Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNNGUYỄN QUỐC TUẤNPHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHYVÀ MỘT SỐ DẠNG LIÊN QUANĐỀ ÁN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Trang 3 Đề án "PHƯƠNG TR
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN QUỐC TUẤN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ MỘT SỐ DẠNG LIÊN QUAN ĐỀ ÁN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN QUỐC TUẤN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ MỘT SỐ DẠNG LIÊN QUAN Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp 8460113 Mã số : 24 Khóa : ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Bình Định - 2023 Lời cam đoan Đề án "PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ MỘT SỐ DẠNG LIÊN QUAN" là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lương Đăng Kỳ Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong đề án này hoàn toàn trung thực Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này Bình Định, ngày 10 tháng 10 năm 2023 Học viên Nguyễn Quốc Tuấn 1 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lương Đăng Kỳ, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đề án này Tôi chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo điều kiện về mọi mặt để tôi thuận lợi trong quá trình học tập và hoàn thành đề án Đồng thời, tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo và gia đình, bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi hoàn thành đề án này 2 Mục lục Mục lục 1 Lời nói đầu 1 1 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính 4 1.1 Dẫn nhập 4 1.2 Một số phương trình hàm 4 1.3 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính 6 1.4 Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính 10 1.5 Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức 15 2 Một số phương trình hàm Cauchy một biến 22 2.1 Dẫn nhập 22 2.2 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng mũ 23 2.3 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng logarit 28 2.4 Phương trình hàm Cauchy một biến nhân tính 32 3 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến 41 3.1 Dẫn nhập 41 3.2 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến 41 3.3 Phương trình hàm Cauchy nhân tính nhiều biến 45 3.4 Một số phương trình hàm Cauchy nhiều biến khác 47 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 1 Lời mở đầu Phương trình hàm là một trong những chủ đề hiện đại của toán học, các nhà toán học đã bắt đầu nghiên cứu phương trình hàm từ khi định nghĩa hiện đại của hàm số Ba bài báo khoa học đầu tiên về phương trình hàm được nghiên cứu và viết bởi Jean le Rond d’Alembert khoảng từ năm 1747 đến 1750 Sự phát triển đáng kể đầu tiên của chủ đề này được động lực bởi Bài toán luật hình bình hành của trọng lực Năm 1769, d’Alembert đã tìm cách đưa bài toán này về việc tìm nghiệm của phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) Kể từ đó nhiều nhà toán học nổi tiếng đã quan tâm và nghiên cứu lý thuyết các phương trình hàm như Abel, Bolyai, Cauchy, Euler, Fréchet, Gauss, Jensen, Kolmogorov, Lobacevskii, Pexider, Poisson, Mặc dù các nghiên cứu hiện đại về phương trình hàm có nguồn gốc cách đây hơn 270 năm, tuy nhiên chủ đề này vẫn được quan tâm và phát triển đáng kể trong suốt hơn 60 năm qua Phương trình hàm là một lĩnh vực được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong toán học hiện đại cũng như toán sơ cấp Một trong những lớp phương trình hàm được giảng dạy và nghiên cứu phổ biến trong toán sơ cấp là phương trình hàm Cauchy Hiện nay, ở nhà trường phổ thông, các kiến thức về phương trình hàm Cauchy vẫn chưa được đề cập nhiều Phần lớn các học sinh tiếp cận với phương trình hàm Cauchy là những học sinh chuyên toán, còn đối với học sinh đại trà thì đây vẫn là một lĩnh vực xa lạ, khó mà tiếp cận Đa số học sinh khi tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấy khó vì đây là dạng toán đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải, có khả năng tư duy tốt, khả năng khái quát hóa, phán đoán vấn đề cao, Mặt khác hiện nay các tài liệu đề cập về phương trình hàm còn ít và chưa có một tài liệu nào trình bày đầy đủ về các khía cạnh của phương trình hàm; đặc biệt, đối với phương trình hàm Cauchy lại có rất nhiều 1 2 dạng như phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm Cauchy nhiều biến, ; các vấn đề liên quan đến việc mở rộng phương trình hàm Cauchy từ miền xác định nhỏ đến miền xác định rộng hơn lại rất phức tạp Trong chương trình toán học phổ thông, phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng và thường được sử dụng nhiều trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, Olympic khu vực, Olympic quốc tế Đó là các bài toán khó và mới mẻ đối với học sinh, đòi hỏi học sinh có tư duy cao và cách tiếp cận sáng tạo Trong thực tiễn, phương trình hàm và các ứng dụng của nó luôn là chuyên đề hết sức cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở bậc học phổ thông, đồng thời sự phát hiện các ứng dụng đa dạng của nó cũng luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này Trong lý thuyết các phương trình hàm thì phương trình hàm Cauchy là một phương trình hàm cơ bản và gần gũi với học sinh trung học phổ thông Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài “Phương trình hàm Cauchy và một số dạng liên quan” làm đề tài cho đề án thạc sĩ của mình Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì đề tài “Phương trình hàm Cauchy và một số dạng liên quan” bao gồm ba chương có nội dung như sau: CHƯƠNG 1 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính 1.1 Dẫn nhập 1.2 Một số phương trình hàm 1.3 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính 1.4 Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính 1.5 Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức CHƯƠNG 2 Một số phương trình hàm Cauchy một biến 2.1 Dẫn nhập 2.2 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng mũ 2.3 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng logarit 2.4 Phương trình hàm Cauchy một biến nhân tính CHƯƠNG 3 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến 3.1 Dẫn nhập 3.2 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến cộng tính 3 3.3 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến nhân tính 3.4 Một số phương trình hàm Cauchy nhiều biến khác Bình Định, ngày 10 tháng 10 năm 2023 Học viên Nguyễn Quốc Tuấn Chương 1 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính Tài liệu tham khảo chính là [6] 1.1 Dẫn nhập Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A M Legendre - người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R Đến năm 1821, A L Cauchy bắt đầu đề xuất những nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính trong sách Cours d’Analyse của mình Hàm cộng tính chính là nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên Vì vậy trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng tính 1.2 Một số phương trình hàm Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết chính là các hàm, giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho Và để thu được một lời giải hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu) Một phương trình bao gồm một hàm chưa biết và một hoặc nhiều đạo 4 5 hàm của nó được gọi là phương trình vi phân Ví dụ như: f ′(x) + mx = 5 và f ′′(x) + f ′(x) + sin(x) = 0 Các phương trình gồm tích phân của hàm số chưa biết được gọi là phương trình tích phân Một vài ví dụ về phương trình tích phân x f (x) = ex − ex−tf (t)dt, 0 1 f (x) = sin(x) + [1 − x cos(xt)]f (t)dt, 0 và x f (x) = tf 2(t) − 1 dt 0 Phương trình hàm là phương trình trong đó các ẩn là các hàm số Ví dụ về phương trình hàm là f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)f (y), f (xy) = f (x)f (y), f (xy) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), f (x + y) = g(xy) + h(x − y), f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s), g(f (x)) = g(x) + β, g(f (x)) = αg(x), α̸ = 1