quy tắc simpson và bất đẳng thức hermite hamamard cho hàm không lồi

CHO HÀM KHÔNG LỒIChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS... , n.måi tê hñp lçi cõa c¡c iºm thuëc tªp hñp â.Giao cõa

CHO HÀM KHÔNG LỒI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trịnh Ngọc Hải

THÁI NGUYÊN - 2022

1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi 16

1.2.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi 16

Mð ¦u

Cho f : I ⊂ R → R l  mët h m lçi x¡c ành tr¶n tªp con I cõa tªp sè thüc R v  a, b ∈ I vîi a ̸= b B§t ¯ng thùc nêi ti¸ng

÷ñc bi¸t d÷îi t¶n gåi b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard [5] H¦u h¸t c¡c b§t ¯ng thùc quen thuëc li¶n quan ¸n gi¡ trà trung b¼nh cõa t½ch ph¥n cõa h m Luªn v«n tr¼nh b y mët nghi¶n cùu mîi ¥y trong [7] v  mët sè t i li»u li¶n quan v· mët d¤ng cõa b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard èi vîi c¡c h m sè khæng lçi công nh÷ khæng lãm ¥y l  mët bi¸n thº cõa b§t ¯ng thùc t½ch ph¥n Hermite  Hadamard cho c¡c h m kh£ vi c§p hai, çng thíi l  mët c£i ti¸n cõa lo¤i b§t ¯ng thùc n y trong tr÷íng hñp h m lçi/lãm Ngo i ra, luªn v«n cán · cªp ¸n c¡c b§t ¯ng thùc k²p èi vîi quy t­c Simpson v  mët sè mð rëng.

Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Trong ch÷ìng ¦u ti¶n, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð cõa gi£i t½ch lçi công nh÷ giîi thi»u v· b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard còng c¡c ùng döng Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· quy t­c Simpson cì b£n v  phùc hñp trong vi»c t½nh x§p x¿ t½ch ph¥n x¡c ành còng c¡c b§t ¯ng thùc k²p ¡nh gi¡ ë ch½nh x¡c cõa c¡c quy t­c n y Ph¦n cuèi cõa Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· mët sè b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard cho lîp h m khæng lçi công nh÷ khæng lãm nh÷ng kh£ vi li¶n töc

c§p n vîi n l¦n l÷ñt b¬ng 2, 3, 4 v  6 Xuy¶n suèt luªn v«n l  h» thèng c¡c v½ dö v· c¡c b§t ¯ng thùc câ thº phöc vö trong vi»c gi£ng d¤y to¡n håc ð bªc phê thæng C¡c v½ dö n y l  h» qu£ trüc ti¸p tø nhúng k¸t qu£ ch½nh ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n.

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc- ¤i håc Th¡i Nguy¶n Líi ¦u ti¶n t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS Trành Ngåc H£i Th¦y ¢ d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n công nh÷ gi£i ¡p c¡c th­c m­c cõa tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥n s­c tîi th¦y.

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn to n thº c¡c th¦y cæ trong Khoa To¡n - Tin, tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, truy·n ¤t ki¸n thùc trong suèt thíi gian theo håc, thüc hi»n v  ho n th nh luªn v«n C£m ìn sü gióp ï cõa b¤n b±, ng÷íi th¥n v  c¡c çng nghi»p trong thíi gian l m luªn v«n.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2022 T¡c gi£ l m luªn v«n

Ph¤m Thà Ph÷ìng Anh

Ch֓ng 1

H m lçi v  b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard

Ch÷ìng n y giîi thi»u v· h m lçi, mët sè t½nh ch§t cõa h m lçi, b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard cho h m lçi/lãm v  mët v i ¡p döng ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc tø [1, 5, 7, 2, 6].

1.1 H m lçi

1.1.1 Tªp hñp lçi

∆ := {λa + (1 − λ)b ∈Rn | λ ∈ R}

δ := {λu + (1 − λ)v ∈ Rn | λ ∈ [0, 1]}

th¯ng i qua hai iºm b§t ký cõa nâ.

th¯ng nèi hai iºm cõa tªp â.

Mët sè tªp lçi th÷íng g°p trong R2 l : h¼nh trán, h¼nh c¦u, h¼nh vuæng Trong khi â, ÷íng trán, h¼nh v nh kh«n l  c¡c tªp khæng lçi.

i=1λi = 1, λi ∈ [0, 1] vîi måi i = 1, , n.

måi tê hñp lçi cõa c¡c iºm thuëc tªp hñp â.

Giao cõa hai tªp lçi b§t ký l  mët tªp lçi Tuy nhi¶n, hñp cõa hai tªp lçi câ thº khæng ph£i l  tªp lçi Trong m»nh · sau, ta li»t k¶ mët sè ph²p to¡n b£o to n t½nh ch§t lçi cõa c¡c tªp hñp.

Khi â, c¡c tªp sau công l  tªp lçi:

ˆ αA := {αa | a ∈ A};

ˆ A × C := {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C}.

l¤i khæng óng X²t v½ dö sau.

1.1.2 H m lçi

R∪ {+∞}.

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x); f (y)} ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].

ký thuëc ç thà ·u n¬m ph½a tr¶n ç thà cõa h m sè â Hiºn nhi¶n, trong c¡c

khi v  ch¿ khi h m

g(.) := f (.) − γ 2∥.∥2

H¼nh 1.2: ç thà cõa mët h m tüa lçi nh÷ng khæng lçi

H¼nh 1.3: ç thà cõa mët h m khæng tüa lçi

ˆ domf := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.

ˆ epif := {(x, y) ∈ Rn ×R | f (x) ≤ y}.

h(y) := inf{∥y − x∥2 | x ∈ C}.

1.1.3 Mët sè t½nh ch§t cõa h m lçi

Cho A, B ⊂ Rn l  c¡c tªp lçi v  c¡c h m lçi f : A → R ∪ {+∞} v 

g : B → R∪ {+∞} Khi â, c¡c h m sau công lçi tr¶n A ∩ B ˆ (f + g)(x) := f(x) + g(x).

ˆ max{f, g}(x) := max{f(x), g(x)}.

H¼nh 1.4: H m f(x) lçi lçi tr¶n C nh÷ng khæng li¶n töc t¤i 0

h m ch½nh th÷íng n¸u

ˆ domf ̸= ∅;

ˆ f(x) > −∞ ∀x ∈ C.

f (x) + ⟨∇f (x), y − x⟩ ≤ f (y) ∀x, y ∈ C.

⟨H(x)y, y⟩ ≥ 0 ∀y ∈ Rn, x ∈ C.

f (y) ≥ f (x) + ⟨w, y − x⟩ ∀y ∈ C.

Tªp hñp t§t c£ c¡c d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x ÷ñc gåi l  d÷îi vi ph¥n cõa

Ti¸p theo, ta tr¼nh b y mët v i ùng döng cõa b§t ¯ng thùc Jensen trong vi»c chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc th÷íng g°p trong gi£ng d¤y to¡n håc ð bªc

1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi

1.2.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi

Ch֓ng 2

Quy t­c Simpson v  b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard cho h m khæng lçi

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v  ph¥n t½ch mët sè b§t ¯ng thùc t½ch ph¥n mîi d¤ng Hermite  Hadamard cho h m khæng lçi, c¡c b§t ¯ng thùc k²p èi vîi quy t­c Simpson còng vi»c ¡p döng x¥y düng mët sè b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh To¡n phê thæng Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t düa tr¶n t i li»u tham kh£o

a f (x)dx ÷ñc x§p x¿ bði di»n t½ch cõa mët h¼nh thang vuæng vîi

H¼nh 2.1: Cæng thùc h¼nh thang t½nh x§p x¿ t½ch ph¥n

th§p Ti¸p theo, ta s³ c£i ti¸n ph÷ìng ph¡p n y º câ ÷ñc mët x§p x¿ vîi ë

[12(a + b), b] v  x§p x¿ h m f (x) bði mët h m bªc hai, câ ç thà i qua ba iºm

(a, f (a)), (a+b2 , f (a+b2 )), (b, f (b)) Ta x¥y düng cæng thùc x§p x¿ câ d¤ng

F (a+2h) = F (a)+2hF′(a)+2h2F′′(a)+4

xi = a + ih, vîi 0 ≤ i ≤ n Khi â,

Cæng thùc x§p x¿ (2.3) ÷ñc gåi l  quy t­c Simpson phùc hñp ë ch½nh x¡c cõa ph²p x§p x¿ n y c ng cao n¸u sè o¤n chia cõa ph÷ìng ph¡p c ng lîn.

Ta s³ ¡p döng cæng thùc h¼nh thang, quy t­c Simpson cì b£n v  phùc hñp

0dx

p döng cæng thùc h¼nh thang, gi¡ trà t½ch ph¥n ÷ñc t½nh x§p x¿ bði cæng

Vîi cæng thùc Simpson cì b£n, ta câ t½ch ph¥n ÷ñc t½nh x§p x¿

Trong cæng thùc x§p x¿ Simpson, c¡c sai sè ÷ñc ¡nh gi¡ thæng qua ¤o

câ c§u tróc phùc t¤p Trong ành lþ d÷îi ¥y, chóng tæi tr¼nh b y mët ¡nh

< xn = b sao cho ë d i méi o¤n chia ti¸n v· 0 khi nti¸n ra væ còng Tr¶n

Ta thu ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

Tø â suy ra i·u c¦n chùng minh.

Trong h» qua sau, sai sè cho cæng thùc Simpson phùc hñp ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành lþ 2.1.1 b¬ng c¡ch ¡p döng ¡nh gi¡ (2.9) cho tøng o¤n chia.

trong â Sn l  x§p x¿ cõa t½ch ph¥n khi ¡p döng cæng thùc Simpson phùc hñp

Ti¸p theo, chóng tæi sû döng H» qu£ 2.1.2 º x¥y düng mët sè b§t ¯ng thùc phöc vö cho gi£ng d¤y to¡n ð bªc phê thæng.

cho h m khæng lçi

Ta s³ x¥y düng mët b§t ¯ng thùc d¤ng Hermite  Hadamard cho h m sè

f (x) khæng lçi, khæng lãm vîi i·u ki»n f(n) tçn t¤i v  li¶n töc tr¶n E := [a, b],

f ∈ C(n)(E) Kþ hi»u mn = mn(a, b; f ) := mint∈Ef(n)t, Mn = Mn(a, b; f ) :=

töc c§p 4 i·u n y h¤n ch¸ kh£ n«ng ¡p döng cõa cæng thùc Ta s³ t¼m c¡ch kh­c phöc i·u n y b¬ng c¡ch x¥y düng mët b§t ¯ng thùc t÷ìng tü cho lîp

Trong tr÷íng hñp ϕ ∈ C(3)(E), ta s³ chùng minh

K¸t qu£ ¦u ti¶n m  chóng tæi tr¼nh b y l  mët bi¸n thº cõa b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard cho c¡c h m khæng lçi/ lãm nh÷ng câ ¤o h m c§p hai tr¶n E := [a, b].

v  m2 := minx∈[a,b]{g′′(x)} Ta câ

K¸t hìp (2.10) v  (2.11), ta thu ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

Ta thu ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

Ti¸p ¸n, ta tr¼nh b y mët ¡nh gi¡ li¶n quan ¸n c¡c h m kh£ vi c§p 3 tr¶n

Kiºm tra trüc ti¸p, ta câ thº h m sè n y kh£ vi li¶n töc c§p 3 p döng quy

Chùng minh Vi»c chùng minh ành lþ düa tr¶n hai bê · sau.

≤ h(pa + qb) + h(qa + pb) ≤ h(a) + h(b).

p döng Bê · 2.2.9, ta thu ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

ành lþ 2.2.7 l  n·n t£ng cho vi»c chùng minh k¸t qu£ ti¸p theo, mët phi¶n b£n c£i ti¸n cõa quy t­c Simpson cho lîp h m kh£ vi li¶n töc c§p 6.

Chùng minh Vîi mët h m g ∈ C(6)(E) ¢ cho, ta x²t h m phö f (x) = g(x) −

thº suy ra c¡c d¤ng kh¡c nhau cõa quy t­c Simpson mð rëng.

l  khæng ¥m M°t kh¡c, b§t ¯ng thùc (2.15) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng:

Do W ≥ 0 n¶n v¸ tr¡i cõa (2.16) lîn hìn v¸ tr¡i cõa (2.12) trong khi v¸ ph£i l¤i nhä hìn Nâi c¡ch kh¡c, b§t ¯ng thùc k²p (2.16) cho ta mët ¡nh gi¡ x§p x¿ Simpson tèt hìn (2.12).

2.2.2 Mët sè ¡p döng

Trong ph¦n n y, chóng tæi ¡p döng c¡c k¸t qu£ ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong möc tr÷îc º x¥y düng mët sè b§t ¬ng thùc sû döng trong gi£ng d¤y to¡n håc ð

công khæng lãm tr¶n kho£ng n y, chóng ta s³ ¡p döng ành lþ 2.2.2 Ta câ

K¸t luªn

Trong luªn v«n n y, chóng tæi ¢ · cªp nhúng v§n · sau

t½nh ch§t cõa chóng Cuèi Ch÷ìng 1, chóng tæi ¡p döng b§t ¯ng thùc Jensen cõa h m lçi º chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc th÷íng g°p trong gi£ng d¤y to¡n ð bªc phê thæng.

ph¥n x¡c ành còng c¡c b§t ¯ng thùc ¡nh gi¡ ë ch½nh x¡c cõa c¡c quy t­c n y C¡c ÷îc l÷ñng sai sè câ thº ÷ñc ti¸n h nh trong hai tr÷íng hñp:

lãm B§t ¯ng thùc ÷ñc x¥y düng cho c¡c lîp h m khæng lçi/lãm nh÷ng

hñp h m lçi ho°c lãm, k¸t qu£ ÷ñc tr¼nh b y l  mët c£i ti¸n cho b§t ¯ng

b¬ng c¡ch x²t mët v½ dö cö thº, chóng tæi ¢ ch¿ ra ÷ñc h¬ng sè trong b§t ¯ng thùc mîi thu ÷ñc l  tèt nh§t câ thº Trong ph¦n ¡p döng, chóng tæi

T i li»u tham kh£o

Ti¸ng Vi»t

[1] Tr¦n Vô Thi»u, Nguy¹n Thà Thu Thõy, Tèi ÷u phi tuy¸n  Lþ thuy¸t v  ph÷ìng ph¡p gi£i, NXB B¡ch Khoa H  Nëi, 2021.

[2] L D M÷u, N V Hi·n, Nhªp mæn gi£i t½ch lçi ùng döng, Nh  xu§t b£n Khoa håc tü nhi¶n v  cæng ngh» H  Nëi, (2009).

Ti¸ng Anh

[3] E.W Cheney, D.R Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole Publishing Co., 2007

[4] S.S Dragomir, R.P Agarwal, and P Cerone, On Simpson's inequality and applications, 135, 2002

[5] J Hadamard, ’tude sur les propri²t²s des fonctions enti`eres et en parti-culier d'une fonction consid²r²e par Riemann, J Math Pures Appl., 58, 171215, 1893

[6] R.T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970

[7] S Simi
c, B Bin-Mohsin, Simpson's rule and HermiteHadamard

doi:10.3390/math8081248, 2020

[8] H D Sherali, C M Shetty, Nonlinear Programming, Theory and Algo-rithms, John Wiley and Sons Inc., Singapore, 1993