x x x   7 Chƣơng II: CÁC DẠNG PHƠNG TRÌNH HÀM GIẢI ĐỢC BẰNG PHƠNG PHÁP THẾ Ở chương này khóa luận phân loại, hệ thống một số dạng toán phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế khác nhau như đặt ẩn phụ, đưa về phương trình hàm mới, thế giá trị đặc biệt của đối số,… Trình bày chi tiết lời giải, xây dựng hệ thố ng bài tập phù hợp cho từng dạng cụ thể. 2.1. Phƣơng pháp thế giải bằng cách đặt ẩn phụ 2.1.1. Phƣơng pháp Xét phương trình hàm dạng:    .f x g x   Trong đó   ,x g x  là những hàm số biến số thực đã biết. Trong một số trườ ng hợp nếu đặt t x  , ta có thể giải được x h t . Khi đó, thế vào phương trình đã cho ta có  ( ) gf t h t . Từ đó ta có hàm số cần tìm là hàm  (x) gf h x . Tuy nhiên, nhiều khi vấn đề không đơn giản như vậy. Trong trường hợp đó, ta cần sử dụng các phép biến đổ i thích hợp, cố gắng đưa phương trình về dạng     f x h x   . Khi đó hàm số cầ n tìm có dạng (x)f h x . Lƣu ý: Hàm số(x)f sau khi tìm được cần phải tiến hành thử lại xem hàm số đó có thực sự là nghiệm của bài toán hay không. Đây là bước rất quan trọng để tránh nhầm lẫ n khi kết luận nghiệm. 2.1.2. Một số bài toán vận dụng Bài toán 1: Tìm hàm số f x biết1 3, 1 1 x f x x x          (1) Giải: Đặt1 1, 1. 1 1 x t t x t x t          Từ (1) suy ra    1 4 2 3, 1 , 1. 1 1 t t f t t f t t t t             Hay  4 2 , 1. 1 x f x x x      Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. 8 Vậy hàm số cần tìm là  4 2 , 1. 1 x f x x x      Bài toán 2: Tìm hàm f x biết 3 3 1 1 , 0f x x x x x          (1) Giải:  3 1 1 1 1 3 .f x x x x x x                        (2) Đặt1 , 2.t x t x    Từ (2) suy ra  3 3 , 2.f t t t t   Hay  3 3 , 2.f x x x x   Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy hàm số cần tìm là  3 3 , 2.f x x x x   Bài toán 3: Tìm hàm   : ; 1 0;1f     thỏa 2 2 1 1; 1f x x x x x      Giải: Đặt2 2 1 1t x x x x t       22 0 1 x t x x t        2 1 2 x t t x t          Hệ có nghiệm x2 1 1 0 12 tt t tt            ; 1 0;1 .t     Vậy miền giá trị   1 ; 1 0;1 . f x t D       Với2 2 1 1 1t x x x x t        . Khi đó  1 f t t  nên  1 .f x x  Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy hàm số cần tìm là  1 .f x x  9 Bài toán 4: Cho hàm số f x xác định bởi            2 2 4 ; , 1 2 x y f x y x y f x y xy x y x y f            (1) Giải: Thay1,x t y t   ;t  vào phương trình (1) ta được:        2 1 2 1 1 4 1 2 1 ;f t t f t t t t                      22 2 1 2 2 1 4 1 2 1 ; 2 1 4 4 2 2 1 2 1 1 2 1 ; . f t t t t t t f t t t t t t t                       Từ đó suy ra2 ( ) ( 1) ; .f x x x x    Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy hàm số cần tìm là2 ( ) ( 1) ; .f x x x x    2.2. Phƣơng pháp thế giải bằng cách đƣa về hệ phƣơng trình hàm mới 2.2.1. Phƣơng pháp Xét phương trình hàm có dạng          .a x f x b x f g x c x  Trong đó     , ,a x b x c x và g x là những hàm số đã biết. Giả sử miền xác đị nh của hàm số f x làfD , với mỗifx D ta xét dãy nx xác định bởi 1 1,..., x xn nx x g  ,.n  Chú ý: - Dãy nx được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số nguyên dương k sao choxn k nx  ,.n  - Số nguyên dương k nhỏ nhất để dãy nx thỏa mãn điều kiện trên được gọ i là chu kỳ cơ sở (gọi tắt là chu kỳ) của dãy. Nếu dãy nx được xác định như trên là tuần hoàn với chu kỳ k, ta sẽ đưa phương trình hàm có dạng trên về hệ k phương trình k ẩn. Giải hệ này ta tìm được f x . Trong một số trường hợp thường gặp phương trình hàm có dạng:          ( ) .a x f h x b x f g x c x  10 Trong đó       , , , , ( )a x b x c x g x h x là những hàm số đã biết, ta đặt( )t h x hoặc t g x nếu phương trình này cho biểu thức nghiệm đơn giản, chẳng hạn x d t ta đưa phương trình đã cho về dạng quen thuộc:          1 1 1 1 .a t f t b t f g t c t  Bằng cách xét dãy như trên, trong đó 1g t đóng vai trò g x , và nếu dãy nhận được tuần hoàn, áp dụng phương pháp đã trình bày ở trên ta tìm được hàm .f x 2.2.2. Một số bài toán vận dụng Bài toán 1: Tìm hàm:f  thỏa mãn    1,f x xf x x x      (1) Giải: Đặt, .t x t    Khi đó (1) trở thành    1, .f t tf t t t       (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình        1 1 f x xf x x f x xf x x             ,.x  Giải hệ trên ta được  1f x ; .x  Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy hàm số cần tìm là  1f x  ,.x  Bài toán 2: Tìm tất cả các hàm f x thỏa1 2 2 , 2 1 x x f f x x x               2, 1x x   (1) Giải: Cách 1: Đặt1 2 1 , 1. 2 1 x t x t t x t           Khi đó phương trình (1) trở thành2 1 2 1 1 2 t t f f t t t                 ;2, t 1.t    (2) 11 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 x x f f x x x x x f f x x x                                   ;2, 1.x x   Giải hệ trên ta được2 1 . 1 3 x f x x        Từ đó suy ra    4 5 . 3 1 x f x x    Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy hàm số cần tìm là    4 5 3 1 x f x x    . Cách 2: Đặt 1 2 x t x    (2x  )2 1, 1. 1 t x t t      Khi đó phương trình (1) trở thành1 2 1 ( ) 2 1 t f t f t t        ,t 1. (3) Đặt1 u t  (0t  ). Khi đó phương trình (2) trở thành  1 2 2 . 1 u f f u u u        (4) Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình    1 2 2 1 1 2 1 2 1 u f f u u u u f u f u u                  Giải hệ trên ta được    4 5 3 1 u f u u    hay    4 5 3 1 x f x x    . Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. 12 Vậy hàm số cần tìm là    4 5 . 3 1 x f x x    Bài toán 3: Tìm tất cả các hàm f x thỏa mãn3 3 1 1 x x f f x x x               , 1x  (1) Giải: Cách 1: Đặt3 3 3 1 1 1 x t t x x t t          và3 ; 1. 1 x t t x      Khi đó phương trình (1) trở thành  3 3;t 1. 1 1 t t f t f t t            (2) Đặt3 3 ; 1. 1 1 t u u t u t u         Khi đó phương trình (2) trở thành  3 3; 1. 1 1 u u f f u u u u            (3) Lấy (3) - (2) ta được phương trình 2 2 3 3 2 6 ; 1. 1 1 1 x x x f f x x x x                   (4) Kết hợp (1) và (4) ta được hệ phương trình 2 2 3 3 1 1 3 3 2 6 1 1 1 x x f f x x x x x x f f x x x                                   , 1x  Giải hệ phương trình trên ta được 2 2 3 3 1 1 2 x x x f x x         , 1.x  Từ đó suy ra  2 4 1 2 x x f x x   , 1x  . Cách 2: Đặt3 3 ; 1. 1 1 x t t x t x t         13 Khi đó phương trình (1) trở thành  3 3; t 1. 1 1 t t f t f t t            (5) Đặt3 3 ; 1. 1 1 t u u t u t u         Khi đó phương trình (1) trở thành  3 3;u 1. 1 1 u u f f u u u            (6) Lấy (5) - (6) ta có phương trình3 3 3 3 1 1 1 1 x x x x f f x x x x                    , 1x  2 2 3 3 2 6 1 1 1 x x x f f x x x                   ;1x  . (7) Kết hợp (1) và (7) ta có hệ phương trình 2 2 3 3 1 1 ; 1 3 3 2 6 1 1 1 x x f f x x x x x x x f f x x x                                   Giải hệ phương trình trên ta được 2 2 3 3 ; 1. 1 1 2 x x x f x x x           Từ đó suy ra  2 4 ; 1. 1 2 x x f x x x     Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy hàm số cần tìm là  2 4 ; 1. 1 2 x x f x x x     Bài toán 4: Tìm hàm sốf : \ 0;1 thỏa mãn  1 1 ; x f x f x x         x  (1’) Giải: Đặt1 1 x x x   Khi đó phương trình (1) trở thành   1 1f x f x x   ; (1) 14 Đặt 1 2 1 1 1 1 x x x x      Khi đó phương trình (1) trở thành   1 2 11f x f x x   ;(2) Đặt 2 3 2 1 x x x x    Khi đó phương trình (1) trở thành   2 21f x f x x   ;(3) Từ (1), (2), và (3) ta có hệ phương trình            1 1 2 1 2 2 1 1 1 f x f x x f x f x x f x f x x              Suy ra  1 1 1 2 1 f x x x x         . Bài toán 5: Tìm hàm sốf : \ 1;0;1 thỏa mãn  1 2 1; 1. 1 x xf x f x x          Giải: Đặt1 1 1 x x x    Khi đó phương trình (1) trở thành   12 1xf x f x  ; (1) Đặt 1 2 1 1 1 1 x x x x      Khi đó phương trình (1) trở thành   1 1 22 1x f x f x  ; (2) Đặt 2 3 2 1 1 1 1 x x x x x       Khi đó phương trình (1) trở thành   2 2 32 1x f x f x  ; (3) Đặt 3 4 3 1 1 x x x x     Khi đó phương trình (1) trở thành   3 3 2 1x f x f x  ; (4) 15 Từ (1), (2), (3) và (4) ta có hệ phương trình                1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 xf x f x x f x f x x f x f x x f x f x               Suy ra  2 4 1 5 ( 1) x x f x x x     . Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy hàm số cần tìm là  2 4 1 5 ( 1) x x f x x x     . 2.3. Phƣơng pháp thế giải bằng cách tính giá trị hàm số theo hai cách khác nhau 2.3.1. Phƣơng pháp Bƣớc 1: Thay các giá trị đặc biệt của đối số ta được phương trình hàm thứ nhất. Bƣớc 2: Tương tự thay giá trị đặc biệt để được phương trình hàm thứ hai. Bƣớc 3: Kết hợp hai phương trình trên để thu được phương trình hàm mới. Nếu hệ thức đã cho có tính đối xứng giữa các biến số thì ta cố gắng hoán vị các biế n với nhau, choy =x . Nếu một bộ phận nào đó trong phương trình hàm đối xứng đối vớix vày thì ta nên thayx bởi y và y bởix , nghĩa là hoán vịx vày để thu được phương trình mới. Sau đó kết hợp phương trình vừa tìm được với phương trình ban đầu để thu được phương trình hàm mới. 2.3.2. Một số bài toán vận dụng Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số:f  thỏa mãn phương trình hàm         22 ; ,f f x y f x f x f y xy x x y          (1) Giải: Giả sử tồn tại hàmf thỏa mãn yêu cầu đề bài. Từ (1) cho1y  ta được         2 1 1 2 ;f f x f x f x f x x         . (2) Từ (1) cho1y   ta được         2 1 1 ;f f x f x f x f x         . (3) Kết hợp (2) và (3) ta được 16            2 2 1 2 1f x f x f x f x f x f                1 1 2 ;f f f x x x         . (4) Nếu   1 1 0f f   thì từ (4) lấy2x  dẫn tới điều vô lí. Từ đó suy ra   1 1 0f f   . Từ (4) suy ra      2 1 1 x f x cx f f    ; x  ; với    2 . 1 1 c f f    Thay vào (1) ta được 2 2 2 2 .c cx y c x c xy xy x     (5) Đồng nhất hệ số hai vế ta thấy không có giá trị c nào thỏa mãn (5). Vậy không có hàm số nào thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Bài toán 2: Tìm tất cả các hàm số:f  thỏa mãn          ; ,f y f f y x y f f f y f x x y       (1) Giải: Trong (1) thay x f x và0y  ta được             0 0 0 ;f f f x f f f f f f x x      .(2) Trong (1) thay 0x f vày x ta được             0 0 ; .(3)f x f f x f x f f f x f f x       Kết hợp (2) và (3) ta được   0 ; .f x x f x    Vậy  ;f x x a x    (với 0a f là hằng số). Thay vào (1) ta được2 ; , .y a y a x a y y a x a a x y             Suy ra0.a  Khi đó  ;f x x x   . Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy hàm số cần tìm là  ;f x x x   . Nhận xét: Việc lựa chọn biểu thức đại số để tính như trong 2 ví dụ trên xuất phát từ các tính chất của hàm số mà ta có. 17 Bài toán 3: Tìm hàm số:f  thỏa mãn        ; ,f f y f x f x y f x y x y       (1) Giải: Từ (1) thay y f y ta được            ; , .f f f y f x f x f y f x f y x y       (2) Trong (1) thay ,x y y f x  ta được            ; , .f f f x f y f y f x f y f x x y       (3) Kết hợp (2) và (3) ta được phương trình     ; ,f x f y f y f x x y           ; ,f f x f y f f y f x x y            f x y f y x f x y f x y       ; ,x y    f x x f y y   ; , .x y  Từ đây suy ra  ;f x x c x    (với c là hằng số). (4) Thử lại thấy rằng, hàm số xác định bởi (4) không thỏa (1) với mọi hằng số c. Vậ y không có hàm số nào thoả mãn các yêu cầu đề bài. Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm số:f  thỏa mãn     1 2 1; ,f xy f x y f x y xy x x y          (1) Giải: Đặt 0f a . Trong (1) thay1y   ta được     1 1; .f x f x f x x x        (2) Trong (1) thay0y  ta được     0 1 2 1;f f x f x x x         1 2 1; .a f x f x x x        (3) Kết hợp (2) và (3) ta có phương trình  ;f x a x x     . Suy ra  ;f x a x x    . Thay  ;f x a x x    vào (1) ta được1 2 1 0.xy a x y a x y a xy x a             18 Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn đề bài  ; .f x x x   Bài toán 5: Tìm tất cả các hàm số:f  thỏa mãn     2 2 2 1 2 2 1; ,f xy f x y f x y xy x x y          (1) Giải: Đặt 0f a . Trong (1) thay 1 2 y   ta được     1 1; .f x f x f x x x        (2) Với0y  , từ (1) ta có     0 1 2 1; .f f x f x x x       hay   1 2 1; .a f x f x x x       (3) Kết hợp (2) và (3) ta có phương trình  ; .f x a x x     Suy ra  ;f x a x x    . Thay  ;f x a x x    vào (1) ta được2 2 2 1 2 2 1 0.xy a x y a x y a xy x a             Suy ra  ; .f x x x   Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn đề bài là  ; .f x x x   Bài toán 6: Tìm tất cả các hàm số:f  thỏa mãn       ; ,f x y f x y f x f y x y      (1) Giải: Trong (1) thay0x y  ta được 0 0.f  Tương tự vớiy y  từ (1) ta có       ; , .f x y f x y f x f y x y       (2) Kết hợp (1) và (2) ta có phương trình       ; , .f x f y f x f y x y     (3) Trong (1) cho0x  ta được   ; .f y f y y    (4) Kết hợp (3) và (4) ta được phương trình           ; , 0; , .f x f y f x f y x y f x f y x y        Suy ra  0; .f x x   Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài. 19 Vậy hàm số cần tìm là  0; .f x x   2.4. Phƣơng pháp thế tại các giá trị đặc biệt của đối số 2.4.1. Phƣơng pháp Một số bài toán về phương trình hàm có thể giải quyết bằng các tính chất của tập xác định (TXĐ) của biến sốx hoặc tập giá trị của hàm số. Thông thường trước hế t ta tìm hàmf trên một tập con X nào đó của D, sau đó tìm hàmf trên cả TXĐD . Ở đây tính chất toàn ánh rất quan trọng. Nhận xét: Một cách tương tự như việc biến đổi khi giải “phương trình số” mà ta đã quen thuộc, nhằm chuyển điều kiện của giả thiết thành các điều kiện đơn giản hơn; thì trong “phương trình hàm”, việc lựa chọn các biến số phù hợp với mục đích từ tính chấ t của hàm số mà đề cho, ta thu được các tính chất khác của hàm đơn giản hơn mà có lợ i trong việc tìm ra hàm số. Hai định hướng chính cho ta chọn đối số: + Một là: Chọn đối số sao cho xuất hiện các giá trị hàm có thể tính được. Hoặ c cho các biếnx ,y ,… nhận các giá trị bằng số. Thường các giá trị đặc biệt là 0,1, 2,...  + Hai là: Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặ c các biểu thức cần thiết. Chẳng hạn, nếu trong phương trình hàm có mặt f x y mà muốn có 0f thì ta thếy bởi –x , mà muốn có( )f x thìy = 0, muốn có( )f nx thì thế y bởi( 1) .y n x  Lƣu ý: Việc lựa chọn phải có tính kế thừa tức là việc lựa chọn đối số sau phả i dùng kết quả chọn trước. 2.4.2. Một số bài toán vận dụng Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số : 0,f   thỏa mãn điều kiện sau  1 1 2 f  và      3 3 f xy f x f f y f y x             ; , 0,x y   (1) Giải: Giả sửf là hàm thỏa mãn yêu cầu đề bài. Trong (1) lấy1y  ta được          3 3 1 , 0, .f x f x f f f x x           (2) 20 Trong (2) lấy3x  ta được      2 2 1 1 3 3 3 . 2 2 f f f             Thay vào (2) ta được      1 1 3 , 0, ; 2 2 f x f x f x x           hay    3 , 0, .f x f x x          Do đó (1) trở thành       2 , , 0, .f xy f x f y x y    (3) Từ (3) thay3 y x  ta được        21 3 1 2 2 , 0, . 2 f f x f f x x x                Suy ra  2 1 . 4 f x    Từ (3) thayy x ta được      22 1 1 2 2. , 0, . 4 2 f x f x x         Từ đây suy ra với0x  ta có  1 . 2 f x  Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy hàm số cần tìm là  1 2 f x  , 0, .x   Bài toán 2: Tìm hàm số:f  thỏa mãn       22 2 2f x y x yf x f y       ;,x y  (1) Giải: Từ (1) thayy x ta được    22 (0) 2 ; .f x xf x f x x        Suy ra  2 (0) ; .f x f x x       (2) Từ (2) thay0x  ta được  2 (0) 0 (0) 0; (0) 1.f f f f       21 Trường hợp 1:(0) 0f  Khi đó (2) trở thành  2 0;x f x x        ; .f x x x    Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Trường hợp 2:(0) 1f  Khi đó (2) trở thành  2 1;x f x x           1 1 0;x f x x f x x           1; . 1 f x x x f x x         Thử lại ta thấy chỉ có hàm  1;f x x x    thỏa mãn yêu cầu đề bài. Còn  1;f x x x    không thỏa mãn yêu cầu đề bài. Thật vậy, giả sử : 1; .t f t t t      Trong (1) thay0 x t y     ta được 2 2 1.f t t  Tương tự thay0 x y t     ta được 2 2 2 ( 1) .f t t t    Suy ra2 2 2 1 2 ( 1) 4 1t t t t t       0.t  Như vậy,1 (0) 1f   (mâu thuẫn). Vậy  1;f x x x    , ;f x x x   là hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài toán 3: Tìm hàm số:f  thỏa mãn        2 2 ; ,f x y f x f x y yf y x y         (1) Giải: Trong (1) thay; x t t y t      ta được        2 0 ; .f f t f t tf t t         (2) Tương tự thay; x t t y t      ta được 22        2 0 ; .f f t f t tf t t        (3) Kết hợp (2) và (3) suy ra   ;tf t tf t t     hay   ; 0.f t f t t     Khi đó (2) được viết lại      2 2 0 ; 0.f f t tf t t            Khi và chỉ khi    22 2 0 ; 0. 4 2 t t f f t t              Suy ra    2 2 0 ; 0 0 0. 4 t f t f        Và do đó với mỗi số thực bất kỳ khác 0 thì        2 0 0 f t f t tf t f t t            (4) Kết hợp với 0 0f  suy ra     0; ; f t t f t t t         Thử lại ta thấy các hàm  0;f x x   và  ;f x x x   thỏ a mãn các yêu cầu đề bài. Giả sử f x là một nghiệm khác với hai nghiệm trên, nghĩa là0a  sao cho  0f a  và ...

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

- -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Sinh viên thực hiện

TRẦN THỤY TUYỀN

MSSV: 2112020139

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA: 2012 – 2016

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

A MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Có thể nói toán học là khoa học của mọi khoa học, toán học cũng là công cụ của các môn học khác, toán học cũng có vai trò rất quan trọng trong đời sống thực tiễn Do đó các lĩnh vực của toán học được quan tâm đặc biệt Toán học bao gồm nhiều lĩnh vực khác nhau và nó đều có vai trò và tầm ảnh hưởng khác nhau trong toán học Một trong những lĩnh vực rất quan trọng trong toán học đó là lĩnh vực liên quan đến hàm số, có thể nói hàm số xuất hiện và đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực của toán học như: Giải tích, Hình học, Phương pháp tính, Toán ứng dụng, Trong các lĩnh vực liên quan đến hàm số thì việc giải phương trình hàm đóng một vai trò rất quan trọng, và tương đối khó Cái khó ở đây là không có một phương pháp nào tổng quát để có thể giải quyết tất cả các bài toán về phương trình hàm Chính vì vậy mà phương trình hàm trở thành một chuyên đề quan trọng trong bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông (THPT) Các bài toán về phương trình hàm thường có trong các đề thi học sinh giỏi toán trong và ngoài nước Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên nói chung và người giỏi toán nói riêng còn biết rất ít về phương trình hàm, thậm chí là còn lúng túng khi tiếp cận một phương trình hàm bởi vì đây là loại toán đòi hỏi ở người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải, có khả năng tư duy tốt, khả năng khái quát, phán đoán vấn đề… Có rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhờ phương pháp thế Do đó, việc giúp học sinh tiếp cận với phương pháp thế để giải quyết một số bài toán về phương trình hàm là rất cần thiết

Do vậy trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi đã chọn đề tài “Giải phương

trình hàm bằng phương pháp thế” làm đề tài nghiên cứu; với mong muốn được hiểu

vấn đề một cách sâu sắc và cặn kẽ, qua đó vận dụng những kiến thức mà bản thân đã tích lũy được trong thời gian qua và điều quan trọng là có thêm kiến thức về phương trình hàm cũng như giúp học sinh được tiếp cận và có cái nhìn nhận mới về phương trình hàm

2 Mục tiêu của đề tài

+ Hệ thống một số cách giải các bài toán phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế

+ Phân loại, định dạng một số phương trình hàm thường gặp để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT giải được bằng phương pháp thế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu:

+ Lý thuyết và bài tập phương trình hàm

+ Phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế - Phạm vi nghiên cứu:

+ Lý thuyết phương trình hàm

+ Phương trình hàm trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT

4 Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: phân tích các tài liệu về phương trình hàm, các tạp chí toán học và tuổi trẻ, 40 năm Olympic Toán học Quốc tế

- Tham khảo ý kiến chuyên gia

+ Giúp HS có một cái nhìn và cách tiếp cận mới về phương trình hàm

B NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, khóa luận trình bày tóm lượt một số kiến thức cơ bản về ánh xạ, hàm số, phương trình hàm cơ bản làm cơ sở để nghiên cứu chương II

1.1 Ánh xạ

Cho hai tập hợp X Y,   Một ánh xạ f từ X vào Y là quy tắc đặt tương ứng

mỗi phần tử x của X với một phần tử duy nhất y của Y mà ta kí hiệu là ( )f x và gọi là

ảnh của x qua ánh xạ f Ta viết:

x f x 

Đơn ánh: Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu:

i Với mọi x1 x2X thì f x( )1  f x( )2 hoặc ii Nếu f x( )1  f x( )2 thì x1x2

Toàn ánh: Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu (X)f Y, hay với mỗi yY , tồn

tại xX sao cho f x  y Nói cách khác, phương trình f x  y có nghiệm với mọi

yY

Song ánh: Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh

Nói cách khác, phương trình f x  y có nghiệm duy nhất với mọi yY

1.2 Hàm số

Định nghĩa: Cho tập X  Ta gọi một ánh xạ f từ tập X vào tập số thực là

một hàm số (thực) Tập X được gọi là miền xác định (hay tập xác định) và tập ảnh

( )

Y  f X của ánh xạ được gọi là miền giá trị (hay tập giá trị) của hàm số f

Hoặc f x: y f x( )

Một hàm số thường được cho dưới dạng bảng hoặc công thức

các giá trị làm cho công thức f x( ) có nghĩa

hiệu là D

1.3 Tính chất của hàm số

Định nghĩa Cho hàm số y f x( ) xác định trên D

Ta nói hàm số y f x( ) là hàm tuần hoàn trên D nếu tồn tại số dương T 0 sao

+ Hàm số y f x( ) xác định tại x và ở trong lân cận 0 x , khi đó hàm 0 f x được ( )gọi là liên tục tại x0 nếu

+ Hàm f x được gọi là liên tục trong khoảng ( , )( ) a b nếu ( )f x liên tục tại mọi x

+ Phương trình hoặc hệ phương trình hàm

+ Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả vi,…)

1.6 Một số kết quả về phương trình hàm

( ) ( ) ( ), ,

f xy  f x  f y x y thì có dạng f x( )ax, x

Tuy nhiên, ở một số bài toán người ta có thể thay đổi giả thiết và phát biểu bài toán phương trình hàm Cauchy dưới một số dạng khác mà kết quả bài toán vẫn không thay đổi Chính vì thế chúng ta cần nhận dạng được đâu là phương trình hàm Cauchy Sau đây là một số tiêu chuẩn nhận dạng phương trình hàm Cauchy thường gặp

+ Tiêu chuẩn 1: Hàm f x( ) xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), ,

f xy  f x  f y x y thì f x( ) có dạng f x( )ax xR a,  tùy ý

+ Tiêu chuẩn 2: Nếu hàm số f :  thỏa mãn f cộng tính và liên tục trên

+Tiêu chuẩn 5: Nếu hàm f :  là hàm cộng tính và đơn điệu trên đoạn  a b,

thì f x( )ax.

  0,

f x   x và f x   x, x

Chương II: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM GIẢI ĐƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Ở chương này khóa luận phân loại, hệ thống một số dạng toán phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế khác nhau như đặt ẩn phụ, đưa về phương trình hàm mới, thế giá trị đặc biệt của đối số,… Trình bày chi tiết lời giải, xây dựng hệ thống bài tập phù hợp cho từng dạng cụ thể

2.1 Phương pháp thế giải bằng cách đặt ẩn phụ 2.1.1 Phương pháp

Xét phương trình hàm dạng: f x g x .

Trong đó    x g x, là những hàm số biến số thực đã biết Trong một số trường hợp nếu đặt t x , ta có thể giải được xh t  Khi đó, thế vào phương trình đã cho ta có f t( )gh t 

Từ đó ta có hàm số cần tìm là hàm f(x)gh x  Tuy nhiên, nhiều khi vấn đề không đơn giản như vậy Trong trường hợp đó, ta cần sử dụng các phép biến đổi thích hợp, cố gắng đưa phương trình về dạng f x h x  Khi đó hàm số cần tìm có dạng f(x)h x 

Lưu ý: Hàm số f(x) sau khi tìm được cần phải tiến hành thử lại xem hàm số đó có thực sự là nghiệm của bài toán hay không Đây là bước rất quan trọng để tránh nhầm lẫn khi kết luận nghiệm

x t

  

 

f xx



Bài toán 4: Cho hàm số f x xác định bởi  

Trong đó a x b x c x và      , , g x là những hàm số đã biết Giả sử miền xác định  

của hàm số f x là   D , với mỗi fxDf ta xét dãy  xn xác định bởi

trình hàm có dạng trên về hệ k phương trình k ẩn Giải hệ này ta tìm được f x  

Trong một số trường hợp thường gặp phương trình hàm có dạng:

   ( )    .

a x f h x b x f g x c x

Trong đó a x b x c x g x h x       , , , , ( ) là những hàm số đã biết, ta đặt th x( ) hoặc

Bằng cách xét dãy như trên, trong đó g t đóng vai trò 1  g x , và nếu dãy nhận  

được tuần hoàn, áp dụng phương pháp đã trình bày ở trên ta tìm được hàm f x .

   1,

f  ttf t     tt (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

    

Giải hệ trên ta được f x 1; x

Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán  

xf x

  

 

hay    4 53 1

xf x



Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán  

Vậy hàm số cần tìm là    4 5.3 1

xf x



Khi đó phương trình (1) trở thành f x  f x 1  1 x ; (1)

Đặt 12

Khi đó phương trình (1) trở thành xf x 2f x 1 1 ; (1)

11

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có hệ phương trình

    

    

Nếu hệ thức đã cho có tính đối xứng giữa các biến số thì ta cố gắng hoán vị các biến

x và y thì ta nên thay x bởi y và y bởi x, nghĩa là hoán vị x và y để thu được phương trình mới Sau đó kết hợp phương trình vừa tìm được với phương trình ban đầu để thu được phương trình hàm mới

y       ayaxayya   xaax y

Suy ra a0 Khi đó f x   x; x Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài  

Vậy hàm số cần tìm là f x   x; x

Nhận xét: Việc lựa chọn biểu thức đại số để tính như trong 2 ví dụ trên xuất phát từ

các tính chất của hàm số mà ta có

Bài toán 3: Tìm hàm số f :  thỏa mãn  

  

f f f x  f y  f y f x  f y  f x x y (3) Kết hợp (2) và (3) ta được phương trình

Từ đây suy ra f x    xc; x (với c là hằng số) (4)

Thử lại thấy rằng, hàm số xác định bởi (4) không thỏa (1) với mọi hằng số c Vậy không có hàm số nào thoả mãn các yêu cầu đề bài

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

Thay f x    ax; x vào (1) ta được

xy        axyaxyaxy x  a

Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn đề bài f x   x; x

Bài toán 5: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

 0   1 2 1;

f  f x  f x  x  x

hay a f x  f x  1 2x  1; x (3) Kết hợp (2) và (3) ta có phương trình f     xax; x

Suy ra f x    ax; x Thay f x    ax; x vào (1) ta được 2xy  ax 2y  ax 2y  1 a 2xy2x  1 a 0.Suy ra f x   x; x

Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn đề bài là f x   x; x

Bài toán 6: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

      ; ,

f x f y  f x f y x y (3) Trong (1) cho x0 ta được f y  f y ; y (4) Kết hợp (3) và (4) ta được phương trình

Vậy hàm số cần tìm là f x   0; x

2.4 Phương pháp thế tại các giá trị đặc biệt của đối số 2.4.1 Phương pháp

Một số bài toán về phương trình hàm có thể giải quyết bằng các tính chất của tập

chất toàn ánh rất quan trọng

Nhận xét: Một cách tương tự như việc biến đổi khi giải “phương trình số” mà ta đã

quen thuộc, nhằm chuyển điều kiện của giả thiết thành các điều kiện đơn giản hơn; thì trong “phương trình hàm”, việc lựa chọn các biến số phù hợp với mục đích từ tính chất của hàm số mà đề cho, ta thu được các tính chất khác của hàm đơn giản hơn mà có lợi trong việc tìm ra hàm số

Hai định hướng chính cho ta chọn đối số:

+ Một là: Chọn đối số sao cho xuất hiện các giá trị hàm có thể tính được Hoặc cho các biến x,y,… nhận các giá trị bằng số Thường các giá trị đặc biệt là 0, 1, 2,  

+ Hai là: Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết Chẳng hạn, nếu trong phương trình hàm có mặt f x  y mà muốn có f  0 thì ta thế y bởi – x, mà muốn có f x( ) thì y = 0, muốn có f nx( ) thì thế y bởi y (n 1) x

Lưu ý: Việc lựa chọn phải có tính kế thừa tức là việc lựa chọn đối số sau phải dùng

kết quả chọn trước

2.4.2 Một số bài toán vận dụng

Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số f : 0,   thỏa mãn điều kiện sau

  11

Giả sử f là hàm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Trong (1) lấy y1 ta được

Trong (2) lấy x3 ta được

Trường hợp 1: f(0)0

Khi đó (2) trở thành   2

Thử lại ta thấy chỉ có hàm f x    x 1; x thỏa mãn yêu cầu đề bài Còn

  1;

f x    xx không thỏa mãn yêu cầu đề bài Thật vậy, giả sử  t : f t    t 1; t Trong (1) thay

 

f t    tt

Suy ra t2    1 2t (t 1)2   t2 4t 1 t 0.Như vậy, 1 f(0) 1 (mâu thuẫn)

Vậy f x    x 1; x , f x   x; x là hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 3: Tìm hàm số f :  thỏa mãn

   

  

Thử lại ta thấy các hàm f x   0; x và f x   x; x thỏa mãn các yêu cầu đề bài

Giả sử f x là một nghiệm khác với hai nghiệm trên, nghĩa là    a 0 sao cho

  0

f a  và tồn tại b sao cho f b b

Từ (4) suy ra f a a và f b 0 Do đó: Trong (1) thay xa y; b ta được

+ Nếu f a 2b0 thì f a 2ba trở thành a0 (mâu thuẫn với a0) Vậy có hai hàm số thỏa mãn đề bài là

  0

f x  x thỏa (1) Từ (2) lấy x0 ta được f 0 0

Từ (1) lấy x0 ta được f   yf y ; y , hay f là hàm số chẵn

Nếu f  1 0 Từ (1) cho y1 ta được xf  1  f x   x1    f x f 1 ; x Suy ra f x   0; x

Nếu f  1 1 Từ (1) cho y1 ta được

   1  ;   ;

x f x  x f x   xxf x   xx

f xa

 ; a hằng số tùy ý

Dễ thấy f x 0 thỏa mãn phương trình (1) Bây giờ ta xét:

  1

f xa

 

Khi x0 và y0 ta có

  

xf y yf x ay và x y f x f y    ay.Nên f x thỏa (1)  

Khi x0 và y0 ta có

  

xf y yf x ax và x y f x f y    ax.Nên f x thỏa (1)  

khix0

Kết hợp với (2) suy ra f x   x; x Thử lại thấy f x  thỏa mãn yêu cầu đề bài Vậy hàm số cần tìm là f x   x; x

Bài toán 7: Tìm hàm số f :  thỏa mãn

Thay xa y, 0 vào (1) ta được

 

ff a  f a  aaf a a a a (4) khix0

khix0

Thay x f a  vào (2) ta được    2   2

Thử lại ta thấy f x   x; x là nghiệm của phương trình

Nhận xét: Cũng có những bài toán mà ta không chọn được giá trị đối số làm cho

hai số hạng nào đó triệt tiêu được nên ta chỉ có thể chọn để xuất hiện các số hạng đặc biệt, rồi sau đó tìm cách tính giá trị hàm tương ứng

Bài toán 8: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

Thay vào (1) ta được

; ,

f axy  yf xay x y; ,

Khi và chỉ khi a x2 ayaxya y2 2  0; x y, 

Đồng nhất hệ số 2 vế ta được a0 Suy ra f x   0; x Thử lại f x thấy thỏa mãn yêu cầu đề bài  

 z; , ,2

 z; , , 2

    

Suy ra f x( )  x; x và f x( )   x; x Thử lại có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài

f f y   1 yf  1 ; y (2) Trong (2) thay y  1 f 1 ta được

Thay (3) vào (1) ta được    a x  ayb   x bxyaxb.Đồng nhất hệ số hai vế ta được

 

   

Suy ra f x   x; x và f x    x; x Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài  

Có thể nhận dạng được tính chất chất đơn ánh, toàn ánh của hàm số dựa vào các đặc trưng sau:

+ Nếu ff x ax b  , x thì có khả năng f là song ánh

+ Nếu một vế có chứa f x và vế còn lại có chứa biến   x bên ngoài thì thông

thường hàm f là đơn ánh

+ Nếu f đơn điệu thực sự thì f là đơn ánh

Lưu ý: Trong một vài trường hợp, nếu ta dự đoán được công thức của hàm số,

Khi đó a sao cho f a 0 Thay xa vào (1) ta được

   ;

f y  aff y a   ay (3) Vì f là toán ánh nên  x ;  y : f y x.

Khi đó (3) được viết lại f x a    axa; x ;

hay f x    xa; x (với a là hằng số) Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài  

Từ (1) cho x0, ta được f f y   y; y Từ đây suy ra f là song ánh trên

. Do đó sẽ có duy nhất a sao cho f a 0.Từ đó thay xa y, 0 vào (1) ta được