báo cáo bài tập lớn giải tích 1 đề tài 1 tên đề tài đạo hàm và tốc độ thay đổi

Nó được sử dụng để xác định sự biến đổi của một hàm số tại một điểm cụ thể và cho biết độ dốc của đường cong tại điểm đó.. Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính toán tốc độ v

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

DANH SÁCH THÀNH VIÊN VÀ CÔNG VIỆC

II Cơ sở lý thuyết 6

III Ứng dụng vào giải bài tập 9

IV.Phần kết luận 24

Tài liệu tham khảo 24

Lời cảm ơn

Chúng em xin chân thành cám ơn Thầy Đào Huy Cường đã hướng dẫn chi tiết và giảng dạy tận tình nhằm cung cấp kiến thức để giúp chúng em hoàn thành đề tài lần này.

Đồng thời, qua bài tập lần này chúng em còn rèn luyện được các kĩ năng làm việc nhóm, tự giác trong công việc và kĩ năng giao tiếp nhằm nâng cao chất lượng công việc, học hỏi, góp ý lẫn nhau để hoàn thành sản phẩm bài tập lớn Giải tích đầu tiên của chúng em.

Mặc dù đã có những đầu tư nhất định trong quá trình làm bài song cũng khó có thể tránh khỏi những sai sót, lỗi trình bày Vì vậy, nhóm 1 chúng em rất mong nhận được những đóng góp từ Thầy và các bạn Chúng em xin chân thành cảm ơn.

I.Phần mở đầu

Trong toán học, đạo hàm là một khái niệm vô cùng quan trọng và cơ bản Nó được sử dụng để xác định sự biến đổi của một hàm số tại một điểm cụ thể và cho biết độ dốc của đường cong tại điểm đó Đạo hàm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số và cung cấp nền tảng cho nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.

Vai trò của đạo hàm không chỉ giới hạn trong lĩnh vực toán học mà còn rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, và xã hội Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính toán tốc độ và gia tốc của một vật thể đang di chuyển Trong kỹ thuật, nó hỗ trợ trong thiết kế và tối ưu hóa các hệ thống phức tạp Trong kinh tế, đạo hàm được dùng để tối ưu hóa sản xuất và đầu tư.

Phân tích hàm số thông qua đạo hàm giúp chúng ta xác định các điểm cực trị, điểm biên giới, sự thay đổi độ dốc, và các đặc tính quan trọng khác của đồ thị hàm số Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hàm số và làm cho các bài toán phức tạp trở nên dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu và ứng dụng.

Với tầm quan trọng vượt trội trong nhiều lĩnh vực, việc nắm vững khái niệm và ứng dụng của đạo hàm là cực kỳ hữu ích và thiết thực, vậy nên mời Thầy và các bạn cùng đi sâu vào đề tài bài tập lớn hôm nay của nhóm 1 “ Đạo hàm và tốc độ thay đổi”

II Cơ sở lý thuyết

TIẾP TUYẾN

Nếu một đường cong C có phương trình y = f(x)và ta muốn tìm tiếp tuyến với C tại điểm P(a, f(a)), thì ta sẽ xét một điểm Q(x, f(x)) gần đó, với x ≠ a , và tính độ dốc của cát tuyến PQ:

mPQ =f ( x )−f (a)x −a

Sau đó cho Q tiến đến P dọc theo đường cong C bằng cách cho x tiến đến a Nếu mPQ tiến đến một số m , thì ta định nghĩa tiếp tuyến t là đường thẳng qua P và có độ dốc m ( Điều này có nghĩa là tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến PQ khi Q tiến đến P

ĐỊNH NGHĨA : Tiếp tuyến với đường

cong y = f(x) tại điểm P(a, f(a)) là đường

Biết rằng phương trình đường thẳng qua điểm (xo, yo) và có hệ số góc m là y – yo = m(x – x0), do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm (1, 1) cần tìm là:

y - 1 = 2(x - 1) hay y = 2x – 1

VẬN TỐC

Tổng quát, giải sử một vật thể chuyển động trên một đường thẳng với phương trình chuyển động là s = f(t), trong đó s là vị trí của vật đối với điểm gốc tại thời điểm t Hàm số f mô tả chuyển động gọi là hàm số vị trí của vật thể Trong khoảng thời gian từ t = a đến t = a + h, sự thay đổi vị trí là f(a + h) - f(a) Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian này là:

vận tốc trung bình = thời gianđộ dời = f (a h)f (a)h

Giờ giả sử ta tính các vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian càng lúc càng ngắn [a, a + h] Nói cách khác, ta cho h tiến đến 0 Như trong ví dụ quả bóng rơi, ta định nghĩa vận tốc (tốc đô tức thời) v(a) ở thời điểm t = a chính là giới hạn của vận tốc trung bình

3 3 3

ĐẠO HÀM

Ta thấy rằng cùng một dạng giới hạn xuất hiện khi tìm độ dốc của tiếp tuyến hay vận tốc của vật thể Thật ra, giới hạn dạng

lim

h→ 0

f (a+h)−f (a)h

xuất hiện bất cứ khi nào ta tính vận tốc biến thiên trong bất kỳ ngành khoa học hoặc kỹ thuật, như vận tốc phản ứng trong hóa học hoặc chi phí cận biên(marginal) trong kinh tế

v (a )=lim

h→ 0

f (a+h)−f (a)h

học Vì dạng giới hạn này xảy ra quá phổ biến, nó đã được đặt cho một tên và một kí hiệu đặc biệt.

Ta định nghĩa tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm P(a, f(a)) là đường thẳng qua P và có độ dốc m cho bởi phương trình 1 hoặc 2 Theo định nghĩa 4, độ dốc này chính là f '(a), ta có thể phát biểu như sau:

-Tiếp tuyến với y = f(x) tại(a, f(a)) là đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) và có độ dốc là f'(a), đạo hàm của f tại a.

Nếu ta dùng dạng phương trình điểm-độ dốc của đường thẳng , ta có thể viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm (a, f(a))

Tốc độ biến thiên tức thời

Ta nhận ra giới hạn này chính là đạo hàm f ' (x1), và cũng chính là độ dốc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại điểm có hoành độ là x1 Như vậy ta có ý nghĩa thứ hai của đạo hàm

-Đạo hàm f'(a) là tốc độ biến thiên tức thời của y = f(x) đối với x khi x = a

Như vậy khi đạo hàm lớn ( tức đường cong dốc như ở điểm P trong Hình 9 ), thì giá trị y thay đổi nhanh Khi đạo hàm nhỏ, đường cong tương đối dẹt (như ở Q trong hình bên) thì giá trị y thay đổi chậm.

4 ĐỊNH NGHĨA Đạo hàm của hàm số f tại số a, kí hiệu f '(a),

III Ứng dụng vào giải bài tập

Bài 1: A curve has equation y = ƒ (x)

(a) Write an expression for the slope of the secant line through the points P(3, ƒ (3)) and Q(x, ƒ(x)).

(b) Write an expression for the slope of the tangent line at P.

Dịch đề: Một đường cong có phương trình y = ƒ (x)

(a) Viết biểu thức hệ số góc của cát tuyến qua điểm P(3, ƒ (3)) và Q(x, ƒ(x)) (b) Viết biểu thức hệ số góc của tiếp tuyến tại P.

x3

- Biểu thức độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y=f (x ) tại điểm P(a , f (a)) là:

- Suy ra, hệ số góc đường tiếp tuyến của đường cong y=f (x ) tại điểm P(3 , f (3 )) là:

[0.5, 1.5] and [-0.1, 0.1] by [0.9, 1.1] What do you notice about the curve as you zoom in toward the point (0, 1)?

[0.5, 1.5] và [-0.1, 0.1] x [0.9, 1.1] Bạn nhận thấy điều gì về đường cong khi bạn phóng

+ Cửa sổ xem [-0.5, 0,5] x [0.5, 1.5]:

+ Cửa sổ xem [-0.1, 0.1] x [0.9, 1.1]:

- Nếu ta phóng to vào điểm (0,1) của đường cong y=ex , đường cong trông như một đường thẳng Nói cách khác, đường cong gần như không thể phân biệt được với đường tiếp tuyến của nó tại điểm (0,1)

- Ta so sánh giữa đường cong y=ex (màu đỏ) và tiếp tuyến y=x +1 (màu xanh):

Bài 11:

(a) A particle starts by moving to the right along a horizontalline; the graph of its position function is

shown When is the particle moving to the right? Moving to the left?

Standing still?

(b) Draw a graph of the velocity function.

Dịch đề: (a) Một hạt bắt đầu di chuyển sang phải dọc theo một đường nằm ngang, đồ thị

vị trí của hạt được cho bên dưới Khi nào hạt đang chuyển động sang bên phải? Đang chuyển động sang trái? Đang đứng yên?

(b) Vẽ đồ thị hàm số vận tốc.

- Xét một hạt chuyển động theo phương ngang với chiều dương đi từ trái sang phải, trong khoảng thời gian Δt chất điểm dịch chuyển được độ dời Δs.t chất điểm dịch chuyển được độ dời Δt chất điểm dịch chuyển được độ dời Δs.s.

- Trong khoảng 1<t<2 hạt đứng yên tại vị trí s=3

v=∆ s∆ t=

3−2=−2(m/s) ¿>¿ hạt đi từ phải sang trái

- Hạt sẽ đi sang phải khi hàm số vị trí của hạt tăng: 0<t <1 và4 <t <6 - Hạt sẽ đi sang trái khi hàm số vị trí của hạt giảm: 2<t <3.

- Hạt sẽ đứng yên khi hàm số vị trí của hạt không tăng cũng không giảm: 1<t<2 và

3<t <4 (b)

- Đồ thị hàm vận tốc của hạt:

Bài 12: Shown are graphs of the position functions

of two runners, A and B, who run a 100-m race and

(c) At what time do they have the same velocity?

Dịch đề: Đồ thị được cho sau đây là đồ thị hàm số vị trí của hai người chạy bộ, A và B,

họ hoà nhau trong cuộc đua 100 mét.

(a) Hãy mô tả và so sánh hai người đã chạy như thế nào trong cuộc đua (b) Vào lúc nào khoảng cách giữa 2 người này là lớn nhất?

(c) Vào lúc nào họ có cùng vận tốc?

- Người chạy bộ A chạy hết quãng đường với vận tốc không đổi.

- Người chạy bộ B ban đầu chạy chậm nhưng tăng tốc dần và đuổi kịp người chạy bộ A vào giây thứ 14.

- Khoảng cách giữa 2 người là độ chênh lệch tung độ giữa 2 điểm trên 2 đồ thị có cùng hoành độ Nhìn vào đồ thị ta có thể thấy vào khoảng giây thứ 10, khoảng cách giữa hai người A và B sẽ là xa nhất vào khoảng 30m.

(c)

- Gọi hàm vị trí và hàm vận tốc của người chạy bộ A lần lượt là SA(t ) và vA(t )

- Gọi hàm vị trí và hàm vận tốc của người chạy bộ B lần lượt là SB(t) và vB(t ) - Ta có đạo hàm của hàm quãng đường là hàm vận tốc:

v (t )=s'(t)

- Lại có f'(a ) là hệ số góc tiếp tuyến của hàm f ( x ) tại x = a - Suy ra:

+ vA(a)là hệ số góc tiếp tuyến của hàm SA(t) tại t = a + vB(b) là hệ số góc tiếp tuyến của hàm SB(t) tại t = b.

- Tại thời điểm t = 10 ta thấy tiếp tuyến của SB(t) gần như song song với SA(t) => hệ số góc của hai hàm số này bằng nhau => vB(10)=vA(10).

- Vậy ta có thể kết luận rằng vận tốc của cả hai người A và B bằng nhau vào khoảng giây thứ 10.

Bài 17: For the function t whose graph is given, arrange the following numbers in

increasing order and explain your reasoning: 0 g’(-2) g’(0) g’(2) g’(4)

Dịch đề: Với hàm số g có đồ thị được cho dưới đây, hãy sắp xếp những con số sau đây

theo thứ tự tăng dần và giải thích lý do:

0 g’(-2) g’(0) g’(2) g’(4)

-Ta có các giá trị: 0 g'(−2) g'(0) g'(2) g ' (4)

-Tại điểm x=0 ta thấy hàm số g ( x ) đang giảm nên g'(0)<0 -Tại điểm x=−2 ta thấy hàm số g ( x ) đang tăng nên g'(−2)>0.

→ g'(0)< 0< g'(−2)

-Với g'(2 ), ta thấy hàm số g ( x ) đang tăng tại x=2 nên g'(2 )> 0 nhưng góc tạo bởi tiếp tuyến với trục Ox tại điểm x=2 lại nhỏ hơn tại điểm x=−2.

→ g'(0)< 0< g'(2)<g'(−2)

-Với g'(4 ), ta thấy hàm số g ( x ) đang tăng tại x=4 nên g'(4 )>0 nhưng góc tạo bởi tiếp tuyến với trục Ox tại điểm x=4 lại nhỏ hơn tại điểm x=2.

→ g'(0)<0<g' (4)<g'(2)<g'(−2)

- Vậy ta có thứ tự tăng dần là:

g'(0)<0<g '(4)<g'(2)<g'(−2)

Bài 39: A warm can of soda is placed in a cold refrigerator Sketch the graph of the

temperature of the soda as a function of time Is the initial rate of change of temperature greater or less than the rate of change after an hour?

Dịch đề: Một lon nước ngọt ấm được đặt trong một cái tủ lạnh đang lạnh Hãy phác hoạ

đồ thị nhiệt độ của lon nước ngọt như một hàm số theo thời gian Tốc độ thay đổi ban đầu của nhiệt độ lớn hơn hay nhỏ hơn tốc độ thay đổi sau một giờ?

(Sơ đồ nguyên lí hoạt động của máy làm lạnh)

Hiểu theo cách đơn giản nhất, khi hoạt động, tủ lạnh sẽ nhận công của nguồn điện, để chuyển nhiệt lượng bên trong tủ lạnh ra bên ngoài (môi trường nóng hơn)

Khi đặt một lon nước ngọt còn ấm vào tủ lạnh, lon nước sẽ truyền nhiệt lượng cho không khí và các vật khác bên trong đó Nhiệm vụ của tủ lạnh khi đó là liên tục lấy nhiệt lượng của không khí bên trong tủ ra bên ngoài, khi không khí có nhiệt độ thấp hơn các vật khác, nó lại nhận nhiệt từ các vật trong tủ và khi không khí đạt mức nhiệt độ cài đặt nhiệt độ đó sẽ được giữ ổn định.

Giả sử lon nước làm bằng nhôm, ban đầu đang ở nhiệt độ T0, được đặt vào ngăn mát ở 0 °C truyền cho tủ lạnh có công suất P và hệ số làm lạnh ε nhiệt lượng Q’ để hạ nhiệt độ xuống nhiệt độ T.

Giả sử không khí trong ngăn mát nhận nhiệt lượng Qđúng bằng nhiệt lượng lon nước toả ra, công suất của tủ lạnh để làm lạnh ngăn mát bằng k lần P (k<1) ta có phương trình cân bằng nhiệt:

Q= - Q’

Ta có: Q

Trong đó A = k.P.t là công mà tủ lạnh nhận được để làm lạnh ngăn mát theo thời gian t ⇒ Q = ε.k.P.t

Q’ = m1.c1.(T – T0) + m2.c2(T – T0)

Trong đó m1, c1 tương ứng là khối lượng và nhiệt dung riêng của nhôm; m2 và c2 tương ứng là khối lượng và nhiệt dung riêng của nước ngọt

Suy ra ε.k.P.t = - m1.c1.(T – T0) - m2.c2(T – T0)

⇔T = −ε k P

m1 c 1+m 2 c 2 t+¿ T0

Do ε, k, P, m1, c1, m2, c2, T0 là các hằng số dương nên T(t) là hàm số bậc nhất theo biến t Do vậy tốc độ thay đổi nhiệt độ giữ nguyên từ lúc bỏ lon nước vào tủ lạnh đến khi nhiệt độ lon nước hạ xuống bằng với nhiệt độ cài đặt của tủ lạnh.

Dùng Desmos.com để minh hoạ đồ thị, các hằng số được giả định cho trước, với H(x) là nhiệt độ của vật (°C) theo x (giờ), bao gồm một phần của đồ thị T(x) với

ε k P ≤ 1 thì tốc độ thay đổi nhiệt độ sau một giờ lớn tốc độ ban đầu và tốc độ thay đổi nhiệt độ bằng tốc độ ban đầu nếu T0(m 1 c 1+m2 c 2)

ε k P > 1

Bài 40: A roast turkey is taken from an oven

when its temperature has reached 185°F and is placed on a table in a room where the

temperature is 75°F The graph shows how the temperature of the turkey decreases and

eventually approaches room temperature By measuring the slope of the tangent, estimate the rate of change of the temperature after an hour.

Dịch đề: Một con gà tây nướng được lấy ra khỏi

một lò nướng khi nhiệt độ của nó vừa đạt tới 185°F và được đặt trên một cái bàn trong một căn phòng nơi có nhiệt độ 75°F Đồ thị sau đây cho biết nhiệt độ của con gà tây giảm như thế nào và kết quả cuối cùng là đạt đến nhiệt độ căn phòng Bằng cách đo hệ số góc của tiếp tuyến, hãy ước tính tốc độ thay đổi của nhiệt độ sau một giờ.

Giải

Dựa vào độ thị ta ước tính tọa độ của điểm : E(0;160) ; F(130;75)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm P là tốc độ của thay đổi nhiệt độ sau một giờ : T’(60) = ∆ T∆t ≈ T (130)−T (0)

130−0 = 75−185130−0 = - 0,65( 0F/m)

Bài 41: The table shows the estimated percentage of the population of Europe that use

cell phones (Midyear estimates are given.)

Year 1998 1999 2000 2001 2002 2003

(a) Find the average rate of cell phone growth

(i) from 2000 to 2002 (ii) from 2000 to 2001 (iii) from 1999 to 2000 (In each case, include the units.)

(b) Estimate the instantaneous rate of growth in 2000 by taking the average of two average rates of change What are its units?

(c) Estimate the instantaneous rate of growth in 2000 by measuring the slope of a tangent.

Dịch đề: Bảng sau đây cho biết phần trăm ước tính P của dân số châu Âu sử dụng điện

thoại di động (ước tính vào giữa năm.)

(a) Tìm tốc độ gia tăng trung bình của việc sử dụng điện thoại

(i) Từ năm 2000 đến 2002 (ii) Từ năm 2000 đến 2001 (iii) Từ năm 1999 đến 2000 (Trong mỗi trường hợp, hãy thêm vào các đơn vị)

(b) Hãy ước tính tốc độ gia tăng tức thời trong năm 2000 bằng cách lấy trung bình cộng tốc độ thay đổi Đơn vị của nó gì?

(c) Hãy ước tính tốc độ gia tăng tức thời trong năm 2000 bằng cách đo hệ số góc của một

Sử dụng Microsoft excel để phác hoạ đồ thị dựa trên bảng số liệu của đề bài (trục tung thể hiện phần trăm và trục hoành thể hiện năm) :

P’(2000) = tan(α) ) ≈ P (2001)−P (2000)

2001−2000 = 13 (%/năm

Bài 45: The cost of producing x ounces of gold from a new gold mine is C = ƒ(x) dollars.

(a) What is the meaning of the derivative ƒ’(x)? What are its units? (b) What does the statement ƒ’(800) = 17 mean?

(c) Do you think the values of ƒ’(x) will increase or decrease in the short term? What about the long term? Explain.

(a) Ý nghĩa của đạo hàm ƒ’(x) là gì? Đơn vị của nó là gì? (b) Ý nghĩa của ƒ’(800) = 17 là gì?

(c) Bạn nghĩ rằng giá trị của ƒ’(x) sẽ tăng hay giảm trong thời gian ngắn hạn? Khoảng thời gian dài hạn thì thế nào? Hãy giải thích.

(a) Ý nghĩa: Chi phí cận biên tại x ounce vàng được sản xuất từ mỏ vàng Đơn vị: đô la/ ounce vàng.

(b) Chi phí cận biên tại mốc 800 ounce vàng được sản xuất từ mỏ vàng là 17 đô la/ounce vàng Nói cách khác, khi sản xuất ounce vàng thứ 801, chi phí của nó là 17 đô la.

(c) Trong thời gian ngắn hạn, f’(x) giảm vì vàng mới sản xuất lượng ít nên còn rất nhiều và dễ dàng khai thác Nhưng trong thời gian dài vàng sẽ trở nên đắt hơn vì vàng trở nên khan hiếm dần nên f’(x) sẽ tăng

2001 The table shows values of this function recorded every two hours What is the meaning of T’(10) ? Estimate its value.

Dịch đề: Coi T(t) là nhiệt độ (theo °F) ở Dallas sau t giờ tính từ nửa đêm ngày 2 tháng 6,

2001 Bảng sau cho biết những giá trị của hàm số đó được ghi lại mỗi hai giờ Ý nghĩa của T’(10) là gì? Hãy ước tính giá trị đó.