TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Kinh tế - Thương mại - Công nghệ thông tin TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- TRẦN THỊ DIỆU SƯƠNG TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 05 năm 2019 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON Sinh viên thực hiện TRẦN THỊ DIỆU SƯƠNG MSSV: 2115020137 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC KHÓA 2015 – 2019 Cán bộ hướng dẫn ThS. TRẦN NGỌC QUỐC MSCB: 1251 Quảng Nam, tháng 05 năm 2019 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình, ngoài sự nổ lực của bản thân, em còn nhận được sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trường đại học Quảng Nam nói chung và thầy cô khoa Toán nói riêng, cùng với sự động viên của gia đình và bạn bè. Em xin cảm ơn sự giảng dạy tận tình, sự dìu dắt và quan tâm của tất cả thầy cô trường đại học Quảng Nam, các thầy cô khoa Toán trong suốt thời gian 4 năm em học tập tại trường. Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Ngọc Quốc, người đã hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn sắp xếp công việc để có thể chỉ dẫn, định hướng cho em, giúp em hoàn thành thật tốt khóa luận của mình. Em xin chúc thầy luôn mạnh khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người. Cuối cùng, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận. Tác giả Trần Thị Diệu Sương MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................. 1 1.2. Mục tiêu của đề tài .............................................................................................................. 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................................... 1 1.5. Đóng góp của đề tài ............................................................................................................. 2 1.6. Cấu trúc đề tài ...................................................................................................................... 2 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ......................................................................................... 3 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................................................ 3 1.1. Không gian mêtric và sự hội tụ ........................................................................................... 3 1.2. Không gian compact ............................................................................................................ 4 1.3. Hội tụ từng điểm và hội tụ đều ............................................................................................ 5 Chương 2: TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ....................................... 6 2.1. Tích phân Riemann.............................................................................................................. 6 2.1.1. Định nghĩa tích phân Riemann ......................................................................................... 6 2.1.2. Tính chất của tích phân Riemann: .................................................................................. 12 2.1.3. Giới hạn dưới dấu tích phân ........................................................................................... 17 2.1.4. Sự hạn chế của tích phân Riemann ................................................................................. 19 2.2. Tích phân Lebesgue ........................................................................................................... 25 2.2.1. Tích phân các hàm đơn giản ........................................................................................... 26 2.2.2. Tích phân các hàm đo được bất kỳ ................................................................................. 28 2.2.3. Các tính chất sơ cấp ........................................................................................................ 30 2.3. Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue ........................................... 35 2.3.1. Giới hạn dưới dấu tích phân ........................................................................................... 35 2.3.2. Tích phân và đạo hàm trong ...................................................................................... 39 Chương 3: ĐỘ ĐO RADON .................................................................................................... 46 3.1. Định nghĩa và một số tính chất .......................................................................................... 46 3.2. Một số ứng dụng ................................................................................................................ 52 Phần 3. KẾT LUẬN ................................................................................................................. 60 Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 61 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là Giải tích là một trong những phân ngành của Toán học, có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay. Bộ môn Giải tích nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân . Phần lớn người học thường gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến tích phân nói riêng. Tích phân có ứng dụng trong rất nhiều bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, tính diện tích hay thể tích các vật thể phức tạp… Bên cạnh đó, trên cơ sở tích phân Riemann và tích phân Lesbegue, người ta xây dựng được độ đo Radon, ứng dụng độ do Radon để nghiên cứu nhiều chuyên đề lý thuyết trong giải tích. Với mong muốn được tiếp cận nhiều hơn với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời tìm hiểu sâu sắc hơn về các ứng dụng của tích phân, dưới sự định hướng của thầy giáo, ThS. Trần Ngọc Quốc, tôi quyết định chọn đề tài: “Tích phân Riemann, tích phân Lebesgue và độ đo Radon” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. Với đề tài này, tôi sẽ cung cấp lý thuyết cơ sở về tích phân Riemann, tích phân Lebesgue, mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue, độ đo Radon, ứng dụng tích phân Radon vào nghiên cứu một số chuyên đề lý thuyết. Tôi hi vọng đây sẽ là một nguồn tư liệu tốt cho bạn đọc nói chung và sinh viên Trường Đại học Quảng Nam, sinh viên chuyên ngành Toán nói riêng. 1.2. Mục tiêu của đề tài - Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của tích phân Riemann; - Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của tích phân Lebesgue; - Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của đọ đo Radon và một vài ứng dụng. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a. Đối tượng - Tích phân Riemann, tích phân Lebesgue và mối quan hệ giữa chúng; - Độ đo Radon và một số kết quả. b. Phạm vi - Bộ môn Giải tích. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài nghiên cứu này, tôi sử dụng các phương pháp: 1. Tham khảo tài liệu có sẵn; 2. Phương pháp nghiên cứu lí luận; 3. Phương pháp tham khảo ý kiến chuyên gia; 4. Phương pháp phân tích; 5. Phương pháp tổng hợp; 6. Phương pháp khái quát hóa; 7. Phương pháp kiểm tra. 2 1.5. Đóng góp của đề tài Tôi mong muốn đề tài sẽ là nguồn tư liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc nói chung và sinh viên Trường Đại học Quảng Nam, sinh viên ngành Toán nói riêng khi tìm hiểu các vấn đề liên quan đến tích phân Riemann, tích phân Lebesgue, độ đo Radon và mối quan hệ giữa chúng. 1.6. Cấu trúc đề tài Đề tài gồm 2 chương: - Chương 1: Kiến thức cơ sở - Chương 2: Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue - Chương 3: Độ đo Radon 3 Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Không gian mêtric và sự hội tụ Định nghĩa 1.1. Cho X là tập hợp khác rỗng. Hàm số: xd X X  được gọi là khoảng cách (hay mêtric) trên X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:i) ( , ) 0,d x y  với mọi., Xyx ( , ) 0,d x y  khi và chỉ khi.x yii) ( , ) ( , ),d x y d y x với mọiXyx , (tính đối xứng).iii) ( , ) ( , ) ( , ),d x y d x z d y z  với mọiXzyx ,, (bất đẳng thức tam giác). Khi đó, tập hợp X cùng với mêtric d được gọi là một không gian mêtric và kí hiệu( , ).X d Nếu mêtric d được xác định một cách rõ ràng thì ta sẽ kí hiệu đơn giản X thay cho kí hiệu không gian mêtric (X,d). Định nghĩa 1.2. (Không gian mêtric con) Giả sử( , )X d là một không gian mêtric vàY là một tập con khác rỗng của.X Nếu xét thu hẹp''''d của hàmd lên tậpYY x (nghĩa làYYdd x'''' ) thì hiển nhiên''''d là một mêtric trênY . Ta gọi''''d là mêtric cảm sinh bởid lên.Y Với mêtric cảm sinh này,( , '''')Y d được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric( , ).X d Định nghĩa 1.3. Giả sửX là một không gian mêtric và nx là dãy trong.X Ta nói dãy nx hội tụ đến điểmXx  nếulim ( , ) 0. n n d x x   Lúc đó, ta viết:xxn  hay.lim xxn  Điểmx được gọi là giới hạn của dãy nx . Nhận xét 1.1. Nếu một dãy nx hội tụ đếnx thì mọi dãy con knx của nx cũng hội tụ đến.x Tính chất 1.1. ChoX là không gian mêtric và nx , ny là các dãy trong.X Ta có các tính chất sau i) Giới hạn của một dãy điểm (nếu tồn tại) là duy nhất. Nghĩa là, nếuxxn  và''''xxn  thì''''.xx  ii) Nếuxxn  vàyyn  thì).,(),( yxdyxd nn  Ví dụ 1.1. (1) Trong không gian,k sự hội tụ của dãy )() ( 2 ) ( 1 ,...,, n k n n nx    tới kx    ,...,, 21 có nghĩa là  ,0 1 2)(  k i i n i   khi,n điều này tương đương với( ) , ( 1, 2,..., ). n i i n i k      Vậy, sự hội tụ trongk là hội tụ theo tọa độ. (2) Trong , ,a b sự hội tụ của dãy)(txn tới)(tx có nghĩa là 4,0)()(max   txtx n bta khi.n Vậy, sự hội tụ trong , a b chính là sự hội tụ đều trong giải tích cổ điển. Định nghĩa 1.4. (Dãy Cauchy) ChoX là không gian mêtric. Dãy điểm  Xxn  được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi,p  , 0.n n p n d x x    Tức là,00, n     sao cho0, , ,n p n n   ta luôn có:.),(  pnn xxd Định nghĩa 1.5. Một không gian mêtricX được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trongX đều hội tụ. Ví dụ 1.2. Không gian mêtric , a b với mêtric( , ) max ( ) ( ) , a t b d x y x t y t     là một không gian mêtric đầy đủ. Định lý 1.1. ChoX là một không gian mêtric đầy đủ vàY là tập con đóng, khác rỗng của.X Khi đó, không gian mêtric conY cũng là không gian mêtric đầy đủ. 1.2. Không gian compact Định nghĩa 1.6. (Tập compact) Một tậpM trong không gian mêtricX được gọi là compact nếu mọi dãy nx M đều có chứa một dãy con knx hội tụ tới một điểm thuộc.M Định lý 1.3. (Hausdorff) Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn. Ngược lại một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian mêtric đủ thì compact. Hệ quả 1.1. (i) Mọi tập compact đều bị chặn. (ii) Một tập con đóng của một tập compact là compact. (iii) Đối với các tập đóng trong,k các khái niệm: bị chặn, hoàn toàn bị chặn, compact tương đương nhau. Định lý 1.4. (Heine - Borel) Một tậpM là compact khi và chỉ khi mọi họ tập mở G  phủ lênM :,G M    đều có chứa một họ con hữu hạn:1 2 , ,... m G G G    vẫn phủ đượcM :1 .i m i G M   Định nghĩa 1.7. (Không gian compact) Một không gian mêtricX được gọi là không gian compact nếu nó là một tập compact trong chính nó, nghĩa là mọi dãy nx trongX đều chứa một dãy con hội tụ. Hệ quả 1.2. Một không gian mêtricX là compact khi và chỉ khi mọi họ tập đóng, ,F  trongX mà có giao rỗng:,F     thì đều chứa một họ con hữu hạn:1 2 , ,... m F F F    cũng có giao rỗng:1 .i m i F    5 Một không gian mêtricX gọi là tách được (hay khả ly ) nếu có một tập đếm được trù mật trongX . Định lý 1.5. Mọi không gian mêtric compact là đủ và tách được. 1.3. Hội tụ từng điểm và hội tụ đều Định nghĩa 1.8. Xét: ,nf S  ta nói chuỗi nf hội tụ từng điểm đến:f S  nếu,x S  ta có   lim . n n f x f x   Định nghĩa 1.9. (Hội tụ đều) Xét: ,nf S  ta nói chuỗi nf hội tụ đều đến:f S  nếu0,  0n  sao cho0 ,n n  ta có    , .nf x f x x S     Định nghĩa 1.10. (Hội tụ đều theo chuẩn) Xét hàm bị chặn:f S  . Khi đó  : sup : .uf f x x S  được gọi là chuẩn hội tụ đều. Định nghĩa 1.11. Xét hàm bị chặn:f S  .nf được gọi là hội tụ đều Cauchy nếu với mọi0,   tồn tại,n  sao cho0, ,m k n  ta có.m kf f   6 Chương 2: TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE Tích phân Riemann là một trong những tích phân cơ bản nhất, bởi lẽ một hàm đã khả tích Riemann thì sẽ khả tích theo mọi nghĩa khác và khi ấy các giá trị tích phân là bằng nhau. Nhưng cũng chính vì tích phân Riemann là tích phân cơ bản nhất nên còn nhiều hạn chế. Trong phần này, chúng ta cùng định nghĩa lại tích phân Riemann, các tính chất cơ bản và phân tích một vài hạn chế. 2.1. Tích phân Riemann 2.1.1. Định nghĩa tích phân Riemann Định nghĩa 2.1. (Phép phân hoạch) Cho đoạn , ,a b  ta chia ,a b bởi các điểm chia:0 1 2 1... .n na x x x x x b       Phép chia như vậy được gọi là một phép phân hoạchP  trên đoạn ,a b , với 1 , 1, .i imax x x i n     Định nghĩa 2.2. Cho,P P   là hai phép phân hoạch trên cùng đoạn ,a b . Khi đóP P   nếuP  chứa tất cả các điểm chia của.P  Định nghĩa 2.3. ( Tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới) ChoP  là một phép phân hoạch của ,a b . Ta đặt1i i ix x x    và          1 1 1 1 : , : , , . i i i i i i n i i i n i i i m inf f x x x x M sup f x x x x L f m x U f M x                   Khi đó,   , LU f f   được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới củaf tương ứng phép phân hoạchP  . Ví dụ 2.1. Xét hàm số    2 : 0, 2 . f x f x x   Khi đó tổng Darboux trên củaf tương ứng phép phân hoạchP  thể hiện trong hình sau: 7 Hình 1. Tổng Darboux trên củaf tương ứng phép phân hoạchP  . 8 Định nghĩa 2.4. ( Tích phân Riemann) Chof xác định, bị chặn trên đoạn ,a b và   , LU f f   lần lượt là tổng Darboux trên và dưới của hàm sốf tương ứng phép phân hoạchP  . Hàm sốf được gọi là khả tích Riemann nếu    0 0 .inf U f sup L f       Khi đó, đại lượng    0 0 ,I inf U f sup L f        được gọi là giá trị tích phân của hàm sốf trên ,a b . Ký hiệu:     , . b a a b I f x dx f x dx   Ta ký hiệu: , :a b  { , :f a b f là khả tích Riemann}. Định nghĩa 2.5. (Tổng Riemann) Chof xác định, bị chặn trên ,a b vàP  là một phép phân hoạch trên ,a b . Trên mỗi đoạn   1x , x , 1, ,i i i n  ta chọn 1, .i i iz x x Khi đó,     1 1 , n i i i i S f f z x x      được gọi là tổng tích phân Riemann. Nhận xét 2.1. Vì 1,i i iz x x là bất kỳ nên ta có vô số tổng tích phân Riemann trên ,a b tương ứng.P  Bổ đề 2.1. Cho : ,f a b  là hàm bị chặn và,P P   là hai phép phân hoạch trên ,a b thỏaP P   . Khi đó, ta có       .L f L f U f U f       Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử    0 1 2 1 '''' 0 1 2 1 ... ... , ... ... . k k n k k k n P a x x x x x x b P a x x x x x x x b                          Khi đó, ta có           '''' '''' 11 '''' '''' 1 1 ,, , inf . inf . inf . . k kk k k k k k k k k k x xx x x x L f L f f x x x f x x x f x x x                          Vì           '''' '''' 1 1 1 , ,, , inf inf ; inf inf , k k k kk k k k x x x xx x x x f x f x f x f x              9 Nên        1 '''' '''' 1 1 , inf 0. k k k k k k k k x x L f L f f x x x x x x x             Suy ra   .L f L f   Hoàn toàn tương tự, ta có                  '''' '''' 1 1 1 '''' '''' '''' 1 1 , , , '''' '''' '''' 1 1 , sup sup sup sup 0. k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x k k k k k k x x U f U f f x x x f x x x f x x x f x x x x x x x                                          Suy ra   .U f U f   Vậy       .L f L f U f U f       Bổ đề 2.2. Cho hàm sốf bị chặn trên ,a b và1 2 ,P P   là hai phép phân hoạch bất kỳ trên ,a b . Khi đó, ta luôn có   1 2 .L f U f   Thật vậy, ta đặt1 2 1 2 , P . P P P P P P             Khi đó, ta có       1 2 .L f L f U f U f       Định lý 2.1. Nếu : ,f a b  là hàm bị chặn thì   .L f U f Chứng minh. Áp dụng bổ đề 2.2, với mọi,P P   là hai phép phân hoạch trên đoạn ,a b , ta có   L f U f     infL f U f        sup inf .L f U f       Vậy   .L f U f Định lý 2.2. Hàm sốf bị chặn trên đoạn ,a b là khả tích Riemann nếu0, P     sao cho    .U f L f     Chứng minh. Với mỗi n  , ta có1 0 n    nên tồn tại phép phân hoạchn P  sao cho    1 .n n U f L f n    10 Suy ra                  1 1 1 , . n n n n n U f U f U f L f L f L f L f n n U f L f n n                   Theo Định lý 2.1, ta có   .U f L f Suy ra    1 0. n U f L f n     Vậy   .U f L f Hayf là khả tích Riemann. Định lý 2.3. Chof đóng và bị chặn trên , .a b Khi đó,f là khả tích Riemann trên ,a b khi chỉ khiI  sao cho 0 lim S f I     , ta có:      0 , lim . a b f x dx S f     Chứng minh. GọiP  là một phép phân hoạch trên đoạn ,a b . Khi đó, ta có            1 1 , 1 , 1 sup , inf , i i i i n i x x i n i x x i U f f x x L f f x x                1 n i i i S f f z x     ( với 1,i i iz x x ). Suy ra     .L f S f U f     Như vậy, nếuf là khả tích Riemann thì   sup inf .L f U f      Suy ra     0 lim sup inf .S f L f U f         Ngược lại, giả sử tồn tại I sao cho 0 lim .I S f     Từ bổ đề 1, ta có  L f  là dãy tăng,  U f  là dãy giảm. Khi đó, ta có  L f  là dãy tăng và bị chặn trên bởi I,  U f  là dãy giảm và bị chặn dưới bởi I. 11 Theo tính chất Infimum, Supremum, ta có kết quả     0 sup inf lim .L f L f S f        Vậy f là khả tích. Định nghĩa 2.6. (Hàm đơn điệu) Cho hàm số : , ,f a b f được gọi là tăng nếu     , , , .x y a b x y f x f y     Tương tự,f được gọi là giảm nếu     , , , .x y a b x y f x f y     Hàm số : ,f a b  được gọi là hàm đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm. Định lý 2.4. Nếu : ,f a b  là đơn điệu thìf khả tích. Chứng minh: Ta sẽ chứng minh định lý này trong trường hợpf là hàm tăng, trường hợpf là hàm giảm chứng minh tương tự. Từf là hàm tăng, ta có       , , .f a f x f b x a b    Do đóf bị chặn trên ,a b bởi .f b Để , ,f a b ta chứng minh0,   ta chọn được phép phân hoạchP  thỏa đường kính   0 sao cho U f L f       (Theo tiêu chuẩn Cauchy về tổng trên và tổng dưới). Thật vậy, với mọi0,   chọn phép phân hoạchP  có đường kính thỏa    , f b f a     Khi đó                                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . n i i i i i n i i i i i n i i i n i i i U f U f M m x x f x f x x x f x f x f b f a f x f x f b f a f f b f a                                       . b f a    Vậy   0, 0 sao cho U .e f L f e         Hay , .f a b Định lý 2.5. Nếu : ,f a b  là liên tục thìf khả tích. Chứng minh. 12 Với ,a b là tập đóng,f là hàm số liên tục đều trên ,a b ; vì vậy, với mọi0,   ta có thể chọn0   sao cho     khi , ,f x f y x y a b b a      và.x y   (1) GọiP  là phép phân hoạch bất kỳ trên đoạn ,a b . Vìf liên tục nên ta có thể thay thế inf và sup bởi min và max trong định nghĩaim và,iM khi đó với mọi1, ,i n    1 , min i i i x x x m f x   và    1 , max . i i i x x x M f x   Theo bất đẳng thức (1), với mọi1, ,i n ta có,i iM m b a     khi đó          1 1 1 1 . . n i i i n i i i e U f U f x x b a e x x b a e b a b a e                    Vậy , .f a b 2.1.2. Tính chất của tích phân Riemann: Trong phần này, để việc trình bày đơn giản và gọn gàng, ta sẽ kí hiệuf thay cho.fdx Tích phân Riemann có ba tính chất cơ bản: (1) Tính tuyến tính của tích phân:, , b b a a cf c f c    . b b b a a a f g f g     (2) Tính đơn điệu của tích phân: Nếuf g thì. b b a a f g  (3) Tính cộng của tích phân: Nếu,a b c  thì. c b b a c a f f f    Ta sẽ tìm hiểu ba tính chất này thông qua các định lý dưới đây: Định lý 2.6. Nếu : ,f a b  vàc  thìcf khả tích và, . b b a a cf c f c   Chứng minh. Vìf khả tích trên ,a b nênI  sao cho   inf sup .I U f L f       Ta chứng minhcf khả tích. 13 Ta so sánh: inf U f   và sup .L f   Ta có                          1 1 1 1 1 1 1 1 : : c.m : : . inf =cinf sup =csup i i i i i i i i i i n n i i i i i i n n i i i i i i inf cf x x x x c inf f x x x x sup cf x x x x c sup f x x x x c M U cf cM x c M x cU f L cf cm x c m x cL f U cf U f cI L cf                                                   .L f cI   Suy ra   inf sup =U cf L cf cI      nêncf khả tích và. b b a a cf c f  Định lý 2.7. Giả sử , : ,f g a b  là các hàm khả tích, khi đó ta có f g cũng là hàm khả tích và Chứng minh. Vì là các hàm khả tích nên tồn tại,f gI I khả tích thỏa, . b b f ga a I f I g   GọiP  là phép phân hoạch bất kỳ trên đoạn ,a b . Khi đó, ta có        , . f g L f I U f L g I U g         Theo tính chất Infimum và Supremum, ta có            1 1 1 1 1 , , , , , inf inf inf inf inf . i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x f g f g f g f g             Tương tự, ta cũng có       1 1 1, , , sup sup sup . i i i i i ix x x x x x f g f g       Suy ra           . L f L g L f g U f g U f U g               , : ,f g a b   . b b b a a a f g f g     14 Với mọi0,   tồn tại1 P  sao cho    1 1 2 . 2 f f I L f U f I          Và tồn tại2 P  sao cho    2 2 2 . 2 g g I L g U g I          Chọn1 2 .P P P     Khi đó, ta có                      1 2 1 2 2 2 f g f gI I I I L f L g L f L g L f g U f g U f U g U f U g                                             2 2 . f g f g I I I I                      Do đó       < . f g f g I I L f g U f g I I             Điều này đúng0   nên ta suy raSup ( ) Inf ( ) I .f gL f g f g I         Vậy,f g là hàm khả tích Riemann và  . b b b a a a f g f g     Nhận xét 2.2. , : ,f g a b  thỏa f g khả tích Riemann. Ta không thể khẳng địnhf vàg cùng khả tích Riemann. Thật vậy, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.2. Cho , : 0,1f g  được định nghĩa            1 0,1 , 0 0,1 , g 0 0,1 \ , 1 0,1 \ . khi x Q khi x Q f x x khi x Q khi x Q              Ở đây, f là hàm Dirichlet và1 .g f  Khi đó ta có    1, 0,1 .f g x x    15 Suy ra   L f g U f g   Hay f g là hàm khả tích trên đoạn 0,1 . Mặt khác, vớiP  là phép phân hoạch bất kỳ trên đoạn ,a b . Ta có        1, 0. U f U g L f L g         Vì vậy            , . U f g U f U g L f g L f L g       Hayf vàg là các hàm không khả tích trên đoạn 0,1 . Vậy f g khả tích Riemann ta không thể khẳng địnhf vàg cùng khả tích Riemann. Định lý 2.8. Giả sử , : ,f g a b  khả tích và.f g Khi đó. b b a a f g  Chứng minh: Giả sử : ,h a b  là khả tích Riemann và   0, , .h x x a b   Khi đó, với 0 1, ,..., nP a x x x b     là một phép phân hoạch trên đoạn , ,a b ta có        1 1 , 1 inf . . i i n i i x x i L h f x x x       Mà ta có   1, , ,i ix x a b  nên theo tính chất Infimum, ta có   1 , , inf inf . i ix x a b f f   Do đó                  1 , 1 1 , 1 , inf . inf inf ( ) 0. n i i a b i n i i a b i a b L h f x x x f x x x f x b a               Suy ra    , sup 0. a b h L h     Xét       , , .h x g x f x x a b    Theo giả thiết, ta có,f g là các hàm khả tích Riemann nênh cũng khả tích Riemann và   0, , .h x x a b   Áp dụng chứng minh trên, ta có , 0. a b h  16 Mà         , , , , . a b a b a b a b h g f g f       Suy ra.g f  Định lý 2.9. Giả sử , : ,f g a b  và.a c b  Khi đóf khả tích trên ,a b nếu và chỉ nếuf khả tích trên , ca vàf khả tích trên c,b . Khi đó. c b b a c a f f f    Chứng minh. Giả sửf khả tích trên ,a b . Khi đó, chọn0,  P  là một phép phân hoạch trên đoạn ,a b sao cho    .U f L f     Đặt '''' P P c    (nếuc P  thì'''' P P   ). Khi đó'''' ,P Q R     với   '''' '''' , , , .Q P a c R P c b        Hơn nữa            , . U f U f U f L f L f L f           Suy ra                . U f L f U f L f U f L f U f L f                    Do đóf khả tích trên đoạn ,c .a Tương tự ta chứng minh đượcf khả tích trên đoạn , .c b Ngược lại, nếuf khả tích trên đoạn ,a c và , ,c b khi đó có hai phép phân hoạch Q, R lần lượt trên đoạn ,a c và ,c b sao cho       , . 2 2 U f L f U f L f           Cho.P Q R  Khi đó            ,U f L f U f L f U f L f             Do đóf khả tích trên đoạn , b .a Cuối cùng, với phép phân hoạch, ,P Q R như trên, ta có          . b a c b a c f U f U f U f L f L f f f                    Tương tự 17          > > . b a c b a c f L f L f L f U f U f f f                  Với0   tùy ý, ta có. b c b a a c f f f    2.1.3. Giới hạn dưới dấu tích phân Định lý 2.10. Nếu nf là chuỗi hàm liên tục trênS  hội tụ đều đến hàmf xác định trênS thìf là hàm liên tục. Chứng minh. Cho ,x a b là điểm bất động, nx là chuỗi trên ,a b hội tụ đến.x Với mọi0,   khikf hội tụ đều vềf , ta cók  sao cho     , , . 3 kf y f y y a b      Giả sửkf liên tục tại,x ta cóN  sao cho,m N  ta có    . 3 k m kf x f x    Vậy với mọi,m N ta có                            . 3 3 3 m m k m k m k k m k m k m k k f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x                      Vì vậy  mf x hội tụ đều về f x vàf liên tục tại mọi ,x a b . Từ Định lý 2.10, ta thấy rằng nếu nf là chuỗi hàm liên tục trênS  hội tụ đều đến hàmf xác định trênS thìf là hàm liên tục. Nhưng nếu chuỗi hàm nf là hội tụ từng điểm thì điều này là không đúng. Thật vậy, ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.3. Cho : 0,1nf  cho bởi  2 0 0, 1 : 0 , 1 0 . n khi x f x n n x khi x n khi x n              18 Hình 2. Đồ thị của .nf x Ta thấy rằngnf là khả tích Riemann vì liên tục trên 0,1 và    1 1 1 2 0 0 0 1 2 0 2 20 lim lim 1 1 lim 2 2 2 1 1 1 . 2 2 n n n n n f f n n x n n x n n n n n                                            Mặt khác, xét : 0,1 .f    0, 0,1f x x   , ta chứng minh nf hội tụ từng điểm đến.f Thật vậy, ta xét các trường hợp + Nếu0,x  ta có  0,nf x n  . Do đó   .nf x f x + Nếu0, 0,x    chọn0 1 1 1 .n n x        Khi đó,0 ,n n  ta có      .n nf x f x f x  Mà 0 0 1 1 1 1 .n x x n n     Suy ra      0 0 . n n f x f x f x       Vậy nf hội tụ từng điểm đến.f Mặt khác, ta có 19 1 2 1 lim 2 n n n f f       Mà0f  nênlim . n n f f    Câu hỏi đặt ra là trong trường hợp nào thì chuỗi nf khả tích sẽ kéo theo giới hạnf là khả tích. Ta xét định lý sau: Định lý 2.11. Cho nf là dãy các hàm số xác định, bị chặn, khả tích Riemann trên đoạn , .a b Nếunf hội tụ đều vềf trên đoạn ,a b thìf khả tích trên ,a b và   lim . b b n n a a f x dx f x dx    Chứng minh: Với mọi0   cho trước, nếunf hội tụ vềf , chọn0n  sao cho0 ,n n  ta có       , , , 2 n nf x f x x a b f b a       khả tích, ta có                                                            . 2 2 b b b b n n n na a a a b b b b n n n na a a a b b b b n n n na a a a b b n na a f f f x f x f x dx f x f x f x dx f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x f x dx f x f x dx b a b a b a b a                                                Với mọi ,x a b ta có        . 2 2 nf x f x b a b a        Khi0   tùy ýf khả tích Riemann. Mặt khác,0 ,n n 0n  , ta có         . 2 2 b b b n na a a f f f x f x dx b a b a               Vì vậy, chuỗi  b na f hội tụ về. b a f 2.1.4. Sự hạn chế của tích phân Riemann Từ định nghĩa tích phân Riemann, ta thấy rằng kỹ thuật tính toán là vô cùng phức tạp, đặc biệt là việc so sánh U f  và .L f  20 Vì vậy hai nhà toán học Newton là Lebniz đã cùng đưa ra một giải pháp tuyệt vời để tính tích phân Riemann. Định lý 2.12. (Định lý giá trị trung bình) Cho : ,F a b  là một hàm số liên tục trên , ,a b có đạo hàm trên ,a b . Khi đó, tồn tại ,c a b sao cho      '''' .F b F a F c b a   Chứng minh. Xem ( 2 , trang 110) Định lý 2.13. (Định lý Newton - Lebniz) Cho hàm số f xác định trên , .a b Nếu f có nguyên hàm F, với : ,F a b  là hàm số liên tục trên , ,a b thì   . b a f F b F a  Chứng minh. ChoP  là một phép phân hoạch trên đoạn , .a b Trên mỗi 1,ix x , ta cóF là hàm liên tục, có đạo hàm trên 1,ix x nên áp dụng định lý giá trị trung bình, tồn tại 1, xi i iz x  sao cho       '''' 1 1 .i i i i iF x F x F z x x    Khi đó, ta có                       1 1 '''' 1 1 1 1 0 . . . n i i i i n i i i i n i i i n S f f z x x F z x x F x F x F x F x F b F a                     Suy ra        0 , lim . a b F b F a S f f        Ví dụ 2.4. Tính tích phân của hàm số   ln 1f x x  trên đoạn 0,1 ? Ta có     1 ln 1 .F x x x x    Áp dụng Newton - Lebniz, ta được      1 0 ln 1 1 0 2ln 2 1.x dx F F     Nhận xét 2.3. Định lý rất hữu dụng nhưng chỉ tính toán được với những hàm số có nguyên hàm, tức là phải tồn tạiF sao cho'''' .F f Ví dụ với hàm số  2 x f x e  21 chúng ta không thể tìm được hàm F x . Câu hỏi đặt ra trong trường hợp tổng quát, những hàm số nào có thể tính được tích phân Riemann? Chúng ta cùng tìm hiểu những hạn chế của tích phân Riemann và đến với định lý Lebesgue. Định nghĩa 2.7. Cho hàm số xác định trên ta khuếch hàm số trên cả bằng cách nếu Xét và V là một lân cận bất kỳ của Khi đó, đại lượng được gọi là dao động của hàm số trong V. Ta thấy rằng khi thì giảm dần và bị chặn dưới bởi 0 nhưng V vẫn luôn chứa là tâm. Vì vậy, tồn tại Giá trị được gọi là dao động của hàm số tại Bổ đề 2.3. Hàm số f x liên tục tại điểm0x khi và chỉ khi 0 0.f x   Thật vậy, nếu f x liên tục tại điểm0x thì với mọi0   cho trước có tồn tại một lân cận V của0x sao cho   0 , . 2 f x f x x V      Tức là  .f V   Do đó 0 ,f x   và vì tùy ý, 0 0.f x   Ngược lại nếu 0 0f x   thì với mọi0   cho trước có tồn tại một lân cận V của0x sao cho  ,f V   tức là   0f x f x   với mọi.x V Điều này chứng tỏ f x liên tục tại điểm0 .x Bổ đề 2.4. Với mọi0   , tập  : fx x     là đóng. Thật vậy, giả sử , ,n f nx x    và0.nx x Trong một lân cận bất kỳ V của0x có ít nhất một điểm,nx và vìnx là điểm trong của V (V mở) nên có một lân cận củanx nằm trọn trong V. Ta có      .f f n f nV V x       Vậy 0 .f x  f , b ,af  0f x  , .x a b 0 ,x a b0 .x   : sup inf ,f VV V f x f x  f0V  f V0x   0 0 : lim 0.f f V x V      0f x f0 .x 22 Mặt khác vì đóng nên0 .x   Bổ đề 2.5. Cho một tập đóng.Q   Nếu  ,f x x Q     thì có một số0   (chỉ phụ thuộc ) sao cho trong mọi hình cầuV Q với đường kính nhỏ hơn ta đều có  .f V   Thật vậy, mỗi điểmx Q có một lân cậnxV sao cho  .f V   GọiWx là lân củax có bán kính bằng một nửa bán kínhxV . Lớp các hình cầuWx phủ lên tập,Q màQ là đóng và bị chặn cho nên theo định lý Heine - Borel, có thể trích ra một số hữu hạn hình cầu1 2 W , W ,..., W px x x vẫn phủ đượcQ . Cho là bán kính nhỏ nhất của các hình cầu này. Nếu một hình cầuV Q có đường kính nhỏ hơn thì nó phải có điểm chung với mộtW ix nào đó,1, ,i p do đó phải nằm trọn trongixV , và vì thế    .if f xV V     Định lý 2.14. (Lebesgue) Một hàm số f x bị chặn trên một đoạn là khả tích Riemann khi và chỉ khi nó liên tục hầu khắp nơi trên đoạn (tức là tập các điểm gián đoạn của nó có độ đo 0). Độ đo nói đây là độ đo Lebesgue trong.k Chứng minh. GọiA là tập các điểm gián đoạn của ,f x khi đó, ta có  : 0 ,fA x x    Do đó 1 1 : .n fn A A x x n             " " Trước hết ta hãy chứng minh rằng nếu f x khả tích Riemann thì  0.A   Muốn thế, xét mộtnA tùy ý, và cho một số0   bất kỳ. Vì f x khả tích Riemann nên có một phân hoạch chia thành các đoạn nhỏ1 2, ,... s   sao cho1 . s j j j n      Trong đój  là dao động của f x trong.j GọiB là tập hợp tất cả các biên củaj . Rõ ràng  0 :B   trong trường hợp3k  chẳng hạn, mỗij là một hình hộp và biên của nó là các mặt của hình hộp đó; dĩ nhiên độ đo (thể tích) của biên ấy bằng 0. (Một cách tổng quát trongk , độ đo của một tập bất kỳ nằm trong mặt phẳng tọa độ i a   bao giờ cũng bằng 0). Mỗi điểm\nx A B phải là điểm trong của một đoạnj nào đó. Ta hãy chọn các đoạnj nào có chứa ít nhất một điểm\nx A B làm điểm trong, và gọi chúng là '''' 1, 2,..., .jh h m  Dĩ nhiên '''' 1 \ , m jh nh A B   23 và '''' 1 . m jh jh h n      Song vì mỗi đoạn'''' jh chứa một điểm trongnx A , tức là một điểm trongx với  1 ,f x n   cho nên1 .jh n   Do đó '''' 1 . m jh h     Chứng tỏ  \ .nA B   Lại vì \ Bn nA A B  nên      \ .n nA A B B       Tức là  0nA   , vì0   tùy ý. Vậy  0nA   , và do đó  0A   ." " Ngược lại, giả sử  0A   , tức là  0A   với mọi.n Cho trước một số0   tùy ý. Ta lấy một tậpnA vớin đủ lớn để1 . n  VìnA có độ đo 0 nên có thể phủ được bằng một họ khoảng (mở) có thể tích tổng cộng nhỏ hơn2  và vìnA bị chặn và đóng nên trong họ đó có một số hữu hạn khoảng:1 2, ,..., mD D D cũng phủ đượcnA . Bây giờ xét phép phân hoạch bất kỳ chia đoạn thành các đoạn nhỏ1 2, ,... s   . Ta có1 2 1 . s j j j j j j j            Trong đó1 là tổng theo những đoạnj nào có điểm chung với ít nhất một trong các khoảng1 2, ,..., mD D D và2 là tổng theo những đoạn còn lại. Ta hãy ước lượng riêng mỗi tổng1 và2 : a) Ta có thể chọn1 0   đủ nhỏ để cho nếu1   thì các đoạnj có điểm chung với các khoảng1 2, ,..., mD D D có thể tính tổng cộng nhỏ hơn1 2 m i i D   và do đó nhỏ hơn2. . 2         Khi đó, gọiK là lân cận trên của f x trong ta sẽ có11 .j K    b) Các đoạnj trong tổng2 đều nằm trong tập 1 1 \ cm m i ii i Q D D       là một tập đóng (vì1 m ii D mở) và do1 m i ni D A  nên  1 f x n   tại mọi.x Q 24 Vậy theo bổ đề 3 có thể tìm được2 0   đủ nhỏ để cho nếu2   thì1 i n   với mọi đoạn.j Q  Khi đó2 2 1 .j j j n        Rốt cục, nếu 1 2min ,      thì ta sẽ được ,j j K      và vì0   tùy ý, nên điều kiện 3 được thỏa mãn. Vậy hàm số f x là khả tích Riemann. Định nghĩa 2.8. Cho một tập bị chặnA trong,k và lấy một đoạn bất kỳ.A  Nếu A x  (hàm đặc trưng củaA ) khả tích Riemann trên đoạn thìA gọi là đo được theo nghĩa Peano - Jordan, hay ngắn gọn hơn là đo được . .P J và tích phân    , A A R x dx  gọi là độ đo Peano - Jordan của tậpA . Nhận xét 2.4. Dĩ nhiên tập các điểm gián đoạn của hàm số A x  chính là biên của tậpA , cho nên theo Định lý 2.14 (Định lý Lebesgue): Một tập bị chặnA là đo được . .P J khi và chỉ khi biên của nó có độ đo Lebesgue bằng 0. Chẳng hạn tập các điểm hữu tỉ trong đoạn 0,1 không đo được . .P J vì biên của nó là toàn đoạn 0,1 và do đó có có độ đo1 0. Bây giờ, cho tậpA đo được . .P J và một hàm số f x bị chặn trênA . Ta xác định hàm số   f x f x trênA và  0f x  ngoàiA . Nếu f x khả tích Riemann trên một đoạnA  thì f x gọi là khả tích Riemann trên tậpA , và ta định nghĩa ích phân của f x trênA là số        . A R f x ds R f x dx    Như vậy tích phân Riemann  A f x dx có nghĩa khi : 1) f x bị chặn trênA ; 2) Biên củaA có độ đo Lebesgue bằng 0; 3) Tập các điểm trong củaA tại đó f x gián đoạn có độ đo Lebesgue bằng 0. Nhận xét 2.5. Ta thấy rằng tích phân Riemann chỉ áp dụng cho một lớp hàm số tương đối hẹp, bao gồm những hàm số mà tập các điểm gián đoạn có thể "bỏ qua được" (có độ đo 0). Còn các hàm số đo được tổng quát thì nói chung có thể không khả tích 25 Riemann. Ngay hàm số Dirichlet cũng không khả tích Riemann, vì với mọi phân hoạch ta đều có   0, 1.L f U f    Đó là một sự hạn chế đáng kể của khái niệm tích phân Riemann, vì trong toán học hiện đại (lý thuyết và ứng dụng) rất thường gặp những hàm số gián đoạn đòi hỏi phải lấy tích phân theo một nghĩa nào đó. Nhược điểm của tich phân Riemann bộc lộ rõ nhất trong những vấn đề qua giới hạn: nói chung dùng tích phân Riemann thì phép toán này phải thận trọng vì không phải luôn luôn thực hiện được. Chẳng hạn, trong không gian , , L a b gồm các hàm số liên tục x t trên đoạn ,a b với mêtric     , , b a P x y x t y t dt  một dãy cơ bản không nhất thiết hội tụ (không gian không đủ), và dù có thêm vào không gian này những hàm số gián đoạn khả tích Riemann thì cũng không cải thiện được tình trạng ấy. Ngoài ra còn một vấn đề nữa mà tích phân Riemann không đủ để giải quyết, là việc tìm lại một hàm liên tục F x mà ta đã biết đạo hàm   '''' F x f x của nó (đây là nói hàm số một biến trên đoạn ,a b : nếu f x khả tích Riemann thì ta biết rằng      , x a F x F a f t dt   nhưng nếu f x khả tích Riemann thì thế nào? Để khắc phục tất cả các nhược điểm đó, cần phải xây dựng một khái niệm tích phân tổng quát hơn tích phân Riemann. 2.2. Tích phân Lebesgue Phân tích cách xây dựng tích phân Riemann ta thấy rằng trong quá trình chia nhỏ đoạn , ,a b muốn cho   L f U f   dần về 0 thìi iM m cũng phải dần về 0, tức là dao động f ix  dần về 0. Do đó, từ Định lý 2.8, muốn tích phân của hàm số tồn tại thìf phải liên tục hầu khắp nơi trên , .a b Đó là lí do cơ bản giải thích tại sao tích phân Riemann không thể áp dụng cho những hàm số quá ư gián đoạn. Cụ thể như hàm số Dirichletf xác định trên đoạn 0,1 được định nghĩa      1 khi 0,1 . 0 khi 0,1 \ x Q f x x Q        Để vượt qua hạn chế này, Lebesgue đề ra ý kiến độc đáo là thay vì chia nhỏ đoạn ,a b và nhóm các điểm gần nhau thì ta nhóm các điểm mà tại đấy, giá trị của hàm số gần nhau. Nghĩa là ta không chia ,a b thành các đoạni nhỏ, mà ta chia ,a b thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm các điểm x tương ứng với giá trị f x là xấp xỉ nhau. Từ quan điểm cơ bản này, Lebesgue đã xây dựng được khái niệm tich phân rất tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bọ chặn. Tích phân Lebesgue 26 được xây dựng bằng cách dùng các hàm đơn giản để xấp xỉf , từ đó có thể chia ,a b thành các tập thích hợp. 2.2.1. Tích phân các hàm đơn giản Định nghĩa 2.9. Chof là hàm đơn giản, không âm trên đoạn ,a b , tức là    1 ,i n i A i f x x      trong đó, các tậpiA là đo được, rời nhau, 1 , , n ii A a b  và  1 khi . 0 khii i A i x A x x A       Khi đó, ta định nghĩa      1, . n i i ia b f x d A      Ví dụ 2.5. Cho hàm số Dirichlet      1 khi 0,1 . 0 khi 0,1 \ x Q f x x Q        Khi đó, ta có          , 1 x 0,1 +0 x 0,1 \ 1 x 0 0 x 1 0. a b f x d Q Q        Cùng một hàm đơn giản f x có thể biểu diễn dưới dạng    1 i n i A i f x x      theo nhiều cách, chẳng hạn      1 1 .i j n s i A j B i j f x x x          Dễ thấy rằng giá trị của tích phân không phụ thuộc vào cách biểu diễn. Thật vậy   11 ,s s jji i i j i jA A A A B A B      trong đó các tậpi jA B rời nhau, cho nên      1 1 1 1 1 = . n n s i i i i j i i j n s i i j i j A A B A B                        Tương tự    1 1 1 . s s n j i i j i j j i A B A           Nhưng nếui jA B   thìi i   vì khi đó, gọiox là một phần tử củai jA B ta có       0 0 0 0, .i i j jf x do x A f x do x B      Do đó 27    1 1 . n s i i j j i j A B         Vậy tích phân của một hàm đơn giản không âm bao giờ cũng được xác định một cách duy nhất. Từ đây, ta sẽ dùng kí hiệuA f thay cho  , A f x d  khi không sợ nhầm lẫn. Tính chất sau đây hiển nhiên: Nếu hai hàm đơn giản, 0f g  vàf g trên tập A thì. A A f g  Vả lại ta có: Bổ đề 2.6. Nếu hai dãy hàm đơn giản, 0,n nf g  đơn điệu tăng, tức là       1 2 1 2...; g ...f x f x x g x    và nếu   lim lim ,n n n n f g    thìlim lim .n n n n A A f g     Thật vậy, giả sử trước hết rằng giới hạnf củanf là một hàm đơn giản:    1 .i n i A i f x x      Ta hãy chứng minh rằng. n A A f f  Chọn một số t bất kỳ trong khoảng 0,1 và cho  , : .i n i n iA x A f x t    Vì1n nf f  nên, , 1.i n i nA A  Hơn nữa ta có1 ,ni i nA A   , vì nếuix A thì  .if x  Do đó với n đủ lớn n if x t  tức,i nx A . Vậy   ,lim .i i n n A A     Đặt   , 1 ,i n n n i A i x t x       ta có,n nf f    cho nên.n n A A A f f      Nhưng khin      , 1 1 . n n n i i n i i i iA A t A t A t f             28 Vậylim . n n A A A t f f f      Cho1,t  ta được. n A A f f  Bây giờ, tạm cố định một số tự nhiên m, ta đặt min ,g .n n mh f Dĩ nhiênnh cũng là hàm đơn giản và0.nh  Vì, lim ,n n m n f g g   nên  .n mh g khi n   Vậy theo trên.n m A A h g  Nhưng vìn nh f nên,n n A A h f  và chon   , ta cólim ,m n n A A g f    rồi chom   ta lại đượclim lim .m n m n A A g f     Bằng cách tương tự ta chứng minh đượclim lim .n m n m A A f g     Vậylim lim .n m n m A A f g     Haylim lim .n n n n A A f g     2.2.2. Tích phân các hàm đo được bất kỳ Định lý 2.15. Mỗi hàm số f x đo được trên một tập A là giới hạn của một dãy hàm đơn giản  :nf x   lim .n n n f x f x   Nếu  0f x  với mọix A thì có thể chọn cácnf để cho     10; , , .n n nf x f x f x n x A     Chứng minh. Bằng cách đặt  0f x  với mọix A ta có thể coi như f x xác định và đo được trên toàn không gian X. Giả sử trước hết  0f x  . Ta đặt        , 1 1 1, 2,..., 2 . 2 2 2 n n n n n n khi f x n f x i i i khi f x i n             Rõ ràng nf x là hàm số đơn giản và     10; , .n n nf x f x f x n   29 Ta đi chứng minh   lim . n n f x f x   Nếu f x   thì với n đủ lớn  ,f x n cho nên tồn tại, 1, 2,..., 2n i i n sao cho:  1 , 2 2n n i i f x    do đó  1 , 2 n n i f x   Suy ra    1 0 . 2 n n f x f x khi n     Nếu f x   thì , ,n f x n  cho nên  .nf x n   Vậy trong mọi trường hợp:   .nf x f x Bây giờ giả sử f x bất kỳ. Đặt         max ;0 , max ;0 ,f x f x f x f x     ta có     f x f x f x    và các hàm số   ,f x f x  đều không âm, cho nên theo trên, có hai dãy hàm đơn giản nf x và nf x hội tụ tới f x và f x . Đương nhiên mỗi hàm số     n n nf x f x f x    cũng đơn giản vì cũng đo được và chỉ lấy một số hữu hạn giá trị, và   lim .nf x f x Ta lần lượt xét trường hợp các hàm số không âm và các hàm số có dấu thay đổi. I....

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

- -

TRẦN THỊ DIỆU SƯƠNG

TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 05 năm 2019

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN

ThS TRẦN NGỌC QUỐC MSCB: 1251

Quảng Nam, tháng 05 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình, ngoài sự nổ lực của bản thân, em còn nhận được sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trường đại học Quảng Nam nói chung và thầy cô khoa Toán nói riêng, cùng với sự động viên của gia đình và bạn bè

Em xin cảm ơn sự giảng dạy tận tình, sự dìu dắt và quan tâm của tất cả thầy cô trường đại học Quảng Nam, các thầy cô khoa Toán trong suốt thời gian 4 năm em học tập tại trường

Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Ngọc Quốc, người đã

hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn sắp xếp công việc để có thể chỉ dẫn, định hướng cho em, giúp em hoàn thành thật tốt khóa luận của mình Em xin chúc thầy luôn mạnh khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người

Cuối cùng, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận

Tác giả

Trần Thị Diệu Sương

MỤC LỤC

Phần 1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục tiêu của đề tài 1

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

1.5 Đóng góp của đề tài 2

1.6 Cấu trúc đề tài 2

Phần 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Không gian mêtric và sự hội tụ 3

1.2 Không gian compact 4

1.3 Hội tụ từng điểm và hội tụ đều 5

Chương 2: TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 6

2.1 Tích phân Riemann 6

2.1.1 Định nghĩa tích phân Riemann 6

2.1.2 Tính chất của tích phân Riemann: 12

2.1.3 Giới hạn dưới dấu tích phân 17

2.1.4 Sự hạn chế của tích phân Riemann 19

2.2 Tích phân Lebesgue 25

2.2.1 Tích phân các hàm đơn giản 26

2.2.2 Tích phân các hàm đo được bất kỳ 28

2.2.3 Các tính chất sơ cấp 30

2.3 Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue 35

2.3.1 Giới hạn dưới dấu tích phân 35

2.3.2 Tích phân và đạo hàm trong 39

Chương 3: ĐỘ ĐO RADON 46

Phần 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là Giải tích là một trong những phân ngành của Toán học, có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay Bộ môn Giải tích nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phần lớn người học thường gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến tích phân nói riêng

Tích phân có ứng dụng trong rất nhiều bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, tính diện tích hay thể tích các vật thể phức tạp… Bên cạnh đó, trên cơ sở tích phân Riemann và tích phân Lesbegue, người ta xây dựng được độ đo Radon, ứng dụng độ do Radon để nghiên cứu nhiều chuyên đề lý thuyết trong giải tích

Với mong muốn được tiếp cận nhiều hơn với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời tìm hiểu sâu sắc hơn về các ứng dụng của tích phân, dưới sự định hướng của thầy giáo,

ThS Trần Ngọc Quốc, tôi quyết định chọn đề tài: “Tích phân Riemann, tích phân

Lebesgue và độ đo Radon” cho khóa luận tốt nghiệp của mình

Với đề tài này, tôi sẽ cung cấp lý thuyết cơ sở về tích phân Riemann, tích phân Lebesgue, mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue, độ đo Radon, ứng dụng tích phân Radon vào nghiên cứu một số chuyên đề lý thuyết Tôi hi vọng đây sẽ là một nguồn tư liệu tốt cho bạn đọc nói chung và sinh viên Trường Đại học Quảng Nam, sinh viên chuyên ngành Toán nói riêng

1.2 Mục tiêu của đề tài

- Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của tích phân Riemann; - Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của tích phân Lebesgue;

- Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của đọ đo Radon và một vài ứng dụng

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a Đối tượng

- Tích phân Riemann, tích phân Lebesgue và mối quan hệ giữa chúng;

- Độ đo Radon và một số kết quả

b Phạm vi

- Bộ môn Giải tích

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài nghiên cứu này, tôi sử dụng các phương pháp: 1 Tham khảo tài liệu có sẵn;

2 Phương pháp nghiên cứu lí luận;

3 Phương pháp tham khảo ý kiến chuyên gia; 4 Phương pháp phân tích;

5 Phương pháp tổng hợp; 6 Phương pháp khái quát hóa; 7 Phương pháp kiểm tra

1.5 Đóng góp của đề tài

Tôi mong muốn đề tài sẽ là nguồn tư liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc nói chung và sinh viên Trường Đại học Quảng Nam, sinh viên ngành Toán nói riêng khi tìm hiểu các vấn đề liên quan đến tích phân Riemann, tích phân Lebesgue, độ đo Radon và mối quan hệ giữa chúng

1.6 Cấu trúc đề tài

Đề tài gồm 2 chương:

- Chương 1: Kiến thức cơ sở

- Chương 2: Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue - Chương 3: Độ đo Radon

Phần 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian mêtric và sự hội tụ

Định nghĩa 1.1. Cho X là tập hợp khác rỗng Hàm số d X: x X được gọi là

khoảng cách (hay mêtric) trên X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

i) ( , ) 0,d x y  với mọi x,yX.( , ) 0,

d x y  khi và chỉ khi xy.

ii) ( , )d x y d y x( , ), với mọi x,yX (tính đối xứng)

iii) ( , )d x y d x z( , )d y z( , ),với mọi x,y,zX (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó, tập hợp X cùng với mêtric d được gọi là một không gian mêtric và kí hiệu

( , ).X d

Nếu mêtric d được xác định một cách rõ ràng thì ta sẽ kí hiệu đơn giản X thay cho kí hiệu không gian mêtric (X,d)

Định nghĩa 1.2 (Không gian mêtric con)

Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric và Y là một tập con khác rỗng của X Nếu xét thu hẹp d' của hàm d lên tập Y x Y(nghĩa là d'dY x Y ) thì hiển nhiên d' là một mêtric trên Y Ta gọi d' là mêtric cảm sinh bởi d lên Y Với mêtric cảm sinh này,

( , ')Y d được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric ( , ).X d

Định nghĩa 1.3 Giả sử X là một không gian mêtric và  xn là dãy trong X Ta nói dãy  xn hội tụ đến điểm xX nếu lim ( , )n 0.

  Lúc đó, ta viết:

xn  hay limxn x.

Điểm x được gọi là giới hạn của dãy  xn

Nhận xét 1.1 Nếu một dãy  xn hội tụ đến x thì mọi dãy con  xnk của  xn cũng hội tụ đến x.

Tính chất 1.1 Cho X là không gian mêtric và  xn , yn là các dãy trong X Ta có các tính chất sau

i) Giới hạn của một dãy điểm (nếu tồn tại) là duy nhất Nghĩa là, nếu xn x và xn x' thì xx'.

ii) Nếu xn x và yn y thì d(xn,yn)d(x,y).

Ví dụ 1.1

(1) Trong không gian k, sự hội tụ của dãy  ()()

Vậy, sự hội tụ trong k

là hội tụ theo tọa độ

(2) Trong [ , ]a b , sự hội tụ của dãy xn(t) tới x(t) có nghĩa là

 xntxt

Vậy, sự hội tụ trong [ , ]a b chính là sự hội tụ đều trong giải tích cổ điển

Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy) Cho X là không gian mêtric

Dãy điểm  xn  X được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi p ,

(xnxnp 

Định nghĩa 1.5 Một không gian mêtric Xđược gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu

mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.2 Không gian mêtric [ , ]a b với mêtric ( , ) max ( ) ( ) ,

a t b

 

gian mêtric đầy đủ

Định lý 1.1 Cho X là một không gian mêtric đầy đủ và Y là tập con đóng, khác rỗng của X. Khi đó, không gian mêtric con Y cũng là không gian mêtric đầy đủ

1.2 Không gian compact Định nghĩa 1.6 (Tập compact)

Một tập M trong không gian mêtric X được gọi là compact nếu mọi dãy  xn M đều có chứa một dãy con  xnk hội tụ tới một điểm thuộc M.

Định lý 1.3 (Hausdorff)

Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn Ngược lại một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian mêtric đủ thì compact

Hệ quả 1.1

(i) Mọi tập compact đều bị chặn

(ii) Một tập con đóng của một tập compact là compact

(iii) Đối với các tập đóng trong k, các khái niệm: bị chặn, hoàn toàn bị chặn, compact tương đương nhau

Định lý 1.4 (Heine - Borel)

Một tập M là compact khi và chỉ khi mọi họ tập mở  G phủ lên M: G M,

đều có chứa một họ con hữu hạn: 1, 2,

Định nghĩa 1.7 (Không gian compact)

Một không gian mêtric Xđược gọi là không gian compact nếu nó là một tập compact

trong chính nó, nghĩa là mọi dãy  xn trong X đều chứa một dãy con hội tụ

Hệ quả 1.2 Một không gian mêtric X là compact khi và chỉ khi mọi họ tập đóng,

 F , trong X mà có giao rỗng: F  , thì đều chứa một họ con hữu hạn:

Một không gian mêtric X gọi là tách được (hay khả ly) nếu có một tập đếm được trù

mật trong X

Định lý 1.5 Mọi không gian mêtric compact là đủ và tách được

1.3 Hội tụ từng điểm và hội tụ đều

Định nghĩa 1.8 Xét fn:S, ta nói chuỗi  fn hội tụ từng điểm đến f S: nếu

Định nghĩa 1.9 (Hội tụ đều)

Xét fn:S, ta nói chuỗi  fn hội tụ đều đến f S: nếu   0, n0 sao cho  nn0, ta có

Định nghĩa 1.11 Xét hàm bị chặn f S: fn được gọi là hội tụ đều Cauchy nếu

với mọi  0, tồn tại n, sao cho m k,n0, ta có

f  f 

Chương 2: TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE

Tích phân Riemann là một trong những tích phân cơ bản nhất, bởi lẽ một hàm đã khả tích Riemann thì sẽ khả tích theo mọi nghĩa khác và khi ấy các giá trị tích phân là bằng nhau Nhưng cũng chính vì tích phân Riemann là tích phân cơ bản nhất nên còn nhiều hạn chế Trong phần này, chúng ta cùng định nghĩa lại tích phân Riemann, các tính chất cơ bản và phân tích một vài hạn chế

Định nghĩa 2.2 Cho P P,  là hai phép phân hoạch trên cùng đoạn  a b, Khi đó

P P nếu P chứa tất cả các điểm chia của P.

Định nghĩa 2.3 ( Tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới)

Cho Plà một phép phân hoạch của  a b, Ta đặt   xixixi1 và

minff xxxxMsup f xxxx

Khi đó, U   f , L f được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f

tương ứng phép phân hoạch P

Hình 1 Tổng Darboux trên của f

tương ứng phép phân hoạch P

Định nghĩa 2.4 ( Tích phân Riemann)

Chof xác định, bị chặn trên đoạn  a b, và U    f , L f lần lượt là tổng Darboux trên và dưới của hàm số f tương ứng phép phân hoạch P

Hàm số fđược gọi là khả tích Riemann nếu

được gọi là tổng tích phân Riemann

Nhận xét 2.1 Vì zixi1,xi là bất kỳ nên ta có vô số tổng tích phân Riemann trên  a b, tương ứng P

Bổ đề 2.1 Cho f : a b,  là hàm bị chặn và P P,  là hai phép phân hoạch trên



Định lý 2.3 Chofđóng và bị chặn trên  a b, Khi đó,flà khả tích Riemann trên

 a b, khi chỉ khi  I sao cho  

a b

Từ bổ đề 1, ta có L f  là dãy tăng, U f  là dãy giảm

Khi đó, ta có L  f  là dãy tăng và bị chặn trên bởi I, U f  là dãy giảm và bị

chặn dưới bởi I

Theo tính chất Infimum, Supremum, ta có kết quả

Định nghĩa 2.6 (Hàm đơn điệu)

Cho hàm số f : a b,, fđược gọi là tăng nếu

Hàm số f : a b, được gọi là hàm đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm

Định lý 2.4 Nếu f : a b,  là đơn điệu thì f khả tích

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh định lý này trong trường hợp f là hàm tăng, trường hợpf là hàm giảm chứng minh tương tự

Từf là hàm tăng, ta có f a  f x  f b , x  a b, Do đó f bị chặn trên  a b, bởi

 .

f b

Để f  a b, , ta chứng minh  0, ta chọn được phép phân hoạch P thỏa đường kính  0 sao cho U  f L f  (Theo tiêu chuẩn Cauchy về tổng trên và tổng dưới)

Thật vậy, với mọi  0, chọn phép phân hoạch P có đường kính  thỏa

 

bf a

Vậy    e 0,  0 sao cho U f L  f e. Hay f  a b,

Định lý 2.5 Nếu f : a b,  là liên tục thì f khả tích

Chứng minh

Với  a b, là tập đóng, f là hàm số liên tục đều trên  a b, ; vì vậy, với mọi  0, ta có thể chọn  0 sao cho

Gọi P là phép phân hoạch bất kỳ trên đoạn  a b, Vì f liên tục nên ta có thể thay thế

inf và sup bởi min và max trong định nghĩa mi và Mi, khi đó với mọi i1, ,n

.

b ae

b ae

b ab ae

Vậy f  a b,

2.1.2 Tính chất của tích phân Riemann:

Trong phần này, để việc trình bày đơn giản và gọn gàng, ta sẽ kí hiệu  f thay cho.

LfIUfLgIUg

Với mọi  0, tồn tại P1 sao cho

  

2ggILgUgI Chọn 12.P P P Khi đó, ta có         12122 2

2 2 .

fgfgIIII               Do đó 

Nhận xét 2.2 f g, : a b,  thỏa f g khả tích Riemann Ta không thể khẳng

định f và g cùng khả tích Riemann Thật vậy, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.2 Cho f g, : 0,1  được định nghĩa

  

Suy ra

L f g U f g

Hay f g là hàm khả tích trên đoạn  0,1

Mặt khác, với P là phép phân hoạch bất kỳ trên đoạn  a b, Ta có

U fgU fU gL fgL fL g

Hay f và g là các hàm không khả tích trên đoạn  0,1

Vậy f g khả tích Riemann ta không thể khẳng định f và g cùng khả tích Riemann

iia b

Tương tự ta chứng minh được f khả tích trên đoạn  c b,

Ngược lại, nếu f khả tích trên đoạn  a c, và  c b, , khi đó có hai phép phân hoạch Q, R lần lượt trên đoạn  a c, và  c b, sao cho

Cuối cùng, với phép phân hoạch P Q R, , như trên, ta có

2.1.3 Giới hạn dưới dấu tích phân

Định lý 2.10 Nếu  fn là chuỗi hàm liên tục trên S hội tụ đều đến hàm f xác định trên S thì f là hàm liên tục

Chứng minh

Cho x a b, là điểm bất động,  xn là chuỗi trên  a b, hội tụ đến x. Với mọi  0,

khi fk hội tụ đều về f , ta có k sao cho

333

f xf xf xfxfxfxfxf xf xfxfxfxxf x

   

   

Vì vậy f x m  hội tụ đều về f x  và f liên tục tại mọi x a b,

Từ Định lý 2.10, ta thấy rằng nếu  fn là chuỗi hàm liên tục trên S hội tụ đều đến

hàm f xác định trên S thì f là hàm liên tục Nhưng nếu chuỗi hàm  fn là hội tụ từng điểm thì điều này là không đúng

Thật vậy, ta xét ví dụ sau

Ví dụ 2.3 Cho fn: 0,1  cho bởi

0 0,1: 0,

10

khi xfxn n xkhix

nkhi x



Hình 2 Đồ thị của fn x . Ta thấy rằng fn là khả tích Riemann vì liên tục trên 0,1 và

lim

lim222

11 1.



1

 hội tụ về b

2.1.4 Sự hạn chế của tích phân Riemann

Từ định nghĩa tích phân Riemann, ta thấy rằng kỹ thuật tính toán là vô cùng phức tạp, đặc biệt là việc so sánh U  f và L  f

Vì vậy hai nhà toán học Newton là Lebniz đã cùng đưa ra một giải pháp tuyệt vời để tính tích phân Riemann

Sff zxxF zxx

F xF xF xF xF bF a

Suy ra

 0

Nhận xét 2.3 Định lý rất hữu dụng nhưng chỉ tính toán được với những hàm số có

nguyên hàm, tức là phải tồn tại Fsao cho '

F  f Ví dụ với hàm số   2

x

chúng ta không thể tìm được hàm F x  Câu hỏi đặt ra trong trường hợp tổng quát, những hàm số nào có thể tính được tích phân Riemann? Chúng ta cùng tìm hiểu những hạn chế của tích phân Riemann và đến với định lý Lebesgue

Xét và V là một lân cận bất kỳ của Khi đó, đại lượng

được gọi là dao động của hàm số trong V

Ta thấy rằng khi thì giảm dần và bị chặn dưới bởi 0 nhưng V vẫn luôn

chứa là tâm Vì vậy, tồn tại

Giá trị được gọi là dao động của hàm số tại

Bổ đề 2.3 Hàm số f x  liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi f  x0 0

Thật vậy, nếu f x  liên tục tại điểm x0 thì với mọi  0 cho trước có tồn tại một lân

cận V của x0 sao cho

Mặt khác vì  đóng nên x0

Bổ đề 2.5 Cho một tập đóng Q . Nếu f  x   , x Q thì có một số  0 (chỉ phụ thuộc  ) sao cho trong mọi hình cầu V Q với đường kính nhỏ hơn  ta đều có

Thật vậy, mỗi điểm xQ có một lân cận Vx sao cho f  V  Gọi Wx là lân của x

có bán kính bằng một nửa bán kính Vx Lớp các hình cầu Wx phủ lên tập Q, mà Q là đóng và bị chặn cho nên theo định lý Heine - Borel, có thể trích ra một số hữu hạn hình cầu W , W , , W1 2

xxx vẫn phủ được Q Cho  là bán kính nhỏ nhất của các hình cầu này Nếu một hình cầu V Q có đường kính nhỏ hơn  thì nó phải có điểm chung với một W

Độ đo nói đây là độ đo Lebesgue trong k.

i a bao giờ cũng bằng 0) Mỗi điểm xAn\B phải là điểm trong của một đoạn

và

 

Song vì mỗi đoạn '

  cho nên jh 1.

  Do đó

 

Chứng tỏ

"" Ngược lại, giả sử  A 0, tức là  A 0 với mọi n. Cho trước một số  0tùy ý Ta lấy một tập An với n đủ lớn để 1

n  Vì An có độ đo 0 nên có thể phủ được bằng một họ khoảng (mở) có thể tích tổng cộng nhỏ hơn

và vì An bị chặn và đóng nên trong họ đó có một số hữu hạn khoảng: D D1, 2, ,Dm cũng phủ được An Bây giờ xét phép phân hoạch  bất kỳ chia đoạn  thành các đoạn nhỏ  1, 2, s Ta có

Ta hãy ước lượng riêng mỗi tổng 1và 2:

a) Ta có thể chọn 1 0 đủ nhỏ để cho nếu  1 thì các đoạn j có điểm chung với các khoảng D D1, 2, ,Dm có thể tính tổng cộng nhỏ hơn

 và do đó nhỏ hơn

2 2 

   

  Khi đó, gọi K là lân cận trên của f x  trong  ta sẽ có

  tại mọi xQ.

Vậy theo bổ đề 3 có thể tìm được 2 0 đủ nhỏ để cho nếu   2 thì i 1

  với mọi

đoạn  jQ. Khi đó

gọi là độ đo Peano - Jordan của tập A

Nhận xét 2.4 Dĩ nhiên tập các điểm gián đoạn của hàm số A xchính là biên của tập A, cho nên theo Định lý 2.14 (Định lý Lebesgue):

Một tập bị chặn A là đo được P J . khi và chỉ khi biên của nó có độ đo Lebesgue bằng 0

Chẳng hạn tập các điểm hữu tỉ trong đoạn  0,1 không đo được P J . vì biên của nó là toàn đoạn  0,1 và do đó có có độ đo 1 0.

Bây giờ, cho tập A đo được P J . và một hàm số f x  bị chặn trên A Ta xác định hàm số f x  f x  trên A và f x 0 ngoài A Nếu f x  khả tích Riemann trên một đoạn  A thì f x  gọi là khả tích Riemann trên tập A, và ta định nghĩa ích phân của f x  trên A là số

2) Biên của A có độ đo Lebesgue bằng 0;

3) Tập các điểm trong của A tại đó f x  gián đoạn có độ đo Lebesgue bằng 0

Nhận xét 2.5 Ta thấy rằng tích phân Riemann chỉ áp dụng cho một lớp hàm số tương

đối hẹp, bao gồm những hàm số mà tập các điểm gián đoạn có thể "bỏ qua được" (có độ đo 0) Còn các hàm số đo được tổng quát thì nói chung có thể không khả tích

Riemann Ngay hàm số Dirichlet cũng không khả tích Riemann, vì với mọi phân hoạch

 ta đều có L f 0, U f 1. Đó là một sự hạn chế đáng kể của khái niệm tích phân Riemann, vì trong toán học hiện đại (lý thuyết và ứng dụng) rất thường gặp những hàm số gián đoạn đòi hỏi phải lấy tích phân theo một nghĩa nào đó

Nhược điểm của tich phân Riemann bộc lộ rõ nhất trong những vấn đề qua giới hạn: nói chung dùng tích phân Riemann thì phép toán này phải thận trọng vì không phải luôn luôn thực hiện được Chẳng hạn, trong không gian  La b, , gồm các hàm số liên tục x t  trên đoạn  a b, với mêtric

Ngoài ra còn một vấn đề nữa mà tích phân Riemann không đủ để giải quyết, là việc tìm lại một hàm liên tục F x  mà ta đã biết đạo hàm '  

F x  f x của nó (đây là nói hàm số một biến trên đoạn  a b, : nếu f x  khả tích Riemann thì ta biết rằng

Để khắc phục tất cả các nhược điểm đó, cần phải xây dựng một khái niệm tích phân

tổng quát hơn tích phân Riemann

2.2 Tích phân Lebesgue

Phân tích cách xây dựng tích phân Riemann ta thấy rằng trong quá trình chia nhỏ đoạn  a b, , muốn cho L  f U f dần về 0 thì Mimi cũng phải dần về 0, tức là dao động  f  xi dần về 0 Do đó, từ Định lý 2.8, muốn tích phân của hàm số tồn tại thì f phải liên tục hầu khắp nơi trên  a b,

Đó là lí do cơ bản giải thích tại sao tích phân Riemann không thể áp dụng cho những hàm số quá ư gián đoạn Cụ thể như hàm số Dirichlet f xác định trên đoạn  0,1

được định nghĩa

 

1 khi 0,1.0 khi 0,1 \

Để vượt qua hạn chế này, Lebesgue đề ra ý kiến độc đáo là thay vì chia nhỏ đoạn

 a b, và nhóm các điểm gần nhau thì ta nhóm các điểm mà tại đấy, giá trị của hàm số gần nhau Nghĩa là ta không chia  a b, thành các đoạn i nhỏ, mà ta chia  a b, thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm các điểm x tương ứng với giá trị f x  là xấp xỉ nhau Từ quan điểm cơ bản này, Lebesgue đã xây dựng được khái niệm tich phân rất tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bọ chặn Tích phân Lebesgue

được xây dựng bằng cách dùng các hàm đơn giản để xấp xỉ f, từ đó có thể chia  a b,

thành các tập thích hợp

2.2.1 Tích phân các hàm đơn giản

Định nghĩa 2.9 Cho f là hàm đơn giản, không âm trên đoạn  a b, , tức là

Khi đó, ta định nghĩa

 

ia b

A    AAA  B   A B trong đó các tập AiBj rời nhau, cho nên

Nếu hai hàm đơn giản f g,0 và f g trên tập A thì

  

2.2.2 Tích phân các hàm đo được bất kỳ

Định lý 2.15 Mỗi hàm số f x  đo được trên một tập A là giới hạn của một dãy hàm đơn giản fn x :

Nếu f x 0 với mọi xA thì có thể chọn các fn để cho

  0; 1  , ,

fx  f  x  fx   nxA

Chứng minh Bằng cách đặt f x 0 với mọi xA ta có thể coi như f x  xác định

và đo được trên toàn không gian X

 Suy ra

Ta lần lượt xét trường hợp các hàm số không âm và các hàm số có dấu thay đổi

I f x 0 trên tập A Theo Định lý 2.15, có một dãy hàm số đơn giản fn 0, đơn

điệu tăng và hội tụ tới f Ta gọi tích phân của f x  trên tập A đối với độ đo  là số (hữu hạn hay vô cực)

và nếu tích phân ấy hữu hạn thì ta nói f x  khả tích

Tích phân được định nghĩa như trên gọi là tích phân Lebesgue và được kí hiệu