Bài toán chia kẹo euler và ứng dụng giải một số dạng toán tổ hợp

- Trình bày một số dạng toán tổ hợp mở rộng có ứng dụng kết quả của Bài toán chia kẹo Euler.. - Một số dạng toán tổ hợp cơ bản được giải bằng cách sử dụng Bài toán chia kẹo Euler.. Tuy n

Trưởng nhóm nghiên cứu: Đào Thị Linh Nam/nữ: nữ

Lớp, khoa: K23 ĐHSP Toán, Khoa KHTN Năm thứ: 03/ Số năm đào tạo: 04

Ngành học: ĐHSP Toán

Người hướng dẫn: TS Phạm Thị Cúc

THANH HÓA, THÁNG 04 NĂM 2023

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu này không trùng lặp với các đề tài, luận án, luận văn và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Ký tên (Trưởng nhóm)

ii

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, nhóm em xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Hồng Đức, các thầy cô giáo đang giảng dạy và công tác tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt chúng em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới cô TS Phạm Thị Cúc – người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành này cũng xin được dành cho toàn thể các thầy cô trong Khoa KHTN vì trong suốt thời gian qua đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi, tiếp thêm sức mạnh cho chúng em để hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn đề tài nghiên cứu vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng em mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và bạn bè

Thanh Hóa, ngày tháng 4 năm 2023

Trưởng nhóm ký

iii

Danh sách những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài

STT Họ và tên Lớp Nội dung tham gia

1 Đào Thị Linh Lớp K23 ĐHSP Toán Chủ nhiệm đề tài 2 Lê Vi Thái Tâm Lớp K23 ĐHSP Toán Thành viên đề tài

iv

Mục lục

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

Danh sách những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài iii

Thông tin kết quả nghiên cứu v

2.1.Bài toán chia kẹo Euler 10

2.2.Vận dụng bài toán chia kẹo Euler để đếm số nghiệm nguyên của

v

Thông tin kết quả nghiên cứu 1 Thông tin chung

- Tên đề tài: Bài toán chia kẹo Euler và ứng dụng giải một số dạng toán tổ hợp

- Thời gian thực hiện: 6 tháng (từ 11/2022 đến 04/2023) - Cấp quản lý: Cấp trường

- Cơ quan quản lý đề tài: Trường Đại học Hồng Đức - Đơn vị chủ trì đề tài: Khoa KHTN

- Nhóm sinh viên thực hiện

(1) Đào Thị Linh – Lớp: K23 ĐHSP Toán (2) Lê Vi Thái Tâm – Lớp: K23 ĐHSP Toán

2 Mục tiêu

- Tìm hiểu tổng quan về Bài toán chia kẹo Euler

- Trình bày một số dạng toán tổ hợp mở rộng có ứng dụng kết quả của Bài toán chia kẹo Euler

3 Tính mới và sáng tạo

- Một số dạng mở rộng của Bài toán chia kẹo Euler

- Một số dạng toán tổ hợp cơ bản được giải bằng cách sử dụng Bài toán chia kẹo Euler

4 Kết quả nghiên cứu

- Hệ thống các kết quả về nguyên lí, bản chất và ứng dụng của Bài toán chia kẹo Euler

- Nghiên cứu mở rộng các bài toán xung quanh Bài toán chia kẹo Euler 5 Sản phẩm của đề tài

- Báo cáo tổng kết và báo cáo tóm tắt của đề tài

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng ứng dụng

vi - Đề tài là học liệu cho các bạn học sinh-sinh viên quan tâm đến dạng

toán này, và có thể được sử dụng như tài liệu giảng dạy cho các giáo viên ôn thi HSG

1

Mở đầu

Tư duy về tổ hợp đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử phát triển nhân loại qua một số bài toán cổ và những hình vẽ để lại Tuy nhiên, lí thuyết tổ hợp được xem như một ngành toán học vào khoảng thế kỷ XVII bằng một loạt các công trình nổi tiếng của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, … và được phát triển mạnh mẽ, đặc biệt từ sau khi máy tính điện tử ra đời Hiện nay, lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số không giao hoán, quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã, quy hoạch thực nghiệm, …

Bên cạnh hàng loạt công trình nghiên cứu về tổ hợp, phải kể đến “Bài toán chia kẹo Euler” mà ứng dụng của nó được sử dụng cho nhiều bài toán khác nhau như: tìm số nghiệm nguyên dương, số nghiệm nguyên không âm của phương trình nhiều ẩn hoặc bài toán phân phối đồ vật khác nhau vào nhiều hộp phân biệt, … cùng nhiều ứng dụng khác

Xuất phát từ một bài toán “Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé Hỏi

có bao nhiêu cách chia kẹo?” Bài toán tưởng chừng rất đơn giản nhưng lại là một bài toán khó đối với nhiều học sinh Nhiều bài toán đếm phức tạp sẽ được giải quyết một cách hiệu quả nhờ sử dụng ứng dụng của bài toán chia kẹo Euler Như vậy, việc tìm hiểu sâu hơn về các ứng dụng của bài toán chia kẹo Euler là một nội dung có ý nghĩa thiết thực

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm có hai chương

Chương 1 Một số vấn đề về lí thuyết tổ hợp Trong chương này, chúng tôi

trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của lí thuyết tổ hợp có liên quan đến chương sau Đó là quy tắc cộng, quy tắc nhân và nguyên lí bù trừ,…

Chương 2 Bài toán chia kẹo Euler và ứng dụng vào giải một số dạng toán tổ hợp Trong chương này, chúng tôi phát biểu và trình bày cách giải bài toán

2 chia kẹo Euler Trên cơ sở đó, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của bài toán chia kẹo Euler đối với bài toán đếm số nghiệm nguyên của phương trình và bất phương trình, giải các bài toán đếm trong lí thuyết tổ hợp, giải một số bài toán xác suất,…

3

Chương 1: Một số vấn đề về lí thuyết tổ hợp

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số nội dung của lí thuyết tổ hợp có liên quan hoặc sẽ được sử dụng cho chương sau Đó là các khái niệm và kết quả về: Nguyên lý bù trừ, quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Nội dung của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1],

Định nghĩa 1.2 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n

Định nghĩa 1.3 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo

một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

4

1.4 Tổ hợp

Định nghĩa 1.4 Giả sử tập A có n phần tử n1 Mỗi tập con gồm k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

m m N  các phần tử của X , trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều

lần, sắp xếp theo thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n

5 tử ak (trong đó n n1   2 nk n) theo một thứ tự nào đó được gọi là

một hoán vị lặp cấp n và kiểu n n1; ; ;2 nk của k phần tử

Định lý 1.1 Số hoán vị của n phần tử, trong đó có n1 phần tử như nhau thuộc loại 1, có n2 phần tử như nhau thuộc loại 2,… và có n

Định nghĩa 1.7 Mỗi cách chọn ra k phần tử từ n loại phần tử khác nhau ( trong đó mỗi loại phần tử có thể được chọn lại nhiều lần ) được gọi là

một tổ hợp lặp chập k của n

Kí hiệu: Knk là số các tổ hợp lặp chập k của n Công thức: Knk Cn kk 1

Thật vậy, mỗi tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một cách chọn không có thứ tự k phần tử có thể lặp lại của phần tử đã cho Như vậy một tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm k phần tử lấy từ tập hợp n

phần tử Do đó có thể k n

Mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử có thể biểu diễn bằng một dãy n1 thanh đứng và k ngôi sao Ta dùng n1 thanh đứng để phân cách các ngăn Ngăn thứ i chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử chứa i của

6 tập xuất hiện trong tập hợp Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử được biểu thị bởi:

Định nghĩa 1.7 Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành

động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu X , Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì

7

X Y X Y  X

1.6.2 Quy tắc nhân

Định nghĩa 1.8 Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện qua hai giai đoạn là H1 và H2, trong đó:

H có thể làm bằng n1 cách

H có thể làm bằng n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc H1 Khi đó, để thực hiện công việc H sẽ có n n1. 2 cách

H có thể làm bằng n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc Hk1 Khi đó, để thực hiện công việc H sẽ có n n1 .2 nk cách

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu A1, A2, …, An là n tập hợp hữu hạn n1, khi đó việc chọn một phần tử của tích Đề-các A1  A2 An được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của A1, một phần tử của A2, …, một phần tử của An Theo quy tắc nhân ta nhận được công thức:

Khi 2 công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả 2 việc Để tính đúng số cách thực hiện

8 nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 công việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc Ta có thể phát biểu nguyên lí đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp Cho A và B là 2 tập hợp hữu hạn, khi đó:

Ví dụ 1.1 Một chuyến bay có 67 hành khách Trong đó có 47 người sử dụng

tốt Tiếng Anh, 35 người sử dụng tốt tiếng Đức, 20 người sử dụng tốt tiếng Pháp Hơn nữa, có 23 người sử dụng tốt 2 thứ tiếng Anh và Đức, 12 người sử dụng tốt 2 thứ tiếng Anh và Pháp, 11 người sử dụng tốt 2 thứ tiếng Đức và Pháp Và có 5 người sử dụng tốt cả 3 thứ tiếng Tìm số hành khách không sử dụng được bất cứ ngoại ngữ nào?

Giải:

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp các hành khách sử dụng tốt ngoại ngữ là tiếng Anh, tiếng Đức, tiếng Pháp

được gọi là hàm sinh của dãy  a n

Ý tưởng sử dụng phương pháp hàm sinh như sau: Giả sử ta cần tìm công thức tổng quáy của một dãy số  a nào đó Từ công thức truy hồi hoặc những lí n

luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm được hàm sinh

Công thức khai triển thường sử dụng là công thức nhị thức Newton

Ví dụ 1.2 Có bao nhiêu cách sắp xếp một giỏ n trái cây thỏa mãn điều kiện sau:

a a, Số táo phải chẵn

b b, Số chuối phải chia hết cho 5

c c, Chỉ có thể có nhiều nhất 4 quả cam d d, Chỉ có thể có nhiều nhất 1 quả đào

Vậy cách sắp xếp giỏ trái cây gồm n trái đơn giản là n1 cách

Chương 2: Bài toán chia kẹo Euler và ứng dụng vào giải một số dạng toán tổ hợp

Trong chương này, chúng tôi phát biểu bài toán chia kẹo Euler, trình bày phương pháp giải bài toán này và vận dụng vào giải một số dạng toán của lý thuyết tổ hợp Đối với mỗi dạng toán, chúng tôi có trình bày phương pháp giải và các ví dụ điển hình Các ví dụ được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, Nội dung của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [6-8]

2.1 Bài toán chia kẹo Euler 2.1.1 Phát biểu bài toán

11 Bài toán chia kẹo Euler là một bài toán tổ hợp xuất hiện từ thời xa xưa Đây là một bài toán rất hay và có nhiều ứng dụng trong toán học Bài toán được phát biểu như sau:

“Có m chiếc kẹo giống nhau, cần chia chúng cho n em bé Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo?”

Từ bài toán này, người ta đã phát triển ra cách giải cho vô số bài toán đếm khác nhau Trước hết, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp giải bài toán chia kẹo Euler và từ đó vận dụng vào giải một số dạng toán khác cơ bản đến nâng cao

2.1.2 Phương pháp giải bài toán

Gọi số kẹo mà mỗi em bé nhận được lần lượt là

Xếp k chiếc kẹo thành một hang ngang,giữa chúng có k1 chỗ trống Số cách chia kẹo thỏa mãn điều kiện đề bài chính là số cách đặt k1 “vách ngăn” vào m1 chỗ trống trong số k1 chỗ trống nói trên ( mỗi chỗ trống được chọn một “ vách ngăn”) Theo quy tắc tổ hợp không lặp, số nghiệm của bài

Dưới đây là một vài ví dụ cơ bản của bài toán chia kẹo Euler

Ví dụ 2.1 Có bao nhiêu cách chia 10 cái kẹo cho 3 người sao cho mỗi người

được ít nhất một cái kẹo?

Giải:

Việc chọn theo cách thông thường lần lượt từng người sẽ rất khó để lập một phép đếm chính xác Ở đây, theo bài toán chia kẹo Euler, ta có thể làm như sau:

Sử dụng 2 vách ngăn chia 10 chiếc kẹo thành 3 phần, mỗi phần dành cho một người Ví dụ có thể chia như sau:

12

Giữa 10 chiếc kẹo, có 9 khoảng trống, ta cần chọn 2 trong 9 vị trí này để đặt 2 vách ngăn, chúng sẽ chia số kẹo làm 3 phần, với quy ước mỗi người một phần kẹo Vậy số cách chia là C 92

Tại sao có cách chia như vậy? Tất nhiên để chia như vậy, ta cần thỏa mãn một số điều kiện sau:

+) 10 cái kẹo là 10 “đơn vị” và do đó, các kết quả chia cũng là các số nguyên Rõ ràng việc chia bằng các vách ngăn chỉ thực hiện tốt khi các kết quả nguyên

+) Mặt khác, bài toán cho “mỗi người ít nhất một cái kẹo” giúp việc chia phần đơn giản hơn, bởi nếu cho 1 người nhận 0 kẹo, 2 “vách” sẽ cùng ở một vị trí Điều này khiến bài toán “rối” hơn Chúng tôi sẽ đề cập dạng này ở phần sau

Ví dụ 2.2 Có bao nhiêu cách phân 15 nhiệm vụ cho 4 người sao cho một

người nhận ít nhất một nhiệm vụ?

Giải:

Nếu coi 15 nhiệm vụ như 15 đơn vị, ở giữa chúng có 14 khoảng cách thì ta chỉ cần đếm số cách đặt 3 "vách ngăn" vào 14 khoảng cách ở giữa 15 đơn vị Như vậy có C143 cách phân nhiệm vụ thỏa mãn yêu cầu bài toán

2.2 Vận dụng bài toán chia kẹo Euler để đếm số nghiệm nguyên của phương trình và bất phương trình

Bài 2.1 Cho phương trình:

x   xxx ; xi a) Đếm số bộ nghiệm của phương trình

b) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện:

1 1, 2 2, 3 3, 4 4

c) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện:

13

1, 2, 3, 4

x x x x chẵn

d) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện: x13

e) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện: x33,x4 4

Giải:

a) Trong bài này, chúng ta không có điều kiện các nghiệm nguyên dương (xi 1), do vậy ta cần tìm cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng đã biết

Cần lưu ý, sở dĩ có cách đặt này vì mỗi bộ (x x x x1   , 2, 3, 4) đều cho tương ứng duy nhất một bộ (x x x x1, 2, 3, 4) theo cách chọn xi  xi1 Tùy vào đề bài, ta đặt các ẩn phụ sao cho hợp lí để đưa về phương trình nghiệm nguyên dương

b) Tương tự câu a), ta có cách đặt sau:

14 d) Điều kiện x13 gây khó khăn trong việc đặt ẩn phụ do nghiệm bị chặn trên thay vì chặn dưới Dĩ nhiên, ta có thể xét 4 trường hợp xi0; 1; 2; 3 và giải, tuy nhiên ở đây, chúng tôi đề xuất một phương pháp tốt hơn đó là sử dụng

Ở đây, “phần bù” của x13 là x13, tổng số nghiệm của 2 phương trình này là số nghiệm của phương trình ở câu a), số nghiệm của phương trình với điều kiện x1 3 tính được do đó ta cũng tính được số nghiệm của phương trình với điều kiện x13

e) Với hai điều kiện x33, x44, ta có thể sử dụng nguyên lí bù trừ cho tập hợp để giải bài toán

Gọi A là tập các nghiệm thỏa mãn x33 Gọi B là tập các nghiệm thỏa mãn x4 4

Đặt y3  x3 3 0 Số nghiệm của phương trình với điều kiện x3 3 là

319

AC

Đến đây, ta đã giải quyết trọn vẹn các bài toán phương trình nghiệm nguyên trong đó nghiệm bị chặn trên hoặc chặn dưới

Bài 2.2

Sinh viên thời học ở Liên Xô ai cũng biết thế nào là một chiếc vé hạnh phúc và ai cũng từng đếm xem chiếc vé xe buýt (hoặc xe điện, xe buýt điện,…) mình mới mua có phải là về hạnh phúc hay không Một chiếc vé được đánh số từ

000000 đến 999999 và vé được gọi là hạnh phúc nếu tổng ba chữ số đầu bằng

tổng ba chữ số cuối Ai mua được vé hạnh phúc thì ngày hôm đó sẽ gặp nhiều may mắn (như thi đạt điểm cao, có bạn đến thăm,…) Ngay cả những người không tin cũng không dưới một lần thử cộng các chữ số Một hệ quả cũng rõ ràng là nếu có vé hạnh phúc thì chắc chắn sẽ không bị phạt khi đi xe (vì đã có vé thì không bị phạt!) Đó chẳng phải là hạnh phúc sao!

Sinh viên khoa Toán còn quan tâm đến một vấn đề tổng quát hơn: Xác suất để gặp một chiếc vé hạnh phúc là bao nhiêu? Nếu ai biết đến lí thuyết xác suất

cổ điển thì có thể hiểu ngay rằng bài toán này tương đương với bài toán đếm số các số hạnh phúc từ 000000 đến 999999 Xác suất cần tìm sẽ là kết quả của một số C tìm được chia cho 106 Ta thử tìm xác suất đó

a, Hướng giải thứ nhất

Như vậy vé hạnh phúc là vé mang số a a a a a a1 2 3 4 5 6 với

a    aaaaa Vì ai với i1, 2, , 6 là các chữ số trong hệ