các ứng dụng thực tế của hệ phương trình tuyến tính và ma trận nghịch đảo

Điều đó đã chứng tỏ ma trận và hệ phương trình tuyến tính có một vai trò to lớn với cuộc sống của con người, đóng góp cho sự phát triển xã hội hiện đại như ngày nay.Từ những ứng dụng đầy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Giáo viên hướng dẫn : Lê Thị Hồng Dung

Hà Nam, ngày 28 tháng 11 năm 2022

I Phần mở đầu

Tiền đề về sự phát triển của ma trận và hệ phương trình tuyến tính đã có mặt từ rất sớm trong lịch sử nhân loại (152 TCN) Điều đó đã chứng tỏ ma trận và hệ phương trình tuyến tính có một vai trò to lớn với cuộc sống của con người, đóng góp cho sự phát triển xã hội hiện đại như ngày nay.

Từ những ứng dụng đầy thực tế của ma trận và hệ phương trình tuyến tính cùng sự hướng dẫn của giảng viên Lê Thị Hồng Dung, nhóm 5 chúng em đã xây dựng bản

báo cáo về đề tài : “Một số ứng dụng thực tế của ma trận nghịch đảo và hệ

phương trình tuyến tính” Nội dung bản báo cáo được thiết kế gồm 2 phần:

+ Ứng dụng của ma trận nghịch đảo: Gồm ứng dụng trong mật mã, ứng dụng trong kinh tế.

+ Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính: Gồm ứng dựng trong toán học, hóa học,…và ứng dụng trong sản xuất.

Thông qua các báo cáo về ứng dụng trong quyển, ta sẽ có cái nhìn tổng quan về môn học đại số tuyến tính và tính ứng dụng trong đời sống, từ đó không còn thấy môn học vô ích và nhàm chán như nhiều người lầm tưởng.

3

II Nội dung Khi đó ta gọi A là ma trận khả đảo (hay khả nghịch).

1.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm và cách giải:

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn có dạng tổng quát là:

trong đó x , x , …, x là các số cần tìm; là hệ số của ẩn x trong phương trình thứ i,12nj bi là các hệ số tự do với i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

1.2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm: Định lý 1 (Kronecker – Capelli)

- Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số của nó, tức là: r(A) = r( ).A

- Hệ quả: i) Nếu r(A) ≠ r( )A thì hệ phương phương trình vô nghiệm ii) Nếu r(A) = r( )A = n thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất iii) Nếu r(A) = r( )A < n thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

1.2.3 Các phương pháp giải:

a, Phương pháp Gauss: (Áp dụng với mọi hệ)

: Lập ma trận mở rộng A

: Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng đưa ma trận về dạng bậc A thang : Ghép với ẩn ban đầu được hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu : Giải hệ và kết luận.

b, Phương pháp Cramer: (Chỉ áp dụng với hệ Cramer)

: Tính det A Nếu det A ≠ 0 thì tiếp tục

: Tính det với j = 1, …, n; trong đó là ma trận thu được sau khi thay B vào cột j của A.

: Áp dụng công thức:

: Kết luận.

c, Phương pháp ma trận nghịch đảo:(Chỉ áp dụng với hệ Cramer)

: Biểu diễn hệ Cramer dưới dạng phương trình ma trận: AX=B

Mật mã học là việc giữ thông tin liên lạc một cách riêng tư Mã hoá và giải mã giúp ta trao đổi thông tin qua mật mã, cần có những chìa khoá để liên lạc bí mật với nhau, riêng biệt Hiện nay, ma trận được ứng dụng tạo mật mã phức tạp, khó giải quyết để truyền tải thông tin thông qua sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận đó Chính lẽ đó, việc sử dụng ma trận nghịch đảo trong mật mã ngày một phổ biến và thông dụng.

VD1: Cho ma trận A = và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số như sau:

Một người muốn gửi một dòng mật khẩu cho đồng nghiệp để mở khóa cửa Để đảm bảo sự bảo mật anh ta dùng bảng trên chuyển dòng mật khẩu này thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải

5

mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính C = B.A và chuyển C về dãy số thì được dãy:

Cô giáo muốn gửi dòng tin nhắn đến cho các bạn sinh viên lớp khoa học máy tính 1 Để đảm bảo bí mật, cô giáo đã dùng bảng trên chuyển tin nhắn thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D = A.B và chuyển D về dãy số thì được dãy “1 2 1 2 0 3 3 1 4’’ Hãy giải mã thông tin trên.

Lý thuyết về ma trận cũng được sử dụng trong nhiều bài toán kinh tế, không chỉ trong các bài toán đơn giản về đời sống mà nó còn được ứng dụng trong các bài toán mang tầm vi mô, vĩ mô của các chuyên gia kinh tế Việc ứng dụng đầy thành công của ma trận đã khiến nó trở thành một trong những yếu tố góp phần xây dựng nên nền kinh tế hiện đại phát triển như ngày nay, gắn liền với nhiều môn học kinh tế trên nhiều trường đại học,…

VD1: Cô Huê livestream bán ba loại bánh tráng: bánh tráng muối tôm, bánh tráng

bơ tỏi, bánh tráng mỡ hành Biết rằng số hàng bán được trong 3 tháng đầu năm là như sau: (đơn vị: bịch)

7

VD2: Công ty chế biến thức ăn gia súc cần chế biến một loại thức ăn cho gia súc

chứa đủ 3 loại dưỡng chất là: đạm, đường và khoáng, nguyên liệu được lấy từ 3 loại thực phẩm A, B, C.

Bảng sau đây liệt kê hàm lượng (tính bằng gam) của 3 dưỡng chất có trong 100g của mỗi loại thực phẩm nguyên liệu Cột cuối cùng của bảng cho biết nhu cầu mỗi loại dưỡng chất cần phải có trong một đơn vị thức ăn.

Dưỡng chất Hàm lượng dưỡng chất có trong 100g Nhu cầu

Sử dụng ma trận nghịch đảo để tìm khối lượng mỗi loại nguyên liệu A, B, C để chế biến được đơn vị thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng chất đặt ra.

Vậy đề chế biến được một đơn vị thức ăn đạt yêu cầu thì cần nguyên liệu A, nguyên liệu B và nguyên liệu C.

3 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính3.1 Ứng dụng trong khoa học

VD1(Toán học): Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A =1 (1,1,3), A = (2 -1,2,3), A = (3 -1;1;2) trong không gian

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: ax + by + cz + d = 0(*), a,b,cℝ Giả sử M = (x, y, z) là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng.

Thay tọa độ của A , A , A và M vào phương trình (*) ta được:123

9

Hệ luôn có nghiệm (a, b, c, d) = (0, 0, 0, 0) Tuy nhiên, việc nhân phương trình (*) với một hằng số 0 cũng cho ta một phương trình của cùng mặt phẳng đó, nên để hệ có vô số nghiệm thì định thức của ma trận hệ số phải bằng 0:

Áp dụng định luật Kirchhoff I vào nút A, ta có: (1) Áp dụng định luật Kirchhoff II vào mạch điện ta có:

Tương tự như trong kinh tế, trong sản xuất cũng có rất nhiều bài toán cần áp dụng đến ma trận và hệ phương trình như việc tính toán số lượng, tính toán phần trăm nguyên liệu,… để dễ dàng trong việc quản lý, tính toán cũng như có sự bao quát trong tiến độ sản xuất, thi công.

VD1: Nhà nông nuôi tổng 200 con gia súc, gia cầm gồm 3 loại: bò, gà, vịt Biết

rằng tổng số chân của 3 loại là 540 chân, tổng số vịt gấp 4 lần tổng số gà Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?

Cho E = 20V, r = 2 , R = R = 6 , R1 2 3 = R = 5 , R = 4 Bỏ qua điện trở4 5 của dây dẫn Tính cường độ dòng điện chạy qua mỗi điện trở.

Vậy có 70 con bò, 104 con vịt, 26 con gà.

VD2: Một công ty A nhập 3 loại xe để bán cho người tiêu dùng: xe máy, xe điện, xe

đạp Biết tổng số xe nhập về là 750 chiếc, số xe máy gấp 2 lần số xe đạp, số xe đạp gấp 3 lần số xe điện Hỏi số lượng mỗi loại xe mà công ty đã nhập về ?

Qua bản báo cáo này, nhóm 5 đã đưa ra các ứng dụng của ma trận nghịch đảo cũng như hệ phương trình tuyến tính trong thực tế Bằng cách áp dụng các kiến thức cơ bản đã học cũng như nghiên cứu các tài liệu liên quan, các bài toán ví dụ đều được giải quyết một cách thuyết phục

Với việc nghiên cứu, tìm hiểu các ứng dụng thực tế, các thành viên trong nhóm đã có thêm kiến thức về ma trận và hệ phương trình tuyến nói riêng cũng như môn đại số tuyến tính nói chung, biết cách áp dụng kiến thức môn học vào các vấn đề của đời sống, và thêm vốn hiểu biết về tầm quan trọng của chúng trong việc ứng dụng vào các vấn đề hàng ngày đang xảy ra.

Qua những lát cắt về ứng dụng thực tế của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính trong quyển, có thể rút ra kết luận: Ma trận nghịch đảo và hệ

13

phương trình tuyến tính nói riêng đại diện cho môn học đại số tuyến tính nói chung được áp dụng ở nhiều lĩnh vực và có vai trò vô cùng hữu ích Nếu chúng ta thật sự hiểu được môn học và áp dụng vào các lĩnh vực thực tế một cách có hiệu quả thì không chỉ các lĩnh vực trong quyển báo cáo đưa ra mà các lĩnh vực khác chúng ta sẽ đều gặt hái được nhiều lợi ích to lớn, rút ngắn thời gian học tập và làm việc cũng như giải quyết được rất nhiều cuộc sống quanh ta

Do lần đầu trải nghiệm tìm hiểu và tài liệu tìm kiếm còn hạn chế nên bài làm của nhóm không tránh khỏi những thiếu sót Chúng em rất mong sẽ nhận được những lời đóng góp, phê bình của cô và các bạn để bản báo cáo của chúng em được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng chúng em muốn gửi lời cảm ơn đến nhà trường đã tạo điều kiện, môi trường học tập tốt, cảm ơn giảng viên Lê Thị Hồng Dung đã tận tâm, tận tuỵ giảng dạy, hướng dẫn, bảo ban, khắc phục những thiếu sót trong kiến thức cũng như hình thức trình bày còn tồn tại ở chúng em, bên cạnh đó cũng gửi lời cảm ơn tới tất cả các thành viên nhóm 5 đã đoàn kết, nhiệt tình đóng góp ý kiến, đưa ra quan điểm, chỉnh sửa giúp đỡ nhau ngày một hoàn thiện hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

Một số tài liệu tham khảo đáng kể được sử dụng khi thực hiện bản báo cáo của nhóm là:

Đại số tuyến tính và hình học giải tích, 2009, NXB GD Một số ứng dụng của đại số tuyến tính, 2016

Toán cơ sở cho kinh tế, NXB Thông tin và truyền thông , 2011 & NXB GD, 2014

Bên cạnh đó là một số trang web kinh tế trên hệ thống Google đáng tin cậy liên quan đến trường học, khoa, chuyên ngành học, đối tượng

nghiên cứu, tư liệu sản phẩm, sản xuất của các công ty, doanh nghiệp, ngân hàng phục vụ cho việc tìm kiếm ứng dụng bài toán thực tế

15