giá trị cực trị của hàm fidelity trên các lớp tương đương unita

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------NGUYỄN THỊ NGÂN GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CỦA HÀM FIDELITY TRÊN CÁC LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG UNITA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2023... KÍ HI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

 -NGUYỄN THỊ NGÂN

GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CỦA HÀM FIDELITY TRÊN CÁC LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG UNITA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

 -NGUYỄN THỊ NGÂN

GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CỦA HÀM FIDELITY TRÊN CÁC LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG UNITA

LỜI CAM ĐOAN

Toàn bộ nội dung trình bày trong luận văn này là công trình nghiên cứu tổng quan của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Hồ Minh Toàn Những khái niệm và kết quả trong luận văn được tổng hợp từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình.

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 08 năm 2023

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo TS Hồ Minh Toàn, người đã tận tình hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, các thầy cô giáo là cán bộ giảng viên của khoa Toán học nói riêng và trường đại học Sư phạm Thái Nguyên nói chung đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn này.

Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu, vì thời gian, năng lực và điều kiện còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót và hạn chế Vì vậy, kính mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của các quý thầy cô, các chuyên gia và các bạn quan tâm để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn.

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 08 năm 2023 Tác giả

Nguyễn Thị Ngân

1.1 Không gian vectơ và không gian tích trong 4

1.1.1 Không gian vectơ 4

1.1.2 Không gian tích trong 5

KÍ HIỆU

R,C tập các số thực, các số phức

Fd×d đại số các ma trận cỡ d × d với hệ số trong F

Hd = Cd không gian Hilbert d chiều U (d) tập các ma trận unita cỡ d × d A ≥ 0 ma trận nửa xác định dương A > 0 ma trận xác định dương

ρ, σ ma trận nửa xác định dương có vết bằng 1 F (ρ, σ) fidelity giữa hai trạng thái lượng tử d × d

λ↓(ρ) vectơ bao gồm các giá trị riêng của ρ, được xắp xếp theo thứ tự giảm dần

λ↑(ρ) vectơ bao gồm các giá trị riêng của ρ, được xắp xếp theo thứ tự tăng dần

LỜI GIỚI THIỆU

Từ những năm 1970 và 1980, các nhà khoa học đã quan tâm đến vấn đề liệu một số câu hỏi cơ bản của khoa học máy tính và lý thuyết thông tin có thể được áp dụng để nghiên cứu các hệ lượng tử hay không Các trạng thái lượng tử là một đối tượng nghiên cứu cơ bản trong lý thuyết lượng tử Mỗi trạng thái lượng tử (hỗn hợp) được mô hình toán học dưới dạng ma trận nửa xác định dương có vết bằng một Định lượng mức độ giống nhau của một cặp trạng thái lượng tử là một bài toán quan trọng trong vật lý lượng tử Đối tượng mà chúng ta cần quan tâm là đo độ tương đồng giữa hai quỹ đạo unita Đó cũng là vấn đề được nhiều nhà khoa học trong nước cũng như ngoài nước quan tâm nghiên cứu.

Fidelity (tạm dịch là độ tương đồng) là một khái niệm trung tâm của thông tin lượng tử và là đại lượng dùng để đo độ tương đồng giữa các trạng thái lượng tử Giá trị hàm fidelity của hai trạng thái lượng tử tối thiểu bằng không và không vượt quá một Hai trạng thái lượng tử trùng nhau thì giá trị fidelity của chúng bằng một Các trạng thái lượng tử càng khác xa nhau thì fidelity của chúng càng gần về không Trong các nghiên cứu hiện nay, có nhiều hàm fidelity được đưa ra Hàm fidelity được đưa ra đầu tiên bởi A Uhlmann năm 1976 và sau đó được R Jozsa phát triển lên không gian các trạng thái lượng tử (hỗn hợp) năm 1994 [4] Đây cũng là hàm fidelity cũng được sử dụng rộng rãi nhất trong nghiên cứu các bài toán trong lĩnh vực thông tin lượng tử và thường được gọi là Uhlmann-Jozsa Fidelity, ký hiệu F và được định nghĩa như sau:

F (ρ, σ) := T r(

ρσ√ ρ),

trong đó ρ, σ là các trạng thái lượng tử Trong luận văn này, fidelity được hiểu là hàm Uhlmann-Jozsa Fidelity được xác định bởi công thức trên.

Cụ thể, trong luận văn này, tôi quan tâm đến bài toán tìm giá trị cực

đại và cực tiểu của Fidelity lượng tử giữa hai quỹ đạo unita của các trạng thái lượng tử Đây là vấn đề được nhiều nhà vật lý toán nghiên cứu, đặc biệt và các kết quả của Lin Zhang và Shao-Ming Fei [9], và kết quả này sau đó được chứng minh lại và mở rộng thêm bởi R Bhatia và M Congedo [2] Xuất phát từ các lí do trên và dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Hồ Minh Toàn, tôi quyết định chọn đề tài “Giá trị cực trị của hàm Fidelity trên các lớp tương đương unita” để làm luận văn của mình.

Trong luận văn này, tôi muốn trình bày lại các kết quả nghiên cứu chính về bài toán tối ưu về Fidelity lượng tử giữa hai quỹ đạo unita của các trạng thái lượng tử, các kết quả này được viết trong các tài liệu tham khảo [2] Bài toán:

Cho bất kỳ hai trạng thái lượng tử ρ và σ Tìm max

U ∈U (Hd)F (ρ, U σU†); min

U ∈U (Hd)F (ρ, U σU†).

Thực hiện chủ đề Giá trị cực trị của hàm Fidelity trên các lớp tương đương unita, tôi hướng tới việc rèn luyện khả năng tính toán, khả năng tiếp cận, tìm hiểu sâu một vấn đề của Toán học Từ đó hình thành năng lực trình bày một vấn đề toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống Luận văn nhằm cung cấp một số kiến thức về Fidelity lượng tử giữa các quỹ đạo unita của hai trạng thái lượng tử giữa các quỹ đạo unita của hai trạng thái lượng tử Thực hiện luận văn này, tôi có cơ hội củng cố kiến thức về đại số tuyến tính, giải tích ma trận và làm quen với cách nghiên cứu một bài toán trong Toán học.

Ngoài các phần phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhớ lại một số tính chất cơ bản từ giải tích ma trận như hàm ma trận, ma trận xác định dương, vết,

Chương 2: Giá trị cực trị của hàm Fidelity trên các lớp tương đương unita

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu Fidelity lượng tử dưới quỹ đạo unita Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Fidelity lượng tử giữa hai quỹ đạo unita của các trạng thái lượng tử Các ứng dụng tiềm năng trong tính toán lượng tử và xử lý thông tin.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Các khái niệm, định lý được trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 3, 5, 6].

1.1 Không gian vectơ và không gian tích trong 1.1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ là một cặp (V, K), trong đó V là tập hợp các vectơ và K là trường (trong luận văn này, chúng tôi thường quan tâm K là trường các số R,C Với hai vectơ bất kỳ x, y ∈ V và α ∈ K, ta có thể thực hiện hai phép toán là phép cộng vectơ x + y và phép nhân vectơ với số α Các phép toán này phải thỏa mãn 8 tiên đề

• Phần tử đơn vị của trường K có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: ∀x ∈ V, 1x = x

Cho V là không gian vectơ trên trường K và S là tập con của V S là hệ sinh của V nếu mọi vectơ trong V có thể viết dưới dạng tổ hợp của các phần tử trong S S được gọi là độc lập tuyến tính nếu các vectơ trong S không thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác trong S S được gọi là cơ sở của V nếu nó độc lập tuyến tính và S là hệ sinh của V Nếu S là cơ sở của V và S có d vectơ, thì mọi cơ sở khác của V cũng có d vectơ; trong trường hợp này d được gọi là số chiều của V.

Ví dụ 1.1 Rdcùng với phép cộng và phép nhân vô hướng thông thường là một không gian vectơ dchiều trên trường R.Cho a, b ∈ Rd vàλ ∈ R a + b = (a1 + b1, , ad + bd) ∈ Rd và λa = (λa1, , λad) ∈Rd Ví dụ 1.2 Tập Cd = {(a1 + b1i, a2 + b2i, , ad + bdi) : a1, , ad ∈ R, b1, , bd ∈ R}cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng thông thường là một không gian vectơ trên trường K (R,C,Q).

Nếu Cd là một không gian vectơ trên trường phức C thì nó có số chiều là d.

Nếu Cd là một không gian vectơ trên trường thực R thì nó có số chiều là 2d Cd không phải là một không gian hữu hạn chiều trên trường hữu tỉ Q.

1.1.2 Không gian tích trong

Định nghĩa 1.2 Một không gian vectơ V trên trường số thực cùng với một ánh xạ ⟨, ⟩ : V × V → R gọi là một tích trong (hay cũng còn gọi là tích vô hướng) nếu với mọi vectơ u, v ∈ V và số thực a, b ∈ R thỏa mãn các tính chất sau:

(1) Tính tuyến tính: ⟨au + bv, w⟩ = a⟨u, w⟩ + b⟨v, w⟩ (2) Tính đối xứng: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩.

(3) Tính xác định dương: Cho bất kì u ∈ V, ⟨u, u⟩ ≥ 0; và ⟨u, u⟩ = 0 khi và chỉ khi u = 0.

Không gian vectơ thực V cùng với một tích trong được gọi là một

không gian tích trong thực.

Ví dụ 1.3 Nếu u = (u1, u2, , ud) và v = (v1, v2, , vd) là các vectơ trong Rd, thì tích trong chính tắc (hay tích Euclid) của Rd được xác định bởi

⟨u, v⟩ = uv = uTv = u1v1 + u2v2 + + udvd.

Định nghĩa 1.3 Cho V là một không gian vectơ phức Một tích trong của V là một ánh xạ ⟨, ⟩ : V × V → C thỏa mãn các tính chất sau: (1) Tính tuyến tính: ⟨au + bv, w⟩ = a⟨u, w⟩ + b⟨v, w⟩.

(2) Tính đối xứng liên hợp: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩.

(3) Tính xác định dương: Cho bất kì u ∈ V, ⟨u, u⟩ ≥ 0; và ⟨u, u⟩ = 0 nếu và chỉ nếu u = 0.

Không gian vectơ phức V cùng với một tích trong được gọi là một không gian tích trong phức.

Nếu ⟨, ⟩ là một tích trong trên V, thì nó tạo ra một chuẩn: ∥v∥ = p

⟨v, v⟩ Ngoài ra, nếu (V, ∥.∥) là một không gian Banach thì (V, ⟨, ⟩) là một không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.5 Một ma trận Hec-mit (hay gọi là ma trận tự liên hợp) là ma trận phức vuông bằng với chuyển vị liên hợp của chính nó — nghĩa là, phần tử trong hàng thứ i và cột thứ j bằng liên hợp phức của phần tử trong hàng thứ j và cột thứ i, đối với tất cả các chỉ số i

Rõ ràng một ma trận vuông thực là ma trận đối xứng nếu và chỉ nếu nó là ma trận Hec-mit Điều này là không đúng trong trường hợp ma

Nhận xét 1.1 Cho H(d) là tập trên các ma trận Hec-mit cấp d Thì H(d) là một không gian vectơ thực d2 chiều với phép cộng và phép nhân vô hướng thông thường Hơn nữa, cho A, B ∈ H(d)

⟨A, B⟩ := T r(B†A) = T r(BA) = T r(AB)

là một tích vô hướng trên H(d) và H(d) trở thành một không gian

⟨A, A⟩ = T r(A†A) = Pd

i,j=1(a2ii + 2|zij|2) ≥ 0; và ⟨A, A⟩ = 0 nếu và chỉ nếu aii = zij = 0.

Vậy ⟨, ⟩ là một tích vô hướng Thực ra, nếu xem một ma trận vuông cấp d là một vectơ thuộc Cd2 thì tích vô hướng ⟨A, B⟩ = T r(B†A) cũng là tích trong chính tắc trên Cd2 nên H(d) là không gian đủ Định nghĩa 1.6 Một ma trận vuông phức khả nghịch U là unita nếu chuyển vị liên hợp U† cũng là khả nghịch, nghĩa là:

trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với U.

Cho U là một ma trận vuông cấp d Từ định nghĩa, ta suy ra rằng U là unita nếu và chỉ nếu dạng các vectơ cột của nó là một cơ sở trực

BTB = I = BBT( hay một cách nói tương đương, BT = B−1).

Như vậy một ma trận vuông thực cấp d là trực giao khi và chỉ khi các vectơ cột của nó lập thành một cơ sở trực chuẩn trong Rd.

1.2.2 Chéo hóa ma trận

Định nghĩa 1.8 Ma trận đường chéo là ma trận mà tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 Tức là, ma trận D = (aij) với "d" cột và "d" hàng là đường chéo nếu ∀i, j ∈ {1, 2, , n}, i ̸= j =⇒ aij = 0.

Định nghĩa 1.9 Một ma trận A vuông cấp d với hệ số trên trường F (F là thực hoặc phức) được gọi là "chéo hóa được" nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho P−1AP là một ma trận đường chéo Cụ thể,

A ∈ Fd×d chéo hóa được ⇐⇒ ∃ P, P−1 ∈ Fd×d : P−1AP là đường chéo.

Nhận xét: Nếu A chéo hóa được thì AP = P D vì vậy các phần tử trên đường chéo chính của D là các giá trị riêng của A và các cột của P là các vectơ riêng tương ứng.

Định lý 1.1 Cho một ma trận Hec-mit A cấp d Khi đó: a) tất cả các giá trị riêng của A là số thực;

b) các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt là trực giao; c) tồn tại một cơ sở trực chuẩn của Cd, bao gồm các vectơ riêng Như vậy, khi một ma trận phức A ∈ Cd×d là một ma trận Hec-mit, có thể chọn một cơ sở trực chuẩn của Cd gồm các vectơ riêng của A và ma trận chéo hóa P có các cột là cơ sở gồm các vectơ riêng đó là ma trận unita Ngoài ra nếu A ∈ Rd×d là một ma trận đối xứng thực thì có thể chọn một cơ sở trực chuẩn của Rd gồm các vectơ riêng của A và ma trận chéo hóa P có thể chọn là ma trận trực giao.

Định lý 1.2 [3] Cho A, B là các ma trận Hec-mit Nếu AB = BA thì tồn tại ma trận unita U sao cho U†AU và U†BU là các ma trận đường chéo.

1.2.3 Hàm ma trận

Chúng ta có thể tìm hiểu thêm về định nghĩa chi tiết và tính chất của hàm ma trận trong [1, Chương V] Trong phần này, chúng tôi chỉ nhắc lại những tính chất hữu ích của hàm ma trận được sử dụng ở chương sau.

Chéo hoá ma trận có thể được sử dụng để tính toán hiệu quả các lũy thừa của một ma trận: Giả sử A = P DP−1 Khi đó,

Ak = P DP−1
k = P DP−1
P DP−1
· · · P DP−1
= P D P−1P
D P−1P
· · · P−1P
DP−1 = P DkP−1, và biểu thức cuối cùng tính toán nhanh hơn vì nó chỉ liên quan đến lũy thừa của ma trận đường chéo.

Ví dụ: đối với ma trận A với các giá trị riêng λ = 1, 1, 2, ta tính:

Định nghĩa hàm ma trận: Từ mục chéo hóa ma trận trên, ta có thể phát biểu lại kết quả như sau:

Khai triển Phổ: Cho ma trận A† = A, trong đó A† là chuyển vị liên

ra rằng ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩.

Các ma trận Hec-mit có thể chéo hóa được, và các giá trị riêng đều là số thực Cho Vλ := {v : Av = λv} là không gian con được tạo bởi các vectơ riêng với giá trị riêng λ, và cho Pλ biểu thị phép chiếu trực giao trên không gian con này Khi đó, ta có thể viết A dưới dạng khai triển

Tổng quát hơn, cho f là hàm số xác định trên một khoảng I ⊂ R và A là ma trận Hec-mit có các giá trị riêng λi, 1 ≤ i ≤ k đều thuộc I Khi đó, f (A) là ma trận được xác định như sau:

f (A) := f (λ1)Pλ1 + · · · + f (λk)Pλk,

trong đó Pλi là phép chiếu trực giao lên không gian riêng ứng với giá trị riêng λi Như vậy f (λi) là các giá trị riêng của f (A) và f (A) cũng là ma trận Hec-mit, giao hoán với A.

Nhận xét 1.4 • Nếu D = diag(d1, , dn) là một ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo là d1, , dn và f là một hàm có miền xác định chứad1, , dnthìf (D) = diag(f (d1), , f (dn)).

• Nếu A = A†, thì tồn tại một ma trận unita U sao cho A = U†DU, trong đó D là ma trận đường chéo có các phần tử là giá trị riêng của A Giả sử rằng f (x) là một hàm có miền chứa tất cả các giá trị riêng của A Thì

f (A) = U†f (D)U.

1.2.4 Ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.10 Một ma trận phức Hec-mit M cỡ d × d được gọi là "xác định dương" nếu x†M x > 0 với mọi x khác 0 trong Cd Cụ thể, M xác định dương ⇐⇒ x†M x > 0 với mọi x ∈ Cd \ {0}.

Một ma trận phức Hec-mit M cỡ d × d được gọi là "nửa xác định dương" nếu x†M x ≥ 0 với mọi x trong Cd Cụ thể,

M nửa xác định dương ⇐⇒ x†M x ≥ 0 với mọi x ∈ Cd.

Một ma trận phức Hec-mit M cỡ d × d được gọi là "xác định âm" nếu x†M x < 0 với mọi x khác 0 trong Cd Cụ thể,

M xác định âm ⇐⇒ x†M x < 0 với mọi x ∈ Cd\ {0}.

Một ma trận phức Hec-mit M cỡ d × d được gọi là "nửa xác định âm" nếu x†M x ≤ 0 với mọi x trong Cd Cụ thể,

M nửa xác định âm ⇐⇒ x†M x ≤ 0 với mọi x ∈ Cd.

Một ma trận phức Hec-mit M cỡ d × d không phải là nửa xác định dương cũng không phải là nửa xác định âm được gọi là "không xác định".

Ma trận nửa xác định dương A cũng còn được gọi toán tử dương và kí hiệu A ≥ 0 Nếu A là xác định dương, ta sẽ viết A > 0 Nếu A và B là Hec-mit, thì ta nói A ≥ B nếu A − B ≥ 0.

Ví dụ 1.12 Lấy một số thực t > 0 cho trước bất kỳ và ma trận

Từ định nghĩa của ma trận xác định dương/nửa xác định dương, ta dễ dàng thu được nhận xét sau:

Nhận xét 1.5 1) Nếu D là một ma trận nửa xác định dương và U là

trong đó λi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ d ThìD là ma trận nửa xác định dương Cho ma trận unita U bất kì thì U†DU là ma trận nửa xác định dương Nhận xét 1.6 ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A†y⟩, ⟨Ax, x⟩ = x†Ax.

Theo kết quả về chéo hóa một ma trận (phức), ta có định lý sau: Định lý 1.3 Cho A là một ma trận vuông cấp d và A = A† Khi đó, tồn tại một ma trận unita U sao cho

U†AU = D,

trong đó D là ma trận đường chéo và các phần tử trên đường chéo chính của D là các giá trị riêng của A Hơn nữa, các giá trị riêng của A là các số thực.

Hệ quả 1.4 A là một ma trận nửa xác định dương (xác định dương) khi và chỉ khi A là một ma trận Hec-mit và tất cả các giá trị riêng là không âm (tương ứng, dương).

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh điều kiện tương đương của nửa xác định dương trong định lý Chứng minh điều kiện tương đương với xác định dương được chứng minh tương tự.

( ⇒ ) Giả sử λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng x ̸= 0, x ∈ Cd, ta có :

Ax = λx ⇔ x†Ax = x†λx vì x†Ax ≥ 0 nên

x†λx ≥ 0 ⇔ λx†x ≥ 0 ⇔ λ||x||2 ≥ 0 ⇒ λ ≥ 0.