một số phương pháp lặp giải bài toán không điểm chung

Các phương trình tiến hóa như trên có thể xuất hiện trong các phương trình nhiệt, phương trình sóng hay phương trình Schr¨odinger.Ở trạng thái cân bằng, dudt = 0, thì bài toán trên trở t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH TRANG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP

GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH TRANG

PGS.TS Trương Minh Tuyên PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

Thái Nguyên – 2022

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trương Minh Tuyên và PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Minh Trang

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trương Minh Tuyên và PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, TS Trịnh Ngọc Hải, TS Dương Thị Việt An, TS Nguyễn Song Hà, TS Trần Xuân Quý, TS Nguyễn Thanh Sơn, TS Mai Viết Thuận Từ đáy lòng mình, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy và Cô.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, Phòng Đào tạo – bộ phận Đào tạo Sau đại học và Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của mình.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán ứng dụng và Tin học, khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học và các thầy cô giáo trong Khoa Quốc tế, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp cùng toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, seminar và hoàn thành luận án.

Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình niềm vinh hạnh này.

Tác giả

Nguyễn Minh Trang

Mục lục

1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn 10

1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 14

1.3 Phép chiếu mêtric 15

1.4 Ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co 16

1.5 Toán tử loại đơn điệu 18

1.6 ε-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại 23

1.7 Một số bổ đề bổ trợ 25

Chương 2 Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach 26 2.1 Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử đơn điệu 26

2.2 Xấp xỉ không điểm chung của toán tử j-đơn điệu 35

2.2.1 Thuật toán lặp xoay vòng 37

2.2.2 Thuật toán lặp song song 44

2.3 Một số bài toán liên quan 50

2.3.1 Bài toán điểm cực tiểu chung 50

2.3.2 Bài toán điểm bất động chung 52

2.3.3 Bài toán chấp nhận lồi 52

2.4 Ví dụ số minh họa 55

Chương 3 Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách

3.1 Thuật toán và sự hội tụ 61

3.2 Một số bài toán liên quan 68

3.2.1 Bài toán điểm cực tiểu tách 68

3.2.2 Bài toán chấp nhận tách 70

3.3 Ví dụ số minh họa 71

Chương 4 Xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert 77 4.1 Thuật toán và sự hội tụ 77

4.2 Một số bài toán liên quan 93

4.2.1 Bài toán không điểm chung tách 93

4.2.2 Bài toán chấp nhận tách đa tập 94

4.3 Ví dụ số minh họa 94

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

lp (1 ≤ p < ∞) không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp[a, b] (1 ≤ p < ∞) không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b]

hx, yi tích vô hướng của x ∈ H và y ∈ H

lim sup

lim inf

Danh sách bảng

2.1 Kết quả số của Ví dụ 2.4.1 với phương pháp lặp (2.36) 56 2.2 Kết quả số của Ví dụ 2.4.2 trong Trường hợp 1 với phương pháp 3.1 Kết quả số của Ví dụ 3.3.1 với Thuật toán 3.2.2 72 3.2 Kết quả số của Ví dụ 3.3.2 trong Trường hợp 1 với Thuật toán

Danh sách hình vẽ

1 Mô hình chụp ảnh X-quang 5 2.1 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 2.4.1 khi n < 10−4 56 2.2 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 2.4.1 khi n < 10−5 57 2.3 Biến thiên của n trong Ví dụ 2.4.2 với phương pháp lặp (2.37) 58 2.4 Biến thiên của n trong Ví dụ 2.4.2 với phương pháp lặp (2.38) 59

3.1 Biến thiên của n trong Bảng 3.1 khi n < 10−4 72 3.2 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 3.3.2 với Thuật toán 3.2.2 khi

n < 10−3 74 3.3 Dáng điệu của xn(t) trong Ví dụ 3.3.2 với các thuật toán (3.17),

(3.18) và Thuật toán 3.2.2 75 4.1 Biến thiên của n trong Bảng 4.1 khi n < 10−5 96 4.2 Biến thiên của n trong Bảng 4.2 khi n < 10−5 97

Mở đầu

Trong không gian Banach E, dạng đơn giản của bài toán xác định không điểm được phát biểu như sau:

trong đó A : E −→ 2X là toán tử đa trị từ không gian Banach E vào không gian Banach X Bài toán (0.1) được gọi là Bài toán tìm không điểm của toán tử loại đơn điệu nếu A là toán tử đơn điệu (với X = E∗) hoặc toán tử j-đơn điệu (với X = E) v.v.

Dạng tổng quát của (0.1) là bài toán tìm không điểm chung, cụ thể: Tìm một phần tử x ∈ S,

ở đây S := ∩Ni=1A−1i 0 6= ∅, với Ai : E −→ 2X, i = 1, 2, , N , là các toán tử loại đơn điệu trên E.

Bài toán không điểm là mô hình toán học được sử dụng để nghiên cứu nhiều bài toán tối ưu xuất hiện trong tài chính, kinh tế, vận tải và khoa học kỹ thuật Nhiều bài toán vật lý quan trọng có thể mô hình hóa dưới dạng bài toán giá trị ban đầu

dt + Au(t) = 0, u(t0) = u0,

trong đó A là toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach Các phương trình tiến hóa như trên có thể xuất hiện trong các phương trình nhiệt, phương trình sóng hay phương trình Schr¨odinger.

Ở trạng thái cân bằng, du

dt = 0, thì bài toán trên trở thành Au = 0.

Do đó, lớp bài toán tìm không điểm của các toán tử j-đơn điệu có mối liên hệ chặt chẽ với việc tìm trạng thái cân bằng của các phương trình tiến hóa.

Mặt khác, bài toán xác định không điểm của toán tử loại đơn điệu là một bài toán trung tâm, từ lời giải cho lớp bài toán này có thể suy ra lời giải cho nhiều lớp bài toán khác Chẳng hạn, nếu f : E −→ R là một hàm lồi, nửa liên tục dưới, thì toán tử dưới vi phân ∂f : E −→ 2E∗ xác định bởi

∂f (x0) = {u ∈ E∗| f (x) − f (x0) ≥ hx − x0, ui, ∀x ∈ E}

là một toán tử đơn điệu cực đại [42] Phần tử x ∈ E làm cực tiểu hàm lồi f khi và chỉ khi ∂f (x) 3 0 Như vậy, bài toán cực tiểu hóa hàm lồi f tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại ∂f Hoặc, nếu T : D(T ) ⊆ E −→ E là một ánh xạ không giãn thì A = IE − T là một toán tử j -đơn điệu (trong trường hợp D(T ) trùng với E thì IE − T là một toán tử m-j-đơn điệu) Khi đó, Fix(T ) = A−10, do đó, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ T tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu A = IE − T

Một trong những phương pháp cổ điển để giải bài toán không điểm là thuật toán điểm gần kề được đề xuất bởi Martinet [36] để tìm điểm cực tiểu của hàm lồi f trong không gian Hilbert H Martinet đã xây dựng dãy lặp {xn} hội tụ yếu đến điểm cực tiểu của f , xác định bởi x1 ∈ H và

Năm 1976, thuật toán này được Rockafellar [43] sử dụng cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A : H −→ 2H trong không gian Hilbert H Ông xây dựng dãy lặp {xn} bởi x0 ∈ H và

hay xn+1 = JcAnxn; trong đó JcAn = (IH+ cnA)−1 là toán tử giải của A với cn > 0 Thêm nữa, Rockafellar [43] cũng đưa ra một thuật toán điểm gần kề không chính xác với dãy lặp {xn} được xác định bởi thì dãy {xn} hội tụ yếu về một không điểm của A.

Năm 1991, Guler [26] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp điểm gần kề không hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát Một ví dụ gần đây của tác giả Bauschke và cộng sự [6] cũng chỉ ra rằng dãy lặp {xn} xác định bởi (0.2) chỉ hội tụ yếu.

Nhiều nhà toán học sau đó đã nghiên cứu cải tiến phương pháp điểm gần kề để đạt được sự hội tụ mạnh cho lớp toán tử loại đơn điệu, chẳng hạn như kết hợp phương pháp điểm gần kề với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Lehdili và Moudafi [32], Xu [59]), với phương pháp lặp Halpern (Aoyama [3], Kamimura và Takahashi [30], Qin và Su [39], Xu [56]), với phương pháp xấp xỉ gắn kết (Chen và Zhu [21, 22], Jung [28, 29]) và với các phương pháp chiếu lai ghép hay chiếu co hẹp (Takahashi và các cộng sự [46, 47]) v.v.

Cho đến nay, bài toán xác định không điểm (chung) của các toán tử loại đơn điệu vẫn là một trong những chủ đề thu hút đông đảo người làm toán trên thế giới quan tâm nghiên cứu Một số hướng nghiên cứu hiện nay về lớp bài toán này là: nghiên cứu mở rộng các kết quả đã có từ không gian Hilbert sang không gian Banach, nghiên cứu tính ổn định, tốc độ hội tụ của các phương pháp và nghiên cứu lớp bài toán tổng quát hơn - bài toán không điểm chung tách.

Bài toán không điểm chung tách (Split Common Null Point Problem) yêu cầu tìm một điểm thuộc tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại sao cho ảnh của nó qua một phép biến đổi tuyến tính (toán tử chuyển) thuộc tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại khác Cụ thể, với Ai : H1 −→ 2H1, i = 1, 2, , N và Bk : H2 −→ 2H2, k = 1, 2, , M , là các toán tử đơn điệu cực đại tương ứng trong H1, H2 và T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính, bị chặn, giả sử Ω0 := ∩Ni=1A−1i 0 ∩ T−1 ∩M

k=1Bk−10
6= ∅ Khi đó, bài toán không điểm chung tách là bài toán:

Như đã đề cập về vai trò trung tâm của bài toán không điểm, các thuật toán tìm nghiệm của bài toán không điểm chung tách có thể áp dụng để giải quyết nhiều bài toán liên quan như bài toán chấp nhận tách, bài toán điểm bất động chung tách, hay bài toán cực tiểu tách.

Trước tiên, bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) được giới thiệu lần đầu bởi Censor và Elfving [17], yêu cầu tìm một điểm thuộc một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một toán tử tuyến tính, bị chặn thuộc một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian ảnh Cụ thể, cho C và Q tương ứng là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert H1 và H2 Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính, bị chặn sao cho Ω := C ∩ T−1(Q) 6= ∅,

Bài toán chấp nhận tách đa tập (Multiple-set Split Feasibility Problem) là dạng tổng quát của bài toán chấp nhận tách, được phát biểu như sau: Cho Ci, i = 1, 2, , N và Qk, k = 1, 2, , M , tương ứng là các tập con lồi đóng của H1, H2 Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính, bị chặn Giả sử ΩS:= ∩Ni=1Ci∩ T−1(∩Mk=1Qk) 6= ∅,

Bài toán chấp nhận tách xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, như xử lý tín hiệu, khôi phục hình ảnh và y tế Ví dụ, mô hình chụp ảnh X-quang được Qu và Liu [40] giới thiệu như một bài toán chấp nhận tách Nguyên lý chụp X-quang là khi chiếu chùm tia X qua cơ thể, các tia X được hấp thụ một phần và suy giảm cường độ khác nhau đối với các mô khác nhau, thể hiện trên phim X-quang thành các vùng đen/xám/trắng tùy thuộc vào hệ số hấp thụ Từ dữ liệu của hàm suy giảm, ta suy ra thông tin về trạng thái sinh lý của cơ thể.

Qu và Liu xét mô hình trên mặt cắt ngang hai chiều như sau: Đặt một lưới Đề-các gồm các phần tử hình vuông, được gọi là pixel, lên toàn bộ mặt cắt Các pixel được đánh số từ 1 (pixel góc trên cùng bên trái) đến M (pixel góc dưới cùng bên phải) như Hình 1 Nguồn chiếu và bộ thu là các điểm và các tia giữa chúng Với i = 1, 2, , N và k = 1, 2, , M , xk là giá trị của hàm suy giảm (được giả sử là không đổi) trên pixel thứ k, yk là tổng suy giảm của tia thứ i và aik là độ lớn của giao giữa tia thứ i với pixel thứ k (biểu diễn cho đóng góp của pixel thứ k vào yi) yi được biểu diễn bằng tích phân đường của hàm suy giảm chưa biết dọc theo đường đi của tia, do đó, được tính bằng một tổng hữu hạn và vì vậy mô hình được mô tả bởi một hệ phương trình tuyến tính

với x = (xk) ∈ RM, y = (yi) ∈ RN, A = (aik)N ×M Như vậy, mô hình trên là trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận tách ở dạng:

Tìm x ∈ C =x ∈ RM : x ≥ 0 sao cho y = Ax và y ∈ Q =y ∈ RN : y ≥ 0 Một ví dụ khác về bài toán chấp nhận tách đa tập là mô hình của kỹ thuật xạ trị điều biến cường độ IMRT (Intensity Modulated Radiation Therapy), đây

Hình 1: Mô hình chụp ảnh X-quang

là kỹ thuật xạ trị tiên tiến sử dụng máy gia tốc tuyến tính để đưa liều bức xạ chính xác tới khối u hoặc thể tích cần điều trị Các trường chiếu được chia ra nhiều chùm tia nhỏ (beamlet) và điều biến, cường độ của các chùm tia nhỏ này được kiểm soát để đảm bảo phân bố chính xác theo yêu cầu của thể tích điều trị Ưu điểm vượt trội của IMRT so với kỹ thuật xạ trị thông thường là nó cho phép nâng cường độ phù hợp tại khối u trong khi hạn chế cường độ chiếu vào mô lành xung quanh và khả năng kê liều (cường độ) đồng thời vào nhiều thể tích điều trị.

Censor và cộng sự [18] đã xét mô hình IMRT có U thể tích cần điều trị và V chùm tia xạ Với i = 1, , U và k = 1, , V , ký hiệu h = (hi) là vectơ liều hấp thu, D = (dik) là ma trận liều ảnh hưởng và x = (xk) là vectơ cường độ, khi đó hi = PV

k=1dikxk, hay h = Dx.

Giả sử có M ràng buộc trong không gian liều RU và N ràng buộc trong không gian cường độ RV Gọi Cm, m = 1, , M, là tập các vectơ liều thỏa mãn ràng buộc liều thứ m và Qn, n = 1, , N , là tập các vectơ cường độ chùm tia thoả

mãn ràng buộc cường độ thứ n (các ràng buộc được thiết lập dựa trên tính chất y sinh học của mô hình, cụ thể xem trong [18]) Ngoài ra, các cường độ phải không âm, biểu diễn bằng tập C+ = x = (xk) ∈ RV : xk ≥ 0, ∀k = 1, 2, , V Khi đó, mô hình IMRT là bài toán chấp nhận tách đa tập ở dạng sau

Tìm ¯x ∈ C+∩ ∩Nn=1Cn
sao cho ¯h = D¯x và ¯h ∈ ∩Mm=1Qm.

Bài toán (MSFP) có thể coi là một trường hợp đặc biệt của Bài toán (SCNPP) Thật vậy, với iC là hàm chỉ của một tập con lồi và đóng C trong không gian Hilbert H1, ta biết rằng

argminH1iC(x) = C = (∂iC)−1(0).

Do đó, Bài toán (MSFP) có thể đưa về dạng Bài toán (SCNPP).

Tiếp theo, ta giới thiệu bài toán điểm bất động chung tách (Split Common Fixed Point Problem) đối với lớp ánh xạ không giãn Bài toán được phát biểu như sau: Cho Ti : H1 −→ H1, i = 1, 2, , N và Sk : H2 −→ H2, k = 1, 2, , M, tương ứng là các ánh xạ không giãn trên H1 và H2, T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính, bị chặn Giả sử ΩF := ∩Ni=1Fix(Ti) ∩ T−1 ∩M

k=1Fix(Sk)
6= ∅, khi đó,

Ta biết rằng, nếu A : H1 −→ H1 là một toán tử đơn điệu cực đại trong không gian H1, thì toán tử giải JrA = (IH1 + rA)−1 là một ánh xạ không giãn và A−10 = Fix(JrA) với mọi r > 0 Do đó, Bài toán (SCNPP) có thể đưa về Bài toán (SCFPP) tương ứng Ngược lại, với các toán tử đơn điệu cực đại Ai = IH1− Ti và Bk = IH2 − Sk với mọi i = 1, 2, , N và k = 1, 2, , M , Bài toán (SCFPP) cũng có thể chuyển về Bài toán (SCNPP).

Như vậy, việc đề ra các phương pháp xấp xỉ nghiệm cho các bài toán (SCNPP), cũng như (MSFP), (SCFPP) và các bài toán liên quan khác là cần thiết và có ý nghĩa, đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như Byrne [14, 15], Censor và cộng sự [18–20], Chuang [23], Dadashi [25], Kazmi và Rizvi [31], Takahashi và cộng sự [48, 49]; hay các nhà toán học trong nước như Anh [2], Buong [11], Thong [50, 51], Tuyen và cộng sự [54, 55].

Một trong những phương pháp phổ biến để xấp xỉ nghiệm của các bài toán trên là phương pháp CQ được Byrne [14] giới thiệu năm 2002: Với x0 bất kỳ, dãy lặp {xn} xác định bởi

xn+1 = PH1

C (xn − γT∗(IH2− PH2

Q )T xn), n ∈ N,

trong đó γ ∈ (0, 2/kT k2) Thuật toán này hội tụ đến một nghiệm của Bài toán (SFP).

Năm 2005, Censor và các cộng sự [19] giới thiệu một thuật toán CQ mở rộng cho Bài toán (MSFP):

Tiếp theo, với Bài toán (SCFPP) trường hợp cho hai toán tử T1 và S1, năm 2009 Censor và Segal [20] đã chứng minh sự hội tụ yếu của thuật toán sau:

Năm 2012, với Bài toán (SCNPP) trường hợp chỉ có hai toán tử A và B, Byrne và các cộng sự [15] đã chứng minh sự hội tụ yếu của dãy {xn} xác định toán tử giải của A và B.

Như vậy, hầu hết các phương pháp này đều dựa trên phương pháp CQ, trong đó cỡ bước phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển T Ta biết rằng trong thực tế việc tính toán chuẩn toán tử thường không đơn giản Do đó, việc đưa ra những tiêu chuẩn khác để chọn cỡ bước khi không biết thông tin về kT k cũng là vấn đề có ý nghĩa và quan trọng trong thực tiễn tính toán.

Những năm gần đây, đã có nhiều tác giả nghiên cứu cải tiến phương pháp CQ sao cho cỡ bước không phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển, nhưng đa số chỉ đạt được sự hội tụ yếu, chẳng hạn như thuật toán của Cui và cộng sự [24], López và cộng sự [33], Yang [61] Sau đó, các thuật toán hội tụ mạnh cho các Bài toán (SFP) và (SCFPP) cũng được đề xuất bởi Boikanyo [7], Tian [52] và Wang [62] Tuy nhiên, những nghiên cứu tương tự cho Bài toán (SCNPP) trong việc xây dựng thuật toán không yêu cầu thông tin về chuẩn của toán tử hầu như chưa có.

Mục đích của luận án là đề xuất các phương pháp lặp mới giải bài toán không điểm chung (tách) trong không gian Banach hay không gian Hilbert và đưa ra các ứng dụng cho các bài toán liên quan khác Cụ thể, các mục tiêu nghiên cứu được đặt ra trong luận án như sau:

1 Đề xuất các phương pháp lặp mới cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử đơn điệu và j-đơn điệu trong không gian Banach; 2 Đề xuất phương pháp lặp song song mới xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian Hilbert khi không biết thông tin về chuẩn của toán tử chuyển;

3 Đưa ra các phương pháp lặp mới xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert, từ đó ứng dụng cho bài toán không điểm chung tách.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong bốn chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày các kết quả chính ở các chương sau Chương 2 trình bày các cải tiến của phương pháp chiếu co hẹp và phương pháp đường dốc nhất để đưa ra các thuật toán mới tìm không điểm chung của toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach Trong Chương 3, dựa trên phương pháp xấp xỉ gắn kết và một cải tiến của phương pháp CQ, chúng tôi đề xuất một phương pháp lặp song song mới cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Hilbert, đặc biệt trong phương pháp này, cỡ bước được xây dựng mà không cần đến thông tin về chuẩn của toán tử Cuối cùng, ở Chương 4, chúng tôi đưa ra các thuật toán song song để giải quyết bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert Ở cuối các chương từ Chương 2 đến Chương 4, các thuật toán mới được áp dụng cho các bài toán liên quan và được minh họa bằng các ví dụ số.

Các kết quả của luận án đã được công bố trong các bài báo (1)–(4) trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án và được báo cáo tại: • Hội thảo “Những hướng mới trong tối ưu tính toán và ứng dụng”, Viện

Nghiên cứu cao cấp về Toán, 26-27/12/2021.

• Hội thảo quốc gia “Ứng dụng công nghệ cao vào thực tiễn” năm 2021, Viện Khoa học Công nghệ Quân sự, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp -Đại học Thái Nguyên, 31/5-04/6/2021.

• Seminar của Bộ môn Toán ứng dụng và Tin học, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên các năm 2018, 2019, 2020 • Seminar “Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan”, Viện Toán ứng dụng

và Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 03/11/2020.

• Hội thảo Khoa học “Một số vấn đề trong Toán học đương đại”, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 10/11/2020 • Vietnam - USA Joint Mathematical Meeting, Quy Nhon, Vietnam, June

10-13, 2019.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach và toán tử đơn điệu Nội dung của chương được chia thành bảy mục: Mục 1.1 trình bày khái niệm không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi và trơn cùng một số tính chất Mục 1.2 trình bày về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Mục 1.3 trình bày phép chiếu mêtric Mục 1.4 nhắc lại khái niệm ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co Mục 1.5 và 1.6 nêu các khái niệm, tính chất của toán tử loại đơn điệu và ε-mở rộng của toán tử đơn điệu Cuối cùng, trong Mục 1.7 chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ dùng đến trong chứng minh các định lý chính ở các chương tiếp theo.

1.1Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn

Cho E là một không gian Banach với chuẩn k · k và E∗ là không gian liên hợp (hay đối ngẫu) của nó, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E Giá trị của f ∈ E∗ tại x ∈ E được ký hiệu hx, f i Với dãy {xn} trong E, ta ký hiệu xn → x, xn * x, xn * x lần lượt là sự hội tụ mạnh, yếu và∗

∗yếu của dãy {xn} về phần tử x trong E.

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E được gọi là phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E∗∗ của E, tồn tại phần tử x ∈ E sao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i với mọi x∗ ∈ E∗.

Ví dụ 1.1.2 [1, trang 35] Không gian Rn, không gian Hilbert H, không gian lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach phản xạ.

Mệnh đề 1.1.3 [1, trang 42] Cho E là một không gian Banach Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

i) E là không gian phản xạ.

ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu giới hạn của dãy tập hợp trong không gian Banach theo nghĩa của Mosco [37].

Định nghĩa 1.1.4 Cho {Cn} là một dãy các tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E Các tập con s-LinCn và w-LsnCn của E được xác định như sau

i) x ∈ s-LinCn khi và chỉ khi tồn tại dãy {xn} ⊂ E hội tụ mạnh về x và xn ∈ Cn với mọi n ≥ 1;

ii) x ∈ w-LsnCn khi và chỉ khi tồn tại dãy con {Cnk} của {Cn} và dãy {yk} ⊂ E sao cho yk * x và yk ∈ Cnk với mọi k ≥ 1.

Nếu s-LinCn = w-LsnCn = C0 thì C0 được gọi là giới hạn của dãy {Cn} và ký hiệu là C0 = M-limn→∞Cn.

Ta có mệnh đề sau về sự tồn tại giới hạn của một dãy tập con trong không gian Banach theo nghĩa của Mosco.

Mệnh đề 1.1.5 Nếu {Cn} là một dãy giảm các tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach phản xạ E và C0 = ∩∞n=1Cn 6= ∅, thì C0 = M-limn→∞Cn Chứng minh Thật vậy, rõ ràng nếu x ∈ C0 thì x ∈ s-LinCn và x ∈ w-LsnCn, vì dãy {xn} với xn = x với mọi n ≥ 1 hội tụ mạnh về x Do đó, ta có C0 ⊂ s-LinCn và C0 ⊂ w-LsnCn.

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng C0 ⊇ s-LinCn và C0 ⊇ w-LsnCn Lấy x ∈ s-LinCn, từ định nghĩa của s-LinCn, tồn tại dãy {xn} ⊂ E, xn ∈ Cn với mọi n ≥ 1 sao cho xn → x khi n → ∞ Vì {Cn} là một dãy giảm nên xn+k ∈ Cn với mọi n ≥ 1 và mọi k ≥ 0 Do đó, cho k → ∞ và từ tính đóng của Cn, ta nhận được x ∈ Cn với mọi n ≥ 1 Suy ra x ∈ C0 và do vậy C0 ⊇ s-LinCn Tiếp theo, lấy bất kỳ y ∈ w-LsnCn, từ định nghĩa của w-LsnCn, tồn tại một dãy con {Cnk} của {Cn} và dãy {yk} ⊂ E sao cho yk * x và yk ∈ Cnk với mọi k ≥ 1 Từ tính giảm của dãy {Cn}, ta có

với mọi k ≥ 1 và p ≥ 0 Vì Cnk là lồi và đóng nên Cnk là đóng yếu trong E với mọi k ≥ 1 [1, trang 40] Do đó, trong (1.1), cho p → ∞, ta nhận được y ∈ Cnk với mọi k ≥ 1 Vì Ck ⊇ Cnk nên y ∈ Ck với mọi k ≥ 1 Suy ra, y ∈ C0 và do đó C0 ⊇ w-LsnCn.

Tóm lại, ta thu được s-LinCn = C0 và w-LsnCn = C0 Vậy C0 = M-limn→∞Cn.

Nhận xét 1.1.6 Ở Mệnh đề 1.1.5, chúng tôi đưa ra một chứng minh mới, khác với chứng minh của Mosco [37], cho sự hội tụ của dãy giảm các tập con lồi đóng trong không gian Banach Chứng minh cho kết quả tương tự trong không gian định chuẩn có thể xem ở [37, Bổ đề 1.3].

Để định nghĩa tính lồi của không gian Banach, trước hết ta ký hiệu mặt cầu đơn vị của không gian Banach E là SE = {x ∈ E | kxk = 1}.

Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE, x 6= y, ta có

ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1).

Chú ý 1.1.8 Định nghĩa 1.1.7 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa mãn

kx + yk

2 = 1 thì x = y, hoặc nếu x 6= y mà kxk = 1 và kyk = 1 thì

x + y

2 < 1. Định nghĩa 1.1.9 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2], tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho

x + y

với mọi x, y ∈ E mà kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε.

Ví dụ 1.1.10 [1, trang 53–54] Không gian Hilbert H, không gian lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian lồi đều.

Mệnh đề 1.1.11 [1, trang 105] E lồi đều nếu và chỉ nếu với mỗi r > 0, tồn tại một hàm lồi tăng chặt liên tục ϕ : R+ −→ R+ với ϕ(0) = 0 sao cho

kαx + (1 − α)yk2 ≤ αkxk2+ (1 − α)kyk2− α(1 − α)ϕ(kx − yk),

với mọi x, y ∈ E thỏa mãn max{kxk, kyk} ≤ r và α ∈ [0, 1].

Mệnh đề 1.1.12 [1, trang 56] Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian lồi chặt và phản xạ.

Ngược lại, không gian Banach lồi chặt nói chung không phải không gian lồi đều.

Ví dụ 1.1.13 [1, trang 54] Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn k.kβ xác định bởi

Khi đó, (E, k.kβ), β > 0, là một không gian Banach lồi chặt nhưng không là không gian lồi đều.

Định nghĩa 1.1.14 Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee nếu mọi dãy {xn} ⊂ E thỏa mãn xn * x và kxnk → kxk thì xn → x.

Ví dụ 1.1.15 Mọi không gian Hilbert H đều có tính chất Kadec-Klee Thật vậy, giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn xn * x và

Định nghĩa 1.1.16 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE, tồn tại duy nhất phiếm hàm fx ∈ E∗ sao cho hx, fxi = kxk và kfxk = 1.

Ví dụ 1.1.17 [1, trang 91] Các không gian lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) và không gian Hilbert là không gian Banach trơn.

Mệnh đề 1.1.18 [1, trang 92] Cho E là một không gian Banach Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn.

ii) Nếu E∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt.

Định nghĩa 1.1.19 Cho không gian Banach E.

i) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SE, giới hạn

ii) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn (1.2) tồn tại đều với mọi x ∈ SE.

Nhận xét 1.1.20 Tính trơn của không gian Banach có mối liên hệ chặt chẽ với tính khả vi Gâteaux của chuẩn Theo [1, trang 92], không gian Banach E được gọi là trơn nếu chuẩn của nó khả vi Gâteaux trên E\{0}.

1.2Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, với mỗi x ∈ X, ánh xạ đa trị J : X −→ 2X∗ xác định bởi

J (x) = {f ∈ X∗ | hx, f i = kxk2, kxk = kf k}

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X Khi J là ánh xạ đơn trị ta ký hiệu nó bởi j.

Chú ý 1.2.2 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kỳ, ta luôn có J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ X, điều này được suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lý Hahn-Banach.

Ví dụ 1.2.3 [1, trang 67] Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đồng nhất IH.

Mệnh đề 1.2.4 [1, trang 69] Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó Khi đó,

i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x), ∀x ∈ X;

ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X;

iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của X thì J (D) là một tập hợp bị chặn trong X∗;

iv) Nếu X∗ là lồi chặt thì J là đơn trị.

Mệnh đề 1.2.5 [1, trang 69] Cho E là một không gian Banach trơn có j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Khi đó,

hx − y, j(x) − j(y)i ≥ 0,

với mọi x, y ∈ E Hơn nữa, nếu E là không gian lồi chặt thì hx − y, j(x) − j(y)i = 0,

khi và chỉ khi x = y.

15 1.3Phép chiếu mêtric

Trước hết, ta có mệnh đề dưới đây là cơ sở để xây dựng phép chiếu mêtric trong không gian Banach phản xạ và lồi chặt.

Mệnh đề 1.3.1 [1, trang 118] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ và lồi chặt E Khi đó, với mỗi x ∈ E, tồn tại duy nhất phần tử y ∈ C sao cho

với d(x, C) = infz∈Ckx − zk.

Định nghĩa 1.3.2 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach phản xạ và lồi chặt E, khi đó ánh xạ

PCE : E −→ C

x 7→ PCEx = y,

với y ∈ C xác định bởi (1.3), được gọi là phép chiếu mêtric từ E lên C Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể ký hiệu là PC.

Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.3.3 [1, trang 119] Cho E là một không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E, x ∈ E và z ∈ C Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

i) z = PCx;

ii) hz − y, j(x − z)i ≥ 0 với mọi y ∈ C.

Mọi không gian Hilbert đều là không gian phản xạ, lồi chặt và trơn nên từ mệnh đề trên ta có điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phép chiếu mêtric từ không gian Hilbert H vào tập con lồi đóng C của nó.

Hệ quả 1.3.4 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H lên C là

hx − PCx, PCx − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C (1.4)

Ví dụ 1.3.5 [5, trang 419] Trong không gian Hilbert H, ta xét phép chiếu mêtric PC với một số trường hợp của tập con C.

i) C là siêu phẳng C = {x ∈ H | hu, xi = a}, trong đó u ∈ H, u 6= 0 và a ∈ R Khi đó,

PCx = x −hu, xi − a

kuk2 u, với mọi x ∈ H.

ii) C là nửa không gian Hu,a = {x ∈ H | hu, xi ≤ a}, trong đó u ∈ H, u 6= 0

Mệnh đề sau cho ta tính hội tụ mạnh của dãy hình chiếu của một điểm trên dãy tập con lồi, đóng, khác rỗng theo nghĩa của Mosco (xem Định nghĩa 1.1.4) trong không gian Banach.

Mệnh đề 1.3.6 [53] Cho E là không gian Banach lồi chặt, phản xạ, trơn và thỏa mãn tính chất Kadec-Klee Cho {Cn} là dãy tập con lồi, đóng, khác rỗng của E Nếu C0 = M-limn→∞Cn tồn tại và khác rỗng thì {PCnx} hội tụ mạnh đến PC0x với mỗi x ∈ E.

1.4Ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co

Định nghĩa 1.4.1 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach E.

i) Ánh xạ T : C −→ E được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L ≥ 0, sao cho với mọi x, y ∈ C, ta đều có

ii) Trong (1.5), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co và nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn.

Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là Fix(T ).

Mệnh đề 1.4.2 [1, trang 233] Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Banach lồi chặt E và T : C −→ E là ánh xạ không giãn Khi đó Fix(T ) là tập con lồi, đóng trong E.

Mệnh đề 1.4.3 Cho E là một không gian Banach lồi đều và Ti : E −→ E, i = 1, 2, , N , là các ánh xạ không giãn với S := ∩Ni=1Fix(Ti) 6= ∅ Khi đó với mọi số thực dương λi ∈ (0, 1) thỏa mãn PN

i=1λi = 1, ta đều có PN

i=1λiTi là ánh xạ không giãn và FixPN

i=1λiTi= ∩Ni=1Fix(Ti) Chứng minh Dễ thấy PN

i=1λiTi là ánh xạ không giãn và ∩Ni=1Fix(Ti) ⊂ Fix ΣNi=1λiTi

Ta sẽ chỉ ra bao hàm thức ngược lại bằng quy nạp theo N Với N = 2, lấy bất kỳ x ∈ Fix(λ1T1+ λ2T2) và p ∈ Fix(T1) ∩ Fix(T2), với λi > 0, i = 1, 2, và λ1+ λ2 = 1, theo Mệnh đề 1.1.11, ta có

kx − pk2 = kλ1(T1x − p) + λ2(T2x − p)k2

≤ λ1kT1x − T1pk2+ λ2kT2x − T2pk2− λ1λ2ϕ(kT1x − T2xk) ≤ kx − pk2− λ1λ2ϕ(kT1x − T2xk).

Suy ra ϕ(kT1x − T2xk) ≤ 0 Từ tính chất của hàm ϕ ta nhận được T1x = T2x Điều này kết hợp với x ∈ Fix(λ1T1 + λ2T2), suy ra x = T1x = T2x Do đó Fix(λ1T1+ λ2T2) ⊂ Fix(T1) ∩ Fix(T2) và vì vậy

Fix(λ1T1+ λ2T2) = Fix(T1) ∩ Fix(T2).

Giả sử kết luận của mệnh đề đúng với N ≥ 2, ta cần chứng minh nó đúng với N + 1 Thật vậy, giả sử Ti, i = 1, 2, , N + 1, là các ánh xạ không giãn với ∩N +1i=1 Fix(Ti) 6= ∅ và λi ∈ (0, 1) thỏa mãn PN +1

i=1 λi = 1 Ta có ΣN +1i=1 λiTi = (1 − λN +1ΣNi=1 λi

1 − λN +1Ti+ λN +1TN +1).

Đặt T =PNi=1

1 − λN +1Ti Khi đó, theo giả thiết quy nạp, thì T là ánh xạ không giãn và Fix(T ) = ∩Ni=1Fix(Ti), suy ra PN +1

i=1 λiTi = (1 − λN +1)T + λN +1TN +1 Lại tiếp tục áp dụng giả thiết quy nạp, ta nhận được

Fix ΣN +1i=1 λiTi
= Fix(T ) ∩ Fix(TN +1) = ∩N +1i=1 Fix(Ti).

Như vậy, kết luận của mệnh đề đúng với N + 1 và ta được điều phải chứng minh.

Nhận xét 1.4.4 Ở Mệnh đề 1.4.3, chúng tôi đưa ra một chứng minh mới cho trường hợp họ các ánh xạ không giãn Ti : E −→ E trong không gian Banach lồi đều, kết quả tương tự cho họ các ánh xạ không giãn Ti : C −→ E với C là tập compact yếu địa phương trong không gian Banach lồi chặt có thể xem ở [9, Bổ đề 3].

Ta có mệnh đề sau về tính demi-đóng của ánh xạ IH − T khi T là ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.

Mệnh đề 1.4.5 [5, trang 63] Giả sử T là ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng C trong không gian Hilbert H vào chính nó Nếu T có điểm bất động thì IH − T là demi-đóng, nghĩa là bất kỳ dãy {xn} trong C hội tụ yếu đến x ∈ C và dãy {(IH− T )xn} hội tụ mạnh đến y thì (IH − T )x = y.

Định nghĩa 1.4.6 Ánh xạ F : E −→ E từ không gian Banach E vào chính nó được gọi là λ-giả co chặt với λ ∈ (0, 1) nếu với mỗi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≤ kx − yk2− λkx − y − (F (x) − F (y))k2 (1.6) Trong (1.6), nếu λ = 0 thì F được gọi là ánh xạ giả co.

Nhận xét 1.4.7 i) Nếu F là ánh xạ không giãn thì F là ánh xạ giả co ii) Nếu F là λ-giả co chặt thì F là 1 + 1λ
-liên tục Lipschitz (theo [16, Bổ đề

2.1 (i)]).

1.5Toán tử loại đơn điệu

Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A : X −→ 2Y là một toán tử đa trị Khi đó, miền miền hữu hiệu, miền giá trị và đồ thị của A được định nghĩa tương ứng như sau:

D(A) = {x ∈ X | Ax 6= ∅},

R(A) = ∪{Az | z ∈ D(A)}, và

G(A) = {(x, y) ∈ X × Y | x ∈ D(A), y ∈ Ax} Toán tử nghịch đảo A−1 của A định nghĩa bởi

x ∈ A−1y khi và chỉ khi y ∈ Ax.

Tập các không điểm của A được ký hiệu là A−10 và được xác định bởi

ii) đơn điệu cực đại nếu A đơn điệu và đồ thị G(A) của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác.

Ví dụ 1.5.2 [42] Cho f : E −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới Khi đó, toán tử dưới vi phân

∂f (x) = {u ∈ E∗ | f (y) − f (x) ≥ hy − x, ui, ∀y ∈ E}

với mỗi x ∈ E, là một toán tử đơn điệu cực đại.

Mệnh đề 1.5.3 [8] Nếu A là toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Banach lồi đều và trơn E thì R(j + rA) = E∗ với mọi r > 0, trong đó j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.

Nhận xét 1.5.4 Từ mệnh đề trên, nếu E là không gian Banach lồi đều và trơn, A là một toán tử đơn điệu cực đại trên E, thì với mỗi x ∈ E và r > 0, luôn tồn tại duy nhất xr ∈ E sao cho

Thật vậy, đặt y = xr − x Khi đó, phương trình (1.7) trở thành

Đặt By = A(y + x) với mọi y ∈ D(A) Dễ thấy B là một toán tử đơn điệu cực

Định nghĩa 1.5.5 Cho A là toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Banach E lồi đều và trơn, r > 0 Khi đó ánh xạ QAr : E −→ E xác định với mỗi x ∈ E, QArx = xr trong đó xr thỏa mãn

0 ∈ j(xr− x) + rAxr,

được gọi là giải mêtric của A đối với r.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm và một số tính chất của toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach.

Định nghĩa 1.5.6 Trong không gian Banach E, toán tử đa trị A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là

i) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) và mọi u ∈ Ax, v ∈ Ay, tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hu − v, j(x − y)i ≥ 0;

ii) j-đơn điệu cực đại nếu A là j-đơn điệu và đồ thị G(A) của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử j-đơn điệu nào khác trên E;

iii) m-j-đơn điệu nếu A là j-đơn điệu và R(IE + λA) = E với mọi λ > 0;

iv) thỏa mãn điều kiện miền giá trị nếu

D(A) ⊂ R(IE + λA) với mọi λ > 0,

trong đó D(A) ký hiệu bao đóng của miền hữu hiệu D(A).

Ví dụ 1.5.7 Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của không gian Banach E vào E thì toán tử IE− T là j-đơn điệu Trong trường hợp C trùng với E thì IE − T là một toán tử m-j-đơn điệu.

Nhận xét 1.5.8 i) Nếu A là m-j-đơn điệu thì A là j-đơn điệu cực đại, nhưng chiều ngược lại nói chung không đúng [4, trang 74] Trong không gian Hilbert, khái niệm toán tử j-đơn điệu trùng với toán tử đơn điệu, và khái niệm toán tử m-j-đơn điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại;

ii) Nếu A là toán tử m-j-đơn điệu thì A thoả mãn điều kiện miền giá trị [41] Định nghĩa 1.5.9 Ánh xạ F : E −→ E từ không gian Banach E vào chính nó được gọi là δ-j-đơn điệu mạnh với δ ∈ (0, 1) nếu với mỗi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≥ δkx − yk2.

F : E −→ E Nếu F là δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thì Trong không gian Hilbert, khái niệm ánh xạ η-đơn điệu mạnh được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.5.11 Ánh xạ F : H −→ H từ không gian Hilbert H vào chính nó được gọi là η-đơn điệu mạnh với η > 0 nếu với mỗi x, y ∈ H, ta luôn có

hF (x) − F (y), x − yi ≥ ηkx − yk2.

Mệnh đề 1.5.12 [60] Cho H là không gian Hilbert và F : H −→ H là toán tử L-Lipschitz và η-đơn điệu mạnh, thì IH − λµF là ánh xạ co với hệ số co c = 1 −p1 − µ(2η − µL2), với mỗi µ ∈ (0, 2η/L2) và λ ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.5.13 Cho A là một toán tử j-đơn điệu trên không gian Banach E Khi đó, với mỗi r > 0, ánh xạ JrA : R(IE + λA) −→ D(A) xác định bởi

JrA = (IE + λA)−1,

được gọi là toán tử giải của A.

Chú ý 1.5.14 Toán tử giải JrA của toán tử j-đơn điệu A là ánh xạ đơn trị, không giãn [4, trang 104] Trong không gian Hilbert, giải mêtric của A trùng với giải của A.

Mệnh đề 1.5.15 [10] Nếu toán tử j-đơn điệu A thoả mãn điều kiện miền giá trị thì với mọi r > 0, ta đều có

A−10 = Fix(JrA).

Mệnh đề 1.5.16 [4, trang 105] Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E là toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach E Với λ, µ > 0, và x ∈ E, ta có

Mệnh đề 1.5.17 Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E là toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach E Với r ≥ s > 0, ta có

Các mệnh đề sau giới thiệu một số tính chất về giải của toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.

Mệnh đề 1.5.18 [5, trang 335] Cho A : D(A) ⊂ H −→ 2H là toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert H Với mọi r > 0 và x, y ∈ R(IH + rA), ta có

hx − y, JrAx − JrAyi ≥ kJrAx − JrAyk2.

Mệnh đề 1.5.19 Cho A : D(A) ⊂ H −→ 2H là toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert H Với mọi r > 0 và x, y ∈ R(IH + rA), ta có

h(IH− JrA)x − (IH − JrA)y, x − yi ≥ k(IH − JrA)x − (IH − JrA)yk2.

1.6ε-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại

Trước hết ta nhắc lại khái niệm ε-xấp xỉ dưới vi phân của một hàm lồi Định nghĩa 1.6.1 Cho E là một không gian Banach và f : E → [−∞, ∞] là hàm lồi, chính thường Ta kí hiệu ∂εf (x) là ε-xấp xỉ dưới vi phân của f và được xác định như sau

∂εf (x) = {u ∈ E∗ | f (y) − f (x) − hy − x, ui ≥ −ε, ∀y ∈ E}.

Burachik và Svaiter [13] đã đưa ra khái niệm ε-mở rộng của toán tử đơn điệu trong không gian Banach như sau.

Định nghĩa 1.6.2 Cho A : E −→ 2E∗ là toán tử đơn điệu cực đại Với mỗi ε ≥ 0, ε-mở rộng của A được ký hiệu là Aε và được xác định với mỗi x ∈ E như sau

Aεx = {u ∈ E∗ | hy − x, v − ui ≥ −ε, ∀y ∈ E, v ∈ Ay}.

Nhận xét 1.6.3 Dễ thấy A0x = Ax và nếu 0 ≤ ε1 ≤ ε2, thì Aε1x ⊆ Aε2x với bất kỳ x ∈ E.

Mệnh đề 1.6.4 [13] Cho E là một không gian Banach và f : E → [−∞, ∞] là hàm lồi, đóng, chính thường Nếu A = ∂f thì ∂εf (x) ⊂ Aεx với mọi x ∈ E.

Mệnh đề 1.6.6 [13] Cho A : E −→ 2E∗ là một toán tử đơn điệu cực đại Khi đó đồ thị của Aε : R+× E −→ 2E∗ là demi-đóng, nghĩa là ta có các khẳng

ii) kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2.

Bổ đề 1.7.2 [34] Cho {sn} là một dãy số thực không giảm ở vô cùng theo nghĩa tồn tại một dãy con {snk} sao cho

Bổ đề 1.7.3 [57] Cho {sn} là dãy số thực không âm, {αn} là dãy trong [0, 1] và {cn} là dãy số thực thỏa mãn các điều kiện

Trong chương này chúng tôi đã trình bày một số kiến thức bổ trợ phục vụ cho việc nghiên cứu các bài toán ở những chương tiếp theo, bao gồm các khái niệm và tính chất của không gian Banach lồi chặt, lồi đều và trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu mêtric, toán tử đơn điệu và j-đơn điệu, ε-mở rộng của toán tử và các khái niệm tương ứng trong không gian Hilbert.

Chương 2

Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach

Trong chương này, chúng tôi đề xuất các cải tiến của phương pháp chiếu co hẹp và phương pháp đường dốc nhất cho bài toán không điểm chung của toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach Cụ thể, Mục 2.1 đưa ra phương pháp chiếu co hẹp tìm không điểm chung của toán tử đơn điệu Mục 2.2 giới thiệu phương pháp đường dốc nhất tìm không điểm chung của toán tử j-đơn điệu với hai thuật toán xoay vòng và song song Mục 2.3 dành cho việc áp dụng các phương pháp nêu trên vào một số bài toán liên quan Cuối cùng, Mục 2.4 xây dựng các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp đã đề xuất Nội dung chương này được viết dựa trên kết quả của hai bài báo (1) và (2) trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án.

2.1Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử đơn điệu

Ở mục này, chúng tôi xét bài toán không điểm chung: Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn, Ai: E −→ 2E∗, i = 1, 2, , N , là các toán tử đơn điệu cực đại từ E vào 2E∗ sao cho S := ∩Ni=1A−1i 0 6= ∅;

Khi E là không gian Hilbert H và N = 1, (2.1) trở thành bài toán tìm không điểm của một toán tử:

với A là toán tử đơn điệu cực đại trong H.

Một phương pháp cổ điển để giải (2.2) là thuật toán điểm gần kề được đề xuất bởi Martinet [36] Cụ thể, với xn ∈ H, phương pháp điểm gần kề xác định phần tử lặp tiếp theo xn+1 bằng cách giải bài toán phụ

trong đó µn > 0 Nếu dãy tham số {µn} bị chặn trên thì dãy {xn} xác định bởi (2.3) hội tụ yếu đến không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A.

Chú ý rằng toán tử A + µnI là đơn điệu mạnh nên (2.3) có duy nhất nghiệm Do đó, nói chung việc giải chính xác hay xấp xỉ bài toán phụ (2.3) đơn giản hơn giải bài toán ban đầu (2.2).

Năm 1999, Solodov và Svaiter [44] đã giải gần đúng Bài toán (2.3) như sau:

Sau đó, trong [45], vẫn sử dụng cặp nghiệm xấp xỉ (yn, vn) từ (2.4), Solodov và Svaiter đưa ra thuật toán chiếu lai ghép (hybrid projection method) cho phép xác định phần tử lặp tiếp theo bởi

với x0 ∈ H tùy ý và

Cn = {z ∈ H | hz − yn, vni ≤ 0},

Qn = {z ∈ H | hz − xn, x0− xni ≤ 0}.

Solodov và Svaiter [45] đã chứng minh rằng nếu dãy tham số hiệu chỉnh {µn} bị chặn trên thì dãy {xn} xác định bởi (2.5) hội tụ mạnh đến PA−10x0.

Lấy ý tưởng từ kết quả trên, kết hợp với phương pháp lặp Mann [35], Taka-hashi và cộng sự [46] đã đưa ra phương pháp chiếu co hẹp (shrinking projection method) để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A như sau

với JcAn là toán tử giải của A ứng với cn Họ chỉ ra rằng nếu {αn} ⊂ [0, a), với a ∈ [0, 1) và cn → ∞ thì dãy {xn} xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh đến PA−10x0.

Nhận xét 2.1.1 Trong thuật toán chiếu co hẹp (2.6), Takahashi và cộng sự đã sử dụng phương pháp điểm gần kề chính xác (exact proximal point), các tác giả cũng không quan tâm đến sai số tính toán khi thực hiện phép chiếu phần tử x0 lên tập Cn+1 để tìm phần tử xn+1.

Từ nhận xét đó, chúng tôi đề xuất các cải tiến của phương pháp chiếu co hẹp để đưa ra hai phương pháp lặp song song cho Bài toán (2.1) Điểm cải tiến của các phương pháp mới là chúng tôi sẽ sử dụng thuật toán điểm gần kề không chính xác (inexact proximal point) theo nghĩa thay toán tử ban đầu bằng toán tử mở rộng của nó, thêm nữa, phép chiếu sử dụng trong phương pháp là phép chiếu “gần đúng” (quan tâm đến sai số tính toán khi thực hiện phép chiếu).

Với j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach lồi đều và trơn E và Aεn

i là εn-mở rộng của Ai, chúng tôi xây dựng các thuật toán sau Thuật toán 2.1.1 Dãy {xn} được xác định bởi

x1 = x ∈ E, C1 = E,

Tìm yi,n ∈ E sao cho j(yi,n− xn) + ri,nAεn

i yi,n 3 0, i = 1, 2, , N, Chọn in sao cho kyin,n − xnk = max

i=1, ,N{kyi,n− xnk}, đặt yn = yin,n, Cn+1 = {z ∈ Cn | hyn − z, j(xn− yn)i ≥ −εnrin,n},

Tìm xn+1 ∈ {z ∈ Cn+1 | ku − zk2 ≤ d2(u, Cn+1) + δn+1}, n = 1, 2, ;

trong đó u ∈ E cho trước, {εn} và {δn} là các dãy số thực không âm và {ri,n}, i = 1, 2, , N , là các dãy số thực dương sao cho mini{infn{ri,n}} ≥ r > 0.

Thuật toán tiếp theo đưa ra cách khác để xây dựng các tập con Cn Thuật toán 2.1.2 Dãy {xn} được xác định bởi

trong đó u ∈ E cho trước, {εn} và {δn} là các dãy số thực không âm và {ri,n}, i = 1, 2, , N , là các dãy số thực dương sao cho mini{infn{ri,n}} ≥ r > 0.

Trước hết ta cần bổ đề sau để chứng minh sự hội tụ của các thuật toán nêu trên.

Bổ đề 2.1.2 Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn, {Cn} là dãy giảm các tập con lồi đóng của E sao cho C0 = ∩∞n=1Cn 6= ∅ Giả sử pn = PCnu với u ∈ E và {xn} là dãy trong E thỏa mãn

Ta có định lý sau về sự hội tụ của Thuật toán 2.1.1.

Định lý 2.1.3 Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn, Ai : E −→ 2E∗, i = 1, 2, , N , là các toán tử đơn điệu cực đại của E vào 2E∗ sao cho

S := ∩Ni=1A−1i 0 6= ∅.

Nếu limn→∞εnri,n = limn→∞δn = 0 với mọi i = 1, 2, , N , thì dãy {xn} xác định bởi Thuật toán 2.1.1 hội tụ mạnh đến PSu, khi n → ∞.

Chứng minh Trước hết, bằng quy nạp ta chỉ ra rằng S ⊂ Cn với mọi n ≥ 1 Thật vậy, rõ ràng S ⊂ C1 = E Giả sử rằng S ⊂ Cn với n ≥ 1 Lấy v ∈ S, ta có

Do đó, v ∈ Cn+1 Vì v là bất kỳ trong S nên S ⊂ Cn+1 Như vậy, bằng quy nạp ta được S ⊂ Cn với mọi n ≥ 1.

Hơn nữa, Cn là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E với mọi n Do đó, theo Mệnh đề 1.3.1, dãy {xn} là hoàn toàn xác định.

Với mỗi n ≥ 1, ký hiệu pn = PCnu Từ Bổ đề 2.1.2, ta có các dãy {xn} và {pn} hội tụ mạnh đến cùng một điểm p0 = PC0u với C0 = ∩∞n=1Cn.