TÓM TẮT: VỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

VỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾNVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Tập thể hướng dẫn khoa học:1 PGS TS Dương Anh Tuấn2 PGS TS Đào Trọng Quyết

Phản biện 1: GS TS Cung Thế Anh - Trường Đại học Sư phạm Hà NộiPhản biện 2: PGS TS Vũ Mạnh Tới - Trường Đại học Thủy lợi Hà NộiPhản biện 3: PGS TS Đỗ Đức Thuận - Đại học Bách khoa Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trườnghọp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu Luận án tại Thư viện Quốc Gia Hà Nộihoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thếkỉ 18 trong các công trình của những nhà toán học như Euler, D’Alembert,Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hìnhcủa Vật lý và Cơ học.

Ngày nay, sau hơn hai thế kỉ phát triển, phương trình đạo hàm riêngđược sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực để mô hình hóa nhiều bài toán trongVật lý, Cơ học, Hóa học, Sinh học, Kinh tế học Do tính phức tạp của cácbài toán thực tế, mô hình được thiết lập thường là các phương trình đạohàm riêng phi tuyến Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất định tính củanghiệm của các lớp phương trình này là một trong những chủ đề chính củagiải tích toán học theo hướng ứng dụng.

Một hướng nghiên cứu thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trongnhững năm gần đây là xem xét các điều kiện tồn tại hoặc không tồn tạinghiệm thông qua các định lí kiểu Liouville Chúng đóng vai trò cơ bản vàđược xem là nền tảng để tiếp cận đến những hiểu biết sâu sắc về cấu trúctập nghiệm của các bài toán giá trị biên Các định lí kiểu Liouville đưađến nhiều hệ quả và ứng dụng đặc biệt quan trọng, chẳng hạn như: ướclượng tiên nghiệm cho bài toán Dirichlet, các ước lượng kì dị và phân rã,định lí kiểu Liouville trên nửa không gian, ước lượng phổ quát, bất đẳngthức kiểu Harnack, tốc độ bùng nổ ban đầu và tốc độ phân rã theo thờigian của bài toán parabolic .

Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình

ut − ∆um = up trong RN × R (1)và hệ phương trình

ut − ∆um = vp

vt − ∆vm = uq trong RN × R, (2)trong đó p, q > m > 1.

Mục tiêu chính của chúng tôi là thiết lập điều kiện không tồn tại nghiệmkhông tầm thường đối với (1) và (2) Trong những năm gần đây, tính chấtLiouville đã được xem như một trong những công cụ mạnh trong việcnghiên cứu tính chất định tính đối với phương trình phi tuyến Các địnhlý kiểu Liouville đưa đến một loạt các kết quả, ví dụ như: ước lượng tiênnghiệm; ước lượng kỳ dị và phân rã, ước lượng phổ quát.

Phân loại nghiệm trên dương của (1) và (2) trong trường hợp ellipticđã được chứng minh Amstrong-Sirakov (2011) Chính xác hơn, mô hìnhelliptic của (2) là hệ Lane-Emden

.Đặc biệt, khi p = q, hệ Lane-Emden

không có nghiệm trên dương khi và chỉ khi N − 2 ≤ p/m−12 Mặt khác,sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương đối với phương trình (4) đãđược thiết lập trong Gidas-Spruck (1981) với số mũ tới hạn pc(N ) = N +2N −2.Tuy nhiên, vấn đề tương tự đối với hệ Lane-Emden (3) vẫn chưa được giảiquyết hoàn toàn Nó được gọi là giả thuyết Lane-Emden: Hệ (3) không cónghiệm dương khi và chỉ khi

p/m + 1 +

q/m + 1 > 1 −2N.

Giả thuyết này đã được chứng minh trong trường hợp số chiều thấp N ≤ 4,xem Souplet (2009) Giả thuyết vẫn chưa chứng minh được trong trườnghợp N ≥ 5.

Đối với mô hình parabol (1) trong trường hợp nửa tuyến tính khi m = 1,chúng ta đã có kết quả Fujita nổi tiếng về sự không tồn tại nghiệm khôngâm không tầm thường trong RN × (0, ∞) trong trường hợp 1 < p ≤ N +2N ,xem Fujita (1966) Trong trường hợp p > N +2N , bài toán (1) đã được giải

quyết, ở đó một nghiệm trên không âm có dạngu(x, t) =

kt−p−11 e−γ1+|x|2t nếu t > 0, x ∈ RN

(5)với k, γ được chọn thích hợp.

Với hệ (2) khi m = 1, trong Duong-Phan (2021) các tác giả đã chứngminh kết quả tồn tại và không tồn tại nghiệm trên không âm và nghiệmtrên dương Trong Duong-Phan (2021), các tác giả đã chỉ ra rằng hệ (2)khi m = 1 không có nghiệm trên không âm khi và chỉ khi

p, q > 0, pq > 1 và max 2(p + 1)pq − 1 ,

2(q + 1)pq − 1

Tiếp theo, chúng ta xét các bài toán (1) and (2) trong trường hợp m > 1.Đối với các nghiệm trong RN × (0, T ) của các phương trình kiểu (1), mộtsố kết quả về tính giải được địa phương đã được nghiên cứu Người ta đãchỉ ra rằng khi p ≤ m + N2 , nghiệm u của (1) trong RN × (0, +∞) với điềukiện ban đầu u0 ̸≡ 0 liên tục, bị chặn không tồn tại toàn cục và bùng nổtrong một thời gian hữu hạn, tức là tồn tại T > 0 sao cho

Kiểu ước lượng này sau đó đã được chứng minh trong Ammar-Souplet(2011) cho p lớn, tức là p < p0(m, N ) với p0(m, N ) được tính toán cụ thểthỏa mãn

m + 2

N < mp0(m, N ) < mpS với N ≥ 2.

Ở đây, pS là số mũ Sobolev Trên thực tế, tác giả cho thấy rằng phươngtrình (1) không có nghiệm yếu không âm trong toàn bộ không gian RN×Rkhi m < p < p0(m, N ) Kết quả không tồn tại này được phỏng đoán làđúng trong khoảng m < p < mpS trong Ammar-Souplet (2011) Tuynhiên, điều này vẫn chưa được chứng minh.

Dựa trên các tiến bộ gần đây về nghiên cứu phương trình xốp Souplet (2011), Vasquez (2007), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và khôngtồn tại nghiệm trên yếu không âm của các bài toán (1) và (2) trên toànbộ không gian.

Ammar-Chủ đề thứ hai trong luận án là nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổnđịnh của phương trình eliptic

−Gαu + c(z) · ∇αu = h(z)eu, z = (x, y) ∈ RN1 × RN2

= RN, (7)trong đó Gα = ∆x + (1 + α)2 |x|2α∆y, α > 0, là toán tử Grushin, hàmtrọng h(z) là liên tục Ở đây, c(z) là một trường vectơ khả vi liên tục thỏamãn

divGc = 0 và β := sup

|z|G|c (z)|

|∇α|z|G| < ∞, (8)với chuẩn Grushin

|z|G = |x|2(1+α) + (1 + α)2|y|2

và gradient Grushin

∇α = (∇x, (1 + α)|x|α∇y).Nếu α = 0, c = 0 và h = 1, bài toán (7) sẽ trở thành

Phương trình này được gọi là phương trình Gelfand.

Gần đây, phân loại nghiệm của phương trình (9) đã thu hút nhiều sựquan tâm của các nhà toán học Người ta đã chỉ ra rằng (9) không cónghiệm ổn định khi và chỉ khi N ≤ 9, Farina (2007).

Gần đây, các bài toán elliptic với hệ số bình lưu đã được nghiên cứurộng rãi Trong Cowan (2014), tác giả đã thu được một số phân loại cácnghiệm dương ổn định của phương trình

−∆u + c · ∇u = up trong RN,

trong đó c là trường vectơ tự do trơn thỏa mãn |c(x)| ≤ 1+|x|ε , ε đủ nhỏ.Các kỹ thuật được sử dụng trong Cowan (2014) bao gồm phương pháphàm thử và bất đẳng thức Hardy suy rộng.

Trong trường hợp hàm phi tuyến dạng mũ, bằng cách khai thác kỹ thuậttrong Cowan (2014), các tác giả trong Lai-Zhang (2017) đã thiết lập sựkhông tồn tại nghiệm ổn định đối với phương trình

−∆u + c · ∇u = eu trong RN (10)khi 3 ≤ N ≤ 9 và c thỏa mãn các điều kiện tương tự như trong Cowan(2014).

Với một sự giảm nhẹ về điều kiện của hệ số bình lưu, các tác giảtrong Duong-Nguyen-Nguyen (2019) đã chứng minh rằng phương trình(10) không có nghiệm ổn định khi 3 ≤ N ≤ 9 và c là trường vectơ tự dotrơn thỏa mãn |c(x)| ≤ 1+|x|ε với 0 < ε < p(N − 2)(10 − N).

Tiếp theo chúng ta xét các bài toán elliptic chứa toán tử Grushin Nhắclại rằng Gα là elliptic với x ̸= 0 và suy biến trên đa tạp {0}×RN2 Toán tửnày đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học Việc phân loại nghiệm ổnđịnh của phương trình elliptic có sử dụng toán tử Grushin phi tuyến loạilũy thừa đã được nghiên cứu trong Duong-Nguyen (2017) Đối với phươngtrình Gelfand chứa toán tử Grushin, một số kết quả không tồn tại nghiệmổn định đã được chứng minh.

Chủ đề thứ ba được nghiên cứu trong luận án là phương trình Choquardphân thứ phi tuyến

(−∆)su =

|x|N −2s ∗ up

ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là1

|x|N −2s ∗ up =Z

|x − y|N −2sdy.Trong trường hợp s = 1, phương trình (11) trở thành

−∆u =

|x|N −2 ∗ up

Phương trình trên thuộc lớp các phương trình Choquard tĩnh−∆u + V (x)u =

|x|N −2 ∗ up

Liên quan đến việc phân loại nghiệm dương của phương trình (12), Lei(2018) đã chứng minh rằng phương trình (12) không có nghiệm dương với

điều kiện 1 ≤ p < N +2N −2 Gần đây, Le (2020) đã tìm được một kết quảmạnh hơn, đó là phương trình (12) không có nghiệm dương khi N ≤ 2hoặc N ≥ 3 và −∞ < p < N +2N −2 Một trong những đóng góp trong Le(2020) là sự không tồn tại các nghiệm dương vẫn đúng với p ≤ 1 Trongtrường hợp không địa phương, tức là 0 < s < 1, sự không tồn tại cácnghiệm dương của (11) đã được chứng minh khi 1 ≤ p < N +2sN −2s.

Bên cạnh các kết quả đã được thiết lập cho phương trình Lane-Emdenhay phương trình Gelfand, việc phân loại nghiệm ổn định của phương trìnhChoquard vẫn còn khiêm tốn Chúng tôi đề cập đến một số kết quả cho(7) với s = 1, xem Lei (2018), Zhao (2018) về phân loại nghiệm ổn địnhdương và Le (2020) về phân loại nghiệm ổn định đổi dấu Kỹ thuật đượcsử dụng trong các bài báo này là sự kết hợp giữa phương pháp hàm thửvà ước lượng tích phân phi tuyết xuất phát từ ý tưởng của Farina (2007).Kết quả sau đây được chứng minh trong Lei (2018).

Định lý A Cho s = 1 và N ≥ 3 Giả sử p > 1 vàN < 6 + 4(1 +pp2 − p)

p − 1 .Khi đó, bài toán (7) không có nghiệm ổn định dương.

Hơn nữa, tính tối ưu của Định lý A cũng được chỉ ra Cụ thể, số mũJoseph-Lundgren được tính toán tường minh là

|x|N −2s ∗ up

ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là1

|x|N −2s ∗ up =Z

|x − y|N −2sdy.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

ˆ Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêngphi tuyến.

ˆPhạm vi nghiên cứu:

Nội dung 1: Thiết lập điều kiện tối ưu để phương trình/hệ phươngtrình xốp không có nghiệm trên yếu không âm không tầm thường trong RN×R:

ut − ∆um = upvà

ut − ∆um = vpvt − ∆vm = uqvới p, q > m > 1

Nội dung 2: Tìm điều kiện tốt nhất có thể để bài toán elliptic khôngcó nghiệm ổn định:

với chuẩn Grushin

|x| = |x|2(1+α) + (1 + α)2|y|2

|x|N −2s ∗ up

ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là1

|x|N −2s ∗ up =Z

|x − y|N −2sdy.

4 Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh kết quả tối ưu về sự không tồn tại nghiệm trên cho lớpphương trình parabolic, đề tài sử dụng phương pháp hàm thử và các ướclượng tích phân Ngoài ra, để chỉ ra sự tối ưu, đề tài xây dựng nghiệmtường minh trong trường hợp trên tới hạn.

Để thiết lập sự không tồn tại nghiệm của bài toán elliptic, chúng tôi sửdụng phương pháp được đề xuất bởi Farina (2007) bao gồm việc đánh giátích phân phi tuyến và ước lượng phiếm hàm năng lượng.

Để thiết lập sự không tồn tại nghiệm của phương trình Choquard phânthứ phi tuyến, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm thử và các ước lượngnăng lượng từ ý tưởng của Farina (2007).

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu thamkhảo, Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận,Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương có nội dung chính như sau:

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Đưa ra kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trênyếu không âm không tầm thường của phương trình/hệ phương trình xốpcó trọng.

Chương 3: Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổn định của phươngtrình elliptic suy biến với hệ số bình lưu.

Chương 4: Chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương của phươngtrình Choquard phân thứ phi tuyến.

Các Chương 2, 3 và 4 dựa trên các bài báo [P1], [P2] và [P3].

1.3.Toán tử Laplace phân thứ

Chương này được viết dựa trên bài báo [P1] trong danh mục công bố.

2.1.Đặt vấn đề và các kết quả chính2.1.1.Đặt vấn đề

Xét phương trình/hệ phương trình vật liệu xốp có trọng

ut − ∆um = up trong RN × R (2.1)và

ut − ∆um = vp

vt − ∆vm = uq trong RN × R, (2.2)với p, q > m > 1.

2.1.2.Kết quả về sự không tồn tại nghiệm

Định lí 2.1 Giả sử p > m > 1 Khi đó phương trình (2.1) không cónghiệm trên yếu không âm không tầm thường (nontrivial nonnegative weaksolution) trong RN × R khi và chỉ khi p ≤ mN +2N

Trong trường hợp p > mN +2N , chúng tôi sẽ xây dựng nghiệm trên yếukhông âm không tầm thường của (2.1) (Xem trong phần cuối cùng củaphần chứng minh Định lí 2.1).

Định lí 2.2 Giả sử p, q > m > 1 Hệ (2.2) không có nghiệm trên yếukhông âm không tầm thường trong RN × R khi và chỉ khi

N ≤ max

2(p + 1)

p(q + 1) − m(p + 1),

2(q + 1)

q(p + 1) − m(q + 1)

(2.3)

2.2.Chứng minh kết quả về sự không tồn tại nghiệm2.2.1.Đối với phương trình

Giả sử u là một nghiệm trên yếu không âm của (2.1) Như vậy, chúng tasuy ra rằng

upψrdxdt≤ Crκ

mp #.

updxdt = 0.Điều này là đúng khi và chỉ khi u = 0.

Phần còn lại của chứng minh được dành cho kết quả tồn tại Đối vớip > mN +2N , chúng tôi xây dựng một nghiệm trên yếu không âm không tầm

thường có dạng

u(x, t) =

2.2.2.Đối với hệ phương trình

Trong phần này, chúng tôi chia chứng minh Định lý 2.2 thành hai phần:kết quả không tồn tại và sự tồn tại nghiệm.

Bước 1 Kết quả không tồn tại

Giả sử rằng (u, v) là một nghiệm trên yếu không âm của (2.2) Chúngtôi chỉ ra

vpdxdt = 0.Do đó, v = 0 và điều này dẫn đến u = 0.

Bước 2 Tồn tại nghiệm trên

Giả sử rằng (2.3) không đúng, tức làN > max

(2.6)Chúng ta sẽ xây dựng một nghiệm trên yếu không âm không tầm thườngcủa (2.2) như sau Đầu tiên, chúng tôi đặt

u(x, t) =

ε − γ1(m−1)2m

nếu t > 0 và x ∈ RN

v(x, t) =

ε − γ2(m−1)2m

(x, t); γ1(m − 1)2m (|x|

+ 1) < ε2t

và t > 1

,tức là

χ(x, t) =(

1 trên Ω

0 trong trường hợp ngược lại

Đặt U (x, t) = u(x, t)χ(x, t) và V (x, t) = v(x, t)χ(x, t) Do đó, trên miềnΩ, ta suy ra rằng

Ut − ∆Um ≥ (γ1N − α1)ε−m−1p−1 2−m−1p V p

Vt − ∆V m ≥ (γ2N − α2)ε−m−1q−1 2−m−1p Uq . (2.7)Ta chỉ cần chọn ε đủ nhỏ sao cho

(γ1N − α1)ε−m−1p−1 2−m−1p > 1và

(γ2N − α2)ε−m−1q−1 2−m−1p > 1.

Do đó, chúng ta thu được một nghiệm trên yếu không âm không tầmthường (U, V ) của hệ khi ε đủ nhỏ.

Chương 3

Nghiệm ổn định của phương trình elliptic suy biến với số hạng bình lưu

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các phương trình elliptic liênquan đến toán tử Grushin và số hạng bình lưu là một trường vectơ trơn,tự do Chúng tôi chứng minh sự không tồn tại nghiệm ổn định của Phươngtrình dưới một số điều kiện về số chiều.

Chương này được viết dựa trên bài báo [P2] trong danh mục công bố.

3.1.Đặt vấn đề và kết quả chính3.1.1.Đặt vấn đề

Xét phương trình

−Gαu + c(z) · ∇αu = h(z)eu, z = (x, y) ∈ RN1 × RN2 = RN, (3.1)ở đó Gα = ∆x + (1 + α)2|x|2α∆y, α > 0 là toán tử Grushin, hàm trọngh(z) liên tục và c(z) là một trường véctơ khả vi liên tục cấp 1 thỏa mãn

divGc = 0 và β := sup

|z|G|c (z)|

|∇α|z|G| < ∞, (3.2)với chuẩn Grushin xác định bởi

|z|G =

|x|2(1+α) + (1 + α)2|y|2

và gradient Grushin

∇α = (∇x, (1 + α)|x|α∇y).

3.1.2.Sự không tồn tại nghiệm ổn định

Định lí 3.1 Giả sử hàm trọng h liên tục và h(z) ≥ C|z|lG với l ≥ 0 NếuNα < 10 + 4l

và điều kiện (3.2) thỏa mãn vớiβ <

(Nα − 2) 10 + 4l − Nα
,

(Nα−2)2 + 1 − t2

h(z)e(2t+1)uψR2dxdy (3.3)

≤ C  1R2

1|z|l

Chương 4

Về sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến

Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến phương trình Choquard phânthứ phi tuyến trên toàn bộ không gian RN Đầu tiên, chúng tôi chứng minhrằng Phương trình không có nghiệm dương trong trường hợp dưới tuyếntính Trong trường hợp siêu tuyến tính, chúng tôi thiết lập sự không tồntại nghiệm dương ổn định của Phương trình Kết quả này mở rộng kết quảtrong Lei (2018) đối với phương trình Choquard phân thứ.

Chương này được viết dựa trên bài báo [P3] trong danh mục công bố.

4.1.Đặt vấn đề và các kết quả chính4.1.1.Đặt vấn đề

Xét phương trình sau trên toàn bộ không gian RN(−∆)su =

|x|N −2s ∗ up

với 0 < s < 1 và p ∈ R Ở đây “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, nghĩa là1

|x|N −2s ∗ up =Z