Quy hoạch toàn phương và bất đẳng thức biến phân affine trong không gian định chuẩn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN VĂN TÂN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨNChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN VĂN TÂN

QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Dương Thị Việt An

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

1.1 Tập lồi đa diện suy rộng 7

1.2 Bài toán quy hoạch toàn phương 9

1.3 Bất đẳng thức biến phân affine 15

1.4 Một số kết quả bổ trợ 17

2 Điều kiện tối ưu cho lớp bài toán quy hoạch toàn phương và bất đẳng thức biến phân affine trên không gian định chuẩn 20 2.1 Điều kiện tối ưu bậc nhất cho bài toán quy hoạch toàn phương trên không gian định chuẩn 20

2.2 Điều kiện tối ưu bậc nhất và cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine trên không gian định chuẩn 24

|x| giá trị tuyệt đối của x ||x|| chuẩn của véctơ x

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi của Ω tại x¯ ⟨x∗, x⟩ giá trị của phiếm hàm x∗ tại x

Im A tập ảnh của toán tử tuyến tính A Ker A hạt nhân của toán tử tuyến tính A L⊥ linh hóa tử của tập L ⊂ X

cl(A) bao đóng của A N (x) họ các lân cận của x f∗ hàm liên hợp của hàm f

∇f (x) đạo hàm Fréchet của hàm f tại x.

Lời cảm ơn

Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS Dương Thị Việt An với lòng nhiệt huyết đã luôn chỉ bảo tận tình cho tôi từ những ngày đầu tiên, đồng thời đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp tôi hoàn thiện luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô, tập thể cán bộ Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Ban lãnh đạo và các đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Uông Bí, tỉnh Quảng Ninh, cùng các bạn học viên lớp cao học Toán K12A3, đã không chỉ trang bị cho tôi những kiến thức bổ ích mà còn luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập tại trường.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân là những người luôn ủng hộ, động viên tôi vượt qua những khó khăn để tôi hoàn thành tốt luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2021 Người thực hiện

Nguyễn Văn Tân

Mở đầu

Bài toán quy hoạch toán học trong các không gian vô hạn chiều đã được nghiên cứu từ giữa thế kỉ trước, bắt đầu với mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính vô hạn chiều Nhiều bài toán tối ưu trong các không gian hàm, có cấu trúc phức tạp, như bài toán điều khiển tối ưu và bài toán biến phân có thể đưa về bài toán quy hoạch toán học trong không gian vô hạn chiều.

Bài toán quy hoạch toàn phương là một bài toán quy hoạch phi tuyến đơn giản nhất Đó là bài toán tìm cực tiểu của một hàm bậc hai với các ràng buộc tuyến tính Nếu dạng toàn phương xác định dương hay nửa xác định dương thì ta có bài toán quy hoạch toàn phương lồi Nếu dạng toàn phương không xác định thì khi đó ta có bài toán quy hoạch toàn phương không lồi.

Quy hoạch toàn phương là một bộ phận đặc biệt của quy hoạch toán học và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như thực tế Trong vòng hơn nửa thế kỉ nay, quy hoạch toàn phương được phát triển mạnh mẽ và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học cả về các vấn đề định tính cũng như các thuật toán hữu hiệu để giải các bài toán này.

Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality) là một mô hình toán học quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, lý thuyết bài toán cân bằng, cân bằng mạng, cân bằng kinh tế, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán, cơ học.

Bất đẳng thức biến phân affine (Affine Variational Inequality) là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân Tuy là lớp bài toán bất đẳng thức biến phân đơn giản nhất, nhưng bất đẳng thức biến phân affine

là một trong những lớp bài toán có cấu trúc đặc thù Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân affine làm sáng tỏ nhiều vấn đề của bất đẳng thức biến phân tổng quát.

Giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của một không gian Euclide hữu hạn chiều được gọi là một tập lồi đa diện Tập lồi đa diện có các tính chất rất đáng chú ý và được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết và ứng dụng, đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hoá Theo Bonnans và Shapiro [2, Definition 2.195], chúng ta gọi một tập con trong một không gian định chuẩn là một tập lồi đa diện suy rộng nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng và một không gian con affine đóng của không gian định chuẩn đó Nếu không gian con affine có thể chọn là toàn bộ không gian thì tập lồi đa diện suy rộng được gọi là một tập lồi đa diện Khái niệm tập lồi đa diện suy rộng cho phép chúng ta nghiên cứu bài toán quy hoạch toàn phương dưới ràng buộc tuyến tính và bài toán bất đẳng thức biến phân affine trong không gian định chuẩn.

Sau khi được học về Lý thuyết tối ưu và các kiến thức liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, các kiến thức mở rộng và ứng dụng của những kiến thức này, chúng tôi chọn đề tài luận văn: “Quy hoạch toàn phương và Bất đẳng thức biến phân affine trong không gian định chuẩn”.

Luận văn này có mục đích tìm hiểu, trình bày lại các kết quả chính về điều kiện tối ưu, cấu trúc tập nghiệm của lớp các bài toán quy hoạch toàn phương và bài toán bất đẳng thức biến phân affine trong không gian định chuẩn Trong luận văn có một số ví dụ (Ví dụ 1.2), và một số đoạn chứng minh chi tiết cho các định lý (Định lý 2.1, Định lý 2.5) là mới.

Nội dung luận văn được viết trong hai chương.

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” trình bày những kiến thức cơ bản về tập lồi đa diện suy rộng và các kết quả bổ trợ phục vụ cho việc chứng minh ở chương sau.

Chương 2 “Điều kiện tối ưu cho lớp bài toán quy hoạch toàn phương và bất đẳng thức biến phân trên không gian định chuẩn”

trình bày chi tiết các điều kiện tối ưu cho lớp bài toán quy hoạch toàn phương suy rộng, cấu trúc tập nghiệm và điều kiện tối ưu cho lớp bài toán bất đẳng thức biến phân affine trong không gian định chuẩn Nội dung của chương được biên dịch và trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả trong bài báo [6] của các tác giả Nguyen Dong Yen và Xiaoqi Yang đăng trên tạp chí Jornal of Optimization Theory and Application năm 2018.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Từ giờ đến cuối luận văn, nếu không đề cập đến, chúng ta qui ước X là không gian định chuẩn trên không gian các số thực và X∗ là không gian đối ngẫu của X Ký hiệu ⟨x∗, x⟩ là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X.

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con của X (i) Tập A được gọi là lồi nếu

∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ A.

Quy ước: Tập ∅ là tập lồi.

(ii) Tập A được gọi là affine nếu

∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ A.

Ví dụ 1.1 Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi Đường thẳng, mặt phẳng là các tập affine.

Định nghĩa 1.2 (Xem [2, p 133]) Một tập lồi K ⊂ X được gọi là đa diện khi và chỉ khi nó có thể được biểu diễn như giao của hữu hạn các

nửa không gian đóng, tức là tồn tại x∗i ∈ X∗ và αi ∈ R, i = 1, , m

thỏa mãn

K = {x ∈ X : ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, , m} (1.1) Định nghĩa 1.3 (Xem [2, p 133]) Tập K ⊂ X được gọi là một tập lồi đa diện suy rộng (generalized polyhedral convex) nếu tồn tại x∗i ∈ X∗,

αi ∈ R, i = 1, 2, , m, và một không gian affine đóng L ⊂ X, sao cho

K = x ∈ X | x ∈ L, ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, , m (1.2) Nếu K có biểu diễn(1.2) với L = X thì chúng ta gọi K là một tập lồi đa diện.

Từ Định nghĩa 1.3 chúng ta thấy ngay rằng mọi tập lồi đa diện suy rộng là đóng Chú ý rằng, trong không gian hữu hạn chiều, tập K là lồi đa diện suy rộng khi và chỉ khi nó là lồi đa diện.

Nếu L ⊂ X và L = a + L0, với L0 là không gian con đóng của X, khi đó tập linh hóa tử của tập L là

L⊥ := {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, u⟩ = 0, ∀u ∈ L0}.

NếuLmột không gian con affine đóng củaX, thì theo [2, Remark 2.196], tồn tại một toàn ánh tuyến tính liên tục A từ X vào một không gian Ba-nach Y và một véctơ y ∈ Y thỏa mãn

L =x ∈ X | Ax = y .

Do đó, người ta có thể viết lại (1.2) dưới dạng

K =x ∈ X | Ax = y, ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, , p (1.3) Đặt I = {1, , m} và I(¯x) := {i ∈ I : ⟨x∗i, ¯x⟩ = αi}.

Định lý biểu diễn dưới đây cho tập lồi đa diện suy rộng là rất quan trọng đối với các chứng minh tiếp theo của chúng ta.

Định lý 1.1 (Xem [5, Theorem 2.7]) Một tập khác rỗng D ⊂ X là lồi đa diện suy rộng khi và chỉ khi tồn tại u1, , uk ∈ X, v1, , vℓ ∈ X, và

một không gian tuyến tính đóng X0 ⊂ X thỏa mãn

Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm về dạng toàn phương và một số tính chất của dạng toàn phương khả vi Fréchet Nội dung của mục được tham khảo từ cuốn sách [2] và bài báo [6].

Ta nói rằng hàm ψ : X × X → R là song tuyến tính khi và chỉ khi

với mọi x ∈ X thì ψ(., x) và ψ(x, ) là các hàm tuyến tính Một hàm song tuyến tính ψ được gọi là đối xứng khi và chỉ khi ψ(x, y) = ψ(y, x) với mọi x, y ∈ X Ta gọi hàm f : X → R là một dạng toàn phương khi và

chỉ khi có một hàm song tuyến tính đối xứng ψ : X × X → R thỏa mãn f (x) = ψ(x, x) với mọi x ∈ X Vì

ψ(x, y) = 1

4(f (x + y) − f (x − y)) , (1.4)

nên hàm song tuyến tính đối xứng ψ được xác định duy nhất thông qua hàm f Một dạng toàn phương được gọi là không âm nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ X.

Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì mọi dạng toàn phương đều có biểu diễn

f (x) = 1

2⟨Ax, x⟩,

với A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X và A∗ = A.

Ví dụ 1.2 Cho X là không gian Hilbert, với mọi x ∈ X ta có f (x) = 1

2||x||2 = 1

2⟨x, x⟩là một dạng toàn phương không âm, ở đây A = I là toán tử đơn vị.

Ví dụ 1.3 Cho X = R2, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 ta có f (x) = x21 − x2

Cho f là một hàm từ X vào R = R∪ {±∞} Miền xác định và trên đồ thị của f được định nghĩa lần lượt bởi

dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞}

epi f = {(x, α) ∈ X ×R | x ∈ dom f, f (x) ≤ α}

Nếu dom f khác rỗng và f (x) > −∞ với mọi x ∈ X, thì f được gọi là chính thường Chúng ta nói hàm f là lồi nếu epif là một tập lồi trong

X ×R.

Mệnh đề 1.1 (Xem [2, Proposition 3.71]) Một dạng toàn phương là một hàm lồi trên X khi và chỉ khi nó không âm.

Ví dụ 1.4 Dạng toàn phươngf (x) = 1

2||x||2 trong Ví dụ 1.2 là dạng toàn phương lồi, trong khi dạng toàn phương f (x) = x21 − x2

2 trong Ví dụ 1.3 là dạng toàn phương không lồi.

Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa hàm khả vi Gâteaux và khả vi Fréchet Định nghĩa 1.4 (Xem [2, Definition 2.44]) (i) Ánh xạ f : X → Y được gọi là có đạo hàm theo hướng tại điểm x ∈ X theo hướng h ∈ X nếu

tồn tại Nếu f có đạo hàm theo hướng tại x theo mọi hướng h ∈ X thì ta nói hàm f khả vi theo hướng tại x.

(ii) Ta nói rằng f là khả vi Gâteaux tại x nếu f khả vi theo hướng tại

x và đạo hàm theo hướng f′(x, h) là toán tử tuyến tính liên tục theo h.

Từ định nghĩa trên ta thấy mọi hàm khả vi Gâteaux thì khả vi theo hướng nhưng chiều ngược lại không đúng.

Ví dụ 1.5 Cho hàm f :R2 →R được xác định bởi

x = (0, 0) Với mọi h = (h1, h2) ∈ R2 ta có đạo hàm theo hướng tại x¯

được tính như sau

Ta thấy rằng đạo hàm theo hướng tại x¯ không tuyến tính cũng không liên tục Do vậy hàm hàm f không khả vi Gâteaux tại x¯.

Định nghĩa 1.5 (Xem [2, Definition 2.48]) Ta nói rằng f là khả vi theo hướng theo nghĩa Fréchet nếu f khả vi theo hướng tại x và tục thì f được gọi là khả vi Fréchet tại x.

Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa ta thấy nếu f khả vi Fréchet tại x thì f

khả vi Gâteaux tại điểm đó Ngược lại nếu f khả vi Gâteaux trên một tập con mở S ⊂ X và đạo hàm Gâteaux tương ứng f′(x, ) là liên tục trên S, thì khi đó f khả vi Fréchet tại x.

Nhận xét 1.2 Trong trường hợp f là hàm nhận giá trị thực (tức là

Y = R) thì đạo hàm của hàm f được kí hiệu là ∇f (·).

Mệnh đề dưới đây cho ta mối quan hệ về tính khả vi Fréchet của dạng toàn phương và tính liên tục của hàm song tuyến tính tương ứng.

Mệnh đề 1.2 (Xem [6, Proposition 2.1]) Cho ψ là hàm song tuyến tính đối xứng tương ứng với dạng toàn phương f được xác định trên không gian định chuẩn X Khi đó các khẳng định sau đây tương đương:

(a) f khả vi Fréchet tại một điểm x ∈ X;¯

(b) ψ liên tục tại (0, 0) ∈ X × X;

(c) Có một hằng sốβ ≥ 0 sao cho |ψ(x, y)| ≤ β∥x∥∥y∥ với mọi x, y ∈ X; (d) ψ liên tục tại mọi điểm (u, v) ∈ X × X;

(e) f khả vi Fréchet tại mọi điểm u ∈ X.

Nếu một trong các tính chất trên được thỏa mãn thì đạo hàm Fréchet của

f tại mọi điểm u ∈ X được tính bằng công thức ∇f (u) = 2ψ(u, ).

Chứng minh (a) =⇒ (b): Giả sử khẳng định (a) đúng, khi đó f liên tục tại x ∈ X¯ Để chứng minh tính chất (b), lấy bất kỳ hai dãy véctơ xk và yk trong X hội tụ về 0, ta cần chứng minh rằng ψ(xk, yk) → 0 khi k → ∞.

Thật vậy, vì f khả vi Fréchet tại điểmx¯, nó cũng khả vi Gâteaux tại điểm

xác định với mọit ∈ R, ta kết luận rằng f′(¯x; v) = 2ψ(¯x, v)với mọi v ∈ X Hơn nữa, hàm tuyến tính ψ(¯x, ) liên tục trên X Cụ thể, ψ(¯x, ) liên tục tại 0 Hiển nhiên ta suy ra được (1.6).

(b) =⇒ (c): Giả sử ψ liên tục tại (0, 0) ∈ X × X Khi đó tồn tại δ > 0

thỏa mãn |ψ(u, v)| ≤ 1 với mọi u, v ∈ X với ∥u∥ ≤ δ và ∥v∥ ≤ δ Cho

(c) =⇒ (d): Giả sử khẳng định (c) đúng với một vài β ≥ 0 và (u, v) ∈ X × X tùy ý cho trước, ta cần chỉ ra ψ liên tục tại (u, v) Với bất kỳ

h1, h2 ∈ X ta có

|ψ(u + h1, v + h2) − ψ(u, v)| = |ψ(u, h2) + ψ(h1, v) + ψ(h1, h2)| ≤ β(∥u∥∥h2∥ + ∥v∥∥h1∥ + ∥h1∥∥h2∥),

giá trị |ψ(u + h1, v + h2) − ψ(u, v)| nhỏ hơn hằng số ε cho trước, được cho bởi chuẩn của h1 và h2 đủ nhỏ Do đó ψ liên tục tại (u, v).

(d) =⇒ (e): Giả sử (d) đúng và u ∈ X là một véctơ bất kỳ Theo đó,

ψ(u, ) là hàm tuyến tính liên tục vàψ liên tục tại điểm(0, 0) Theo chứng minh trên, tồn tại β > 0 sao cho |ψ(x, y)| ≤ β∥x∥∥y∥ với mọi x, y ∈ X.

Tính chất (e)hiển nhiên suy ra tính chất (a) nên định lý đã được chứng minh.

Nhận xét 1.3 Cho f là dạng toàn phương trên X với ψ tương ứng là hàm song tuyến tính đối xứng Giả sử f khả vi Fréchet tại một điểm thuộc

X Thì khi đó theo mệnh đề trên hàm f khả vi tại mọi điểm trên X Hơn nữa, tồn tại hằng số β > 0 thỏa mãn điều kiện (c) Khi đó, công thức

M x := 2ψ(x, ) kí hiệu một toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X∗ Đặt

∥M x∥ ≤ 2β∥x∥ với mọi x ∈ X hay viết tắt ∥M ∥ ≤ 2β Ta nhận thấy mỗi dạng toàn phương khả vi trên X sinh ra duy nhất một toán tử tuyến tính bị chặn M : X → X∗ Ta gọi M là toán tử tuyến tính bị chặn liên kết với

f Tính đối xứng của ψ cho ta điều kiện sau

⟨M x, y⟩ = ⟨M y, x⟩ ∀x, y ∈ X (1.7) Từ Mệnh đề 1.2, một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Trong một không gian định chuẩn vô hạn chiều, có dạng toàn phương nào không liên tục không? Để trả lời câu hỏi này chúng ta cần sử dụng cấu trúc sau.

Giả sử rằng X là không gian định chuẩn vô hạn chiều Đặt {eτ : τ ∈ T }

là một cơ sở đại số của X, ∥eτ∥ = 1 với mọi τ ∈ T Ta chọn một dãy các tập con đếm được T0 = {τk : k ∈ R+} của T, trong đó R+ kí hiệu cho tập các số thực không âm Đặt φ(eτk) = k với mọi k ∈ R+ và φ(eτ) = ατ

với mọi τ /∈ T0, trong đó các số ατ ∈ R được chọn tùy ý Mỗi véctơ x ∈ X được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = P tuyến tính bị chặn φ : X → R Đặt ψ(x, y) = φ(x)φ(y) ta thu được một hàm song tuyến tính đối xứng không liên tục Khi đó, dạng toàn phương

f (x) := ψ(x, x) = φ(x)2 không liên tục.

Định nghĩa 1.6 Nếu f là một dạng toàn phương khả vi Fréchet trên

X, q ∈ X∗ là một véctơ cho trước và K ⊂ X là tập lồi đa diện thì bài toán

min{f (x) + ⟨q, x⟩ : x ∈ K} (1.8) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương (quadratic programming prob-lem) hay quy hoạch toàn phương (quadratic program).

Ví dụ 1.6 Cho X = R2, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 ta có bài toán quy hoạch toàn phương sau đây

min{x21 − x22 : 1 ≤ x1 ≤ 3, 1 ≤ x2 ≤ 3}.

Định nghĩa 1.7 Nếu f là một dạng toàn phương khả vi Fréchet trên

X, q ∈ X∗ là một véctơ cho trước và K ⊂ X là tập lồi đa diện suy rộng thì bài toán (1.8) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương suy rộng (generalized quadratic programming problem) hay quy hoạch toàn phương suy rộng (generalized quadratic program).

Theo Nhận xét 1.3 ở trên, mỗi dạng toàn phương f khả vi trên X

sinh ra duy nhất một toán tử tuyến tính, đối xứng, bị chặn M sao cho

f (x) = 12⟨M x, x⟩ Do vậy để thuận tiện, từ nay về sau ta xét bài toán quy hoạch toàn phương (tương ứng, bài toán quy hoạch toàn phương suy

với K là tập lồi đa diện (tương ứng, tập lồi đa diện suy rộng).

Trong mục này, chúng tôi trình bày các định nghĩa về bất đẳng thức biến phân affine và bất đẳng thức biến phân affine suy rộng.

Định nghĩa 1.8 Cho ∆ ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ

F : ∆ → X∗ là đơn trị Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality - viết tắt là VI) được xác định bởi toán tử F và tập ∆ là bài toán:

Tìm x ∈ ∆¯ thoả mãn ⟨F (¯x), y − ¯x⟩ ≥ 0 ∀y ∈ ∆ (1.10) Chú ý 1.1 Theo quy tắc Fermat suy rộng, nếu x¯ là nghiệm của bài toán tối ưu

min{f (x) : x ∈ ∆},