Đang tải... (xem toàn văn)
Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 20232024 diễn ra trong hai ngày 56.1. Theo thống kê của Bộ GDĐT, tổng số thí sinh dự thi là 5.812 em với các môn thi: Toán, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tin học, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lý, tiếng Anh, tiếng Nga, tiếng Pháp và tiếng Trung Quốc. Đây là năm đầu tiên kỳ thi được tổ chức theo quy chế mới do Bộ GDĐT ban hành. Theo đó, số thí sinh của các đơn vị ở mỗi môn tối đa là 10, riêng TPHCM và Hà Nội là 20. Hội đồng chấm thi đã chọn được gần 3.360 thí sinh đạt giải, chiếm 55,79%, tăng 6,04% so với năm ngoái nhưng vẫn thấp hơn mức 60% tổng thí sinh như trong quy chế mới. Thí sinh có quyền phúc khảo bài thi trong vòng 15 ngày, kể từ hôm nay. Những thí sinh tham gia nhưng không đạt giải sẽ được cấp giấy chứng nhận để các em có thông tin lưu giữ lâu dài. Theo kế hoạch, tháng 3.2024, Bộ GDĐT sẽ tổ chức kì thi chọn học sinh trung học phổ thông vào các đội tuyển quốc gia dự thi Olympic khu vực và quốc tế năm 2024, đối với các môn Toán, Vật lý, Hóa học, Sinh học và Tin học.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THI CHON HỌC SINH GIỎI QUÓC GIA — TRUNG HOC PHO THONG NAM HOC 2023-2024 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đò Ngày thi thứ nhất: 05/01/2024 (Đề thì gồm 01 trang, có 04 câu) Câu 1 (5,0 Với mỗi số thực x, ta gọi [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Cho day sé {a,}"n=l xdc dinh béi: a, = —.vn >1 Đặt b„= ct Ya - đi +tl đ; vn AL og, 7] WW \ ay a) Tìm một đa thức (+) với hệ số thực sao cho b,=P [4m >1 n b) Chứng mỉnh rằng tồn tại một day số nguyên dương {ø,},_ tăng thực sự sao cho limb, = es kss * 2025 Câu 2 (5,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x), Ó(z) với hệ số thực sao cho với mỗi số thực z thì P(z) là nghiệm của phương trình: x””” + Ó(a).x” +(27”? +a)x+a” +2025a = 0 tròn đi Câu 3 (5,0 điểm) B, gọi Cho ABC là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp Ó Gọi 4 là tâm của đường 45C qua € và tiếp xúc 4? tại 4, gọi Ö' là tâm của đường tròn đi qua 4 và tiếp xúc ÖC tại C' la tam đường tròn đi qua B va tiép xúc C4 tại Œ a) Chứng minh rằng diện tích tam giác 4'8'C" lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác b) Gọi X,Y,Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của Ó lên các đường thắng 4'', C',C“4 Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ lần lượt cắt lại các đường thang A'B',B'C',C'A' tai cdc diém X',Y',Z'(X'# X,¥'4Y,Z'#Z) Chimg minh rằng các đường thắng 4X”, BY',CZ' đồng quy Câu 4 (5,0 điểm) Người ta xếp & viên bi vào các ô của một bảng 2024x 2024 ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh) a) Cho & = 2024 Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bắt kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên b) Tìm giá trị & lớn nhất sao cho với mọi cách xếp & viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau HÉT se * Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cẩm tay; * Gidm thi KHONG giai thich gi thém KY THI CHON HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TRUNG HỌC PHỎ THÔNG NĂM HỌC 2023-2024 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao dé) Ngày thi thứ hai: 06/01/2024 (Đề thi gồm 01 trang, có 03 cân) Câu 5 (6,0 điểm) Với mỗi đa thức P(x), ta đặt P(x) = P(x), Vx € R; P,(x) = P(A(x)), Vx eR; Pry (%) = PŒ¿z;(x)), Vx e Cho z là số thực lớn hơn 2 Tôn tại hay không một đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: với mỗi 7 e(—a ; z), phương trình ?„„„„(x) =í có đúng 2””' nghiệm thực phân biệt? Câu 6 (7,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương ø, gọi 7(n) là số các ước nguyên dương của z a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương 7(ø) + 2023 = ø với ø là ân số b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên đương & sao cho có đúng hai số nguyên dương ø thỏa mãn phương trình 7(&z) + 2023 =ø Câu 7 (7,0 điểm) Trong không gian, cho đa diện lồi D sao cho tại mỗi đỉnh của D có đúng một số chấn các cạnh chứa đỉnh đó Chọn ra một mặt #' của D Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của D một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt (khác mặt F) cua D, tổng các số được gán với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho 2024 Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt #' cũng là một số nguyên đương chia hết cho 2024 * Thi sinhKHONG được sử dụng tài liệu và máy tính cam tay; * Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TRUNG HQC PHO THONG NĂM HỌC 2023-2024 HUONG DAN CHAM DE THỊ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 05/01/2024 (Hướng dẫn chấm thi có 09 trang) I HUONG DAN CHUNG Hướng 1 Giám khảo chấm đúng như Đáp án - Thang điểm của Bộ Giáo dục và Đào tạo 2 Nếu thí sinh có cách trả lời khác nhưng đúng thì giám khảo vẫn chấm điểm theo dẫn chấm 3 Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi Il DAP AN - THANG DIEM Câu | Ý Đáp án 1 |2 | Với mỗi „ >I, tồn tại duy nhất & eÑ sao cho 4Ý 1 Do đó A4##Œ! có diện tích lớn hơn hoặc băng diện tích AABC ‹ Chú ý: Học sinh có thể chứng minh hệ số đồng dạng 4 >l băng cách khảo sát tinh 1di ca ham sé f(x) = 1 sin?x Ta chứng minh bố đề sau ; Bồ để Nêu S,T là hai điêm liên hợp đẳng giác trong tam giác MANP thì các hình chiếu của S,T lên các đường thắng MN,NP,PM cùng nằm trên mội đường tròn có tâm là trung điểm l của ST Thật vậy, gọi 7 là trung điểm của Š7; gọi S1s92„5; là hình chiếu của ,Ÿ nên MNP,PM,MN; gọi Tị,1,,1; là hình chiếu của 7' lên MP, PM, MN Ta thấy hai tam giác vuông ŠP%; và 7P7; đồng dạng ngược hướng (vì là ảnh của nhau qua phép vị tự đối xứng với tâm P va trục là phân giác góc MPN ) Suy ra (SP,SS1) =(T7;,7P) (mod Z) Hơn nữa, vì các tứ giác S,SS;P,7;77;P nội tiếp nên: (fi.1,P) =(T1,.TP) =(SP,SS,) =(S,P,5,5,) (mod z) Hay (177,775) = (S;7; 5„5,) (modz) Vậy bốn điểm ðIa52;71ạ1 củng nằm trên một đường tròn có tâm là giao điểm của trung trực S17; và trung trực S21, hay bốn điểm 51s92; 7,1 cùng nằm trên một đường tròn tâm 7 Tương tự, bốn điểm Š,Š;,7;,7 cùng nằm trên một đường tròn tâm 7 , bốn điểm S,,7,,5;,7, cing nằm trên một đường tròn tâm J Vậy sáu điểm Sioi9ysSastys lost, cing nằm trên một đường tròn tâm 7 Bổ đề được chứng minh Quay lại chứng mình của bài toán Gọi J là giao điểm khác 4 của các đường tròn (4,44) và (', B'B) Ta có Ta = 190° 44 190° OA'A =180° — CAB Tuong tu AJB =180° — ABC Suy ra BJC = 360° —CJA— AJB = CAB + ABC =180° — BCA = 180° — BC'C Do dé J e(C',C'C) Vậy ta có A'P',B'C',C⁄4' lần lượt là trung trực của JA, JB, JC Do 46 JC'B’ = JC'B — JCB Mat khac JCB = A'C'O (vi JC L C'A',CB LC'O) Suy ra JC'B' = ACO Tương tự JB’A' = C'B'0, JA'C’ = BA’, hay J va O là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác 4C F Do đó, theo bô đê ta thây X”,Y”,Z“ là hình chiêu của J lên A’B’, B'C',C'A’ Vì vậy (J,4,X'), (i, B, T} (J,6,Z) là các bộ ba thắng hàng Vậy AX',BY',CZ' đồng quy tại diém J Chú ý: Học sinh có thể chứng minh O,.7 là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác 4'B'C' bằng cách chứng minh bỗ đề: “điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác A'B'C" của điểm J là tâm của đường tròn đi qua các điểm đối xứng của J qua các cạnh của tam giác B.C'.” Tổng điểm Câu 3: 5,0 điểm Ta xếp 2024 viên bi trên các ô của đường chéo chính Rõ ràng cách xếp này thỏa mãn điều kiện: không có hai viên nào được xếp ở hai ô kề nhau Khi đó nếu di chuyển bất kỳ viên nào sang một trong các ô kể với nó thì sẽ có hai viên bi ở hai ô kể nhau Ta sẽ chứng minh nếu đặt 4045 viên bi tuỳ ý vào bảng ô vuông 2024 x 2024 sao cho không có hai viên bỉ nào được đặt ở hai ô kề nhau thì có thể chuyển một viên bi sang ô kề nó để điều kiện bài toán được thoả mãn Phản chứng: Giả sử không thể di chuyển bắt kỳ viên bi nào dé thoả mãn bài toán Ta tô màu bảng vuông theo quy tắc bàn cờ, với ô ở hàng dưới cùng cột ngoài cùng bên trái được tô màu đen Khi đó bảng vuông có một đường chéo chính D gồm 2024ô màu đen đi từ ô này lênô ở hàng trên cùng ở cột ngoài cùng bên phải Bảng có 2024 đường chéo phụ trắng song song với đường chéo D nói trên, trong đó có 1012 đường chéo phụ trắng bao gồm lần lượt 1, 3, , 2023 6 trắng nằm ở bên trên đường D, và 1012 đường chéo phụ trắng nằm dưới đường D Ngoài ra bảng cũng có 2023 đường chéo cùng hướng với D bao gồm các ô đen Giả sử bảng vuông có W viên bi đặt ở các ô trắng và P viên bi đặt ở các ô đen, với W + B = 4045 Không mất tính tổng quát, ta có thể coi W > B (trong trường hợp W < B ta sẽ thay D bởi đường chéo chính thứ hai gồm các ô trắng đi từ ô dưới cùng ngoài cùng bên phải lên ô trên cùng ngoài cùng bên phải và lập luận tương tự) Xét cúc trường lợp sau: L B>0 Khi đó từ điều kiện suy ra B < 2023 Theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất một đường chéo phụ đen cùng hướng với D là trống Suy ra phải có một cặp đường chéo liêntiếp nhau T¡ và Tạ gôm các 6 đen sao cho T¡ là trống còn Tạ có ít nhất một viên bi (ví dụ chúng đều nằm dưới đường chéo D như trên hình vẽ) Nếu T¡ có nhiều ô hơn Tạ, ta chọn viên bi năm trên cùng của đường chéo 7;, dịch chuyên 0 nó lên trên về phía T¡ và nhận được một cách sắp xêp mới vân thoả mãn điêu kiện bài toán Nếu T¡ có ít ô hơn Tạ, khi đó mỗi đường chéo phụ đen cùng hướng với D nằm bên phải của D và phía trên của 7; phải có ít nhất một viên bi (nếu không sẽ đưa về trường hợp ở trên khi T¡ nhiều ô hơn T; ) Suy ra trên đường chéo 7; phải có đủ bi Gọi số bỉ trên Tạ là 2k ( với 1 1012 Suy ra số bỉ nằm ở các ô đen ở nửa trên đường chéo D nhỏ hơn 2023 — 1012 = 1011 viên Do đó có ít nhất một đường chéo đen nằm trên D không có bi Lại lập luận tương tự suy ra tổng số bi ở trên các ô đen ở nửa trên bên trái của bảng vuông không ít hơn 1012 viên Vì vậy 8 > 2024 (mâu thuẫn) Il, B =0 Khi đó W = 4045 Xét tất cả 2024 đường chéo trắng cùng hướng với D (ta gọi tắt là các đường chéo tr: ang) a Xét trường hợp mỗi đường chéo trắng đều có ít nhất một viên bi Do chi có tổng cộng 4045 viên bi, nên phải có ít nhất một đường chéo trắng có đúng một viên bi Không mất tính tổng quát, giả sử đường chéo này nằm bên trên đường chéo chính D Gọi các đường chéo trắng nằm trên D lần lượt là uy, wạ, , 4o¡a (đường chéo ứ„ có 2n — 1 ô trắng) Khi đó nếu ư„ (2< n < 1012) có một viên bị thì „_¡ cũng chỉ có thể chứa một viên bi (vì nếu „_¡ chứa ít nhất hai viên bi thì một trong các viên bi nay có thé di chuyển sang phải hoặc xuống dưới một ô về phía u„ để không có hai viên bi nào kề nhau) Nếu tất cả các đường chéo 1,u;, ,1+o¡; đều chỉ chứa một viên bị, bằng lập luận tương tự như trên cũng suy ra lần lượt tất cả các đường chéo trắng nằm dưới D cũng chỉ chứa một viên bi Do đó, tổng số viên bi nhỏ hơn 4045 (mâu thuẫn) Vậy phải có một trong các đường chéo 1q, uạ, ,o¡z có nhiều hơn một viên bi Giả sử l là chỉ số đầu tiên sao cho +; có nhiều hơn một viên bi Suy ra 2 2, nên trên đường chéo 1; có ít nhât Í viên bi Suy ra trên mỗi đường chéo trong số 1+, 1;¿a„ ,2o¡; phải có ít nhất 2 viên bi Vì vậy số bi có mặt ở nửa trên của đường chéo D không ít hơn (Œ—1)+ï+ (1012—)x 2 =2023 Suy ra số bi có mặt ở nửa dưới của đường chéo D không vượt quá 4045 — 2023 = 2022 viên Do đó phải có ít nhất một trong số 1012 đường chéo trắng nằm dưới D có đúng một viên bi Tuy nhiên, bằng lập luận tương tự như đối với các đường chéo 14, ạ, ,1+o;;, ta cũng suy ra nếu có một đường chéo trắng trong số các đường chéo trắng nằm dưới D có một viên bi thì số bi có mặt ở nửa dưới của đường chéo D không ít hơn 2023 viên Ta nhận được mâu thuẫn Giả sử có một đường chéo trắng là trống, ví dụ một trong các đường chéo Uz, Ug,++, Uro12 Ta thấy tất cả các đường chéo này không thể cùng trống, vì nếu không ta có thể di chuyển một viên bi ở nửa dưới của đường chéo D về phía nửa trên của bảng vuông Xét một cặp đường chéo trắng liên tiếp (Uy, y4) , 1 < k