skkn toán thcs

Khi dạy học về nội dung phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, giáo viên thường dạy theo phương pháp đó là: Sau khi dạy xong lý thuyết, giáo viên chữa hết các bài tập trong sách g

I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

- Môn Toán là một môn học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong khoa học và

đời sống xã hội Môn Toán ở cấp THCS có một vai trò hết sức quan trọng, một mặt nó phát triển cách hệ thống các kiến thức, kỹ năng, thái độ mà học sinh đã được lĩnh hội đã hình thành ở bậc tiểu học Trong bất kỳ hoàn cảnh nào chúng ta cũng không thể thiếu kiến thức Toán Nghiên cứu về toán cũng là một phần của nghiên cứu về thế giới Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính tư duy logic rất cao, đặc biệt là đối với những học sinh có năng khiếu về môn Toán Mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng, thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào nhiều

lĩnh vực lao động sản xuất khác

- Qua 23 năm dạy bộ môn Toán ở cấp THCS với 18 năm dạy Toán lớp 9

Tôi nhận thấy việc học toán nói chung và ôn thi vào THPT nói riêng là rất quan trong muốn thành công, nâng cao chất lượng học thi vào THPT trong việc học Toán thì bạn thân mỗi người thầy cần phải có trình độ chuyên môn vững vàng, có hiểu biết sâu rộng về Toán học, bên cạnh đó có nhiều phương pháp giảng dạy tốt phù hợp với đối tượng học sinh Còn đối với học sinh phải chăm chỉ, chịu khó tìm tòi và lĩnh hội các kiến thức không chỉ của các thầy cô cấp trên lớp mà còn nghiên cứu thêm trong các tài liệu tham khảo Vì vậy việc học trên lớp đối

với các bài tập cơ bản thì học sinh dễ dàng tìm ra phương hướng để giải quyết - Từ nhiều năm gần đây, trong các đề thi cuối năm và thi tuyển sinh vào

THPT hay gặp nội dung về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, thế nhưng nội dung này lại phong phú về dạng bài cũng như cách giải Từ bài toán đơn giản như: Không giải phương trình, tính tổng và tích hai nghiệm, đến những bài toán khó hơn như: Tính giá trị biểu thức liên quan đến hai nghiệm, Tìm GTNN của biểu thức chứa hai nghiệm,… của phương trình bậc hai Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm nhiều lúc gặp khó khăn vì

khi đó phương trình thường đang chứa tham số

- Khi đó, hệ thức Vi-ét là một phương tiện hiệu quả giúp học sinh dễ dàng

giải được loại toán này Tuy nhiên, thời lượng về nội dung này lại ít, lượng bài tập còn chưa đa dạng Vì thế, khi gặp bài toán về dạng này, một số học sinh còn

lúng túng không giải được

Chính vì vậy, tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để nâng cao kết quả học tập cho các em, giúp các em biết giải một số bài toán về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, để các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển Đó là lý do tôi chọn đề tài:

“NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT KHI DẠY PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT”

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

- Trong những năm học gần đây, ngoài việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh môn Toán lớp 8, tôi còn dạy Toán lớp 9 và ôn tập cho học sinh thi vào lớp 10-THPT Khi dạy học về nội dung phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, giáo viên thường dạy theo phương pháp đó là: Sau khi dạy xong lý thuyết, giáo viên chữa hết các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập để giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản Sau đó, giáo vên thường đưa thêm một số bài tập nâng cao giúp học sinh hiểu sâu hơn kiến thức, tuy nhiên, các bài tập này giáo viên không phân rõ theo dạng bài Giáo viên nghĩ rằng học sinh đã hiểu bài sâu và cách truyền thụ như thế là đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ năng cho học sinh

- Với thời gian ngắn áp dụng phương pháp này, giáo viên thấy học sinh nắm kiến thức chưa thật vững vàng, lập luận thiếu chặt chẽ hoặc đôi lúc nhầm lẫn giữa các dạng bài và cảm thấy môn Toán còn có phần thiếu hấp dẫn với các em

- Chính điều đó thôi thúc giáo viên suy nghĩ để tìm ra phương pháp dạy học mới có hiệu quả hơn nhằm khắc phục những hạn chế ở trên, giúp các em hiểu sâu hơn về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, đồng thời giúp các em yêu thích và say mê môn Toán

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Nhằm giúp học sinh có thể nhận dạng và làm tốt các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, tránh được những lỗi sai không đáng có, tôi đặt ra các yêu cầu cụ thể như sau:

2.1 Đối với giáo viên:

- Dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng, bám sát chương trình sách giáo khoa và sách bài tập

- Phân luồng đối tượng học sinh, dạy học và nêu yêu cầu cụ thể theo từng nhóm đối tượng

- Sắp xếp các bài tập về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét theo từng dạng toán Ở mỗi dạng, tôi đều hướng dẫn các em phương pháp giải cụ thể Đặc biệt, với mỗi nội dung hay phần kiến thức cần chú ý khắc sâu, tôi thường yêu cầu học sinh ghi lại vào trang cuối của vở ghi, các nội dung được sắp xếp theo chuyên đề để khi cần học sinh dễ dàng tìm được ngay Thực chất, những trang này có vai trò như cuốn sổ tay toán học của các em Trong quá trình dạy học, tôi thường xuyên cho học sinh nhắc lại các kiến thức này để học sinh ghi nhớ tốt hơn, đồng thời tôi cũng dự kiến trước những lỗi sai học sinh hay mắc để có những hình thức giúp các em khắc phục phù hợp (như tạo ra những tình huống có vấn đề, gợi mở,…)

- Khi dạy xong dạng mỗi dạng toán, tôi yêu cầu học sinh nắm chắc các

dạng toán, phương pháp giải và có kiểm tra đánh giá thường xuyên

2.2 Đối với học sinh:

- Nắm vững lý thuyết

- Học và tự học theo sự hướng dẫn của giáo viên - Đọc các tài liệu tham khảo

- Trao đổi, thảo luận với bạn bè khi cần thiết

2.3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp thảo luận nhóm

- Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

- Phương pháp dạy học theo dự án

- Phương pháp này thu thập các thông tin - Phương pháp tương tự hoá, khái quát hóa - Phương pháp điều tra

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục - Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động

+ Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 .

b Công thức nghiệm thu gọn (với b=2b’):

+ Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2 b'.

*) Định lí (Định lí Vi-ét đảo): Nếu hai số có tổng là S, tích là P

thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2- Sx+P = 0 (điều kiện có hai số

đó là: S2 – 4P  0)

Chú ý:

+ Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm (tức là  ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0 ) thì ta mới áp dụng được Định lí Vi-ét

+ Nếu hệ số a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

- Với phương trình bậc hai khuyết c (c = 0), ta phân tích vế trái thành nhân

tử để đưa về phương trình tích: ax2 + bx = 0  x (ax +b) = 0 Khi đó, phương trình có hai nghiệm x1 = 0, x2 = b

Chú ý: Ngoài các cách giải trên, giáo viên nhắc học sinh vẫn có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải nhưng nên giải theo những phương pháp đặc biệt ở trên để có kết quả nhanh và chính xác

* Đối với các trường hợp còn lại:

Học sinh nên dùng công thức nghiệm tổng quát hoặc công thức thu gọn

Chú ý: Đối với phương trình mà có hệ số a âm ta nên đổi dấu để hạn chế sự nhầm lẫn trong quá trình giải

Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau (m là tham số):

Chú ý: Như trong ví dụ 4 học sinh dựa vào công thức nghiệm để tìm ra hai nghiệm, nhưng để cho việc trình bày bài ngắn ngọn ta biến đổi phương trình đã

Bài 2: Cho phương trình: (2m - 2)x2 – 2(m-1)x+m+2=0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m=3 b) Giải và biện luận phương trình (1)

Gợi ý câu b ta phải xét 2 trường hợp m=1 và m khác 1

Dạng 2: Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức liên quan đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Tính Δ hoặc Δ’ tìm điều kiện để Δ ≥ 0 hoặc Δ’≥ 0 (hoặc chứng tỏ Δ ≥ 0 hoặc Δ’≥ 0) để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2.

Nhận xét:

- Các phần a), b), c), d) học sinh dễ dàng làm được theo yêu cầu

- Ở phần e) nếu học sinh gặp khó khăn, giáo viên có thể gợi ý học sinh

bằng cách nêu một số câu hỏi:

+ Có thể trực tiếp biến đổi biểu thức x1x2

về dạng tổng và tích các nghiệm được không ?

+ Ta cần thực hiện bước làm nào đối với biểu thức x1x2 để có thể dễ

- Với bài tập này, học sinh khi gặp yêu cầu :”Không giải phương trình” thường quên không tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nên giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm vững các bước trên, đặc biệt chú ý tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

- Ở phần b) một số học sinh thường tính 2

( x  x ) luôn mà quên không nhận xét phương trình đã cho có tổng và tích hai nghiệm đều dương nên phương trình đó có hai nghiệm đều dương Do vậy giáo viên cần lưu ý các em khi gặp

xhoặcx2 thì phải chú ý tìm điều kiện (hoặc chứng minh) phương trình có hai nghiệm không âm

b) Vì phương trình đã cho có tổng và tích hai nghiệm đều dương nên phương trình đã cho có hai nghiệm đều dương

4x 2x 1 0với x x1, 2 là các nghiệm Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

Nhận xét: Ở phần c), nếu học sinh biến đổi biểu thức đề cho để có dạng tổng và tích các nghiệm như những bài toán trước thì bài toán trở nên khó khăn Nhưng nếu học sinh nhận xét được:

Vì x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình nên 2

Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 (2m1)xm0(m là tham số) Hãy tính giá trị của biểu thức 22

Ví dụ 5: Cho phương trình: m4x2 2mxm20(m là tham số)

Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo

- Với 2 phần c) và d), học sinh thường quên không tìm điều kiện các nghiệm khác 0 mà đi biến đổi ngay biểu thức đề bài cho Do vậy giáo viên cần lưu ý để nhắc các em tìm đủ điều kiện cho các nghiệm

Bài 1: Cho phương trình: 3x2 - 8x + 5 = 0 Không giải phương trình, hãy

tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 2: Cho phương trình: x2 2m1xm40 (m là tham số) Khi

phương trình có hai nghiệm x1, x2, hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m

Bài 3: Cho phương trình: x2 + 3x + 1 = 0 Không giải phương trình:

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x x1, 2 cùng âm b) Tính giá trị của biểu thức A =x1  x2 x2 x1

Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax2 bxc0(a0) Khi

phương trình có hai nghiệm x1, x2, hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo a,b,c

+ Phương trình (1) có nghiệm, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a= 0 thay vào phương trình (1) và giải Nếu phương trình (1) có nghiệm thì a = 0 (TM)

Trường hợp 2: Nếu a0để phương trình (1) có nghiệm  0hoặc  ' 0

+ Phương trình (1) vô nghiệm, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a = 0 thay vào phương trình (1) và giải Nếu phương trình (1) có nghiệm thì a = 0 (loại)

Trường hợp 2:Nếu a0 để phương trình (1) vô nghiệm  0 hoặc  ' 0

Ví dụ 1: Vì sao không cần tính  mà có thể kết luận ngay mỗi phương trình

sau có hai nghiệm phân biệt ?

- Với bài tập này học sinh cần nhận xét được các hệ số a và c trái dấu Từ đó có tích ac<0 suy ra  >0 do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

- Ngoài ra, từ đẳng thức tích của hệ thức Vi-ét, giáo viên còn giúp học sinh nhận xét được dấu của hai nghiệm trong trường hợp bậc hai

Hướng dẫn giải:

(hoặc  ' 0)

(hoặc  ' 0)

a) Xác định m để phương trình (1) vô nghiệm

b) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó c) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Học sinh cần nhận xét được phương trình (1) luôn là phương trình bậc hai với mọi m nên sử dụng công thức nghiệm để giải

a) Xác định m để phương trình (1) vô nghiệm

b) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó c) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

d) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm

Nhận xét:

Trước tiên, học sinh cần nhận xét được phương trình (1) có hệ số a chứa tham số Khi đó:

- Phần a) và d) học sinh cần xét hai trường hợp

Lưu ý: Kết quả của bài toán phải là kết quả được lấy từ cả 2 trường hợp

Từ 2 trường hợp trên ta có khi m 3 thì phương trình (1) có nghiệm

Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + m – 2 = 0 (1) (m là tham số) Chứng

minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

(Đề khảo sát chất lượng học kì 2 lớp 9 năm học 2018-2019, PGD Nghĩa Hưng)

=>Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Chú ý: Để tránh sự nhầm lẫn trong tính toán ta nên đổi dấu để hệ số a của

Hệ số a chứa tham số nên cần xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1: Nếu m=-2 khi đó phương trình (1) trở thành:

Do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 2

Từ 2 trường hợp trên ta có phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị

Vậy với m1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 8: Cho hai phương trình: x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và

x2+ x - 2m - 10 = 0 (2) (m là tham số) Chứng minh rằng với mọi m, ít nhất một

trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Hướng dẫn giải:

Ta có (1) và (2) là hai phương trình bậc hai ẩn x

  1 32 4(2m  6) 8m15    2 12 4( 2m10) 8 m41

     12 8m 15 8m41 26 0 Nên trong hai số  1, 2 có ít nhất một số dương

Do đó ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Chú ý:

+ Nếu 1 2 0 hoặc 1.2 0 thì ít nhất một trong hai số  1, 2 không âm + Nếu k1   1 k2 2 0 ( ,k k1 2 0) thì ít nhất một trong hai số  1, 2 không âm + Trong một số trường hợp, học sinh có thể giải bằng phương pháp phản chứng (tìm điều kiện để cả hai số 1, 2 cùng âm Sau đó loại đi những giá trị ở trên để được những giá trị cần tìm)

Bài tập củng cố:

Bài 1: Cho phương trình: x2(m1)x  m 5 0(1) (m là tham số) a) Giải phương trình với m=5

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 2: Cho phương trình: mx26(m2)x4m 7 0(1) (m là tham số) a) Xác định m để phương trình (1) vô nghiệm

b) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép đó c) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Bài 3: Cho phương trình: 2 

2x 2 m1 x3m 2 0 (với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Bài 4: Cho phương trình: x2-2(m+1)x-3m2-2m=0 (mlà tham số)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

Bài 6: Cho phương trình: x22mx6m 9 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

Bài 7: Cho phương trình: 2x2 (m1)x 4 0(1), (với m là tham số) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt

Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Phương trình có nghiệm âm:

+ Ưu tiên số 1 là ta nhẩm ra được các nghiệm của phương trình đề xét theo yêu cầu của đầu bài

+ Ta xét trường hợp phương trình có 2 nghiệm không âm sau đó loại các giá trị đó đi để được phương trình có nghiệm âm

+ Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm cùng âm

Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm âm, một nghiệm dương

(hoặc  ' 0)

(hoặc  ' 0)

(hoặc  ' 0)

(hoặc  ' 0)

Trường hợp 3: Phương trình một nghiệm âm, một nghiệm bằng 0 - Phương trình có nghiệm dương:

+ Ưu tiên số 1 là ta nhẩm ra được các nghiệm của phương trình đề xét theo yêu cầu của đầu bài

+ Ta xét trường hợp phương trình có 2 nghiệm không dương sau đó loại các giá trị đó đi để được phương trình có nghiệm dương

- Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm cùng dương

Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm âm, một nghiệm dương Trường hợp 3: Phương trình một nghiệm dương, một nghiệm bằng 0 Chú ý:

- Có những bài tập ta có thể đi tìm tất cả các giá trị của tham số không thỏa mãn yêu cầu bài toán rồi loại những giá trị đó để được những giá trị cần tìm

- Nếu phương trình đã cho có thể dễ dàng tìm được hai nghiệm theo tham số thì có thể dựa vào kết quả vừa tìm được để xét dấu một cách trực tiếp hai nghiệm mà không cần dùng đến tổng và tích các nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình: 2

x  m x  m (m là tham số) Xác định m để:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm

Do đó không có giá trị nào của m thoả mãn c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm

Ví dụ 2: Cho phương trình: x22(m3)xm20200 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 3: Cho phương trình:x22(m1)xm22m20220 (m là tham số) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị m

Nhân xét:

- Đối với bài này học sinh hoàn toán có thể tính  sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét để từ đó tìm điều kiện của m thoả mãn đầu bài Nhưng học sinh cũng cần chú ý khi phương trình có 2 nghiệm trái dấu tức là hệ số a và c trái dấu thì khi

đó ac<0 suy ra 0. Vì vậy chỉ cần chứng minh ac<0 là bài toán được giải

Chứng minh rằng khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì hai nghiệm

đó mang dấu dương

Nhận xét: Với bài tập này, trong quá trình giải, giáo viên có thể gợi ý để học sinh trả lời một số câu hỏi:

- Trước tiên phải tìm điều kiện để phương trình đã cho có 2 nghiệm thoả mãn điều gì trước

- Khi phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu, để chứng minh hai nghiệm đó mang dấu dương ta cần chứng minh điều gì?

- Muốn chứng minh x1x2 0 ta cần dựa vào điều kiện nào? Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm

Nhận xét: Với bài tập này, nếu học sinh vẫn xét 3 trường hợp tương tự như điều kiện tổng quát thì cũng sẽ gặp nhiều khó khăn và khi giải theo hướng đó sẽ

rất dài dòng vì vậy khả năng sai sót cao Khi đó, giáo viên hướng dẫn học sinh đi tìm các giá trị của tham số để phương trình có cả hai nghiệm âm Từ đó loại đi những giá trị này ta được các giá trị cần tìm

Để phương trình có (1) có ít nhất một nghiệ m không âm, ta xét trường

hợp phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm

Ví dụ 6: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + 2m +4 = 0 (1) (m là tham số)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm

Nhận xét: Bài này học sinh có thể xét các trường hợp như phần lý thuyết đã đưa ra nhưng nếu quan sát kỹ ta có thể nhẩm nghiệm theo Vi ét vì phương trình có các hệ số thỏa mãn a+b+c=0, từ đó dễ dàng tìm được các giá trị của m thỏa mãn đầu bài

Hướng dẫn giải:

Ta có a+b+c=1-2m+3+2m -4=0

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 1,x2 2m4 Vì x1 10, để phương trình có nghiệm âm

a) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm dương

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2020-2021) Nhận xét:

- Đối với câu a học sinh có thể làm bình thường theo đúng phương pháp và những ví dụ trên

- Trong câu b nếu xét các trường hợp sẽ rất dài dòng, nhưng từ việc tính delta học sinh có thể tìm ra được các nghiệm của phương trình đã cho từ đó giải quyết bài toán rất nhẹ nhàng Cũng chú ý thêm từ phương trình đã cho ta nhận thấy nếu thay x = -2 vào phương trình thì khử được tham số m và nhận thấy x=-2 là 1 phương trình đã cho, từ đó ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích mà không cần sử dụng đến việc tính delta

Vì phương trình đã cho có một nghiệm bằng -2 nhỏ hơn 0 do đó để phương trình đã cho có nghiệm dương 2m40m2

Chú ý: Từ kết quả câu b ta có cách làm câu a một cách ngắn gọn đó là cho phương trình đã có một nghiệm bằng -2 nhỏ hơn 0 vì vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm âm  2m40 m2

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm

Nhận xét: Có thể có học sinh dựa theo lý thuyết ở trên để đi xét 3 TH

(Phương trình có hai nghiệm cùng âm; Phương trình có một nghiệm âm, một nghiệm dương; Phương trình một nghiệm âm, một nghiệm bằng 0) Theo cách này, học sinh sẽ giải rất vất vả Khi đó, giáo viên cần hướng dẫn học sinh dựa vào kết quả câu a để giải bài toán theo cách đơn giản hơn

b) Theo câu a, nếu m= - 4 thì phương trình (1) có một nghiệm x=1>0(loại) nếu m≠-4 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm

Kết hợp với m≠-4 thì phương trình (1) luôn có nghiệm âm khi

Nhận xét: Theo yêu cầu đầu bài học sinh có thể tính  sau đó dùng công thức nghiệm để tìm ra 2 nghiệm của phương trình và từ đó ta có thể biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích

Ví dụ 10: Cho phương trình: x2 2(m3)xm2 m10 (m là tham số) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2018-2019) Nhận xét:

- Với yêu cầu đầu bài trước tiên học sinh vẫn phải tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

- Để nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương thì học sinh phải đi đến dấu của tổng 2 nghiệm

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

c) Phương trình có 1 nghiệm bằng 0, khi đó nghiệm còn lại của phương trình mang dấu gì ?

Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình: x2 –2(m –2)x + m + 4= 0

có nghiệm kép dương

Bài 3: Cho phương trình: x2 – x – m + 1 = 0 (với m là tham số) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để phương trình: 3mx2 +2(2m+1)x+m=0

có 2 nghiệm âm

Bài 5: Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình: (m -1)x2 +2x +m=0

có ít nhất một nghiệm không âm

Dang 5: Cho phương trình có chứa tham số, cho trước một nghiệm Tìm nghiệm còn lại và giá trị của tham số

Phương pháp giải:

- Thay nghiệm đã biết vào phương trình để tìm giá trị của tham số

- Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào phương trình đã cho hoặc thay vào

Hướng dẫn giải:

Thay x1 = 1 vào phương trình x2 – 3mx + 2 = 0, ta được: 1 – 3m + 2 = 0 <=> m=1

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 = 2 suy ra x2 = 2

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 2(m3)xm2 m10 (m là tham số) Tìm m để phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2018-2019) + Với m=2 thì nghiệm còn lại là: x2 2 + Với m=-3 thì nghiệm còn lại là: x2 12

Bài tập củng cố:

Bài 1: Cho phương trình: x2 + 5x + m = 0 (ẩn x) có một nghiệm x1 = 5 Tìm

m và nghiệm kia

Bài 2: Cho phương trình: x2 2(m1)x2m 1 0 (m là tham số) a) Giải phương trình với m= 1

2 

b) Xác định tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm bằng – 3 Khi đó tìm nghiệm còn lại của phương trình

Dạng 6: Chứng minh (hoặc tìm hệ thức) giá trị của biểu thức chứa hai nghiệm không phụ thuộc giá trị của tham số

Phương pháp giải:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và  ≥ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

- Thay S và P vào biểu thức đề cho và giải quyết các yêu cầu của bài toán

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m

b) Chứng minh hai nghiệm của phương trình luôn thỏa mãn đẳng thức

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 3(m–1)x +2m2–6m = 0 (1) (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi

= (m+3)2  0 với mọi giá trị của m

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m

= 18m2 – 36m + 18 – 18 m + 18 – 18 m2 + 54 m = 36

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của m

Ví dụ 3: Cho phương trình: x2–2(m + 1)x+m2 +2m = 0 (1)(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 với mọi giá trị của m

b) Khi x1  x2, chứng minh rằng giá trị của biểu thức

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m b) Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Vì x1 x2 và m < m+2 Áp dụng công thức nghiệm ta được:

Do đó giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của m

Chú ý: Ta có thể tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m bằng cách tím các nghiệm từ đó là hệ thức thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 –2(m -1)x+2m -10 = 0 (1) (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1,

x2 với mọi giá trị của m

b) Chứng minh giá trị của Ax12 2(m1)x2 2m(2m 5) không phụ thuộc vào giá trị của m

Nhận xét: Ở phần b, vì biểu thức A chứa cả 2 nghiệm x1 và x2 mà lại không trực tiếp biến đổi được về dạng biểu thức chỉ chứa tổng và tích các nghiệm nên phải biến đổi gián tiếp thông qua phương pháp thế

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Do phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào giá trị của m

Chú ý: Vì x1là nghiệm của phương trình đã cho nên thay x=x1 vào phương trình đã cho rồi biến đổi biểu thức A

Ví dụ 5: Cho phương trình với m là tham số: x 2 m+1 x - m-3 02  

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1,

x2 với mọi giá trị của m

b) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2015-2016)

 xxxxmm là hệ thức giữa các nghiệm không

phụ thuộc vào giá trị của m

Chú ý: Với cách làm như trên chính là sử dụng phương pháp cộng đại số

trong giải hệ phương trình để khử tham số m từ đó tìm ra hệ thức

Ví dụ 6: Cho phương trình: x22(m1)xm2 20220 (m là tham

số) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m

Ví dụ 7: Cho phương trình: (m1)x22(m2)xm30 (m là tham

số) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m

Chú ý: Bài này ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế như các ví dụ trên để làm nhưng sẽ cồng kềnh cũng như khó nhìn ra cách biến đổi Cách làm trong ví dụ trên chính là tách phần nguyên

trong tổng và tích các nghiệm để khử tham số m từ đó tìm ra hệ thức Bài tập củng cố:

Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + 2m - 5 =0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m

b) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức: A = 2(x1 + x2)- x1.x2 không phụ thuộc vào giá trị của m

Bài 2: Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với

Bài 4: Cho phương trình: x2 – (m – 8)x + 5m - 100 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

với mọi m

b) Chứng minh hai nghiệm của phương trình luôn thỏa mãn đẳng

thức: 5x1 + 5x2 = x1.x2 +60

Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu cho trước

Phương pháp giải:

Khi gặp dạng toán tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu cho trước, giáo viên nhắc học sinh nên làm theo các bước sau:

- Bước 1: Xét xem hệ số a có chứa tham số không, nếu có thì phải xét hai trường hợp (a=0 và a ≠ 0)

- Bước 2: Trong trường hợp a≠0 thì xét xem a+b+c (hoặc a-b+c) có bằng 0 không, nếu có thì nên tính hai nghiệm theo các trường hợp đặc biệt đã biết rồi sử dụng các nghiệm đó để thực hiện tiếp yêu cầu đề bài

- Bước 3: Nếu bước 2 không thực hiện được thì mới tính  (hoặc ’) Khi đó ta có 1 trong 2 trường hợp:

+ Nếu kết quả  (hoặc ’) có dạng bình phương thì nên dùng công thức nghiệm để tính các nghiệm rồi thực hiện yêu cầu đề bài

+ Nếu kết quả  (hoặc ’) không có dạng bình phương thì tìm điều kiện để phương trình có nghiệm và sử dụng định lí Vi-ét Khi đó học sinh sẽ thực hiện các bước sau:

* Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm(Δ ≥ 0)

* Áp dụng hệ thức Vi-ét tìm tổng và tích các nghiệm Sau đó kết hợp với biểu thức đề bài để tìm giá trị của tham số

* Kiểm tra lại giá trị của tham số vừa tìm được có thoả điều kiện có nghiệm không rồi kết luận

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: m2x2 + mx + 5 = 0 (1) vô nghiệm (m là

tham số)

Hướng dẫn giải:

Hệ số a chứa tham số nên học sinh cần xét 2 trường hợp:

- Với m= 0, PT (1) trở thành 5=0 (vô lí)

- Với m  0, PT (1) là phương trình bậc hai có  = m2 - 4.5m2 = -19m2

PT (1) vô nghiệm  <0 Hay -19m2 <0 => m  0

Từ 2 TH trên ta có PT vô nghiệm với m  0

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 +(3-m)x + m-4 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm âm

b) Tìm m để phương trình nhận x5 2022 là nghiệm

Nhận xét:

- Ở câu a, nếu học sinh sử dụng định lí Vi-ét và xét 3 trường hợp (PT có hai nghiệm cùng âm, PT có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương, PT có hai nghiệm trái dấu) thì sẽ mất nhiều thời gian và việc kết hợp kết quả các trường hợp sẽ khó Tuy nhiên, nếu học sinh làm theo các bước ở trên sẽ nhận thấy a+b+c = 0 và tìm ngay được x1=1, x2 =m-4

Khi đó, nhận thấy x1=1>0 nên x2 =m-4 phải âm và giải quyết bài toán rất dễ dàng

- Cũng vậy, nếu câu b học sinh thay giá trị đã cho của x vào PT để tìm m thì phương trình ẩn m sẽ khó giải hơn nhiều so với việc lập luận để

Ta thấy x1=1>0 nên để phương trình có nghiệm âm thì x2 =m-4 <0 => m<4

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm x11,x2  m 4

Nên để phương trình nhận x5 2022 là nghiệm thì m45 2022 m9 2022

Vậy m9 2022 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Xác định tham số m để phương trình: x2 – 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện:

a) x12x2 1 b) x x1 2 x22  16

Nhận xét:

- Với phần a từ giả thiết ta tách ra để áp dụng được tổng 2 nghiệm của phương trình, từ đó tìm ra các nghiệm theo m và thay vào tích các nghiệm để tìm giá trị của tham số Hoặc học sinh biết kết hợp hệ thức Vi-ét với hệ thức

Khi đó, từ (1) và (2) ta tìm được x1 và x2 theo m

Thay x1 và x2 vừa tìm được theo m ở trên vào (3) ta được m

- Với phần b, đa số học sinh khi thấy trong hệ thức đề bài cho có tích x1.x2 thì hay thay x1.x2=m vào biểu thức đề bài sẽ nhận được: 2

x = -16-m, lúc này bài toán sẽ khó giải tiếp

Khi đó, giáo viên có thể gợi ý để học sinh giải theo hướng khác Chẳng hạn, nếu học sinh biết đặt x2 là thừa số chung thì ta đượcx x2( 1x2) 16 hay 4x2 = –16 Do đó tìm được x2 =–4

Khi đó thay vào hệ thức Vi-ét ta dễ dàng tìm được x1 và m

- Giáo viên lưu ý học sinh so sánh giá trị của m tìm được với điều kiện có nghiệm của phương trình trước khi kết luận giá trị cần tìm.

Thay vào x1x2 4 ta được x1 – 4 = 4 x1 = 8

Từ đó ta được m = -4.8= -32 (thoả điều kiện (*))

Bài tập này cũng giống như ví dụ 3 (phần b), nếu học sinh thấy trong hệ thức đề bài cho có tổngx1 x2 mà thay x1x2=m vào biểu thức đề bài sẽ nhận được x m1  2 , khi đó bài toán sẽ khó giải tiếp

Tuy nhiên, nếu từ hệ thức đề bài, học sinh biết nhân phá ngoặc thì ta được

Ta có: x x1( 1x2) 2  x12 x x1 2  2

Hay x12  32x12 1x1 1

- Với x1 = 1, thay vào x1x2 3 ta được x2 = -3 và m =-2

- Với x1 = - 1, thay vào x1x2  3 ta được x2 = 3 và m =2

Vậy m= 2 là các giá trị cần tìm

Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 – mx - 4 = 0 (1) (m là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tìm m để

Ví dụ 6: Cho phương trình: x2 – 3x +m = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x12 x22 2020

(Đề khảo sách chất lượng HKII lớp 9 tỉnh Nam Định, Năm học 2019-2020)