bài tập chương 4 phép tính tích phân của hàm một biến thực

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Tin... Bài 4.1 Tính các tích phân bất định sau:... Xét sự hội tụ tuyệt đối vầ bán tụ của các tích phân sau.... Điều này không thể xảy ra.

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Toán Tin

Danh sách nhóm 4

67 Nguyễn Phan Ngọc Như 715101240 Bài 1 và Bài 2 68 Nguyễn Quý Quỳnh Phương 715101246 Bài 3 và Bài 4 69 Lương Ngân Phương 715101247 Bài 5 và Bài 6 70 Vũ Thị Nam Phương 715101250 Bài 7 và Bài 8 71 Đoàn Diễm Quỳnh 715101264 Bài 9 và Bài 10 72 Nguyễn Thị Hương Quỳnh 715101265

75 Đinh Thị Hải Thanh 715101279 Bài 17 và Bài 18 76 Nguyễn Thu Thảo 705101360 Bài 19 và Bài 20 77 Nguyễn Phương Thảo 705101356 Bài 21 và Bài 22 78 Phạm Quang Thu 715101294 Bài 23 và Bài 24

80 Nguyễn Thị Hà Thương 715101299 Bài 27 và Bài 28 81 Tạ Thị Thu Thủy 695101166 Bài 29 và Bài 30

83 Đặng Thủy Tiên 715101303 Bài 33 và Bài 34

85 Nguyễn Hà Trang 715101312 Bài 37 và Bài 38 86 Bùi Thùy Trang 715101322 Bài 39 và Bài 40 87 Ngô Thị Hiếu Trung 715101331 Bài 41 và Bài 42

2

Bài 4.1 Tính các tích phân bất định sau:

=−Rln(tan x)d cos x=− ln(tan x) cos x +Rcos x 1

tanxdx = − ln(tan x) cos x +R(cosx)sinx2 dx = − ln(tan x) cos x −R(cosx)(sinx)22d cos x

b)Rtan5dx =R(tan5+ tan3−tan3− tan x + tan x)dx =Rtan (tan3x 2x + 1)dx −Rtan x(tan2x + 1)dx +Rtan xdx

=Rtan3xd(tan x) −Rtan xd(tan x) +Rtan xdx

Xét g(x) = lnf(x) là hàm liên tục trên [0; 1] và g(x) khả tích trên [0; 1] Xét phân hoạch π chia đoạn [0; 1] thành n đoạn có độ dài bằng1

2) Do sin2(x + π) = sin2x và cos2(x + π) = cos2x nên F (x + π) = F (x) với mọi x Vậy F (x) tuần hoàn với một chu kì T = π.

3) Sử dụng: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì F (x) =

F′(x) = arcsin (| sin |).2 sin x cos x − arccos (| cos |).2 sin x cos x.x x = sin 2x [arcsin(| sin x|) −arccos(| cos x|)]

Chọn t ∈h0,π 2 i

để cos t = | cos x|.sint = |sinx|

⇒ arccos(| cos x|) = arccos(cos t) = t.arcsin(| sin x|) = arcsin(sin t) = t ⇒ F′(x) = 0. ⇒F là hàm hằng ⇒F (x) = F (0) =

14

Vậy I hội tụ khi I1,I2 hội tụ ⇔ m > −2 và n > m + 1(n > 0) Bài 4.31 Xét sự hội tụ tuyệt đối vầ bán tụ của các tích phân sau.

x dx hội tụ (Theo tính chất Dirichlet).

• Lại có: limx→0sin xx = 1 nên ∃ x0< π để sin x

Vậy I1hội tụ (hay hội tụ tuyệt đối) ⇐⇒ p > −2.

Kết luận: Tích phân suy rộng

R(n+1)2πn2π sin xdx = 0, nhưng không tồn tại giới hạn limx→∞sin x.

Bài 4.34: Giả sử f(x) khả vi liên tục trên [a, +∞] và sup |f′(x)| < +∞ và

Vì f đạo hàm bị chặn nên ∃M > 0 thoả mãn |f| < M

Do sup|f′(x)| < +∞ nên ∃M > 0 để: |f′(x)| ≤ M ∀x ∈ [a, +∞) Giả sử phản chứng không xảy ra limx→+∞f( ) = 0a

Khi đó: ∃ϵ0> 0 sao cho ∀A ≥ a, ∃xA> Asao cho |f(xA)| ≥ 2ϵ0 Do đó ∀n ∈ N∗, ta chọn được xn> a sao cho:

Điều này không thể xảy ra Vậy limx→+∞f(x) = 0.

Bài 4.36 : Chứng minh nếu R∞

a f(x)dx hội tụ và f(x) là hàm đơn điệu thì f(x) = o(1

a f( )x dx hội tụ nên theo tiêu chuẩn Cauchy:

∃A0> a sao cho ∀B > A ≥ A0thì |RBf(x)dx| <ϵ2

Bài 4.37: Giả sử f(x) liên tục khi x ≥ 1 và R∞

0a+xadxsin2xhội tụ.

Bài 4.41: Chứng minh rằng nếu f liên tục đều trên [a, ∞) và tích phân R∞

a f( )x dx hội tụ thì lim

x→∞f(x) = 0.

Bài làm

∀x ∈ (a, b , f x) là hàm bị chặn trên bởi f b) do f là hàm đơn điệu tăng.) ( ( Đặt A = sup f(x)|x ∈ a, b) Ta sẽ chứng minh rằng lim( x→bf(x) = A.

Vì A là sup nên với mọi ε > 0 , tồn tại x0∈ (a, b) sao cho A − ε < f(x0) ≤ A < A+ε

Vì bất đẳng thức cuối cùng đúng với ε > 0 tùy ý và n đủ lớn Do đó ta có lim

+) I1là tích phân suy rộng loại 2 với cận suy rộng tại 0 +) I2là tích phân suy rộng loại 1 với cận suy rộng tại +∞

x→∞g(x) =0 (do α > 0) và g(x)=−(2xxαα−1+ sinx+ cosx)≤ 0 ∀x ∈[2,+ )∞ g(x) đơn điệu giảm về 0

Dirichlet ⇒ I2hội tụ với α ≥ 1

xα+ sinx → ⇒1 I1là tích phân thường Nếu α = 1 thì x + sinx ∼ 2sinx khi x→ 0

xα+sinx= 0 ⇒ I1là tích phân thường Bài 4.44: Giả sử f là hàm liên tục trên [0, +∞} sao cho lim