(Luận Văn Thạc Sĩ Toán Ứng Dụng) Bậc Khoảng Cách Euclid Của Tập Đại Số

VÀ ẠO TẠO CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ44444444444443

Phạm Thu Thuý

BẬC KHOẢNG CÁCH EUCLIDCỦA TẬP ẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN ỨNG DỤNG

HÀ NỘI - 2023

VÀ ẠO TẠO CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ44444444444443

Phạm Thu Thuý

BẬC KHOẢNG CÁCH EUCLIDCỦA TẬP ẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN ỨNG DỤNGMã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS Nguyễn Tất Thắng

HÀ NỘI - 2023

LỜI CAM OAN

Luận văn tốt nghiệp này ược viết trên cơ sở công trình nghiên cứucủa tôi ược thực hiện tại Viện Toán học, Học Viện Khoa Học và CôngNghệ, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Tất Thắng Kết quả củaluận án không trùng với các nghiên cứu khác.

Ngoài ra, luận văn còn sử dụng một số bài nhận xét, ánh giá củacác tác giả khác có trích dẫn.

Hà Nội, tháng 6, 2023Học Viên

Phạm Thu Thuý

LỜI CẢM ƠN

ể hoàn thành luận văn và kết thúc khóa học, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới các thầy cô trong Viện Toán học, ơn vị chuyên mônthực hiện luận văn, ban Lãnh ạo, phòng ào tạo, các phòng chức năngcủa Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Côngnghệ Việt Nam ã tạo cho em iều kiện thuận lợi ể em ược học tậpdưới một môi trường học thuật nghiêm túc và hoàn thiện luận văn này.

Trong năm vừa qua, em thật hạnh phúc khi nhận ược học bổng từQuỹ VinIF của tập oàn Vingroup Em xin gửi lời cảm ơn ến Quỹ tàitrợ và sẽ luôn cố gắng hết sức mình, học tập thật tốt ể không phụ lòngnhà tài trợ ã trao tặng cho em.

ặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn ến PGS.TS NguyễnTất Thắng, người ã tận hình hướng dẫn em nghiên cứu khoa học vàgiúp em hào hứng với ề tài luận văn thạc sĩ của mình Cảm ơn thầy ãtruyền ạt những kinh nghiệm nghiên cứu và kiến thức sâu sắc của mìnhể hướng dẫn em ến một nghiên cứu thú vị và ầy ý nghĩa.

Cuối cùng con xin gửi lời cảm ơn ến gia ình và bạn bè ã luôn làchỗ dựa tinh thần vững trãi giúp con vượt qua mọi khó khăn trong cuộcsống.

Hà Nội, tháng 6, 2023Học ViênPhạm Thu Thuý

2.1 ịnh nghĩa bậc khoảng cách Euclid 212.2 Bậc khoảng cách Euclid của siêu mặt ại số 232.3 Bậc khoảng cách Euclid của tập ại số trong C3 30

MỞ ẦU

Trong bối cảnh công nghiệp hoá hiện ại hoá ngày càng phát triển,nhiều mô hình trong ngành khoa học dữ liệu hoặc kỹ thuật cơ khí ượcbiểu diễn dưới dạng một tập ại số thực dẫn ến nhu cầu giải quyết bàitoán tối ưu của hàm khoảng cách (nearest point problem) Bậc khoảngcách Euclid (EDD) là một ại lượng o ộ phức tạp của bài toán này.

Bài toán iểm gần nhất: Trong Rn cho tập ại số X và một iểm c,hãy tìm iểm c∗ của X sao cho hàm fc (hàm khoảng cách từ c ến X)ạt giá trị nhỏ nhất tại c∗.

Một cách tiếp cận vấn ề trên là tìm và kiểm tra tất cả các iểm tớihạn của fc Khi ó EDD cho ta một ại lượng ánh giá ộ phức tạp củabài toán tối ưu trên Tập ại số và ánh xạ a thức là ối tượng nghiêncứu cơ bản của hình học ại số nói riêng và của Toán học nói chung ốivới các tập ại số, chủ ề bậc khoảng cách Euclid ược nghiên cứu rộngrãi và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như thị giác máy tính, môhình hình học và thống kê ([1, 2, 3, 4, 5, 6]).

Trong lĩnh vực thị giác máy tính, bài toán "tam giác ạc" có một vaitrò quan trọng Cụ thể, ó là bài toán xác ịnh một iểm trong khônggian khi biết ảnh của nó qua hai camera với vị trí của hai camera và mộtgóc chụp cho trước Trong Toán học, ây là bài toán tìm ßnh thứ ba củamột tam giác cho trước hai ßnh và góc tại hai ßnh ó Khi thông tin thuược với ộ chính xác tuyệt ối thì ây là một vấn ề tầm thường, nhưng

trên thực tế, các pixel thu ược từ máy ảnh bị nhiễu (xem [2, 3, 4, 5, 7]).Do ó, vấn ề là tìm iểm trong không gian tương thích tối a với thôngtin thu ược từ camera ây là bài toán tối ưu hàm khoảng cách ã ềcập ở trên (bài toán iểm gần nhất) và bậc khoảng cách Euclid chính làộ phức tạp của bài toán này (ọc thêm[4]).

Với mong muốn có hiểu biết về EDD và óng góp một phần nhỏ bétrong việc giải quyết các mô hình bài toán iểm gần nhất, chúng tôi lựachọn ề tài: <Bậc khoảng cách Euclid của tập ại số=.

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu trường hợp tập ại số ượcxác ịnh bởi hai a thức và ưa ra ánh giá cho bậc khoảng cách Euclid.Ban ầu chúng tôi tìm hiểu về EDD của một siêu phẳng f = 0 ượcnhắc ến trong bài báo [8], căn cứ vào ó chúng tôi xây dựng phươngtrình Lagrange trong trường hợp của mình và chß ra rằng EDD bằngsố nghiệm của phương trình Lagrange Nhiệm vụ cuối cùng là ếm sốnghiệm của phương trình Lagrange, ở ây chúng tôi căn cứ vào các ịnhlý của Bernstein ể chứng minh rằng EDD của a tạp này xấp xß bằngthể tích trộn (MV) của các a diện Newton.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản vềánh xạ khả vi, iểm tới hạn của ánh xạ khả vi; lược ồ Newton vàthể tích trộn Ngoài ra chúng tôi nhắc lại ịnh nghĩa của tập ại sốvà tính chất giao hoành của hai tập ại số.

Chương 2: Bậc khoảng cách Euclid

Chương này ược dành ể trình bày ịnh nghĩa cơ bản của bậc

khoảng cách Euclid Chß ra rằng số iểm tới hạn bằng bậc khoảngcách Euclid Một số ịnh lý của Bernstein Tiếp theo xây dựng hệLagrange và mối quan hệ giữa số nghiệm của hệ Lagrange và bậckhoảng cách Euclid của siêu mặt ại số Cuối cùng, xây dựng mốiquan hệ giữa bậc khoảng cách Euclid của ường cong ại số trongR3 và thể tích trộn của a diện Newton.

ịnh nghĩa 1.2 Một tập con M trong Rn ược gọi là một a tạp conlớp Cq m - chiều của Rn nếu, với mọi x0 ∈ M , có một lân cận mở U củax0 trong Rn, một tập mở V trong Rn và một φ ∈ Diffq(U, V ) sao choφ(U ∩ M ) = V ∩ (Rm × {0}).

Các a tạp con một và hai chiều của Rn lần lượt ược gọi là cácường cong (ược nhúng) trong Rn và là các mặt (ược nhúng) trongRn a tạp con của Rn có chiều n − 1 ược gọi là siêu mặt (ược nhúng)trong Rn.

Ví dụ 1.1 Dưới ây là một số ví dụ về a tạp con của Rn:

Hình 1.1: a tạp một chiều x

2 +y2

9 = 1.

Hình 1.2: a tạp một chiều y = 1x.

Hình 1.3: a tạp hai chiều dải Mobius.

Giả sử M là tập con của Rn và p ∈ M GọiiM : M → Rn, x 7→ x

là phép nhúng của M vào Rn Gọi φ là bản ồ (ịa phương) m-chiều lớpCq của M quanh p nếu

- U := dom(φ) là lân cận mở của p trong M;

- φ là phép ồng phôi của U lên tập mở V := φ(U) của Rm;- g := iM ◦ φ−1 là một phép dìm lớp Cq

Tập V là miền tham số và g là tham số hoá của U trong φ Ta cóthể viết (φ, U) cho φ và (g, V ) cho g Một atlas m-chiều Cq là một họ{φα; ³ ∈ A} của biểu ồ m-chiều lớp Cq của M, nghĩa là M = SαUα.Khi ó, x1, , xm

:= φ(p) là tọa ộ ịa phương của p ∈ U trong biểuồ φ.

Dưới ây là ịnh nghĩa về không gian tiếp tuyến:

ịnh nghĩa 1.3 Giả sử M là a tạp con Cq m-chiều của Rn; q ∈ N×∪{∞}, p ∈ M và (φ, U ) là bản ồ (chart) của M quanh p; (g, V ) là tham

số hóa thuộc (φ, U) Khi ó, không gian tiếp xúc TpM của M tại iểm plà ảnh của Tϕ(p)V dưới Tϕ(p)g, và do ó TpM = im Tϕ(p)g
Các phần tửcủa TpM ược gọi là vectơ tiếp xúc của M tại p

Mệnh ề 1.1 (xem Th10.6 [9]) Với mọi p ∈ M, ta có:TpM = {(v)p ∈ TpRn;

∃ε > 0, ∃µ ∈ C1((−ε, ε), Rn) sao cho im(µ) ¢ M, µ(0) = p, ˙µ(0) = v Nói cách khác, với mọi (v)p ∈ TpM ¢ TpRn, có một ường C1 trong Rn

i qua p chứa trong M và có (v)p là vectơ tiếp xúc của nó tại p Mọi vectơtiếp xúc của một ường như vậy ều thuộc TpM

Trong luận văn này các a tạp khả vi ược xem là các a tạp concủa RN.

ịnh nghĩa 1.4 Cho M, N là hai a tạp khả vi có số chiều lần lượt làm, n Ánh xạ f : M → N gọi là ánh xạ khả vi lớp Ck nếu f liên tục và vớimọi bản ồ khả vi (Uα, ³) trên M và (Vβ, ´) trên N mà Uα∩f−1(Vβ) ̸= ∅thì ánh xạ:

´ ◦ f ◦ ³−1 : ³ Uα∩ f−1(Vβ)

→ ´ (Vβ ∩ f (Uα))³(p) 7→ ´(f (p))

là ánh xạ khả vi lớp Ck Các ánh xạ ´ ◦ f ◦ ³−1 gọi là các biểu thức tọaộ ịa phương của f.

ịnh nghĩa 1.5 Ánh xạ f : M → N ược gọi là vi phôi lớp Ck nếu flà song ánh và f, f−1 là các ánh xạ khả vi lớp Ck.

Ánh xạ khả vi là một khái niệm quan trọng trong phân tích toánhọc và ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như ại số tuyến tính, tính

toán vi phân, ịnh lý hàm ẩn, vật lý và kỹ thuật Trong phần tiếp theochúng tôi sẽ xét ến iểm tới hạn của ánh xạ khả vi.

ịnh nghĩa 1.6 Vi phân của ánh xạ f tại iểm p là ánh xạdf (p) : TpM → Tf(p)N

v 7→ df (p)(v)

ược xác ịnh như sau: nếu v là véc-tơ tiếp xúc với ường cong x(t)tại x (t0) = p thì df (p)(v) là véc-tơ tiếp xúc với ường cong f (x(t)) tạif (p) = f (x (t0)).

Ví dụ 1.2 Cho M là a tạp M = x ∈ R3 : f1(x) = f2(x) = 0 Xét ường cong

φ(t) ¢ M, φ(0) = x0.

f1(x) = f1(φ(ℓ)) = 0f2(x) = f2(φ(ℓ)) = 0

.Suy ra

dfi(x) = dfi(φ(t)).Với

df1(x) = df1(φ(t)) = ∂f1x1

φ(t) · φ′1(t) + ∂f1x2

φ(t) · φ′2(t) + ∂f1x3

φ(t) · φ′3(t).

df1(x) = 0t = 0thì

x1 (x0) · v1 +∂f1

x2 (x0) · v2 +∂f1

x3 (x0) · v3 = 0.

Suy ra

ï∇f1(x0) , vð = 0.Ở ây ï , ð kí hiệu tích vô hướng trong R3.Tương tự

df2(x) = df2(φ(t)) = 0ta ược

ï∇f2(x0) , vð = 0.Vậy Tx0M = 

v ∈ R3, ï∇f1(x0) , vð = 0, ï∇f2(x0) , vð = 0

iểm tới hạn của một ánh xạ khả vi ược ịnh nghĩa như sau:ịnh nghĩa 1.7 Cho một ánh xạ khả vi f : Rm → Rn, các iểm tới hạncủa f là các iểm của Rm trong ó hạng của ma trận Jacobian của fkhông phải là cực ại Ảnh của một iểm tới hạn dưới f ược gọi là giátrị tới hạn Một iểm trong phần bù của tập hợp các giá trị tới hạn ượcgọi là một giá trị chính quy Theo ịnh lý Sard, tập hợp các giá trị tớihạn của một ánh xạ khả vi có ộ o bằng không.

ịnh lý 1.1 (ịnh lý Sard) Cho ánh xạ f : Rn → Rm là Ck với k lầnkhả vi liên tục, k g max{n − m + 1, 1} Cho X ∈ Rm là tập iềm tới hạncủa f sao cho x ∈ Rn tại ó ma trận Jacobi của f có rank < n Khi óảnh f(x) có ộ o Lebesque bằng 0 trong Rm.

Các ịnh nghĩa này mở rộng cho các ánh xạ khả vi giữa các a tạpkhả vi như sau Cho f : V → W là một ánh xạ khả vi giữa hai a tạp Vvà W có số chiều tương ứng m và n Trong lân cận của một iểm p củaV và của f (p), các bản ồ (chart) là các phép vi phôi (diffeomorphisms)φ : V → Rm và Ä : W → Rn iểm p là tới hạn của f nếu φ(p) là tới hạn

của Ä ◦ f ◦ φ−1.

ịnh nghĩa này không phụ thuộc vào việc lựa chọn các bản ồ vìcác ánh xạ chuyển là các phép vi phôi, các ma trận Jacobian của chúnglà khả nghịch và việc nhân chúng không làm thay ổi hạng của ma trậnJacobian của Ä ◦ f ◦ φ−1.

Các khái niệm về a tạp khả vi phức, ánh xạ khả vi, iểm tới hạncủa các ánh xạ giữa các a tạp phức ược ịnh nghĩa hoàn toàn tươngtự.

Ví dụ 1.3 Cho M = x ∈ R3 : f1(x) = f2(x) = 0 là a tạp khả vi Xétánh xạ sau:

µ : M → R

x 7→ ∥x − u∥2dµ : TxM → Tµ(x)R,trong ó u ∈ M là một iểm cho trước.

Theo Ví dụ 1.2 ta có: Tx0M = {v : ï∇fi(x), vð = 0, }.Vì dx0µ = 0 nên ï∇µ(x0), vð = 0.

Gọi x(x1, x2, x3) là iểm tới hạn nếu ï∇µ(x), vð = 0.

x1 + ∇f1(x)

x2 + ∇f1(x)x3 = 0,

x1 + ∇f2(x)

x2 + ∇f2(x)x3 = 0,

x1 + ∇f1(x)

x2 + ∇f1(x)x2 = 0,

x1 + ∇f2(x)

x2 + ∇f2(x)x3 = 0,∇µ (x) = 0.

Do hai hệ phương trình trên có chung tập nghiệm do ó chúng có số chiềubằng nhau Vậy ta có thể biểu diễn ∇µ (x) như sau:

∇µ (x) = ¼1∇f1(x) + ¼2∇f2(x) , ∀¼1, ¼2 ∈ R.Hơn nữa,

các iểm tới hạn = x ∈ C3 : f1(x) = f2(x) = 0 Do ó tồn tại các hệ số ¼1, ¼2 ∈ R sao cho

u − x = ¼1∇f1(x) + ¼2∇f2(x) Vậy các iểm tới hạn là nghiệm của hệ Lagrange sau:

Lf,u(¼, x) := {f1(x) = f2(x) = 0 và u − x = ¼1∇f1(x) + ¼2∇f2(x)}.1.2 Lược ồ Newton và thể tích trộn

Lược ồ Newton ược ịnh nghĩa như sau:

ịnh nghĩa 1.8 Ta xét f ∈ C [x1, x2, , xn] là các a thức với giáA ¢ Nn, sao cho

Hình 1.4: Lược ồ Newton N (f) của hàm f (x1, x2) = 8x2+ x1x2− 24x2

2− 16x2

1+ 220x21x2−34x1x2

2− 84x3

1x2+ 6x21x2

2− 8x1x32+ 8x3

1x22+ 8x3

1+ 18x32.

Hình 1.5: Lược ồ Newton của hàm f = 1 − xy3

ịnh nghĩa 1.9 Tổng Minkowski của hai tập hợp véc-tơ A và B trongkhông gian Euclid ược hình thành bằng cách cộng mỗi véc-tơ trong Avới mỗi véc-tơ trong B:

A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.

ịnh nghĩa 1.10 Cho K1, K2, , Kr là các tập lồi trong Rn và xét hàmsố f (¼1, , ¼r) = Voln(¼1K1 + · · · + ¼rKr) , ¼i g 0 với Voln là viết tắtcủa thể tích n- chiều với ối số của nó là tổng Minkowski của các hình lồiKi Khi ó f là một a thức thuần nhất bậc n, vì vậy có thể ược viết là

Cho m là một số nguyên dương Vì thể tích trộn MV (K1, , Km)là một hàm không âm của các a diện K1, , Km trong Rm ược ặctrưng bởi ba tính chất sau:

(1) Nếu K1 = · · · = Km = K, và Vol(K) là thể tích Euclid của K, thìMV (K1, , Km) = m! Vol(K).

(2) Nếu à là hoán vị của {1, , m}, thì

MV (K1, , Km) = MV Kσ(1), , Kσ(m)
.(3) Nếu K′

1 là một a diện khác trong Rm, thìMV (K1 + K1′, K2, , Km)

= MV (K1, K2, , Km) + MV (K1′, K2, , Km)

Thể tích trộn có thể phân tích thành tích khi a diện có một phép tamgiác phân nhất ịnh (xem [[10]] [Lem.6]) Với số nguyên dương b, ta kýhiệu [0, bei] có ộ dài b theo trục thứ i trong Rm Với mỗi 1 f j f m,ặt Ãj : Rm → Rm−1 là phép chiếu theo hướng tọa ộ j.

Bổ ề 1.2 Cho Q1, , Qm−1 ¢ Rm là các a ßnh, b là số nguyên dươngvà 1 f j f m Khi ó

M = {x ∈ Rn : P1(x) = = Pn(x) = 0} ,

3 − 212 n

3 + 8n − 4 = 0

.X = 

(x1, x2, x3) : −2x21 − 2x22 + 5 = 0, x21x23 = 0

¢ R3.

Tiếp theo ta xem xét giao của các a tạp khả vi với nhau Ta bắtầu với ịnh nghĩa về hai không gian véc-tơ có tính hoành (transverse).ịnh nghĩa này mở rộng một cách tự nhiên cho các giao iểm của a tạpcon bằng cách coi các không gian tiếp xúc của các a tạp con là khônggian véc-tơ.

ịnh nghĩa 1.11 Cho F và G là các không gian véc-tơ con của khônggian véc-tơ E Khi ó, F và G ược gọi là có tính hoành (transverse)33nếu

F + G = E.Ta kí hiệu: F ⋔ G.

Lưu ý: Tính giao hoành phụ thuộc vào số chiều của F , G và E Nếudim F + dim G < dim E,

thì F và G không thể giao hoành.

ịnh nghĩa 1.12 Cho M và N là hai a tạp trong Rn Khi ó M vàN gọi là có tính giao hoành (intersect transversally) nếu tại mọi iểmx ∈ M ∩ N thì

TxM + TxN = TxRn.Ta kí hiệu: M ⋔ N.

Ví dụ 1.6 Dưới ây là các ví dụ về a tạp giao hoành và a tạp khônggiao hoành.

Hình 1.6: a tạp giao hoành và không giao hoành.

Hình 1.7: Hai a tạp y = x và y = x2

giao hoành tại 2 iểm A(1; 1) và B(0; 0).

Hình 1.8: Hai a tạp x = y2

và y = x2

giao hoành tại 2 iểm C(1; 1) và D(0; 0).

Hình 1.9: Tại iểm E(0; 0) hai a tạp y = 0 và y = x2

giao không hoành.

Chương 2

BẬC KHOẢNG CÁCH EUCLID

Chương này trình bày kết quả chính của luận văn Trong chương nàychúng tôi nghiên cứu hàm khoảng cách từ một iểm cho trước ến mộttập ại số và bài toán ếm số iểm tới hạn của hàm ó.

2.1 ịnh nghĩa bậc khoảng cách Euclid

ịnh nghĩa 2.1 Cho trước một iểm c = (c1, c2, , cn) trong khônggian Euclid Rn, xét hàm fc : Rn → R ược xác ịnh bởi fc(x) =P

(xi − ci)2, x = (x1, x2, , xn) Cho X là một tập ại số trong Rn.Khi ó, với iểm c tổng quát , hàm khoảng cách fc|X : X → R , của hàmsố fc trên X có hữu hạn iểm tới hạn Số iểm tới hạn phức không phụthuộc vào iểm tổng quát c và ược gọi là bậc khoảng cách Euclid củatập X, ký hiệu là EDD(X).

Ví dụ 2.1 XétX = n

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 + x
2

= x2 + y2o.

Với (u, v) tổng quát trong R2 dễ thấy hình X chứa ba iểm (x, y) cóường tiếp tuyến vuông góc với (u − x, v − y).

Do ó, EDD(X) = 3.

Mối liên hệ giữa số nghiệm của một hệ a thức và thể tích trộn ượccho bởi ịnh lý Bernstein dưới ây.

ịnh lý 2.1 (xem [11, 12]) Cho g1, , gm ∈ C [x1, , xm] là m a thứcvới a diện Newton Q1, , Qm ặt #VC× (g1, , gm) là số nghiệm củag1 = · · · = gm = 0 trong (C×)m, ược tính bằng các bội ại số của chúng.ịnh lý Bernstein khẳng ịnh rằng

#VC×(g1, , gm) f MV (Q1, , Qm)và dấu bằng xảy ra khi gi là tổng quát ối với giá của nó.

Ta cũng có ịnh lý khác của Bernstein.

ịnh lý 2.2 (xem [11, 12]) Cho G = (g1, , gm) là một hệ các a thứcLaurent với các biến x1, , xc Với mỗi 1 f i f m, ặt Ai là giá của gi

và Qi = conv (Ai)là a diện Newton của nó Thì

#VC× (g1, , gm) < MV (Q1, , Qm)

khi và chß khi tồn tại 0 ̸= w ∈ Zm sao cho hệ mặt Gw := ((g1)w, , (gm)w)có nghiệm trong (C×)m Mặt khác, #VC×(g1, , gm) bằng MV (Q1, , Qm).2.2 Bậc khoảng cách Euclid của siêu mặt ại số

Cho f ∈ C [x1, , xm] là một a thức có giá A ¢ Nn , tức là tậphợp các số mũ của các ơn thức của f Giả sử rằng 0 ∈ A Chúng taviết ∂iA ¢ Nn là giá của ạo hàm riêng ∂if Với w ∈ Zn, hàm tuyến tínhx 7→ ïw, xð nhận các giá trị nhỏ nhất trên A và trên ∂iA.

Ký hiệu EDD(f) là bậc khoảng cách Euclid của siêu mặt f = 0 Khió EDD(f) ược ánh giá như sau:

ịnh lý 2.3 (xem[8]) Nếu f là một a thức có giá A chứa 0, thìEDD(f ) f MV (P, P1, , Pn) ,

trong ó P là a diện Newton của f và Pi là a diện Newton của ∂if −¼ (ui − xi) với 1 f i f n Ngoài ra, tồn tại một tập con mở trù mật Ugồm các a thức có giá A sao cho khi f ∈ U bất ẳng thức trên trở thànhmột ẳng thức với u ∈ Cn tổng quát, mỗi nghiệm của Lf,u ều xảy ra màkhông có bội.

ịnh lý 2.4 (xem[8]) Giả sử f là tổng quát với giá A sao cho 0 ∈ A vàu ∈ Rn là tổng quát Với bất kỳ véc-tơ khác không w ∈ Zn+1 thì hệ mặt(Lf,u)w không có nghiệm trong (C×)n+1.

ặt 1 f m f n và a = (a1, , am) là một véc-tơ các số nguyêndương Xét hình hộp chữ nhật

B(a) := [0, a1] × · · · × [0, am] ó là tổng Minkowski của các khoảng:

dọc theo tọa ộ thứ j, sao cho Ãj(a) = (a1, , aj−1, aj+1, , am) Khió

Ãj(B(a)) = B (Ãj(a))