Điều khiển h cho mạng nowronhopfield phân thứ có trễ biến thiên

Có thể nói kỹ thuật chính được sử dụng để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên đó là phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với các bất đẳng thức tích ph

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THANH NGÂN

ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MẠNG NƠ RON HOPFIELD

PHÂN THỨ CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ 7

2.1 Phát biểu bài toán và một số định nghĩa 22 2.2 Thiết kế điều khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ

có trễ biến thiên 23

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích phân thứ nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học vì những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghiệp [1, 2, 14, 15, 21] Mạng nơ ron phân thứ là một trong những ứng dụng quan trọng của giải tích phân thứ So với mạng nơ ron mô tả bởi đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi đạo hàm phân thứ có thể mô tả chính xác hơn các hiện tượng thực tế Do đó mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học, nhiều kết quả nghiên cứu sau sắc về mạng nơ ron phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây, chẳng hạn như nghiên cứu tính ổn định tiệm cận [37], nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn [30, 34, 35], tính thụ động [10, 28], bài toán đảm bảo chi phí điều khiển [31, 32], tính đồng bộ hóa [27].

Điều khiển H∞ là một công cụ hữu hiệu để đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có tác động bởi nhiễu Bài toán điều khiển H∞ cần đảm bảo hai yếu tố: ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu đầu vào và đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có nhiễu Bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học và một số kết quả sau sâu sắc và quan trọng đã được công bố trong những năm gần đây [3, 9, 25] V.N Phat cùng các cộng sự [25] nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron có trễ biến thiên với bậc nguyên bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với bất đẳng thức Jensen Một vài tiêu chuẩn phụ thuộc cận trên của độ trễ cho bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron không chắc chắn

có trễ hỗn hợp được đưa ra trong [3] Chinnamuniyandi cùng các cộng sự [9] nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron ngẫu nhiên với bậc nguyên có trễ biến thiên Có thể nói kỹ thuật chính được sử dụng để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên đó là phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với các bất đẳng thức tích phân (bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Wirtinger, bất đẳng thức Bessel-Legendre) Do đó việc xây dựng các hàm Lyapunov–Krasovskii và tính đạo hàm của nó đóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên Tuy nhiên đối với mạng nơ ron với bậc phân thứ, việc xây dựng các hàm Lyapunov phù hợp và ước lượng đạo hàm phân thứ của nó gặp nhiều khó khăn Đó là lý do chính khiến cho việc nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc phân thứ gặp nhiều khó khăn và có ít kết quả về bài toán này cho mạng nơ ron với bậc phân thứ được công bố [26, 30] X Peng và H Wu [26] nghiên cứu bài toán ổn định hóa trong thời gian hữu hạn và bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ bằng việc sử dụng các công cụ của giải tích không trơn, kỹ thuật bất đẳng thức và phương pháp hàm Lyapunov M.V Thuan cùng các cộng sự [30] nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron phân thứ không có trễ bằng cách sử dụng lý thuyết ổn định trong thời gian hữu hạn và bất đẳng thức ma trận tuyến tính Tuy nhiên, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn và khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov là hai khái niệm độc lập Tính ổn định trong thời gian hữu hạn không suy ra tính ổn định theo nghĩa Lyapunov và ngược lại Gần đây, các tác giả trong tài liệu [29] đưa ra một vài tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên bằng cách sử dụng định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính [5].

Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên trên cơ sở đọc

hiểu và trình bày lại một cách chi tiết nội dung của bài báo trong tài liệu [29] Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau:

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo, mối liên hệ giữa đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo Định lý Razumikhin dùng để nghiên cứu tính ổn định cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được chúng tôi trình bày trong phần tiếp theo của chương này Chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ dùng cho chương hai của luận văn Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [12, 14, 15, 21, 25].

Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [29] Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Mai Viết Thuận và TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm

tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn.

Danh mục ký hiệu

Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A

λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = pλmax(A>A)

A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn, x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, , xn)> ∈ Rn

Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn ACm[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

t0Itα toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số

dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α sym(P ) thay thế cho P + PT

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ bao gồm tích phân phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn giải bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ dùng cho chương hai của luận văn Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [12, 14, 15, 21, 25].

1.1.Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ

1.1.1 Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường.

Định nghĩa 1.1 ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0Itα := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.

Định lý 1.1 ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa,

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.

Định nghĩa 1.2 ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtdnn là đạo hàm thông thường cấp n.

Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f0(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau: ACn[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b]

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b].

Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có

0 Dtαf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

Hệ quả 1.1 ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Mệnh đề 1.2 ([14]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

Định nghĩa 1.3 ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

t0Dαt x(t) := t0Itn−αDnx(t),

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn là đạo hàm thông thường cấp n.

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

t0Dαtx(t) := Ct0Dtαx1(t), Ct0Dtαx2(t), , Ct0Dtαxd(t)
T

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm Caputo phân thứ cấp α.

Định lý 1.3 ([15]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo Ct

0Dtαf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn

Mệnh đề 1.3 ([14]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

t0Dtα[λf (t) + µg(t)] = λCt0Dtαf (t) + µCt0Dαtg(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACn[a, b].

Chứng minh Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.

Mệnh đề 1.4 ([14]) Cho trước một số thực dương α Nếu ξ là hằng số thì Ct

0Dαt ξ = 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.

Định lý 1.4 ([15]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b] Khi đó ta có

t0Dtα(t0Itαf (t)) = f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville.

Định lý 1.6 [15] Cho α > 0 và đặt n = dαe Với bất kì x ∈ ACn[a, b],

với hầu hết t ∈ [a, b].

Định lý 1.7 (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0 Giả sử rằng f (t) là một hàm liên tục Khi đó ta có đẳng thức sau đây

t0Itαt0Itβf (t) = t0Itβ(t0Itαf (t)) = t0Itα+βf (t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.

1.2.Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ

Trong mục này chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ.

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.

Định nghĩa 1.4 [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.

Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas [15].

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo sau đây

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.

Định nghĩa 1.6 ([37]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.

Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có thể chuyển về gốc tọa độ 0 Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) Đặt y(t) = x(t) − x Khi đó hệ (1.1) trở thành

t0Dtαy(t) = Ct0Dtα(x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.2)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t) Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng

bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có điểm cân bằng là 0.

Định nghĩa 1.7 ([37]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có một điểm cân bằng x = 0 Khi đó hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn

kx(t)k ≤ [m(x0)Eα(−λ(t − t0)α)]b,

ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0.

Nhận xét 1.2 ([37]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim

Định lý dưới đây được đưa ra bởi các tác giả Y Li, Y Q Chen, và I Podlubny Định lý cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) Đây được xem là phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo.

Định lý 1.8 ([21]) Hệ (1.1) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:

(i) α1kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2kx(t)kab, (ii) Ct0DtαV (t, x(t)) ≤ −α3kx(t)kab,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.1) là Mittag–Leffler ổn định toàn cục.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ Đối với lớp hệ phương trình vi phân

phân thứ Caputo có trễ, B Chen và J Chen [6] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ Theo như sự hiểu biết của chúng tôi, đây là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định và một số tính chất liên quan của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ.

Định lý 1.9 [6] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ

t0Dtαx(t) = f (t, xt), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0], Rn), −τ ≤ θ ≤ 0, f : [t0, +∞) × C([t0 − τ, t0], Rn) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0, +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0], Rn) là điều kiện ban đầu Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1, a2, a3 và một hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn

(i) a1kxk2 ≤ V (x) ≤ a2kxk2,

và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn

(ii)Ct0DtαV (x(t)) ≤ −a3kxk2 khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với γ > 1 nào đó.

Khi đó hệ ổn định tiệm cận.

1.3.Bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên có trễ biến thiên

Trong chương này chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron với bậc nguyên có trễ biến thiên Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo V.N Phat và H Trinh

trong đó τ = max{τ1, τ2}, x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ nơ ron, u(.) ∈ L2([0, s), Rm), s > 0, m ≤ n là véc tơ điều khiển, w(.) ∈ L2([0, ∞), Rr), r ≤ n là véc tơ nhiễu đầu vào của hệ nơ ron, z(t) ∈ Rl, l ≤ n là véc tơ quan sát của hệ nơ ron Các hàm

Trong mục này, ta giả thiết độ trễ τ1(t), τ2(t) là các hàm liên tục thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây.

(H1) 0 ≤ τ1(t) ≤ τ1, ˙τ1(t) ≤ δ1 < 1, 0 ≤ τ2(t) ≤ τ2, ˙τ2(t) ≤ δ2 < 1, ∀t ≥ 0 (H2) 0 ≤ τ1(t) ≤ τ1, 0 ≤ τ2(t) ≤ τ2, ∀t ≥ 0.

Hàm kích hoạt f (.), g(.), h(.) thỏa mãn f (0) = h(0) = g(0) = 0 và thỏa mãn điều kiện dưới đây

|fi(x1) − fi(x2)| ≤ ξi|x1− x2|, i = 1, 2, , n, ∀x1, x2 ∈ R, |gi(x1) − gi(x2)| ≤ σi|x1− x2|, i = 1, 2, , n, ∀x1, x2 ∈ R, |hi(x1) − hi(x2)| ≤ ηi|x1 − x2|, i = 1, 2, , n, ∀x1, x2 ∈ R,

trong đó ξi > 0, σi > 0, ηi > 0, i = 1, 2, , n là các hằng số cho trước.

Định nghĩa 1.8 Cho trước số β > 0 Hệ (1.3), trong đó w(t) = 0, z(t) = 0, là β−ổn định hóa nếu tồn tại một điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) = Kx(t) sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của hệ đóng sau đây

thỏa mãn

∃N > 0 : kx(t, φ)k ≤ N kφke−βt, ∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.9 Cho các số dương β > 0, γ > 0 Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1.3) có nghiệm nếu tồn tại một điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái u(t) = Kx(t) thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(i) Hệ (1.3) với w(t) = 0, z(t) = 0 là β−ổn định hóa.

(ii) Tồn tại một số c0 > 0 sao cho bất đẳng thức dưới đây thỏa mãn với mọi điều kiện ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn) và véc tơ nhiễu đầu vào w(.) ∈ L2([0, ∞), Rn).

Để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1.3), ta giả thiết DT hC W2i= 0, DTD = Im.

Định lý dưới đây đưa ra một tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ cho mạng nơ ron thần kinh (1.3) trong trường hợp độ trễ là hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện (H1).

Định lý 1.10 [25] Giả sử giả thiết (H1) thỏa mãn Cho trước số β > 0 Bài toán điều khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh (1.3) có nghiệm nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n, hai ma trận đường chéo chính xác định dương D1, D2 sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đây được thỏa mãn