ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- TRIỆU THỊ LUẬN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện TRIỆU THỊ LUẬN MSSV: 2113010122 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA: 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƯƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34-15111-26647 Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 LỜI CẢM ƠN Khóa luận đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo của cô giáo ThS. Dương Thị Thu Thúy. Em xin phép được gởi đến cô lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tâm của cô đối với bản thân em, không những trong quá trình làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập. Em cũng xin phép được gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy em trong suốt 4 năm học vừa qua, cũng như toàn thể thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, những người đã cho em kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận. Cuối cùng em xin phép được gởi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt quãng đường học tập vừa qua. Quảng Nam, ngày 24 tháng 4 năm 2017 SVTH Triệu Thị Luận M ỤC L ỤC MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ..........................................................................................................1 2. Mục tiêu nghiên cứu ....................................................................................................1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................................1 4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................1 5. Lịch sử nghiên cứu ......................................................................................................2 6. Đóng góp của đề tài .....................................................................................................2 7. Cấu trúc đề tài ..............................................................................................................2 NỘI DUNG......................................................................................................................3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................3 1.1. Một số khái niệm cơ bản ..........................................................................................3 1.1.1. Giới hạn của hàm số ..............................................................................................3 1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm .......................................................................3 1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực ...........................................................................4 1.1.1.3 Giới hạn một bên .................................................................................................4 1.1.2. Hàm số liên tục ......................................................................................................5 1.1.3. Đạo hàm của hàm số tại một điểm ........................................................................6 1.1.4. Đạo hàm một bên tại một điểm .............................................................................6 1.1.5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng .....................7 1.1.6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm ..............................................................................8 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm .........................................................................................9 1.2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số .................................................9 1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp ......................................................................................9 1.2.3. Đạo hàm của hàm số ngược ................................................................................10 1.2.4. Bảng công thức đạo hàm .....................................................................................10 1.3. Đạo hàm cấp cao ....................................................................................................10 1.4. Một số định lí liên quan ..........................................................................................11 1.4.1. Định lí 1.4. (Định lí Weierstrass) ........................................................................11 1.4.2. Định lí 1.5. (Định lí Lagrange) ............................................................................11 1.4.3. Định lí 1.6. (Định lí Rolle) ..................................................................................12 1.5. Tính đơn điệu của hàm số.......................................................................................13 1.6. Cực trị của hàm số ..................................................................................................13 1.6.1. Khái niệm cực trị của hàm số ..............................................................................13 1.6.2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị ...........................................................................13 1.7. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số ...................................................................14 1.8. Sự tiếp xúc của hai đường cong .............................................................................14 2.1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số .....................................15 2.1.1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ...................................15 2.1.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước ...........................................................................................................18 2.1.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................21 2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số ........................................................22 2.2.1. Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên để tìm cực trị của hàm số ...............................22 2.2.2. Dạng 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số .............................25 2.2.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................27 2.3. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ................28 2.3.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn ...........28 2.3.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát trực tiếp............................................................................................................31 2.3.3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp ...........................................................................................................33 2.3.4. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................36 2.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm ..........................37 2.5. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình ....................................................................41 2.5.1. Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình .......................41 2.5.2. Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình ..................................................................................................................45 2.5.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................48 2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình................................................................49 2.6.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình ................................49 2.6.2. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................53 2.7. Sử dụng định lí định lí Lagrange, định lí Rolle để giải các bài toán về phương trình ................................................................................................................................53 2.7.1. Dạng 1: Sử dụng định lí định lí Rolle, định lí Lagrange để chứng minh phương trình có nghiệm ..............................................................................................................53 2.7.2. Dạng 2: Sử dụng định lí Rolle, định lí Lagrange để giải phương trình ...............56 2.7.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................58 KẾT LUẬN ...................................................................................................................59 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................60 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Theo quy định mới của bộ Giáo Dục và Đào Tạo, kỳ thi tốt nghiệp và xét đại học, môn Toán được đánh giá theo hình thức trắc nghiệm. Vì thế khối lượng kiến thức được kiểm tra sẽ nhiều hơn, rộng hơn. Để giải quyết tốt được chúng, học sinh không chỉ cần nắm chắc kiến thức mà còn cần rất nhiều kỹ năng giải toán, biết giải một dạng toán bằng nhiều cách, biết giải cách nào để cho đáp số nhanh nhất…Trong chương trình toán bậc Trung học phổ thông một công cụ có thể áp dụng để giải quyết rất nhiều dạng toán như: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số… đó chính là đạo hàm của hàm số. Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc đối với học sinh Trung học phổ thông. Nội dung này đã được đề cập trong chương trình kì 2 của lớp 11. Và sau đó, nó được vận dụng xuyên suốt trong quá trình giải nhiều dạng toán trong chương trình lớp 12. Nó là một kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh trung học phổ thông. Mặc dù vậy để nắm vững khái niệm đạo hàm, tính chất của đạo hàm và sử dụng linh hoạt các kiến thức này vào giải quyết từng dạng toán khác nhau lại là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản. Từ những lý do trên, với vai trò sẽ là một giáo viên tương lai, tôi mong muốn bản thân sẽ thuần thục và biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức đạo hàm vào giải quyết một số dạng toán sơ cấp, để sau này truyền lại cho học sinh của mình những phương pháp đó. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm giải một số dạ ng toán sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thông” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng đạo hàm vào giải một số dạng bài tập trong chương trình phổ thông, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến hàm số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối lượng nghiên cứu: Dùng đạo hàm để giải quyết một số dạng bài tập phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình Trung học phổ thông. 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp kiến thức. - Tham khảo ý kiến chuyên gia. 2 5. Lịch sử nghiên cứu 6. Đóng góp của đề tài Khóa luận sau khi hình thành sẽ là một tài liệu tham khảo về giải toán sơ cấp bằng phương pháp đạo hàm cho các bạn đọc quan tâm. 7. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Ứng dụng đạo hàm giải toán một số dạng toán sơ cấp Phần tài liệu tham khảo và phụ lục. 3 NỘI DUNG Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số khái niệm cơ bản  4 1.1.1. Giới hạn của hàm số 1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1.1. Giới hạn hữu hạn Giả sử  ;a b là một khoảng chứa điểm 0x và f là một hàm số xác định trên tập hợp    0\;a b x . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số ( )nx trong tập hợp    0\;a b x (tức là nx   ;a b và nx  0x với mọi n ) mà 0lim nx x , ta đều có lim ( )nf x L . Khi đó ta viết: 0 lim ( ) x x f x L   hoặc ( )f x L khi 0x x . Ví dụ 1.1. Tìm 0 1 lim cos x x x        . Giải: Xét hàm số   1 cosf x x x  . Với mọi dãy số  nx mà 0nx  với mọi n và lim 0nx  , ta có   1 cosn n n f x x x  . Vì:   1 cosn n n n f x x x x   và lim 0nx  . Nên  lim 0nf x  . Do đó  0 0 1 lim lim cos 0 x x f x x x         . Định nghĩa 1.2. Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Chẳng hạn,   0 lim x x f x    có nghĩa là với mọi dãy  nx trong tập hợp    0; \a b x mà 0lim nx x , ta đều có  lim nf x   . Ví dụ 1.2. Tìm  2 1 3 lim 1x x  . Giải: Xét hàm số     2 3 1 f x x   . Với mọi dãy số  nx mà 1nx  với mọi n và lim 1nx  , ta có     2 3 1 n n f x x   . Vì lim 3 3 0  ,   2 lim 1 0nx   và   2 1 0nx   với 4 mọi n nên  lim nf x   . Do đó    21 1 3 lim lim 1x x n f x x      . 1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực - Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  ;a  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến  nếu với mọi dãy số  nx trong khoảng  ;a  (tức là nx a với mọi n ) mà lim nx   , ta đều có:  lim nf x L . Khi đó ta viết  lim x f x L   hoặc  f x L khi x   . - Các giới hạn  lim x f x    ,  lim x f x    ,  lim x f x L   ,  lim x f x    ,  lim x f x    được định nghĩa tương tự. Ví dụ 1.3. 1 lim 0 x x   , vì với mọi dãy số âm  nx mà lim nx   , ta đều có 1 lim 0 nx  . 1.1.1.3 Giới hạn một bên Định nghĩa 1.4. Giới hạn bên phải - Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  0 ;x b ( 0x  ). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số  nx trong khoảng  0 ;x b mà 0lim nx x , ta đều có  lim nf x L . Khi đó ta viết   0 lim x x f x L    hoặc  f x L khi 0x x   . - Các định nghĩa   0 lim x x f x     ,   0 lim x x f x     được phát biểu tương tự. Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn   2 3 6 lim 2 x x x      . Giải: Với 2x   , ta có  3 6 3 2 0x x    . Do đó      2 2 2 3 6 3 6 lim lim lim 3 3 2 2x x x x x x x                . Định nghĩa 1.5. Giới hạn bên trái 5 - Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  0;a x ( 0x  ). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số  nx trong khoảng  0;a x mà 0lim nx x , ta đều có  lim nf x L . Khi đó ta viết   0 lim x x f x L    hoặc  f x L khi 0x x   - Các định nghĩa   0 lim x x f x     ,   0 lim x x f x     được phát biểu tương tự. Ví dụ 1.5. Tìm giới hạn 2 2 3 2 lim 2 x x x x      . Giải: Ta có      2 1 23 2 1 2 2 2 x xx x x x x x          , với mọi 2x  . Do đó   2 2 2 3 2 lim lim 1 2 0 2x x x x x x x           . 1.1.2. Hàm số liên tục Định nghĩa 1.6. Hàm số liên tục tại một điểm Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  ;a b và 0x   ;a b . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm 0x nếu 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   . Hàm số không liên tục tại điểm 0x được gọi là gián đoạn tại điểm 0x . Ví dụ 1.6. Hàm số   3 2 1f x x x   xác định trên và có :      3 3 3 3 lim lim 2 1 3 2.3 1 32 3 x x f x x x f           Nên hàm số  f x liên tục tại 0 3x  . Định nghĩa 1.7. Hàm số liên tục trên một khoảng Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó. Ví dụ 1.7. Hàm số   2 8 2f x x  xác định trên đoạn  2; 2 và  0 2;2x   ta có:     0 0 2 2 0 0lim lim 8 2 8 2 x x x x f x x x f x        . Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng  2; 2 . Định nghĩa 1.8. Hàm số liên tục trên một đoạn 6 Hàm số f xác định trên đoạn  ;a b được gọi là liên tục trên đoạn  ;a b nếu nó liên tục trên khoảng  ;a b và lim ( ) ( ) x a f x f a    , lim ( ) (b) x b f x f    . Ví dụ 1.8. Ta có hàm số   2 8 2f x x  liên tục trên khoảng  2; 2 (VD 1.7) . Mặt khác:         2 2 2 lim lim 8 2 0 2 x x f x x f           ;     2 2 2 lim lim 8 2 0 2 x x f x x f        . Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn  2; 2 . 1.1.3. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1.9. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số  y f x xác định trên khoảng  ;a b và điểm 0x thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số 0 0 ( ) ( )f x f x x x   khi x dần đến 0x được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm 0x , kí hiệu là '''' 0( )f x hoặc '''' 0( )y x , nghĩa là 0 '''' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x     . Trong định nghĩa trên, nếu đặt 0x x x   và 0 0( ) ( )y f x x f x     thì ta có '''' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x        0 lim x y x      . Ví dụ 1.9. Tính đạo hàm của hàm số 2 y x tại điểm 0 2x  . Giải: Đặt   2 f x x , ta có:         2 2 0 0 2 2 4y f x x f x x x x              0 0 lim lim 4 4 x x y x x          . Vậy  '''' 2 4f  1.1.4. Đạo hàm một bên tại một điểm Định nghĩa 1.10. Đạo hàm bên phải Cho hàm số f xác định trên nửa khoảng  0 ;x b . Giới hạn bên phải (nếu có) của tỉ số 0 0 ( ) ( )f x f x x x   khi x dần đến 0x được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số đã cho tại điểm 0x , kí hiệu '''' 0( )f x  hoặc '''' 0( )y x  . 7 0 '''' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x       . Ví dụ 1.10. Tính đạo hàm bên phải của hàm số   2 2f x x x  tại điểm 0x  . Giải: Ta có       2 '''' 0 0 0 2 0 lim lim 2 0x x f x f x x f x x            . Định nghĩa 1.11. Đạo hàm bên trái Cho hàm số f xác định trên nửa khoảng  0;a x . Giới hạn bên trái (nếu có) của tỉ số 0 0 ( ) ( )f x f x x x   khi x dần đến 0x được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số đã cho tại điểm 0x , kí hiệu '''' 0( )f x  hoặc '''' 0( )y x  . 0 '''' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x       . Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên. Ví dụ 1.11. Tính đạo hàm bên trái của hàm số   2 2f x x x  tại điểm 0x  . Giải: Ta có       2 '''' 0 0 0 2 0 lim lim 2 0x x f x f x x f x x           . 1.1.5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng Định nghĩa 1.12. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng Cho hàm số f xác định trên tập J , trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó. - Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm '''' ( )f x tại mọi điểm x thuộc J . - Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số '''' f xác định bởi , '''' ( ) : x f x f J   gọi là đạo hàm của hàm số f . Đạo hàm của hàm số ( )y f x cũng được kí hiệu bởi '''' y . Ví dụ 1.12. Tìm đạo hàm của hàm số 3 y x trên khoảng  ;  . Giải: Với mọi  ;x    ta có:    3 3 2 2 3 3 .y x x x x x x x x           .  2 2 2 0 0 lim lim 3 3 . 3 x x y x x x x x x            . Vậy hàm số 3 y x có đạo hàm trên khoảng  ;  và  '''' 2 3y x x . Định nghĩa 1.13. Đạo hàm của hàm số trên một đoạn Cho hàm số f xác định trên tập K , trong đó K một đoạn. 8 Hàm số f gọi là có đạo hàm trên đoạn  ;K a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  ;a b , có đạo hàm bên phải tại a và có đạo hàm bên trái tại b . Ví dụ 1.13. Chứng minh hàm số 2 y x có đạo hàm trên đoạn  2; 2 . Giải: Với mọi  2; 2x   ta có:     2 2 2y x x x x x x         .  0 0 lim lim 2 2 x x y x x x x          . Suy ra hàm số 3 y x có đạo hàm trên khoảng  2; 2 và  '''' 2y x x . Ta có :         '''' 2 2 ( ) ( 2) ( 2 ) lim lim 2 4 2x x f x f f x x                 .   '''' 2 2 ( ) (2) (2 ) lim lim 2 4 2x x f x f f x x           . Vậy hàm số 2 y x có đạo hàm trên đoạn  2; 2 . Định nghĩa 1.14. Đạo hàm của hàm số trên một nửa khoảng Cho hàm số f xác định trên tập K , trong đó K là một nửa khoảng. - Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng  ;K a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  ;a b và có đạo hàm bên phải tại a . (Tương tự nếu  ;K a  ). - Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng  ;K a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  ;a b và có đạo hàm bên trái tại b . (Tương tự nếu  ;K b  ). Ví dụ 1.14. Hàm số y x có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng  ;0 . 1.1.6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Ý nghĩa: Đạo hàm của hàm số  y f x tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0 0 0( ; ( ))M x f x . Chú ý: Nếu hàm số  y f x có đạo hàm tại điểm 0x thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0 0 0( ; ( ))M x f x có phương trình là     0 0 0''''y f x x x f x  . Ví dụ 1.15. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y x tại điểm  0 2; 4M Giải: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số   2 f x x tại 0 2x  . 9 - Tính y           2 2 0 0 2 2 4y f x x f x x x x             . - Tính giới hạn  0 0 lim lim 4 4 x x y x x          . Vậy  '''' 2 4f  . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  4 2 4y x   hay 4 4y x  . 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm  4 1.2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lí 1.1. Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Nếu hàm số ( )u u x và ( )v v x có đạo hàm trên J (tập con của gồm một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng) thì hàm số    y u x v x  ,    y u x v x  ,    y u x v x ,     u x y v x    0v x  cũng có đạo hàm trên J , và a)  '''' '''' '''' ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x   ; b)  '''' '''' '''' ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x   ; c)  '''' '''' '''' ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )u x v x u x v x u x v x  ; (Đặc biệt nếu k là hằng số thì  '''' '''' . ( ) . ( )k u x k u x ) d) '''' '''' '''' 2 ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x        . 1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp Định nghĩa 1.15. Hàm số hợp Cho hai hàm số  y f x và  u u x . Thay thế biến u trong biểu thức  f u bởi biểu thức  u x , ta được biểu thức  f u x   với biến x . Khi đó, hàm số  y g x với    g x f u x    được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u ; hàm số u gọi là hàm số trung gian. Định lí 1.2 . Cách tính đạo hàm của hàm số hợp a) Nếu hàm số  u u x có đạo hàm tại mọi điểm 0x và hàm số  y f x có đạo hàm tại điểm  0 0u u x thì hàm số hợp    g x f u x    có đạo hàm tại điểm 0x , và      '''' '''' '''' 0 0 0.g x f u u x . b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp  y g x có đạo hàm trên J , và      '''' '''' '''' .g x f u x u x    . 10 1.2.3. Đạo hàm của hàm số ngược Định lí 1.3. Giả sử hàm số  u u x liên tục tăng nghiêm ngặt trong khoảng  ;a b và giả thiết rằng  x u  là hàm ngược xác định trong lân cận của điểm  0 0u u x ( 0x   ;a b ). Khi đó, nếu hàm số  u u x có đạo hàm tại 0x x và   '''' 0 0u x  thì hàm số  x u  có đạo hàm tại 0u u , ta có     '''' '''' 0 1 u u x   . 1.2.4. Bảng công thức đạo hàm TT Hàm số Đạo hàm theo x Đạo hàm theo  u u x 1 Hàm hằng '''' ( ) 0C  '''' '''' ( . ) .C u C u 2 Hàm lũy thừa '''' 1 ( ) .x x      ,  1     '''' 1 2 x x  , 0x  '''' 2 1 1 x x       , 0x   '''' '''' 1 . .u u u      ,  1      '''' '''' 2 u u u  , ( ) 0u u x  '''' '''' 2 1 u u u       , ( ) 0u u x  3 Hàm mũ  ''''x x e e   '''' .lnx x a a a , 0 1a   '''' '''' .u u e u e  '''' '''' . .lnu u a u a a , 0 1a  4 Hàm logarit  '''' 1 ln x x   '''' 1 log ln x a x a  , 0x    '''' '''' ln u u u    '''' '''' log ln u a u u a  , 0u  5 Hàm lượng giác   '''' s in cosx x   '''' cos sinx x   '''' 2 2 1 tan 1 tan cos x x x       '''' 2 2 1 cot 1 cot sin x x x       '''' '''' sin .cosu u u  '''' '''' cos .sinu u u    '''' '''' 2 2 tan 1 tan cos u u u u        '''' '''' 2 2 cot 1 cot sin u u u u      1.3. Đạo hàm cấp cao  4 Định nghĩa 1.16. Đạo hàm cấp một '''' f và đạo hàm cấp hai '''''''' f của hàm số f còn được kí hiệu lần lượt là (1) f và (2) f . Nếu (2) f là một hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của 11 nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f , kí hiệu là (3) f . Tương tự, đạo hàm cấp n của một hàm số được định nghĩa như sau: Cho hàm số f có đạo hàm cấp 1n  (với n  , 2n  ) là ( 1) n f  . Nếu ( 1) n f  là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu ( ) n f . Nói cách khác, ''''( ) ( 1)n n f f      , ( n  , 2n  ). Đạo hàm cấp n của hàm số ( )y f x còn được kí hiệu là ( ) n y . Ví dụ 1.16. Đối với hàm số s iny x , ta có: '''' cosy x ;  '''''''''''' cos s iny x x   ;    ''''3 s in cosy x x    ;    ''''4 cos s iny x x   ;    ''''5 s in cosy x x  ; … 1.4. Một số định lí liên quan  7 1.4.1. Định lí 1.4. (Định lí Weierstrass) Nếu hàm số ( )f x liên tục trên đoạn  ;a b thì nó đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn đó. Chứng minh: Do  f x bị chặn trên  ;a b nên      ; Sup x a b M f x    , giả sử  f x M vì nếu trái lại thì M không đạt đến được. Xét hàm     1 x M f x    liên tục trên  ;a b nên   1 f x M        (trái với M là cận trên đúng). Vậy    0 0; :x a b f x M   , tức M là giá trị lớn nhất của  f x trên  ;a b . Chứng minh tương tự đối với giá trị bé nhất. Ví dụ 1.17. Hàm số 2 2y x x   liên tục trên đoạn 2; 2   thì nó có 2 ; 2 Max 2 x y      khi 1x  ; 2 ; 2 Min 2 x y       khi 2x   . 1.4.2. Định lí 1.5. (Định lí Lagrange) Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn  ;a b và có đạo hàm trên khoảng  ;a b . Khi đó tồn tại ít nhất một giá trị  ;c a b sao cho ''''( ) ( ) ( ) f b f a f c b a    hay '''' ( ) ( ) ( ).( )f b f a f c b a   . Chứng minh: Xét hàm số         . f b f a F x f x x b a     12 Vì ( )f x liên tục, có đạo hàm nên  F x là hàm liên tục trên đoạn  ;a b , có đạo hàm trên khoảng  ;a b và    F a F b . Theo định Rolle,  ;c a b  sao cho '''' ( ) 0F c  . Mà        '''' '''' f b f a F x f x b a     suy ra '''' ( ) ( ) ( ) f b f a f c b a    . Hay '''' ( ) ( ) ( ).( )f b f a f c b a   . Vậy định lí được chứng minh. Ví dụ 1.18. Chứng minh rằng phương trình cos cos 2 cos 3 0a x b x c x   có nghiệm với mọi , ,a b c . Giải: Xét hàm số   sin sin 2 sin 3 2 3 b c F x a x x x   liên tục và có đạo hàm trên  0;  và +  '''' cos cos 2 cos 3F x a x b x c x   . +    0 0F F    . Khi đó  0 0;x   sao cho       '''' 0 0 0 0 0 cos cos 2 cos3 0 0 F F F x a x b x c x          . Vậy phương trình có nghiệm  0 0;x  . 1.4.3. Định lí 1.6. (Định lí Rolle) Cho hàm số ( )f x xác định, liên tục trong đoạn  ;a b và khả vi trong khoảng  ;a b ; Khi đó, nếu ( ) ( )f a f b thì tồn tại ít nhất một điểm  ;c a b để '''' ( ) 0f c  . Chứng minh: Theo định lí Lagrange vì ( )f x liên tục trên đoạn  ;a b và có đạo hàm trên khoảng  ;a b nên tồn tại  ;c a b sao cho ''''( ) ( ) ( ) f b f a f c b a    . Nhưng vì ( ) ( )f a f b nên ta có '''' ( ) 0f c  . Nhận xét: Định lí Rolle là mở rộng của định lí Lagrange. Ví dụ 1.19. Cho 0 0a  và 20171 2 0 ... 0 2 3 2017 aa a a      . Chứng minh rằng phương trình 2017 0 1 2017... 0a a x a x    có nghiệm thuộc khoảng  0;1 . Giải: Xét hàm số: 13   2 2018 0 1 2017 ... 2 2018 x x F x a x a a    . Ta có hàm số  F x liên tục và có đạo hàm trên và +  '''' 2017 0 1 2017...F x a a x a x    . +  0 0F  ;   20171 2 01 ... 0 2 3 2017 aa a F a      . Khi đó theo định lí Rolle  0 0;1x  sao cho   '''' 0 0F x  tức 2017 0 1 2017... 0a a x a x    . Vậy phương trình 2017 0 1 2017... 0a a x a x    có nghiệm  0 0;1x  . 1.5. Tính đơn điệu của hàm số  5 Định lí 1.7. Tính đơn điệu của hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . - Nếu '''' 0f  với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I . - Nếu '''' 0f  với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . - Nếu '''' 0f  với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I . 1.6. Cực trị của hàm số  5 1.6.1. Khái niệm cực trị của hàm số Định nghĩa 1.17. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D  ) và 0x D . + 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b chứa điểm 0x sao cho  ;a b D và 0( ) ( )f x f x với mọi    0; \x a b x . Khi đó 0( )f x gọi là các giá trị cực đại của hàm số f . + 0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b chứa điểm 0x sao cho  ;a b D và 0( ) ( )f x f x với mọi    0; \x a b x . Khi đó 0( )f x gọi là các giá trị cực tiểu của hàm số f . Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị. 1.6.2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị Định lí 1.8. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại 0x thì   '''' 0 0f x  . Định lí 1.9. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  ;a b chứa điểm 0x và có đạo hàm trên các khoảng  0;a x và  0 ;x b . Khi đó 14 a) Nếu  '''' 0f x  với mọi  0;x a x và  '''' 0f x  với mọi  0 ;x x b thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x . b) Nếu  '''' 0f x  với mọi  0;x a x và  '''' 0f x  với mọi  0 ;x x b thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0x . Định lí 1.10. Quy tắc tìm cực trị của hàm số nếu có đạo hàm cấp hai Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  ,a b chứa điểm 0x ,   '''' 0 0f x  và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0x . a) Nếu   '''' 0 0f x  và   '''''''' 0 0f x  thì 0x là điểm cực đại của hàm f . b) Nếu   '''' 0 0f x  và   '''''''' 0 0f x  thì 0x là điểm cực tiểu của hàm f . 1.7. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số  5 Định nghĩa 1.18. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D  ). + Nếu tồn tại một điểm 0x D sao cho 0( ) ( )f x f x với mọi x D thì số 0( )M f x được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là max ( ) x D M f x   . + Nếu tồn tại một điểm 0x D sao cho 0( ) ( )f x f x với mọi x D thì số 0( )m f x được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là min ( ) x D m f x   . 1.8. Sự tiếp xúc của hai đường cong  5 Định nghĩa 1.19. Điều kiện tiếp xúc + Đường thẳng .y k x b  tiếp xúc với đường cong ( )y f x khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: '''' ( ) . ( ) f x k x b f x k      . Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đường trên. + Hai đường cong  1( ) :C y f x và  2( ) :C y g x tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: '''' '''' ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x     . Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong. Ví dụ 1.20. Chứng minh các đồ thị của hai hàm số 3 2 4y x x    1C và 2 3 6y x x     2C tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó. Giải: Hoành độ giao điểm của hai đường cong  1C và  2C là nghiệm của hệ phương 15 trình 3 2 2 2 4 3 6 3 2 2 3 x x x x x x x                  3 2 2 2 3 2 0 3 3 0 1 2 0 1 0 1 x x x x x x x                        Vậy hai đường cong  1C và  2C tiếp xúc với nhau tại điểm  1; 2A  . Chương 2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP 2.1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số 2.1.1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Phương pháp: Sử dụng định lí về tính đơn điệu của hàm số (Định lí 1.7). Cụ thể, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định. Bước 2: Tính đạo hàm '''' y rồi giải phương trình '''' 0y  . Bước 3: Lập bảng xét dấu của '''' y và kết luận. Một số bài toán: Bài 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 2 4 5 2 1 x x y x     . Giải: Ta có: 2 4 5 2 1 4 1 1 1 x x y x x x         . Miền xác định:  \ 1D   . Đạo hàm:   '''' 2 1 4 1 y x    ;   '''' 2 1 0 4 0 1 y x      1 2 x   hoặc 3 2 x   . Bảng xét dấu '''' y : 16 Từ bảng xét dấu trên suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 3 ; 2        và 1 ; 2        , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ; 1 2        và 1 1; 2        . Bài 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 3 4y x mx   m  . Giải: Miền xác định D  . Đạo hàm: '''' 2 12y x m  '''' 2 0 12 0y x m    . Xét tam thức bậc hai   2 12f x x m  , có 2 4 48b ac m     . Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu 0  0m  . Khi đó '''' 2 12 0y x m   x nên hàm số luôn luôn đồng biến trên . - Trường hợp 2: Nếu 0  0m  . Khi đó phương trình '''' 0y  có hai nghiệm là 1 12 m x    ; 2 12 m x   . Bảng xét dấu '''' y : Từ bảng xét dấu trên suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 12 m         và ; 12 m       , hàm số nghịch biến trên khoảng ; 12 12 m m        . Bài 3. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số   3 21 1 2 1 3 y m x mx mx      m  . Giải: Miền xác định D  . x  12 m  12 m  '''' y  0  0  17 Đạo hàm:  '''' 2 1 2 2y m x mx m    ;  '''' 2 0 1 2 2 0y m x mx m      . Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu 1 0m   1m   . Khi đó '''' 0 2 2 0 1y x x      . Khi đó ta có bảng xét dấu '''' y : Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng  1;  , hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 . - Trường hợp 2: Nếu 1 0 1m m     . Xét tam thức bậc hai     2 1 2 2f x m x mx m    , có hệ số 1a m  và  '''' ''''2 2 2 2 1 2b ac m m m m m         . Khi đó ta có bảng xét dấu: m  2 1 0  a   0   ''''   0   0   Với 2m   , ta có: '''' 0 0 a     . Khi đó '''' 0y  , x  , suy ra hàm số nghịch biến với mọi x  .  Với 2 1m    , ta có: '''' 0 0 a     Khi đó '''' 0y  có hai nghiệm phân biệt   2 1 2 1 m m m x m      ;   2 2 2 1 m m m x m      . Trường hợp này 0a  nên 2 1x x . Bảng xét dấu '''' y : x  1  '''' y  0  x   2 2 1 m m m m      2 2 1 m m m m      18 Từ bảng xét dấu ta có: - Hàm số đồng biến trên khoảng    2 2 2 2 ; 1 1 m m m m m m m m                . - Hàm số nghịch biến trên  2 2 ; 1 m m m m             và  2 2 ; 1 m m m m             .  Với 1 0m   , ta có: '''' 0 0 a     Khi đó '''' 0y  có hai nghiệm phân biệt   2 1 2 1 m m m x m      ;   2 2 2 1 m m m x m      . Trường hợp này 0a  nên 2 1x x . Bảng xét dấu '''' y : Từ bảng xét dấu ta có: - Hàm số đồng biến trên  2 2 ; 1 m m m m             và  2 2 ; 1 m m m m             . - Hàm số nghịch biến trên khoảng    2 2 2 2 ; 1 1 m m m m m m m m                .  Với 0m  , ta có: '''' '''' 0 0 0 a y     , x  , suy ra hàm số đồng biến với mọi x  . 2.1.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên mộ t khoảng cho trước Phương pháp: Sử dụng định lí về tính đơn điệu của hàm số (Định lí 1.7). '''' y  0  0  x   2 2 1 m m m m      2 2 1 m m m m      '''' y  0  0  19 Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng I cho trước, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số. Bước 2: Tính đạo hàm '''' y . Bước 3: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I '''' 0y  hoặc '''' 0y  , x I  . Bước 4: Kết luận. Một số bài toán: Bài 4. Cho hàm số 3 2 1 3 y ax ax x    . Tìm a  a  để hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của nó. Giải: Miền xác định D  . Đạo hàm: '''' 2 2 1y ax ax    . Hàm số luôn nghịch biến trên '''' 0y  , x  2 2 1 0ax ax     x  . Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu 0a  . Khi đó '''' 1 0y    , x nên hàm số luôn nghịch biến trên . Vậy 0a  thỏa mãn yêu cầu bài toán . (1) - Trường hợp 2: Nếu 0a  . '''' 0y  '''' '''' 2 0 0 0 0 1 0 0 10 y a a a x a aa a                        . (2) Từ (1) và (2) ta suy ra với 0 1a  thì hàm số luôn nghịch biến x  . Bài 5. Cho hàm số    3 2 3 2 1 12 5 2y x m x m x      . Xác định giá trị của m  m  để hàm số đồng biến trên  2; . Giải: Miền xác định D  . Đạo hàm:  '''' 2 3 6 2 1 12 5y x m x m     .      2'''' ''''2 2 9 2 1 3 12 5 6 6 1y b ac m m m         Hàm số đồng biến  2;x   '''' 0y   2;x   .   2 3 6 2 1 12 5 0x m x m       2;x   . 20 - Trường hợp 1: Nếu '''' 6 6 0 6 6 m      . Khi đó '''' 0y  x  suy ra '''' 0y   2;x   . Vậy 6 6 6 6 m   thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1) - Trường hợp 2: Nếu '''' 6 0 6 m     hoặc 6 6 m  . Khi đó '''' 0y  có hai nghiệm phân biệt :   2 1 6 6 1 2 1 3 m x m     ;   2 2 6 6 1 2 1 3 m x m     . Bảng xét dấu '''' y . Dựa theo bảng xét dấu '''' y , để '''' 0y   2;x     2 6 6 1 2 1 2 3 m m        2 6 6 1 3 6m m       2 2 3 6 0 6 6 1 3 6 m m m         1 2 5 12 m m         5 12 m  . (2) Từ (1) và (2) ta suy ra với 5 12 m  thì hàm số đồng biến trên  2; . Bài 6. Tìm  m m để hàm số 2 5 3 x mx y x     nghịch biến trên khoảng  1;0 . Giải: Miền xác định  \ 3D  . Đạo hàm:   2 '''' 2 6 3 5 3 x x m y x       . x    2 6 6 1 2 1 3 m m      2 6 6 1 2 1 3 m m     '''' y  0  0  21 Khi đó dấu của '''' y chính là dấu của tam thức bậc hai   2 6 3 5g x x x m     , có '''' ''''2 3 4g b ac m     . Hàm số nghịch biến trên  1;0 '''' 0y   1;0x     2 6 3 5 0g x x x m        1;0x   . - Trường hợp 1: Nếu '''' 4 0 3 g m      . Khi đó   0g x  x  nên '''' 0y  x  suy ra, '''' 0y   1;0x   . Vậy 4 3 m   thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1) - Trường hợp 2: Nếu '''' 4 0 3 g m      . Khi đó   0g x  có hai nghiệm phân biệt : 1 3 3 4x m   ; 2 3 3 4x m   . Bảng xét dấu  g x . Dựa theo bảng xét dấu  g x , để   0g x   1;0x   3 3 4 0 3 3 4 1 m m           3 3 4 0m    (vì 3 3 4 1m    không thể xảy ra) 3 3 4m   9 3 4m   5 3 m  (2) Từ (1) và (2) ta suy ra với 5 3 m  thì hàm số nghịch biến trên khoảng  1;0 . 2.1.3. Một số bài tập tự luyện Bài tập tự luận. Bài 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số s iny x x  . Bài 2. Tùy theo m , tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số  2 2 3 2 2 2 1y m m x x m      . Bài 3. Cho hàm số 4 mx y x m    . Xác định m để hàm số đồng biến trên  3; . x  3 3 4m  3 3 4m    g x  0  0  22 Bài 4. Cho hàm số 3 2 3y x x mx m    . Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Bài tập trắc nghiệm. Bài 1 . Tìm khoảng đồng biến của hàm số 2 2 1 1 x x y x     . A.  ;0 và  2;  B.  0;1 và   1; 2 C.  ; 1  và  2;  D.  1;0 và  1; 2 Bài 2 . Tìm khoảng nghịch biến của hàm số 2 1 x y x   . A.  2; 1  và  1;0 B.  ; 2  và  0;  C.  ;1 và  2;  D.  0;1 và  1; 2 Bài 3. Xác định m để để hàm số 1 mx y x m     luôn nghịch biến trên miền xác định. A.    ; 1 1;m     B.  ; 1m   C.  1;m  D.  1;1m  Bài 4. Xác định a để để hàm số 3 21 2 3 y ax ax x    nghịch biến trên  ; 1  . A. 1 0; 3 a      B.  ;0a   C. 1 ; 3 x        D. 1 0; 3 a       2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số 2.2.1. Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên để tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Sử dụng định lí điều kiện cần và định lí điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (Định lí 1.8 và Định lí 1.9). Dạng này sử dụng đối với các hàm số dễ dàng lập bảng biến thiên, ta có thể thực hiện các bước giải sau: Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính đạo hàm '''' y rồi giải phương trình '''' 0y  . Bước 3: Tính các giới hạn. Bước 4: Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận. Một số bài toán: Bài 1. Tìm cực trị của hàm số 3 2 4y x mx    . 23 Giải: Tập xác định: D  . Đạo hàm: '''' 2 3 2y x mx   '''' 0y  2 3 2 0x mx     3 2 0x x m    (1) Xét 3 trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu 0m  ta được '''' 2 3 0y x   x suy ra hàm số không có cực trị. - Trường hợp 2: Nếu 0m  khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 0x  và 2 2 3 m x  (ta có 1 2x x ). Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại tại 2 3 m x  và giá trị cực đại 3 D 4 4 27 C m y   . Hàm số đạt cực tiểu tại 0x  và giá trị cực tiểu 4CTy   . - Trường hợp 3: Nếu 0m  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 0x  và 2 2 3 m x  (ta có 1 2x x ). Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 2 3 m x  và giá trị cực tiểu 3 4 4 27 CT m y   . Hàm số đạt cực đại tại 0x  và giá trị cực đại D 4Cy   . Bài 2. Tìm cực trị của hàm số 2 4y x x  . Giải: x  0 2 3 m  '''' y  0  0  y  4 3 4 4 27 m   x  2 3 m 0  '''' y  0  0  y  3 4 4 27 m  4  24 Điều kiện: 2 4 0x   2 2x   . Vậy tập xác định  2; 2D   . Đạo hàm 2 '''' 2 4 2 4 x y x     2; 2x   ; 2 '''' 2 24 2 0 0 4 2 x x y x x            . Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 2x   và giá trị cực tiểu 2CTy   . Hàm số đạt cực đại tại 2x  và giá trị cực đại D 2Cy  . Bài 3. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số . x y x e Giải: Tập xác định D  . Đạo hàm: '''' .x x y e x e  ; '''' 0 . 0x x y e x e     1 0 1 x e x x      Giới hạn: lim 0 x y   và lim x    Bảng biến thiên: x  1  '''' y  0  y 0 1 e   Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  1;  , nghịch biến trên khoảng  ; 1  . Hàm số đạt cực tiểu tại 1x   và giá trị cực tiểu 1 CTy e   . Bài 4. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số 2 2 4y x x x   . Giải: Tập xác định: D  Lập bảng xét dấu hai biểu thức 2 x x và 2 4x  x  0 1 2  x 2 2 2 2 '''' y  0  0  y 0 2 2 0 25 2 x x  0  0  │  2 4x   │  │  0  Từ bảng xét dấu ta viết lại hàm số dưới dạng:         2 2 2 3 4 , ;0 1; 2 4 , 0;1 4 , 2; x x x y x x x x x x                   Đạo hàm:         '''' 2 3 , ;0 1; 2 2 1 , 0;1 2 1 , 2; x x x x y x x                Giới hạn: lim lim x x y y      Bảng biến thiên: Vậy hàm số giảm trên khoảng 3 ; 2       , hàm số tăng trên khoảng 3 ; 2       . Hàm số đạt cực tiểu tại 3 2 x  , giá trị cực tiểu 7 4 CTy  . 2.2.2. Dạng 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm cực trị của hàm số nếu hàm số có đạo hàm cấp hai (Định lí 1.10). Đối với các hàm số mà việc xác định dấu của '''' y khó khăn thì ta có thể thực hiện các bước sau để tìm cực trị của hàm số. Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính đạo hàm '''' y rồi giải phương trình '''' 0y  và kí hiệu  1, 2,...ix i  là các nghiệm của nó. Bước 3: Tính  '''''''' if x rồi kết luận + Nếu  '''''''' 0if x  thì hàm số đạt cực tiểu tại ix . + Nếu  '''''''' 0if x  thì hàm số đạt cực đại tại ix . Một số bài toán: Bài 5. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số .cos x y e x . Giải: x  1 2  0 1 3 2 2  '''' y  │  │  │  0  │  y  7 4  26 Miền xác định: D  . Đạo hàm: '''' .cos .sinx x y e x e x  ; '''' 0 .cos .sin 0 cos sin 0 4 x x y e x e x x x x k            , k  .  '''''''' .cos .sin .sin .cos 2 .sinx x x x x y e x e x e x ...

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 4 năm 2017

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo của cô giáo ThS Dương Thị Thu Thúy Em xin phép được gởi đến cô lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tâm của cô đối với bản thân em, không những trong quá trình làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập

Em cũng xin phép được gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy em trong suốt 4 năm học vừa qua, cũng như toàn thể thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, những người đã cho em kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận

Cuối cùng em xin phép được gởi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt quãng đường học tập vừa qua

Quảng Nam, ngày 24 tháng 4 năm 2017 SVTH

Triệu Thị Luận

M ỤC L ỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Lịch sử nghiên cứu 2

6 Đóng góp của đề tài 2

7 Cấu trúc đề tài 2

NỘI DUNG 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.1.1 Giới hạn của hàm số 3

1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 3

1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực 4

1.1.1.3 Giới hạn một bên 4

1.1.2 Hàm số liên tục 5

1.1.3 Đạo hàm của hàm số tại một điểm 6

1.1.4 Đạo hàm một bên tại một điểm 6

1.1.5 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng 7

1.1.6 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 8

1.7 Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số 14

1.8 Sự tiếp xúc của hai đường cong 14

2.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số 15

2.1.1 Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 15

2.1.2 Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước 18

2.1.3 Một số bài tập tự luyện 21

2.2 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số 22

2.2.1 Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên để tìm cực trị của hàm số 22

2.2.2 Dạng 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số 25

2.2.3 Một số bài tập tự luyện 27

2.3 Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 28

2.3.1 Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 28

2.3.2 Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát trực tiếp 31

2.3.3 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp 33

2.3.4 Một số bài tập tự luyện 36

2.4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm 37

2.5 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình 41

2.5.1 Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình 41

2.5.2 Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình 45

2.5.3 Một số bài tập tự luyện 48

2.6 Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình 49

2.6.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình 49

MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Theo quy định mới của bộ Giáo Dục và Đào Tạo, kỳ thi tốt nghiệp và xét đại học, môn Toán được đánh giá theo hình thức trắc nghiệm Vì thế khối lượng kiến thức được kiểm tra sẽ nhiều hơn, rộng hơn Để giải quyết tốt được chúng, học sinh không chỉ cần nắm chắc kiến thức mà còn cần rất nhiều kỹ năng giải toán, biết giải một dạng toán bằng nhiều cách, biết giải cách nào để cho đáp số nhanh nhất…Trong chương trình toán bậc Trung học phổ thông một công cụ có thể áp dụng để giải quyết rất nhiều dạng toán như: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số… đó chính là đạo hàm của hàm số

Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc đối với học sinh Trung học phổ thông Nội dung này đã được đề cập trong chương trình kì 2 của lớp 11 Và sau đó, nó được vận dụng xuyên suốt trong quá trình giải nhiều dạng toán trong chương trình lớp 12 Nó là một kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh trung học phổ thông Mặc dù vậy để nắm vững khái niệm đạo hàm, tính chất của đạo hàm và sử dụng linh hoạt các kiến thức này vào giải quyết từng dạng toán khác nhau lại là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản

Từ những lý do trên, với vai trò sẽ là một giáo viên tương lai, tôi mong muốn bản thân sẽ thuần thục và biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức đạo hàm vào giải quyết một số dạng toán sơ cấp, để sau này truyền lại cho học sinh của mình những

phương pháp đó Vì vậy, tôi chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm giải một số dạng toán

sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thông” cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu việc ứng dụng đạo hàm vào giải một số dạng bài tập trong chương trình phổ thông, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến hàm số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối lượng nghiên cứu: Dùng đạo hàm để giải quyết một số dạng bài tập phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình Trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức

- Tham khảo ý kiến chuyên gia

5 Lịch sử nghiên cứu 6 Đóng góp của đề tài

Khóa luận sau khi hình thành sẽ là một tài liệu tham khảo về giải toán sơ cấp bằng phương pháp đạo hàm cho các bạn đọc quan tâm

7 Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Ứng dụng đạo hàm giải toán một số dạng toán sơ cấp Phần tài liệu tham khảo và phụ lục

NỘI DUNG

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm cơ bản  4

1.1.1 Giới hạn của hàm số

1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1.1 Giới hạn hữu hạn

hợp    a b; \ x0 Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0

(hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )xn trong tập hợp    a b; \ x0 (tức là xn  a b;

và xn  x0 với mọi n) mà limxn x0, ta đều có lim ( )f xn L

Định nghĩa 1.2 Giới hạn vô cực

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn

xxf x

  có nghĩa là với mọi dãy

 xn trong tập hợp    a b; \ x0 mà limxn x0, ta đều có limf x n  

mọi n nên lim f x n   Do đó  

1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 1.3 Giới hạn của hàm số tại vô cực

a; (tức là xn a với mọi n) mà limxn , ta đều có:

Định nghĩa 1.4 Giới hạn bên phải

với mọi dãy số  xn trong khoảng x b0;  mà limxnx0, ta đều có limf x n L

- Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a x; 0 (x0 ) Ta nói rằng hàm số f

số  xn trong khoảng a x; 0 mà limxn x0, ta đều có lim f x n L

Định nghĩa 1.6 Hàm số liên tục tại một điểm

Nên hàm số f x  liên tục tại x03

Định nghĩa 1.7 Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 1.8 Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số f xác định trên đoạn  a b; được gọi là liên tục trên đoạn  a b; nếu nó liên tục trên khoảng  a b; và

1.1.3 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1.9 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

1.1.4 Đạo hàm một bên tại một điểm

Định nghĩa 1.10 Đạo hàm bên phải

Định nghĩa 1.11 Đạo hàm bên trái

Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên

Ví dụ 1.11 Tính đạo hàm bên trái của hàm số f x x22x tại điểm x0

1.1.5 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng

Định nghĩa 1.12 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Ví dụ 1.12 Tìm đạo hàm của hàm số y x 3 trên khoảng  ; 

Giải: Với mọi x   ;  ta có:

Định nghĩa 1.13 Đạo hàm của hàm số trên một đoạn

Hàm số f gọi là có đạo hàm trên đoạn K  a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi

Ví dụ 1.13 Chứng minh hàm số yx2 có đạo hàm trên đoạn 2; 2

Giải: Với mọi x  2; 2 ta có:

Định nghĩa 1.14 Đạo hàm của hàm số trên một nửa khoảng

Ví dụ 1.14 Hàm số y x có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng 0; và có đạo

1.1.6 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Ý nghĩa: Đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm

x là hệ số góc của tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0

Chú ý: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x thì tiếp tuyến của đồ thị hàm 0

số tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0 có phương trình là

'

y f xx x  f x

Ví dụ 1.15 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx2 tại điểm M0 2; 4

Giải: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số f x x2 tại x02

1.2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lí 1.1 Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

bởi biểu thức u x , ta được biểu thức f u x   với biến x Khi đó, hàm số yg x 

với g x  f u x   được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian

Định lí 1.2 Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

1.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược

Định lí 1.3 Giả sử hàm số u u x   liên tục tăng nghiêm ngặt trong khoảng  a b; và

nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f , kí hiệu là f(3) Tương tự, đạo hàm cấp n của

một hàm số được định nghĩa như sau:

Vậy  x0  a b f x; :  0 M, tức M là giá trị lớn nhất của f x  trên  a b; Chứng minh tương tự đối với giá trị bé nhất

Vì f x( ) liên tục, có đạo hàm nên F x  là hàm liên tục trên đoạn  a b; , có đạo Vậy định lí được chứng minh

Ví dụ 1.18 Chứng minh rằng phương trình acosx bcos 2x ccos 3x0 có nghiệm

'( ) 0

f c 

Chứng minh:

1.5 Tính đơn điệu của hàm số  5

Định lí 1.7 Tính đơn điệu của hàm số

1.6 Cực trị của hàm số  5

1.6.1 Khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa 1.17 Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D  ) và x0D + x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b;

chứa điểm x0 sao cho  a b; D và f x( ) f x( )0 với mọi x   a b; \ x0

điểm x0 sao cho  a b; D và f x( ) f x( )0 với mọi x   a b; \ x0

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị

a) Nếu f x' 0 với mọi xa x; 0 và f x' 0 với mọi xx b0;  thì hàm số

b) Nếu f x' 0 với mọi xa x; 0 và f x' 0 với mọi xx b0;  thì hàm số

Định lí 1.10 Quy tắc tìm cực trị của hàm số nếu có đạo hàm cấp hai

Định nghĩa 1.18 Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D  )

1.8 Sự tiếp xúc của hai đường cong  5 Định nghĩa 1.19 Điều kiện tiếp xúc

độ tiếp điểm của hai đường trên

+ Hai đường cong ( ) :C1 y f x  và ( ) :C2 y g x   tiếp xúc với nhau khi và

hoành độ tiếp điểm của hai đường cong

Ví dụ 1.20 Chứng minh các đồ thị của hai hàm số y x 3 x2 4  C1 và

y  xx  C2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó

Giải: Hoành độ giao điểm của hai đường cong  C1 và  C2 là nghiệm của hệ phương

Chương 2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP 2.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số

2.1.1 Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

* Phương pháp:

Sử dụng định lí về tính đơn điệu của hàm số (Định lí 1.7) Cụ thể, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định

2.1.2 Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước

Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng I cho

trước, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số

Vậy a0 thỏa mãn yêu cầu bài toán (1)

Bài 5 Cho hàm số y x 3 3 2 m1x212m5x2 Xác định giá trị của m m 

Khi đó dấu của y' chính là dấu của tam thức bậc hai g x   x2 6x3m5, có

Bài 1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm sốy x s inx

Bài 2 Tùy theo m, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 4 Cho hàm sốy x 33x2mx m Xác định m để hàm số nghịch biến trên

Dạng này sử dụng đối với các hàm số dễ dàng lập bảng biến thiên, ta có thể thực hiện các bước giải sau:

Bài 3 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số y x e x

các bước sau để tìm cực trị của hàm số

+ Nếu f x'' i 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi + Nếu f x'' i 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi

Miền xác định: D

Đạo hàm: y'ex.cosx e x.sinx;

Khi đó hoành độ điểm cực đại là

2.3 Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2.3.1 Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

* Phương pháp:

Đối với dạng toán này ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

 

nhỏ nhất của hàm số để giải (Định nghĩa 1.18)

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn ta thực hiện theo các bước:

x a b Giả sử các nghiệm là x x1, , 2

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 2x2 trên  2; 2

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Sử dụng định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Định nghĩa 1.18)

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng khảo sát trực tiếp, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa trên bảng biến

Bài 6 Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V Cạnh đáy của hình lăng trụ

đó phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó là nhỏ nhất

Bài 7 Cho phương trình x22a6x a  13 0 với a1 Tìm a a  để nghiệm lớn của phương trình đạt giá trị lớn nhất

2.3.3 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp

* Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (Định nghĩa 1.18)

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián

tiếp được sử dụng thông qua việc thực hiện đối số mới t để đưa hàm số ban đầu về

Vậy giá trị lớn nhất của 25

Bài 10 Cho tam giác nhọn ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 sin2 1 sin2 1 sin2 

nên cosA B cosC)

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ysin20xcos20x

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2

 C qua A x y A; A, ta thực hiện theo các bước

Phương trình tiếp tuyến qua M20; 1  là:y  2x 1

Bài 2 Tìm trên trục hoành những điểm mà qua đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ

Giải:

Bài 4 Cho hàm số y x 33x1 có đồ thị  C và đường thẳng  d :y mx m  3 Tìm m để  d cắt  C tại M1;3; N ; P sao cho tiếp tuyến của  C tại Nvà P

vuông góc với nhau

Bài 2 Tìm trên đường thẳng  d :y2x1 những điểm kẻ được đúng một tiếp

*Bài tập trắc nghiệm

Bài 1 Cho đồ thị  C của hàm số y f x x4x21 Tìm các điểm A Oy kẻ

2.5 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình

2.5.1 Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

* Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (Định lí 1.7)

Để sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có các cách giải sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

- Tính f x' , chứng minh f x' 0  x D hoặc f x' 0  x D