(Luận Văn Thạc Sĩ Toán Ứng) Dụng Phương Trình Vi Phân Nhám Trên Mạng Neuron

Bà GIÁO DĀC

VÀ ĐÀO T¾O VIàN HÀN LÂM KHOA HâC VÀ CÔNG NGHà VIàT NAM

HàC VIÞN KHOA HàC VÀ CÔNG NGHÞ

Đß Minh Thắng

PH¯¡NG TRÌNH VI PHÂN NHÁM TRÊN M¾NG NEURON

LUÀN VN TH¾C SĨ TOÁN þNG DþNG

Hà Nội, Năm 2023

1.2.2 Lược ồ tương thích chấp nhận-từ chối,[3] 11

1.3 Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron 11

2 LÝ THUYẾT ƯỜNG NHÁM, CÁC TÍNH CHẤT CỦA ẶCTRƯNG CỦA ƯỜNG NHÁM 132.1 Nhóm luỹ linh tự do 13

2.1.1 ộng lực 13

2.1.2 ặc trưng của ường nhám 14

2.1.3 Các tính chất của ặc trưng của ường nhám 15

2.2 ại số Lie tN Rd
và nhóm Lie 1 + tN Rd
16

2.2.1 Nhóm 1 + tN Rd
16

2.2.2 ại số Lie trên tN Rd
và ánh xạ mũ 17

2.2.3 Cấu trúc giải tích của không gian GN(Rd) 19

3.2.2 Trường hợp ³ ∈ 14, 12
: 24

3.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 25

3.4 Hệ rời rạc iều khiển bởi ường nhám 30

4 XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NHÁM TRÊN MẠNG

Trong trường hợp dữ liệu ầu vào là các chuỗi thời gian, mục tiêu của các bàitoán mô phỏng là thiết lập ược các phương trình ược ịnh hướng bởi chuỗi dữliệu ầu vào X Do ó hệ vi phân này không có dạng của phương trình vi phânthông thường theo vi phân dt, mà là dạng phương trình vi phân theo dX, ượcgiải thông qua sử dụng lý thuyết ường nhám ây là một hướng nghiên cứurất thời sự trong khoảng 10 năm trở lại ây, với nhiều kết quả sơ khởi ứng dụngcho các dữ liệu chuỗi thời gian Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyếtường nhám và ứng dụng của nó, tôi quyết ịnh chọn ề tài "Phương trình viphân nhám trên mạng neuron" cho luận văn thạc sĩ của mình.

2 Mục ích nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là nhằm tìm hiểu tính giải ược của hệ phương trình viphân trên một mạng neuron dựa trên lý thuyết ường nhám, bài toán tồn tạiduy nhất nghiệm, và các tính chất ổn ịnh của nghiệm ồng thời luận văn cũngtìm hiểu về tính ổn ịnh của hệ rời rạc nhám.

3 Nội dung nghiên cứu

Chương 1 giới thiệu về mạng neuron và phương trình vi phân trên mạngneuron, bao gồm phương trình vi phân thường và phương trình vi phân nhám.Trong chương 2 chúng tôi tìm hiểu các khái niệm cơ bản về ường nhám, lý thuyếtvề ặc trưng của một ường nhám và một số tính chất của chúng Chương 3ịnh nghĩa nghiệm của phương trình vi phân nhám thông qua tích phân nhám,xây dựng bởi Gubinelli Ngoài ra chúng tôi cũng trình bày một số kết quả mớihệ rời rạc iều khiển bởi ường nhám và ứng dụng trong xấp xß nghiệm củaphương trình vi phân nhám ở chương này Cuối cùng ở chương 4, chúng tôi tìmhiểu về xấp xß nghiệm và giải phương trình vi phân nhám trên mạng neuronthông qua ặc trưng của ường nhám.

4 Cơ sở khoa học và thực tiễn của ề tài

Việc sử dụng các mạng lưới neuron hồi quy ể xấp xß các hệ ộng lực liên tục(ví dụ ược sinh bởi các phương trình vi phân) ã ược biết ến rộng rãi từ 30năm trước ây Mục tiêu ở ây là tìm một phương án xấp xß có dạng y = L¹(z),

ở ó z có ộng lực học tuân theo một phương trình vi phân có tham sốdz = f¹(z)dt.

với dữ kiện ầu vào z0 = H¹(z) Do hàm f¹ không cho ở dạng hiển, mục tiêu làxác ịnh ¹ thông qua việc học trên mạng neuron ể xác ịnh hàm này, hàm kếtquả sau ó ược sử dụng ể giải phương trình vi phân trên Tuy vậy, việc môphỏng bài toán cho thấy z có dạng phụ thuộc vào chuỗi dữ liệu ầu vào dạng X,ở ó X không ủ chính quy (ví dụ không ủ trơn hoặc có tính liên tục Holderthấp), các phương pháp cổ iển trên không thể áp dụng Thay vào ó, ta cầnphải xử lý và giải một bài toán có dạng

dz = f¹(z)dx.

ể giải hệ trên, ta cần ến các công cụ giải tích hiện ại là lý thuyết rough path,ược xây dựng và nghiên cứu bởi Terry Lyons và nhóm các chuyên gia hàng ầunhư Peter Friz, Martin Hairer, Massimiliano Gubinelli, và có nhiều ứng dụngrộng rãi trong giải tích ngẫu nhiên.

5 óng góp của luận văn

Luận văn nêu lại những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết ường nhám,lý thuyết phương trình vi phân nhám Luận văn cũng tìm hiểu và nêu lại ứngdụng của vi phân nhám trên mạng neuron trong việc xấp xß các hàm liên tụcthông qua ặc trưng của ường nhám Ngoài ra, luận văn cũng có những kếtquả mới như tính tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân nhám, tínhổn ịnh của hệ rời rạc iều khiển bởi ường nhám và ứng dụng trong xấp xßphương trình vi phân nhám.

Chương 1

MẠNG NEURON VÀ PHƯƠNG TRÌNH VIPHÂN TRÊN MẠNG NEURON

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại cấu trúc của mạng neuron, ược trình bàyở chương 6, [1].

1.1 Mạng neuron

Một cấu trúc của một mạng neuron ược trình bày như ở Hình 1.1 Mạngneuron bao gồm ầu vào x, các tầng ẩn x(1), x(2), và ầu ra y Một số mạngneuron còn có thêm tầng nhớ, tầng hạch, tầng xoắn, Mỗi tầng có thể có nhiềunốt và các ường nối cho thấy tầng sau ược tính toán bởi nốt nào của tầngtrước Việc quyết ịnh xem mạng neuron cần bao nhiêu tầng, mỗi tầng cần baonhiêu nốt chúng tôi sẽ không trình bày trong luận văn này mà chß ưa ra tổngquan về nó Cụ thể, số tầng và số nốt không ược quá ít vì sẽ không cho ra kếtquả khớp với dữ liệu Mặt khác nó cũng không ược quá nhiều vì sẽ dẫn tớihiện tượng overfitting Các ma trận Aj chứa các hệ số biến mỗi biến từ các tầngtrước sang tầng sau.

ối với ánh xạ tuyến tính giữa các tầng, mạng neuron sẽ ược biểu diễn nhưsau:

x(1) = A1xx(2) = A2x(1)

.

x(M −1) = AM −1x(M −2)y = AMx(M −1),

trong ó x(k) là tầng ẩn thứ k ối với ánh xạ không tuyến tính giữa các tầng,ở mỗi tầng j chúng ta sẽ dùng thêm ánh xạ tác ộng fj Cụ thể, liên kết giữacác tầng ẩn ược biểu diễn bởi

x(1) = f1(A1, x)x(2) = f2(A2, x(1))

.

x(M −1) = fM −1(AM −1, x(M −2))y = fM(AM, x(M ))

Trong mạng neuron, f sẽ ược chọn trước Các ma trận A1, , AM là tham sốcủa mạng và sẽ ược học từ dữ liệu Mội số cách chọn hàm f phổ biến:

7

Hình 1.1: Một ví dụ về cấu trúc của mạng neuron Nguồn: [1].

f (x) = x, (trường hợp tuyến tính),f (x) = 1

1 + e−x, (logistic),f (x) =

0, x f 0

1, x > 0 (bước nhị phân)f (x) =

0, x f 0,

x, x > 0 (ReLU)

Một số mạng neuron network mà chúng tôi quan tâm trong luận văn này:

Mạng neuron truyền thẳng (feedforward neural network)

Mạng neuron truyền thẳng là mạng neuron liên kết tầng ầu vào và tầngầu ra bằng cách thiết lập các liên kết giữa các ơn vị sao cho chúng khôngtạo ra một chu trình Hình 1.1 ã cho ta thấy một phiên bản của mạng neurontruyền thẳng khi thông tin ược truyền thẳng thẳng từ trái sang phải trongmạng, không sử dụng các nốt cũ.

1.1.1 Mạng neuron hồi quy (reccurent neural network)

Mạng neuron hồi quy liên kết từ ầu vào tới ầu ra bằng cách tạo nên mộtồ thị có hướng Không giống mạng neuron truyền thẳng, mạng neuron hồi quysử dụng một bộ nhớ ể lưu lại thông tin từ những bước tính toán xử lý trướcể cập nhật thông tin cho hiện tại (xem Hình 1.2).

Mạng ResNet (residual neural network)

Mạng Resnet có cấu trúc giống mạng neuron truyền thẳng Tuy nhiên trongmạng Resnet có những kết nối tắt (Hình 1.3), cho phép xuyên qua hai hay nhiều

1.1.2 Mạng ODE

Ở mạng ResNet, sự cập nhật trạng thái này giống như rời rạc hoá phươngtrình vi phân bằng phương pháp Euler Khi chúng ta thêm nhiều tầng và lấybước i nhỏ hơn thì (1.1) có thể xấp xß như sau:

dt = f (ht, t, ¹), t ∈ [0, T ]. (1.2)Cho một ầu vào, ta có thể tính toán ầu ra hT thông qua việc giải phươngtrình vi phân Mạng ODE là mạng cập nhật các tầng thông qua việc giải phươngtrình vi phân như vậy.

1.2 Phương trình vi phân trên mạng neuron

Phương trình vi phân trên mạng neuron ược dùng ể xấp xß ánh xạ liên tụcx 7→ y bằng việc học hàm f¹ và ánh xạ tuyến tính ℓ1

¹, ℓ2

¹ sao choy ≈ ℓ1¹(zT), trong ó zt = z0+

Z t0

f¹(zs)ds và z0 = ℓ2¹(x) (1.3)

1.2.1 Hàm học máy fθ, lθ(1), lθ(2)

Trong mục này chúng tôi sẽ chß ra một cách ể ước lượng tham số cho phươngtrình vi phân trên mạng neuron Xét một bài toán tối ưu hàm mất mát L quanghiệm của phương trình trên ể tối ưu L, ta cần biết gradient của L qua ¹.Bước ầu là phải tính toán ược ạo hàm của L qua các trạng thái ẩn dấu zt.Theo [1], chúng ta sẽ tính toán các ạo hàm này thông qua việc giải phươngtrình vi phân ngược như sau:

az(T ) = dLdz(T ),a¹(T ) = 0,

at(T ) = dLdT,az(t) = az(T ) −

Z tT

az(s) · ∂f

∂z(s, z(s), ¹)ds,a¹(t) = a¹(T ) −

Z tT

az(s) · ∂f

∂¹(s, z(s), ¹)ds,at(t) = at(T ) −

Z tT

az(s) · ∂f

∂s(s, z(s), ¹)ds,dL

dz(Ä ) = az(Ä ),dL

d¹ = a¹(Ä ),dL

Sau ó giải phương trình vi phân trên với nghiệm (az, a¹, at) Như vậy, việc dùngmạng ODE thay cho mạng ResNet em lại hiệu quả về bộ nhớ khi không phảilưu trữ các ại lượng trung gian.

Một số lợi ích khác của việc sử dụng mạng ODE.

• Lợi ích về mặt tính toán: Các phương pháp xấp xß có lịch sử phát triểnhơn 100 năm và dần hoàn thiện về mặt lý thuyết.

• Giải quyết về mô hình chuỗi thời gian liên tục: thay vì ở mạng ResNet chßcó thể tính toán ở từng thời iểm, mạng ODE cho phép tính toán ở cảkhoảng thời gian liên tục, thích hợp ể xử lý các dữ liệu ến ở bất kỳ thờiiểm nào.

Chúng tôi sẽ trình bày cách tiếp cận ở [2] cho việc giải số phương trình viphân trên mạng neuron Ta xét phương trình vi phân trên mạng neuron tổngquát

z(t) = z(Ä ) +Z t

f (s, z(s), ¹)ds,

với z(Ä) = l1(x, ϕ) Trong ó ϕ, ¹ là các tham số ược học, l1 là hàm tuyến tính.

1.2.2 Lược ồ tương thích chấp nhận-từ chối,[3]

Xét trường hợp giải phương trình vi phâny(t) = y(Ä ) +

Z tÄ

f (s, y(s))ds,với y(Ä) ∈ Rd.

Giả sử cho t cố ịnh ta có xấp xß by(t) ≈ y(t), và bây giờ ta muốn tìm ộ dàicủa bước i tiếp theo ∆ > 0 ể tính by(t + ∆) ≈ y(t + ∆) Chọn một ộ dài bướci, và ta tính ược một lựa chọn bycandidate(t + ∆) Ta có thể xấp xß bằng nhiềulược ồ Ở ây ta có thể chọn lược ồ Runge-Kutta Khi ó ta có thêm một ướclượng yerr ∈ Rd cho sai số của lược ồ Cụ thể, ước lượng sai số này có thể là saisố giữa lược ồ Runge-Kutta bậc 2 và bậc 4.

Lựa chọn dung sai tuyệt ối AT OL (chẳng hạn 10−9), dung sai tương ốiRT OL (ví dụ 10−6), và (nửa) chuẩn ∥ · ∥ : Rd → [0, ∞) (ví dụ chuẩn Euclid), vàước lượng kích cỡ của nghiệm bởi

SCALE = AT OL + RT OL · max(by(t), bycandidate(t + ∆)) ∈ Rd, (1.5)với max ược lấy bằng giá trị lớn nhất của từng toạ ộ Cuối cùng ta lấy tß lệsai số tính bởi

∥[at, z, az, a¹]∥ = max{∥z∥RMS, ∥az∥RMS}.với ∥ · ∥RMS là chuẩn Euclid.

1.3 Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron

iểm yếu của phương trình vi phân trên mạng neuron là nếu ¹ ược học,khi ó nghiệm của phương trình là ược xác ịnh, có thể sẽ không khớp với cácquan sát mà chúng ta thu ược sau này.

Một cách tiếp cận là thay dt bởi dXt, trong ó Xt ược quyết ịnh từ chuỗidữ liệu quan sát ược Cụ thể, giả sử ta có n quan sát (t0, x0), , (tn, xn), vớiti ∈ R, xi ∈ Rv and t0 < < tn Gọi X : [t0, tn] → Rv+1 là ường nội suy tựnhiên bậc ba ở các mốc t0, , tn Trong ó ường cong nội suy bậc ba là ường

cong bậc ba i qua tất cả các iểm dữ liệu Ta xem xét phương trình vi phânnhám trên mạng neuron

zt = zÄ +Z t

f¹(zs)dXs, t ∈ (t0, tn]zt0 = ·¹(x0, t0),

(1.7)với f¹ : Rw → Rw(v+1) là mạng neuron phụ thuộc tham số ¹ Trong ó w là thamsố chß cỡ của tầng ẩn trong mạng.

Trong chương 4, ta sẽ tìm hiểu xem nghiệm của phương trình có dạng (1.7) xấpxß các ánh xạ liên tục tốt như thế nào.

Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron ược ưa về giải phương trìnhvi phân trên mạng neuron nếu giả thiết thêm X là khả vi Cụ thể ặt

g¹,X(z, s) = f¹(z)dX

Khi ó (1.7) trở thànhzt = zt0+

Z tt0

f¹(zs)dXs = zt0+Z t

ds (s)ds = zt0+Z t

g¹,X(zs, s)ds (1.9)ây là một phương trình vi phân trên mạng neuron Bài toán ưa về ước lượngnghiệm của phương trình vi phân trên mạng neuron.

Ta thấy việc xấp xß X bởi ường cong bậc ba là không tốt do các dữ liệuquan sát có dạng nhịp tim, nhiệt ộ, biến ộng rất mạnh theo thời gian Vìvậy, ta phải có cách tiếp cận khác khi x không ủ trơn iều này thúc ẩy việcnghiên cứu lý thuyết ường nhám ể làm rõ về mặt toán học, trong chương 2chúng tôi sẽ nêu ịnh nghĩa chính xác của ường nhám, các tính chất của ặctrưng ường nhám Trong chương 3 chúng tôi sẽ ịnh nghĩa phương trình viphân nhám, tính tồn tại duy nhất của nghiệm và lược ồ ước lượng nghiệm củaphương trình vi phân nhám Cuối cùng chương 4 dùng ể trình bày sự hiệu quảcủa phương trình vi phân nhám trong xấp xß các hàm liên tục.

Chương 2

LÝ THUYẾT ƯỜNG NHÁM, CÁC TÍNH CHẤTCỦA ẶC TRƯNG CỦA ƯỜNG NHÁM

Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm hiểu và trình bày lại những khái niệm cơbản nhất của lý thuyết ường nhám, ược trình bày ở [4].

2.1 Nhóm luỹ linh tự do

2.1.1 ộng lực

Cho x là một hàm liên tục với biến phân bị chặn nhận giá trị trên Rd xit làgiá trị của x tại thời iểm t tại toạ ộ thứ i Ta xét tích phân thứ k của hàm là

gk;i1,··· ,ik :=Z t

Z uk

.Z u2

Giả sử Ã(V )(0, y0; x) là nghiệm của phương trìnhxuất phát từ y0 Gọi I là hàm ồng nhất trên Re và nhắc lại trường vectorW = W1, , We
T

: Re → Re với toán tử ạo hàm bậc nhất

Wk(y) ∂∂yk.

Khi ó khai triển Taylor cho thấy một xấp xß tới cấp N, với 0 < t − s << 1 nhưsau:

Vi1· · · ViNI (ys)Z t

Z uN

· · ·Z u2

2.1.2 ặc trưng của ường nhám

Ký hiệu C1−var([s, t], Rd) là không gian các hàm i từ [s, t] vào Rd với biếnphân bị chặn Ta có khái niệm sau:

ịnh nghĩa 2.1.1 ([4]) ặc trưng bậc N của ường cong x ∈ C1−var([s, t], Rd)ược cho bởi

SN(x)s,t ≡

dxu, ,Z

dxu1 ¹ ¹ dxuk

∈ ·Nk=0 Rd
¹k

,trong ó ¹ là ký hiệu của tích ten-xơ.

Quỹ ạo u 7→ SN(x)s,u ược gọi là một sự nâng bậc N của x.Cho hai vector

¹ Rd
¹l ∼= Rd
¹(k+l) (2.1)Giờ ta ịnh nghĩa không gian

TN Rd

:= ·Nk=0 Rd
¹k

,Ký hiệu Ãk : TN Rd

, ta có thể mở rộng (2.1) ến TN Rd

bằng cách ặtg ¹ h = X

Với các phép toán ã ược trình bày ở trên, ta có mệnh ề sau

Mệnh ề 2.1.1 ([4]) Không gian (TN(Rd), +, , ¹) là một R- ại số kết hợpvới phần tử trung hoà

1 := (1, 0, , 0) ∈ TN(Rd).Chúng ta gọi TN(Rd) là ại số cắt cụt bậc N

2.1.3 Các tính chất của ặc trưng của ường nhám

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất cơ bản của ặc trưng.Bổ ề sau cho thấy các ặc trưng thoả mãn phương trình vi phân iều khiểnbởi quỹ ạo

Mệnh ề 2.1.2 ([4]) Cho x : [0, T ] → Rd là một quỹ ạo liên tục với biến phânbị chặn Khi ó với s ∈ [0, T ) cố ịnh, SN(x)s, thoả mãn phương trình vi phâniều khiển bởi x sau:

dSN(x)s,t = SN(x)s,t ¹ dxt,SN(x)s,s = 1.

Chứng minh Chúng tôi nhắc lại chứng minh ở [4] Ta xét ặc trưng của x bậcthứ k, k g 1,

dxr1 ¹ ¹ dxrk =Z t

dxr1 ¹ ¹ dxrk−1

¹ dxrk

=Z t

Ãk−1(SN(x)s,r) ¹ dxr.Như vậy, ta có

SN(x)s,t = 1 +Z t

SN(x)s,r¹ dxr.Hiển nhiên SN(x)s,s = 1 Ta kết thúc chứng minh.

Bây giờ chúng tôi xem xét ặc trưng của hai quỹ ạo nối nhau Cho haiquỹ ạo µ ∈ C1-var [0, T ], Rd

, ¸ ∈ C1-var [T, 2T ], Rd

, ta lấy quỹ ạo nối củachúng như sau:

µ ⊔ ¸ ≡

µ(·) on [0, T ]

¸(·) − ¸(0) + µ(T ) on [T, 2T ]Khi ó kiểm tra ược µ ⊔ ¸ ∈ C1-var [0, 2T ], Rd

do từng quỹ ạo ã có biếnphân bị chặn.

ịnh lý sau của Chen cho ta biết ặc trưng của hai quỹ ạo nối nhau sẽ ượcbiểu diễn như thế nào:

ịnh lý 2.1.1 ([4]) Cho µ ∈ C1−var [0, T ], Rd

, ¸ ∈ C1−var [T, 2T ], Rd
Khió

SN(µ ⊔ ¸)0,2T = SN(µ)0,T ¹ SN(¸)T,2T.Nói một cách tương ương, x ∈ C1−var [0, T ], Rd

và 0 f s < t < u f T ta cóSN(x)s,u = SN(x)s,t¹ SN(x)t,u.

Chứng minh Chúng tôi nhắc lại chứng minh ở [4] Ta sẽ chứng minh quy nạptheo N Với N = 0, ịnh lý trở thành 1 = 1 ¹ 1 Giả sử ịnh lý úng tới N chomọi s < t < u ∈ [0, T ] Trước hết, do ịnh nghĩa của SN, ta có

SN +1(x)s,u = 1 +Z u

SN +1(x)s,r¹ dxr = 1 +Z u

SN(x)s,r¹ dxr,Tương tự

SN(x)s,t¹Z u

SN(x)t,r¹ dxr = SN +1(x)s,t ¹Z u

SN(x)t,r ¹ dxr.Sử dụng tính quy nạp ể chia SN(x)s,r với s < t < r < u, ta thu ược

SN +1(x)s,u = 1 +Z t

SN(x)s,r¹ dxr +Z u

SN(x)s,t ¹ SN(x)t,r ¹ dxr= SN +1(x)s,t + SN +1(x)s,t¹

Z ut

SN(x)t,r ¹ dxr= SN +1(x)s,t ¹ (1 + (SN +1(x)t,u− 1))

tN Rd
≡

g ∈ TN Rd

: Ã0(g) = 0 ,kéo theo

1 + tN Rd
=

g ∈ TN Rd

: Ã0(g) = 1 Chú ý rằng 1 ở ây chß phần tử trung hoà của TN(Rd).

2.2.1Nhóm 1 + tNRd

ầu tiên ta chứng minh phần tử 1 + tN Rd

là khả nghịch trong TN(Rd) ốivới phép nhân là tích ten-xơ ¹.

Bổ ề 2.2.1 ([4]) g = 1 + a ∈ 1 + tN Rd

có khả nghịch với phép nhân tíchten-xơ ¹ Ta có công thức tường minh cho phần tử nghịch ảo của nó

Chúng ta có một mệnh ề rất quan trọng sauMệnh ề 2.2.1 ([4]) Không gian 1 + tN Rd

là một nhóm Lie với phép nhântích ten-xơ ¹.

Chứng minh [4] Ta có 1 + tN Rd

là một không gian affine tuyến tính con củaTN(Rd) nên nó là một a tạp trơn, ồng phôi với tN Rd
∼= Rd+d2+ +dN

Hơnnữa từ bổ ề 2.2.1, toán tử ¹−1 là một a thức nên nó trơn Ta kết thúc chứngminh.

2.2.2ại số Lie trên tNRd

và ánh xạ mũ

Ở các mục trước, ta ã biết tN Rd
, +

là một ại số Với g, h ∈ tN Rd
,ta xét tích

(g, h) 7→ [g, h] := g ¹ h − h ¹ g ∈ tN Rd
Tích này là một ánh xạ song tuyến tính và phản ối xứng, tức

[g, h] = −[h, g], ∀g, h ∈ tN Rd
thoả mãn tính xác ịnh Jacobi, tức là

[g, [h, k]] + [h, [k, g]] + [k, [g, h]] = 0 với mọi g, h, k ∈ tN Rd
.Tổng hợp các nhận xét trên, ta ến với mệnh ề sau:

a¹kk! .

và ánh xạ logarit ược ịnh nghĩa bởi

log : 1 + tN Rd

→ tN Rd
(1 + a) 7→

¢ tN Rd

là ại số con nhỏ nhất củatN Rd

mà chứa Ã1 tN Rd

∼= Rd Cụ thể hơn,gN Rd

= Rd·

Rd, Rd

· · · · ·Rd,

¢ tN Rd

ở ịnh nghĩa 2.2.2, dưới ánh xạ mũexp gN Rd

¢ 1 + tN Rd
;3) Nhóm con exp Rd


của 1+tN Rd

sinh bởi các phần tử thuộc exp Rd
,nghĩa là

exp Rd
:=

( mO

exp (vi) : m g 1, v1, , vm ∈ Rd)

Chúng tôi phát biểu không chứng minh ịnh lý của Chow sau ịnh lý cho tathấy, một phần tử thuộc exp gN Rd

chính là một ặc trưng bậc N của mộtquỹ ạo.

ịnh lý 2.2.1 (Chow) Cho g ∈ exp gN Rd

Khi ó tồn tại v1, , vm ∈ Rdthoả mãn

= exp gN Rd

= exp Rd
và GN Rd

là một nhóm con Lie của 1 + tN Rd
, ¹

, gọi là nhóm luỹ linh tựdo bậc N trên Rd.

2.2.3 Cấu trúc giải tích của không gian GN(Rd

|dµ| : µ ∈ C1−var [0, 1], Rd

và SN(µ)0,1 = g

Trong ó C1−var [0, 1], Rd

là không gian các quỹ ạo từ [0, 1] vào Rd liên tụcvà có biến phân bị chặn ịnh nghĩa này là tốt và inf này ạt ược tại một quỹạo µ∗ nào ó Cụ thể hơn,

∥g∥ =Z 1

|dµ∗|và SN (µ∗)0,1 = g (2.3)Chứng minh [4] Từ ịnh lý của Chow, infimum ược lấy trên một tập khôngrỗng và không âm, do ó ∥g∥ < ∞ Hơn nữa, tồn tại dãy (µn) với ặc trưng gvà ta có thể giả sử

|dµ∗| =Z 1

| ˙µt∗| dt.

Chú ý rằng SN(µ) là một nghiệm của phương trình vi phân như ở mệnh ề 2.1.2,vì vậy do tính hội tụ của µn, ta cũng có

g ≡ SN (µn)0,1 → SN (µ∗)0,1.Vậy SN(µ∗)0,1 = g Mặt khác, ∥g∥ f R1

0 | ˙µt∗| dt từ ịnh nghĩa của infimum ∥g∥.

| ˙µt∗| dt = |µ∗|1−Hol;[0,1] f lim inf cn = ∥g∥.Vậy ∥g∥ = R1

0 |dµ∗| Chứng minh ược hoàn tất.

ể kết thúc mục này, chúng tôi chß rằng không gian GN(Rd) là một khônggian metric.

Mệnh ề 2.2.3 ([4]) Cho g, h ∈ GN Rd

Chuẩn Carnot-Caratheodory ∥ · ∥ cónhững tính chất sau.

1) ∥g∥ = 0 nếu và chß nếu g = 1.

2) (tính thuần nhất) ∥¶¼g∥ = |¼|∥g∥, ∀¼ ∈ R Trong ó ¶¼ : TN(Rd) →TN(Rd) sao cho Ãk(¶¼(g)) = ¼kÃk(g) Gọi ¶¼g là ánh xạ giãn nở hệ số¼ của g.

3) (tính ối xứng) ∥g∥ = −1

4) (cộng tính dưới) ∥g ¹ h∥ f ∥g∥ + ∥h∥;

Như vậy, chuẩn Carnot-Carathedory cảm sinh nên một metric trên GN Rd
,gọi là Carnot-Carathedory metric.

Chứng minh [4] Với mỗi g ∈ G ký hiệu µ∗

g = µ∗ là quỹ ạo bất kỳ ể ẳngthức ở ịnh lý 2.2.3 ược thoả mãn Nếu ∥g∥ = 0, do (2.3) nên µ∗

g có ạo hàmbằng 0 hầu khắp nơi, vì vậy g = SN µg∗

0,1 = 1 Ngược lại nếu g = 1, hiển nhiên∥g∥ = 0.

Bây giờ ta chứng minh tính thuần nhất Trường hợp ¼ = 0 là hiển nhiên nênta chß xét ¼ ̸= 0 Quỹ ạo ¼µ∗

g thoả mãn SN ¼µg∗

0,1 = ¶¼SN(µg∗) = ¶¼g Do ó∥¶¼g∥ f |¼µ∗

0,1 = 1 nênSN←−

0,1 = g−1 Ta thu ược

−1 ←−µg∗

0,1, với µ∗

g,h là quỹ

, trong ó GN Rd

là nhóm luỹ linh bậc tự do N ã ược trìnhbày ở mục trước Ở mục trước, với khoảng cách d cảm sinh bởi chuẩn CarnotCaratheodory, ta có thể ịnh nghĩa các ký hiệu

Cp−var [0, T ], GN Rd

=

x ∈ C [0, T ], GN Rd

: ∥x∥p−var;[0,T ] < ∞ Khi E = Rd, ta sử dụng chuẩn ( nửa chuẩn) biến phân bậc p thông thường, và

C1/p−Hol [0, T ], GN Rd

=

x∈ C [0, T ], GN Rd

: ∥x∥1/p−Hol;[0,T ] < ∞

2.3.2 Một số khoảng cách

ịnh nghĩa 2.3.1 ([4]) Với p g 1, cho trước x, y ∈ C [0, T ], GN Rd

ta ịnhnghĩa các khoảng cách sau

d1/p−Hol;[0,T ](x, y) := sup

d (xs,t, ys,t)|t − s|1/p ,Ngoài ra ta hiểu rằng

d0−var;[0,T ](x, y) := d0−Hol;[0,T ](x, y) := sup

d (xs,t, ys,t)d∞;[0,T ](x, y) := sup

và Cp−Hol [0, T ], GN Rd

Hơn nữa, các khônggian này ều là không gian metric ầy (xem [4], ịnh lý 8.13).

Cuối cùng ta ến với ịnh nghĩa về ường nhám.

ịnh nghĩa 2.3.2 ([4]) Ta có các ịnh nghĩa ường nhám như sau:

i) Một ường nhám bậc p (p g 1) là một quỹ ạo có biến phân bậc p bị chặnvà nhận giá trị trong nhóm luỹ linh bậc tự do [p] trên Rd Nói cách khác,nó là một phần tử thuộc Cp−var [0, T ], G[p] Rd

ii) Một ường nhám bậc 1/p-Holder là một quỹ ạo liên tục Holder cấp 1/pvà nhận giá trị thuộc nhóm luỹ linh bậc tự do cấp [p] trên Rd, nghĩa là nólà phần tử thuộc C1/p−Hol [0, T ], G[p] Rd

Ví dụ 2.3.1 Khi x = BH là một chuyển ộng Brown phân thứ 1

4 < H < 13 Tacó thể ịnh nghĩa R y¶BH theo nghĩa Skorohod như ở [30, chương 5] Sử dụngcông thức Wick-Ito [30] ta có ịnh nghĩa cho hai ại lượng sau

X(1)s,t :=Z t

Bs,uH ¶BuH = 12 B

− 12 t

2H− s2H
,X(2)s,t :=

Z ts

X1s,u¶BuH = 16 B

− 12 t

2H − s2H
Bs,tH.

Khi ó với xác suất 1, x = (x, X(1), X(2)) là một ường nhám cấp p Holder với

3 > p > H.

(H1) : f : Rd → Rd là hàm liên tục Lipschitz toàn cục với hệ số Lipschitz Lf.Nghĩa là

∥f (x) − f (y)∥ f Lf∥x − y∥, ∀x, y ∈ Rd.(H2) : g : Rd → Rd là hàm bậc nhất, nghĩa là

Chúng tôi phát biểu không chứng minh bổ ề sau, óng vai trò then chốt trongviệc xây dựng các tích phân nhám, gọi là bổ ề sewing Trong ó, chúng tôi iềuchßnh một số ký hiệu của bổ ề 4.2,[5].

23

Bổ ề 3.2.1 Ký hiệu ∆2

I := {(x, y) ∈ I2 : x f y} ¢ R2.Giả sử µ là một hàm liên tục từ ∆2

I vào không gian Banach B thoả mãn tồn tạicác hằng số K và ε > 0 sao cho

∥¶µ(a, c, b)∥ := ∥µ(a, c)+µ(c, b)−µ(a, b)∥ f K|b−a|1+ε, ∀a f c f b, (a, b, c) ∈ I3.Khi ó tồn tại duy nhất một hàm u : ∆2

yudxu − ysxs,t ³+¿∥y∥³,[s,t]∥x∥¿,[s,t],với [s, t] ¢ I = [a, b] và K(³, ¿) := 1 − 21−³−¿
−1

3.2.2 Trường hợp ³ ∈ 14,12

4, ¿
.

Cụ thể, chúng tôi nhắc lại cách xây dựng của Gubinelli cho tích phân R ydx,ược trình lại ở [6] Ta xét trường hợp x có thể nâng lên (x, X(1), X(2)) là mộtường nhám cấp p Một quỹ ạo y ∈ C³(I, R) ược gọi là iều khiển bởi

Không gian D³

(x,X1)(I) các quỹ ạo y iều khiển bởi x, X1

trở thành khônggian Banach với chuẩn

∥y∥x,2³,I := ∥ymin I∥ + ∥ymin I′ ∥ + ∥y′′min I∥ + ∥y∥x,³,I, trong ó∥y∥x,³,I := ∥y′′∥³,I + y′

2³,I + ∥Ry∥3³,I.Bây giờ cố ịnh ường nhám x và với mỗi y ∈ D³

(x,X1)(I), ta ịnh nghĩa F ∈C³ ∆2(I), R

Fs,t := ysxs,t+ y′sX1s,t + ys′′X2s,t.Khi ó sử dụng tương quan Chen, ta có

Fs,t−Fs,u−Fu,t = −Rys,uxu,t−Rys,u′ X1u,t−ys,u′′ X2u,t, ∀ min I f s f u f t f max I.Suy ra

∥Fs,t− Fs,u − Fu,t∥ f ys,uxu,t ys,u′ X1u,t s,u′′ X2u,t

f |t − s|4³

∥Ry∥3³∥x∥³+ y′

2³+ ∥y′′∥³ 2 3³.Sử dụng Bổ ề sewing 3.2.1, tích phân nhámRt

s yudxu có thể ịnh nghĩa như sauZ t

yudxu− ysxs,t + ys′X1s,t + ys′′X2s,tfC³(|I|)|t − s|4³

∥Ry∥3³∥x∥³+ y′

2³+ ∥y′′∥ ∥³∥ X2∥2³.

3.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Ta ã có ịnh nghĩa cho tích phân nhám Trong mục này chúng tôi sẽ trìnhbày kết quả mới về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân nhám.

yt =Z t

f (yt)dt +Z t

g(yt)dxt, y(a) = ya, a f t f b.Cho trước 1

p ∈ (14, ³), với y là một ánh xạ từ I2 vào Rn ta ký hiệu các nửa chuẩnsau:

|||y|||p−var,I := sup

|||x|||pp−var,I + X(1)

p/2−var,I +