Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232

Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232 hcmut. Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232. Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232.Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232.

Trang 1

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1

HCMUT-CNCP GÓC HỌC TẬP BÁCH KHOA

Phương Pháp Tính

Bí Quyết Chinh Phục

Giữa Kì

Trang 2

4.Các dạng toán hay thi 5

CHƯƠNG 2: HÀM PHI TUYẾN 7

CHƯƠNG 4: NỘI SUY ĐA THỨC 37

1.Tìm đa thức nội suy bằng giải hệ phương trình 37

2.Tìm đa thức nội suy bằng phương pháp Lagrange 38

3.Tìm đa thức nội suy bằng phương pháp Newton tiến và lùi 41

4.Phương pháp Spline bậc 3 tự nhiên và có ràng buột 41

4.1/Phương pháp spline tự nhiên 42

4.2/Phương pháp spline có điều kiện 𝑔′𝑎 = 𝛼; 𝑔′𝑏 = 𝛽: 44

5.Phương pháp bình phương cực tiểu(bình phương bé nhất) 46

5.1/Hàm 𝑓(𝑥) có dạng 𝐴 + 𝐵𝑋 hoặc 𝐴 + 𝐵𝑋 + 𝐶𝑋2 46

5.2/Hàm 𝑓(𝑥) có dạng 𝐴𝑝𝑥 + 𝐵𝑞(𝑥) 47

Trang 3

Máy tính sẽ sử dụng trong khóa học là Fx 580 (các loại máy khác hoàn toàn tương tự)

CHƯƠNG 1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1.Sai số

Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số

Số a được gọi là số gầnđúng của số chính xác A, kí hiệu là 𝑎 ≈ 𝐴 nếu a khác A không đáng kể và được dùng thay cho A trong tính toán

Đại lượng gần đúng ∆= |𝑎 − 𝐴| được gọi là sai số tuyệt đối của số

Trongthực tế, do không biết số chính xác A, ta ước lượng một đại lượng dương a càng bé càng tốt thỏa điều kiện |𝑎 − 𝐴| ≤ ∆𝑎 được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng a

Trong thực tế ta sẽ ký hiệu 𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎

Trang 4

Ví dụ Bán kính miệng giếng là 𝑅 = 1,2 ± 0,01(𝑚)

Sai số tương đối của số gần đúng a so với số chính xác A là đại lượng nhỏ hơn hoặc bằng a, với a được tính theo công thức:

Sai số tương đối ≤ 𝛿𝑎 =|𝐴−𝑎| |𝐴|

Trên thực tế thì A không xác định được nên 𝛿𝑎 =∆𝑎|𝑎|

2.Chữ số có nghĩa

Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải

Ví dụ:

 Số 78.05 có 4 chữ số có nghĩa  Số 0.00047 có 2 chữ số có nghĩa  Số 78.0500 có 6 chữ số có nghĩa 3 Quy tắc làm tròn (xem live để dễ hiểu)

Làm tròn quá bán (thường dùng ở bài toán xác định nghiệm)

Làm tròn lên (thường dùng ở bài toán xác định sai số, hệ số co, hệ số điều kiện)

Cho số gần đúng 𝑎 với sai số tuyệt đối là ∆𝑎, số chữ số đánh tin bên phải dấu phẩy 𝑘 ≤ − log10(2∆𝑎) Còn lại là chữ số không đánh tin

Ví dụ: Cho số gần đúng 𝑎 = 42,42357 với sai số tuyệt đối là ∆𝑎= 0,0058 Xác định các chữ số đáng tin và không đáng tin

Ta có: 𝑘 ≤ − log10(2∆𝑎) → 𝑘 ≤ 1,9355 → 𝑘 = 1 (chọn số nguyên lớn nhất mà nhỏ hơn 1,9355)

Trang 5

Vậy số gần đúng 𝑎 = 42,42357 có 3 chữ đáng tin là 4;2;4 và có 4 chữ số không đáng tin là 2;3;5;7

Ví dụ (đề thi): Cho số gần đúng 𝑎 = 13,2618 với sai số tương đối là 𝛿𝑎 = 0,056% Số chữ số đánh tin trong cách viết thập phân của a là:

Ví dụ (đề thi): Cho số gần đúng 𝑎 = 89,83 với sai số tương đối là 𝛿𝑎 = 0,078% Số chữ số đánh tin trong cách viết thập phân của a là:

4.Các dạng toán hay thi

5.1/ Biết A có giá trị gần đúng là 𝑎 với sai số tương đối (hoặc tuyệt đối) là 𝛿𝑎 Ta làm tròn 𝑎 thành 𝑎∗ theo nguyên tắc quá bán (hoặc làm tròn lên) Tính sai số tuyện đối (tương đối) của 𝑎∗, kí hiệu ∆𝑎∗

Ta có: ∆𝑎∗= |𝐴 − 𝑎∗| = |𝐴 − 𝑎| + |𝑎 − 𝑎∗| = ∆𝑎+ |𝑎 − 𝑎∗|

Với |𝑎 − 𝑎∗| gọi là sai số làm tròn

Ví dụ: Biết A có giá trị gần đúng là 𝑎 = 4,2556 với sai số tương đối (hoặc tuyệt đối) là 𝛿𝑎 = 0,047% Ta làm tròn 𝑎 thành 𝑎∗ theo nguyên tắc quá bán đến chữ số thập phân thứ 2 sau dấu phẩy Tính sai số tuyện đối 𝑎∗

Bài giải

Làm tròn a theo nguyên tắc quá bán đến chữ số thập phân thứ 2 sau dấu phẩy là thành 𝑎∗= 4,26

∆𝑎∗= |𝐴 − 𝑎∗| = |𝐴 − 𝑎| + |𝑎 − 𝑎∗| = 4,2556 ∗ 0,047% + |4,2556 − 4,26| ≈ 0,0065 (bài toán sai số nên phải làm tròn lên)

Ví dụ: Biết A có giá trị gần đúng là 𝑎 = 2,0266 với sai số tương đối là 𝛿𝑎 = 0,047% Ta làm tròn 𝑎 thành 𝑎∗= 2,03 Tính sai số tuyện đối 𝑎∗

5.2/ Tính sai số của hàm một và nhiều biến

∆𝑎 sai số làm tròn

∆𝑎∗

Trang 6

Cho hàm 𝑓(𝑥) với 𝑥 = 𝑎 ± ∆𝑥

 Sai số tuyệt đối của hàm 𝑓(𝑥) là 𝑓′(𝑎) ∗ ∆𝑥  Sai số tương đối của hàm 𝑓(𝑥) là 𝑓′(𝑎)∗∆𝑥

𝑓(𝑎) Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) với 𝑥 = 𝑎 ± ∆𝑥, 𝑦 = 𝑏 ± ∆𝑦

 Sai số tuyệt đối của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) là 𝑓𝑥′(𝑎, 𝑏) ∗ ∆𝑥+𝑓𝑦′(𝑎, 𝑏) ∗ ∆𝑦  Sai số tương đối của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) là 𝑓𝑥′(𝑎,𝑏)∗∆𝑥+𝑓𝑦′(𝑎,𝑏)∗∆𝑦

𝑥= 0,0060 → sai số tuyệt đối 𝑓 là 𝑓′(3,2623)∗ ∆𝑥= 0,19757

Ví dụ (đề thi): Cho biểu thức 𝑓 = 𝑥3+ 𝑥𝑦 + 𝑦3 Biết 𝑥 = 3,2623 ± 0,0060, 𝑦 = 1,9362 ± 0,0014 Sai số tuyệt đối của 𝑓 là:

Ví dụ (đề thi): Cho hàm số 𝑓 = 𝑥2+ ln (1 + 𝑥) với 𝑥 = 1,3432 ± 0,0015 Làm tròn 𝑓 thành 𝑓∗ đến hai chữ số sau dấy phẩy thập phân theo nguyên tắc quá bán Sai số tuyển đối của 𝑓∗

Trang 7

CHƯƠNG 2: HÀM PHI TUYẾN

Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 với 𝑓 (𝑥) là hàm liên tục trên một khoảng đóng hay mở nào đó

1.Khoảng ly nghiệm

Khoảng đóng [a,b] hoặc khoảng mở (a,b) mà trên đó tồn tại duy nhất một nghiệm gọi là khoảng cách ly nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 được gọi là khoảng cách ly nghiệm Định lý: Giả sử hàm 𝑓(𝑥) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) Nếu 𝑥∗ là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác 𝑥̅ trên khoảng [a,b] Thì công thức đánh giá sai số tổng quát là:

|𝑥∗− 𝑥̅| ≤ |𝑓(𝑥∗)|

𝑚 với m là GTNN của |𝑓′(𝑥)| trên khoảng [a, b]

Ví dụ: Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 4 = 0 trong đoạn [1;3] có nghiệm gần đúng 𝑥∗= 1,99 Khi đó sai số tổng quát là bao nhiêu?

Ví dụ: Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥3+ 5𝑥2− 6 = 0 trong đoạn [0;3] có nghiệm gần đúng 𝑥∗= 1,012 Khi đó sai số nhỏ nhất đánh giá theo sai số tổng quát là bao nhiêu?

Ví dụ: Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 5𝑥2+ 12 = 0 trong đoạn [-2;-1] có nghiệm gần đúng 𝑥∗= 1,39 Khi đó sai số nhỏ nhất đánh giá theo sai số tổng quát là bao nhiêu?

2.Phương pháp chia đôi

Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥3+ 3𝑥2− 3 trog khoảng ly nghiệm [-3;-2] Bằng phương pháp chia đôi, hãy tìm gần đúng 𝑥5 và đánh giá sai số của nó theo sai số tổng quát và sai số phương pháp chia đôi

Ta có:

Trang 8

Trang 9

Ví dụ: Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng với sai số theo phương pháp chia đôi nhỏ hơn 10−2 của phương trình 2 + cos(𝑒𝑥− 2) − 𝑒𝑥 = 0 trong khoảng ly nghiệm [0,5;1,5]

3.Phương pháp lặp đơn

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình 𝑓 (𝑥) = 0 Nội dung của phương pháp lặp đơn là đưa phương trình này về phương trình tương đương

𝑥 = 𝑔(𝑥)

Hàm co

Hàm 𝑔(𝑥) được gọi là hàm co trong đoạn [a, b] nếu tồn tại một số 𝑞 ∈ [0, 1), gọi là hệ số co, sao cho

thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [3;4] Nếu chọn 𝑥0 = 3,3 thì nghiệm gần đúng 𝑥3 theo phương pháp lập đơn là

Bấm máy:

Trang 10

thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [3;4] Nếu chọn 𝑥0 = 3,3 thì sai số tuyệt đối nhỏ nhất của nghiệm gần đúng 𝑥3 theo công thức tiên nghiệm và hậu nghiệm là:

Trang 11

|𝑥𝑛− 𝑥̅| ≤ 𝑞

1 − 𝑞|𝑥3− 𝑥2| = 0,000681

Nhận xét: nếu đề yêu cầu dùng công thức hậu nghiệm thì ưu tiên cách casio 1, vì dễ lưu 2 giá trị cuối (𝑥3, 𝑥2 ở 𝑣í 𝑑ụ 𝑡𝑟ê𝑛) bằng chức năng STO

Nâng cao nên dùng: Bài toán sai số hậu nghiệm bấm casio cách 2 như sau:

𝑀 = 𝑀 + 1: 𝑌 = 𝐺(𝑋): 𝐴

1−𝐴|𝑌 − 𝑋|: 𝑋 = 𝑌 với A là hệ số co Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √3𝑥 + 114

thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [2;3] Nếu chọn 𝑥0 = 2,5 thì sai số tuyệt đối nhỏ nhất của nghiệm gần đúng 𝑥3 theo công thức tiên

nghiệm bao nhiêu? (đáp án: 0,0004)

Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √6𝑥 + 7,54

thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [2;3] Nếu chọn 𝑥0 = 2,8 Hỏi sau bao nhiêu lần lập thì sai số theo công thức tiên nghiệm nhỏ hơn

10−6?(đáp án: 10)

Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √6𝑥 + 7,54

thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [2;3] Nếu chọn 𝑥0 = 2,8 Hỏi sau bao nhiêu lần lập thì sai số theo công thức hậu nghiệm nhỏ hơn 10−6?

Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √8 − 3𝑥3

thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [2;3] Nếu chọn 𝑥0 = 1 Hỏi sau bao nhiêu lần lập thì |𝑥𝑛− 𝑥𝑛−1| < 10−6?

4.Phương pháp lập Newton

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f (x) = 0 Nội dung của phương pháp Newton là trên [a, b] thay cung cong AB của đường cong y = f (x) bằng tiếp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm A hoặc tại điểm B và xem hoành độ x1 của giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng ξ Ta xây dựng x2, xn tương tự Xây dựng phương pháp:

Chọn 𝑥0

Trang 12

Ta sẽ chọn 𝑥0 là a hoặc b theo điều kiện Fourier  Nếu 𝑓 (𝑎)𝑓 ′′(𝑎) > 0, chọn 𝑥0 = 𝑎  Nếu 𝑓 (𝑏)𝑓 ′′(𝑏) > 0, chọn 𝑥0 = 𝑏 Xây dựng dãy lặp 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1− 𝑓𝑛−1(𝑥)

𝑓𝑛−1′ (𝑥)

Định lý: Cho phương trình f (x) = 0 trên khoảng cách ly nghiệm (a, b) Phương pháp Newton hội tụ nếu 𝑓′′(𝑥) giữ nguyên dấu trên đoạn (a, b)

Đánh giá sai số:

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 Trên [a, b] luôn có |𝑓′(𝑥)| ≥ 𝑚 thì công thức đánh giá sai số của phương pháp Newton là

|𝑥𝑛− 𝜉| ≤ |𝑓(𝑥𝑛)|

𝑚 với m là 𝑚𝑖𝑛|𝑓′(𝑥)|

Ví dụ: Tìm nghiệm xấp xỉ 𝑥5 bằng phương pháp Newton của phương trình 𝑥3+ 𝑥2+ 𝑥 − 1 = 0 với khoảng ly nghiệm [0;1]

Trang 13

Ví dụ: Tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Newton của phương trình 𝑥3+ 𝑥2+ 𝑥 − 1 = 0 với khoảng ly nghiệm [0;1] với độ chính xác (sai số tuyệt đối) nhỏ hơn 10−3

→ min(|𝑓′(𝑥)|) = min(|𝑓′(0)|; |𝑓′(1)|) = min(6; 2) = 1 Tương tự dữ kiện câu trên nhưng thay đổi cách bấm máy tính

Vậy sau 3 lần lập thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10−3 với nghiệm là 0,5438 Nhận xét: Những bài có liên quan đến sai số thì bấm theo cách 2

Nội dung của phương pháp nhân tử LU là phân tích ma trận A thành tích của 2 ma trận L và U, trong đó L là ma trận tam giác dưới, còn U là ma trận tam giác trên

Cách giải hệ phương trình:

AX = B → LUX = B (Tách A=LU)

Trang 14

Trang 15

 Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu AT = A

 Ma trận vuông A xác định dương khi và chỉ khi tất cả những định thức con chính của nó đều lớn hơn 0

Ví dụ: Với những giá trị α nào thì ma trận A = [

Cho ma trận vuông A là đối xứng và xác định dương Khi đó A = B BT, với B là ma trận tam giác dưới và được xác định như sau:

Trang 16

Trang 17

Trang 18

4.Ma trận chéo trội nghiệm ngắt

Ma trận A được gọi là ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt nếu thoả mãn điều kiện

Trang 19

c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x(3) tiên nghiệm và chuẩn 1 d/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x(3) tiên nghiệm và chuẩn hàng e/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x(3) hậu nghiệm và chuẩn 1 f/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x(3) hậu nghiệm và chuẩn hàng

g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3

h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Trang 20

Đặt {x1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Trang 21

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 21 Đặt {xx1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó)

2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Bấm tới lần lập thứ 3 ta được sai số là 0,0122

f/Tìm sai số nghiệm gần đúng x(3) hậu nghiệm và chuẩn hàng

Trang 22

Bấm máy đến lần lập thứ 3, sai số nào lớn hơn thì chọn sai số đó Kết quả: sai số 1=0,00466; sai số 2=0,00753 → Chọn sai số là 0,00753

g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Vậy n tối thiểu bằng 6

h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 Đặt {x1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó)

x2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Bấm tới khi nào sai số nhỏ hơn 10−3

k/Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Trang 23

g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3

h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Trang 24

x1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó) x3 = Z(giá trị hiện tại) = C(giá trị trước đó)

Trang 25

Trang 26

Bấm tới lần lập thứ 3 ta được sai số là…

f/Tìm sai số nghiệm gần đúng x(3) hậu và chuẩn hàng

Bấm máy đến lần lập thứ 3, sai số nào lớn nhất thì chọn sai số đó

g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Trang 27

Vậy n tối thiểu bằng 13

h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3

Bấm đến khi nào sai số hậu nghiệm chuẩn cột nhỏ hơn 10−3

k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Trang 28

c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥(3) tiên nghiệm và chuẩn 1 d/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥(3) tiên nghiệm và chuẩn hàng e/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥(3) hậu nghiệm và chuẩn 1 f/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥(3) hậu nghiệm và chuẩn hàng

g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Trang 29

Trang 30

Trang 31

f/Tìm sai số nghiệm gần đúng x(3) hậu và chuẩn hàng

{x1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Bấm máy đến lần lập thứ 3, sai số nào lớn hơn thì chọn sai số đó

g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3

Vậy đến lần lập thứ 7 thì sai số nhở hơn 10−3

h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 Với 𝑇 = [00 25/2245/16 ] → ||𝑇||

1 = 𝑀𝑎𝑥(0; 95/224) = 95/224

Trang 32

Bấm đến khi nào sai số nhỏ hơn 10−3

k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

{x1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Trang 33

g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10−3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

x1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó) x3 = Z(giá trị hiện tại) = C(giá trị trước đó)