Đề tài 12 xác định quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường

Không khó để đưa lực cản của môi trường vào các phương trình đối với một vật thể, nhưng làm cách nào để giải chúng cho vị trí và vận tốc dưới dạng hàm số của thời gian hoặc quỹ đạo chuyể

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

“XÁC ĐỊNH QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG TRỌNG TRƯỜNG CÓ LỰC CẢN MÔI TRƯỜNG”

Giáo viên chính: Ths Trần Văn Lượng Giảng viên hướng dẫn: Ths Nguyễn Ngọc Quỳnh

Lớp: L31 Nhóm: 12 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Minh Tuấn Thân Trọng Minh Văn

Nguyễn Triều Vĩ Lê Quang Tuấn Vĩnh

Nguyễn Đan Như Ý

2.3 Chuyển động ném xiên trong môi trường không có lực cản 7

2.4 Chuyển động ném xiên trong môi trường có lực cản 8

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 14

Đề tài của bài báo cáo: 14

Cách/ hướng giải quyết đề tài: 14

Giải quyết đề tài: 14

Kết Luận: 14

CHƯƠNG 4: MATLAB 15

1 GIỚI THIỆU VỀ MATLAB 15

2 CÁC HÀM MATLAB CƠ BẢN ĐƯỢC SỬ DỤNG 15

3 ĐOẠN CODE VÀ KẾT QUẢ 16

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN 20

CHƯƠNG 6: TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

3

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình học về chuyển động ném xiên, chúng em giả định rằng hiệu ứng cản môi trường là không đáng kể Nhưng trên thực tế, lực cản của môi trường (thường được gọi là lực cản môi trường, hoặc đơn giản là lực cản) có ảnh hưởng lớn đến chuyển động của nhiều vật thể, bao gồm cả quả bóng, viên đạn, và nhiều vật thể khác nữa Chúng em đã nghiên cứu về chuyển động ném xiên trong điều kiện không có lực cản Bây giờ chúng em muốn mở rộng phân tích này thành một bài toán vật thể ném xiên trong gia tốc trọng trường có lực cản Không khó để đưa lực cản của môi trường vào các phương trình đối với một vật thể, nhưng làm cách nào để giải chúng cho vị trí và vận tốc dưới dạng hàm số của thời gian hoặc quỹ đạo chuyển động Đó là nội dung của bài báo cáo này

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Figure 1 Vector M trong hệ tọa độ Oxyz 5

Figure 2 Chuyến động ném xiên không lực cản 7

Figure 3 Quỹ đạo của vật khi có lực cản không khí 12

Figure 4 Quỹ đạo chuyển động của vật trong cả 4 giá trị của h 17

Figure 5 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.5 18

Figure 6 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.1 18

Figure 7 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.05 19

Figure 8 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.01 19

4

CHƯƠNG 1: ĐỀ TÀI

Xác định quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường

1 Yêu cầu:

Phương trình chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường được biểu diễn theo biểu thức sau:

Với điều kiện ban đầu: x0 = y0 = 0; v0x, = v0.cos( ); v0y = v0.sin( ) Chi tiết hơn, chúng ta sẽ khảo sát:

- Giải phương trình chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản - Vẽ đồ thị quỹ đạo thay đổi phụ thuộc vào hệ số lực cản h

2 Điều kiện:

1) Sinh viên cần có kiến thức về lập trình cơ bản trong MATLAB 2) Tìm hiểu các lệnh Matlab liên quan symbolic và đồ họa

3 Nhiệm vụ:

Xây dựng chương trình Matlab:

- Nhập các giá trị ban đầu (những đại lượng đề cho)

- Thiết lập các phương trình tương ứng, sử dụng các lệnh symbolic để giải hệ

Để xác định vị trí của của một chất điểm M trong không gian, người ta thường gắn hệ quy chiếu của một hệ trục toa, hệ tọa độ thường dùng dùng là hệ tọa độ Descartes với bộ ba trục Ox, Oy và Oz vuông góc với nhau từng đôi một, hợp thành một tam diện thuận Vị trí của điểm M sẽ hoàn toàn được nếu ta xác định được các thành phần x, y và z của vector vị trí (r gọi là bán kính vector được vẽ từ gốc của hệ tọa độ đến vị trí của chất điểm M)

Figure 1 Vector M trong hệ tọa độ Oxyz

2.1.2.Phương trình chuyển động

Khi chất điểm M chuyển động, vector vị trí r sẽ thay đổi theo thời gian:

Các phương trình trên gọi là phương trình chuyển động của chất điểm

6

2.1.3 Quỹ đạo và phương trình quỹ đạo

Quỹ đạo là đường mà chất điểm M vạch nên trong không gian trong suốt quá trình chuyển động Phương trình quỹ đạo là phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa các tọa độ trong không gian của chất điểm

2.2 Định luật II Newton

Định luật 2 Newton được áp dụng cho chuyển động của những vật có gia tốc dưới tác dụng của một ngoại lực tổng hợp khác không Trước khi phát biểu định luật 2 Newton dưới dạng tổng quát nhất, ta định nghĩa động lượng p của một chất điểm:

Động lượng của một chất điểm là một đại lượng vector hướng theo phương và chiều của vận tốc

Trong hệ SI đợn vị của động lượng được tính bằng

Theo định luật 2, ta có "đạo hàm" theo thời gian của động lượng của một chất điểm bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên chất điểm này

Nói cách khác, tốc độ biến thiên động lượng của một vật bằng tổng tổng các ngoại lực tác dụng lên vật đó

Với cơ học cổ điển, m không thay đổi, ta có:

gọi , công thức trên sẽ được viết: Và vì

hay: là một dạng khác của của định luật 2

Dưới tác dụng của tổng các ngoại lực tác dụng F, chất điểm m sẽ chuyển động với gia

tốc

7

Từ ta có ba phương trình vô hướng theo ba thành phần:

Trong hệ SI đơn vị của lực là N, đơn vị khối lượng là kg và của gia tốc là m/s2

Vậy: 1 N = 1 kgm/s : chính là phương trình của cơ bản của cơ học chất điểm

2.3 Chuyển động ném xiên trong môi trường không có lực cản

Xét trong môi trường lý tưởng (chỉ chịu tác dụng của trọng lực, không có lực cản), ta thả rơi những vật tại những vị trí khác nhau thì các vật chịu gia tốc giống nhau và đều

bằng gia tốc trọng trường g

Figure 2 Chuyến động ném xiên không lực cản

Ta chọn vị trí ném xiên tại mặt đất, ta có vector vận tốc ban đầu (tại thời điểm t = 0)

Lúc đó vector vận tốc hợp với phương ngang một góc

Xét trong mặt chứa vector vận tốc , ta gắn hệ tọa trục tọa độ Descartes xOy với góc tọa độ tại vị trí ném Chọn chiều dương là chiều hướng lên, gốc thời gian là vị trí ném, hợp với Ox một góc Xét tại thời gian t tọa độ của vật là (x;y) Ta có vector

gia tốc a được được cấu thành từ hai thành phần:

8 Hay

Nguyên hàm hai vế, ta được:

Với

Tích phân hai vế, ta được:

Biển đổi y theo x, ta được:

Như vậy, quỹ đạo của chuyên động ném xiên trong môi trường không có lực cản là một đường parabol có:

• Độ cao cực đại: • Tầm xa viên đạn:

• Phương trình theo phương ngang: • Phương trình theo phương thẳng đứng:

-Đi lên: -Đi xuống:

2.4 Chuyển động ném xiên trong môi trường có lực cản

Ta giả sử trên mặt đất, ta ném một vật với khối lượng m hợp với phương ngang một góc

Lúc này vật không chỉ chịu tác tác dụng của của gia tốc trọng trường mà còn chịu

9

thêm sức cản của không khí Lực cản này ngược chiều với chiều chuyến động tức thời và có độ lớn tỉ lệ thuận với tốc độ tức thời của vật

Đây chỉ là một bài toán cho thấy lực cản không khí tác dụng như thế nào đến quỹ đạo của vật, nhờ vào nó ta có thể định hình được các phương trình chuyển động của vật Ta giả sử hệ tọa độ Descartes, với gốc tọa độ trùng với vị trí bắt đầu ném vật, trục Ox trùng với phương ngang của vật, trục Oy trùng với phương thẳng đứng Ta có vật được ném với vận tốc ban đầu hợp với phương ngang một góc

Vì lực cản môi trường trong chuyển động ném xiên có phương trùng với phương chuyển động, có chiều ngược chiều chuyển động của vật và có độ lớn tỉ lệ thuận với tốc độ tức

thời của vật nên ta có , với h là hệ số lực cản môi trường

Áp dụng định luật II Newton, ta có:

Chiếu lên từng hệ trục, ta có:

Xét trên hệ trục Ox, ta được: (1)

Tích phân hai vế, ta được:

Từ phương trình trên, ta có thể thấy rằng lực cản không khí gây ra vận tốc ngang cho vật, nếu thay đổi, nó sẽ phân rã theo cấp số nhân theo quy luật thời gian ℎ

𝑚

ℎ là vận tốc cuối: tức là tại đó lực cản và trọng lực cân bằng với nhau (đối với vật rơi tự đo hướng thẳng đứng xuống dưới)

Do đó, theo hai phương trình (5) và (6), nếu vật chuyển động lâu hơn trong không khí so với thời gian 𝑣𝑡

𝑔 thì vật sẽ rơi thẳng đứng xuống dưới với vận tốc 𝑣𝑡, bất kể là góc

11 Nếu như t « 𝑣𝑡

𝑔 thì lúc này ta thu được phương trình sau:

𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡

Lúc này phương trình không có lực cản Còn khi t ≫𝑣𝑡

𝑔, lúc này ta có được phương trình:

𝑥 =𝑣0𝑣𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑔

Lúc này biểu thức trên đặt ra một vần đề rõ ràng về giới hạn của vật khi chuyển động theo phương ngang

Tương tự, nguyên hàm phương trình (4), ta được:

Phân tích phương trình trên, ta thấy rằng lực cản không khí có tác dụng đáng kể lên quỹ đạo của vật nếu như vật đã bay trong không khi tới thời điểm 𝑣𝑡

Từ hai phương trình trước, ta thấy rằng thời gian bay của vật (tại thời điểm y = 0, không tính tại thời điêm t=0) là

Kết quả cho thấy rằng khi không có lực cản của không khí thì phạm vi ngang sẽ lớn nhất khi góc a = 45° Mặt khác, công thức (8) cho rằng khi có lực cản không khí thì phạm vị ngang lớn nhất 𝑣0𝑣𝑡

𝑔 đạt được khi góc α càng nhỏ càng tốt Tuy nhiên, góc α không được quá nhỏ vì (8) có nghĩa khi 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝛼 ≫ 𝑡 Trên thực tế, ta giả sử như 𝑣0 ≫ 𝑣𝑡, phạm vi ngang tối đa của vật là 𝑣0𝑣𝑡

𝑔 đạt được khi 𝛼~𝑣𝑡

𝑣0 ≪ 1 Do đó, ta kết luận lực cản không khí là đáng kể thì nó sẽ làm cho phạm vi ngang của vật chia tỉ lệ tuyến tính, thay vì là bậc 2, với vận tốc ném ban đầu là 𝑣⃗⃗⃗⃗ Hơn nữa, phạm vi ngang tối đa đạt được nhỏ hơn 0 rất nhiều so với kết quả tiêu chuẩn 45°

Figure 3 Quỹ đạo của vật khi có lực cản không khí

Figure 3 cho thấy một số quỹ đạo ví dụ được tính toán, từ mô hình trên, với cùng góc

ném 45° nhưng với các giá trị khác nhau của tỷ lệ 𝑣0

ném của vật giảm Hơn nữa, luôn có khoảng thời gian ban đầu trong đó quỹ đạo giống với khoảng thời gian được tính toán khi không có lực cản của không khí (tức là 𝑣0

𝑣𝑡 = 0) Cuối cùng, khi có sức cản của không khí, vật có xu hướng rơi xuống dốc hơn là bay lên Thật vậy, khi có sức cản của không khí mạnh (tức là 𝑣0

𝑣𝑡 = 4), vật rơi gần như thẳng đứng Quỹ đạo chuyền động ném xiên trong trọng trường có quỹ đạo là một đường con không cân xứng

14

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN Đề tài của bài báo cáo:

Sử dụng matlab để giải bài toán sau:

Phương trình chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường được biểu diễn theo biểu thức sau:

𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − ℎ𝑣

Với điều kiện ban đầu: 𝑥0 = 𝑦0 = 0; 𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝛼; 𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝛼 a Giải phương trình chuyên động ném xiên trong trọng trường có lực cản b Vẽ đồ thị quỹ đạo thay đổi phụ thuộc vào hệ sô lực cản h

Cách/ hướng giải quyết đề tài:

Sử dụng các kiến thức được nêu trong cơ sở lý thuyết, sử dụng phần mềm Matlab và được sự hướng dẫn của giảng viên

Giải quyết đề tài:

- Giải bài toán théo cách tính toán thông thường (giải tay): - Sử dụng các công thức để tính toán

- Giải bài toán bằng phần mềm Matlab 2017b trở lên.

- Sử dụng các câu lệnh Matlab để giải bài toán một cách đơn giản và tự động

Kết Luận:

Những kinh nghiệm, kiến thức rút ra được trong quá trình làm đề tài này

15

CHƯƠNG 4: MATLAB 1 GIỚI THIỆU VỀ MATLAB

MATLAB là ngôn ngữ bậc cao, tích hợp khả năng tính toán, hình ảnh hóa, lập trình trong một môi trường dễ sử dụng, ở đó vấn đề và giải pháp được trình bày trong cùng một lời chú thích toán học Thường MATLAB được dùng cho:

• Toán và điện toán • Phát triên thuật toán

• Dựng mô hình, giả lập, tạo nguyên mẫu • Phân tích, khám phám hình ảnh hóa dữ liệu • Đồ họa khoa học và kỹ thuật

Qua nhiều năm, MATLAB đã phát triển và phục vụ nhiều người dùng Trong môi trường đào tạo, nó là công cụ hướng dẫn chuẩn mực cho cả các khóa học dẫn nhập và chuyên sâu trong toán học, kỹ thuật và khoa học Trong ngành, MATLAB cũng là công cụ được nhiều nghiên cứu, phân tích, phát triển lựa chọn

Thông qua bài báo cáo này, chúng ta sẽ tìm hiểu ứng dụng của Matlab trong vật lý, cụ thể là tính toán và biểu diễn đồ thị quỹ đạo chuyển động ném xiên Đồng thời, tìm hiểu công cụ, dùng các phép toán hình thức (symbolic) để tính lực cản môi trường, từ đó suy ra gia tốc, vận tốc và phương trình chuyển động ném xiên

2 CÁC HÀM MATLAB CƠ BẢN ĐƯỢC SỬ DỤNG

1 Title Đặt tên cho đồ thị title(‘x’) 2 Xlabel,Ylabel Đặt tên cho trục

hoành, trục trung Xlabel,ylabel

5 Pretty Biểu diễn f(x) theo

dạng viết tay pretty(f(x)) 6 Figure Tạo đồ thị mới figure

14 Input Nhập vào giá trị Input(‘x’) 15 Subs Tính giá trị hàm tại

một điểm subs(‘x’)

3 ĐOẠN CODE VÀ KẾT QUẢ

% Khai báo và nhập dữ liệu

clc, clearvars, closeall

syms m v0 alpha h t time;

m = input(‘Nhap khoi luong cua vat m(kg) = ’);

v0 = input(‘Nhap gia tri van toc ban dau cua vat v0(m/s) = ‘ ); alpha = input(‘Nhap gia tri cua goc nem alpha(degrees) = ‘); time = input(‘Nhap gia tri thoi gian bay cua vat(s) = ‘);

%Tính toán

x= dsolve(‘m*D2x = -h*Dx’, ‘Dx(0)= v0*dcos(alpha)’, ’x(0)=0’);

y= dsovle(‘m*D2y = -m*9.8 – h*Dy’,’D(y)= v0*sind(alpha)’, ‘y(0)=0’); disp (‘Nghiem cua phuong trinh la: ‘);

xlabel(‘x(t)’,’Fontweight’, ‘bold’, ‘Fontsize’, 12, ‘color’, ‘b’); ylabel’y(t)’, ‘Fontweight’, ‘bold’, ‘Fontsize’, 12, ‘color’, ‘b’);

18

Figure 5 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.5

Figure 6 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.1

19

Figure 7 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.05

Figure 8 Quỹ đạo chuyển động của vật khi h=0.01

20

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN

Như vậy, ta đã đi từ những vấn để chung đến bài toán riêng khá phức tạp đòi hỏi nhiều công việc tính toán với người giải quyết bài toán Tuy nhiên, với sự hỗ trợ của công cụ Matlab, việc giải quyết, khảo sát bài toán trờ nên dễ dàng, sinh động và trực quan hơn Với sự phần công chuân bị kỹ lưỡng và cố gắng hết mình, nhóm đã hoàn thành đề tài được giao và Matlab cho ra kết quả như mong muốn

Qua phần bài tập lớn này nhóm đã:

- Biết được thao tác giải toán trên Matlab - Nâng cao sự hứng thú đối với môn học - Trao dồi kỹ năng học tập và làm việc nhóm

21

CHƯƠNG 6: TÀI LIỆU THAM KHẢO

• Vật lí đại cương A1, Bài tập Vật lí đại cương AI • Tài liệu tham khảo của K19

• L Garcia and C Penland, MATLAB Projects for Scientists and Engineers, Prentice Hall, Upper Saddle River NJ, 1996 http://www.algarcia.org/fishbane/fishbane.html • MathWorks https://www.mathworks.com/