Đang tải... (xem toàn văn)
262.1.1 Áp dụng của phép đối xứng trục trong các bài toán chứngminh hoặc xác định các yếu tố hình học.. 402.2.1 Áp dụng của phép đối xứng tâm trong các bài toán chứngminh hoặc xác định c
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRỌNG THÀNH ĐỀ TÀI PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀ ÁP DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - Năm 2023 0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRỌNG THÀNH ĐỀ TÀI PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀ ÁP DỤNG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Giảng viên hướng dẫn 1: TS Ngô Lâm Xuân Châu Giảng viên hướng dẫn 2: TS Nguyễn Thu Hà Mục lục Mục lục 0 Mở đầu 3 0.1 Lý do chọn đề tài 3 0.2 Mục đích nghiên cứu 4 0.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4 0.4 Nội dung nghiên cứu 5 0.5 Phương pháp nghiên cứu 5 0.6 Cấu trúc đề án 5 Chương 1 CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1 1.1 Định nghĩa phép biến hình 1 1.2 Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình 4 1.3 Sự xác định của phép dời hình 6 1.4 Biểu thức tọa độ của phép dời hình trong mặt phẳng 8 1.4.1 Hệ tọa độ afin trên mặt phẳng 8 1.4.2 Công thức đổi tọa độ afin 10 1.4.3 Hệ tọa độ Đề-các vuông góc 11 1.4.4 Biểu thức tọa độ của phép dời hình 14 1.5 Phân loại phép dời hình trong mặt phẳng 17 1.5.1 Phép đối xứng trục 17 1.5.2 Phép đối xứng tâm 19 1 2 1.5.3 Phép tịnh tiến 20 1.5.4 Phép quay 22 Chương 2 PHÉP DỜI HÌNH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG VÀ TRONG THỰC TIỄN 26 2.1 Áp dụng phép đối xứng trục 26 2.1.1 Áp dụng của phép đối xứng trục trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học 26 2.1.2 Áp dụng phép đối xứng trục vào bài toán cực trị 30 2.1.3 Áp dụng phép đối xứng trục vào bài toán dựng hình và quỹ tích 34 2.2 Áp dụng phép đối xứng tâm 40 2.2.1 Áp dụng của phép đối xứng tâm trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học 40 2.2.2 Áp dụng phép đối xứng tâm vào bài toán cực trị 42 2.2.3 Áp dụng phép đối xứng tâm vào bài toán dựng hình và quỹ tích 43 2.3 Áp dụng phép tịnh tiến 48 2.3.1 Áp dụng của phép tịnh tiến trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học 48 2.3.2 Áp dụng phép tịnh tiến vào bài toán cực trị 52 2.3.3 Áp dụng phép tịnh tiến vào bài toán dựng hình và quỹ tích 55 2.4 Áp dụng phép quay 59 2.4.1 Áp dụng của phép quay trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học 59 2.4.2 Áp dụng phép quay vào bài toán cực trị 64 2.4.3 Áp dụng phép quay vào bài toán dựng hình và quỹ tích 66 2.5 Ứng dụng vào thực tiễn 69 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Mở đầu 0.1 Lý do chọn đề tài Các phép biến hình trong mặt phẳng là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình hình học ở Trung học phổ thông Phép biến hình gắn liền với sự hình thành và phát triển của toán học nói chung và hình học nói riêng Vào khoảng năm 300 trước công nguyên, Nhà toán học Euclid, trong tác phẩm “Cơ bản” của mình ông đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình trong việc định nghĩa hai hình bằng nhau, đó là: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu chúng chồng khít lên nhau” Nhưng lúc này phép biến hình không phải là đối tượng nghiên cứu, nó chỉ ngầm ẩn xuất hiện trong tình huống so sánh hai hình và cũng chỉ được hiểu theo nghĩa là phép chuyển dời hình từ vị trí này sang vị trí khác Đến cuối TK XIX , nhà toán học người Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình; trong đó có hình học Euclid sơ cấp được giảng dạy ở Trung học phổ thông Phép biến hình trong mặt phẳng có rất nhiều ứng dụng trong đời sống thực tiễn như: các công trình xây dựng, kiến trúc; ứng dụng trong hội họa mỹ thuật (nghệ thuật dùng những hình ảnh bằng nhau để lấp đầy mặt phẳng); chế tạo các sản phẩm mỹ nghệ như bình gốm, thổ cẩm, Dựa vào các tính chất của phép biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết quần áo; chế tạo trò chơi; phóng to thu nhỏ các đồ vật Ở bậc Trung học phổ thông, mở đầu chương trình Hình học 11 học sinh đã được học các phép biến hình trong mặt phẳng gồm phép dời hình và phép đồng dạng Trong đó phép dời hình bao gồm: phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay chiếm thời lượng lớn trong chương này Việc đưa nội dung các phép dời hình vào giảng dạy giúp cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới Đó là phương thức đòi hỏi học sinh phải biết nhận thức các 3 4 đối tượng toán học trong sự chuyển động, thay đổi và phụ thuộc lẫn nhau Đồng thời phép dời hình cung cấp cho chúng ta những công cụ mới để giải bài toán hình học một cách hiệu quả, đặc biệt là đối với các dạng toán chứng minh, tìm ảnh của một hình, dựng hình và tìm quỹ tích Tuy nhiên các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp khó khăn khi tiếp cận các phép dời hình (được trình bày theo kiểu “tân toán học”), đặc biệt là ở khâu ứng dụng (sử dụng các phép dời hình để giải toán) Quả thật, khi mới làm quen khái niệm phép dời hình, người ta thường chưa hiểu tường tận tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận của lý thuyết Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế và khu vực, hay những kì thi giải toán trên nhiều tạp chí toán học thì các bài toán hình học liên quan đến các phép dời hình xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông Vì thế, để đạt hiệu quả trong việc giảng dạy và giúp học sinh tiếp cận với việc ứng dụng phép biến hình thì việc nghiên cứu về phép dời hình và ứng dụng phép dời hình vào giải toán hết sức quan trọng Với những lí do trên tôi chọn đề tài “Phép dời hình trong mặt phẳng và áp dụng” cho đồ án tốt nghiệp thạc sĩ Toán học của mình 0.2 Mục đích nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản, bổ sung (so với các nội dung có trong sách giáo khoa THPT) và nâng cao về các phép dời hình trong mặt phẳng Chúng tôi cũng cố gắng phân loại các dạng toán ứng dụng, tổng hợp một số phương pháp cụ thể, đưa vào nhiều ví dụ để minh họa cho từng phương pháp được trình bày; và khi có thể được, chúng tôi sẽ tìm cách nhận xét hoặc phân tích lí do dẫn đến việc sử dụng một phép dời hình cụ thể 0.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các phép dời hình trong mặt phẳng Ngoài lý thuyết tổng quan còn có các nhận xét, phân loại, giúp cải thiện khả năng giải toán của học sinh THPT 5 Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến các phép dời hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán THPT Bên cạnh đó đề tài giới thiệu một số ứng dụng của phép dời hình trong thực tiễn cuộc sống 0.4 Nội dung nghiên cứu - Định nghĩa, tính chất của các phép dời hình trong mặt phẳng - Ứng dụng của phép dời hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán THPT và trong thực tiễn cuộc sống 0.5 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi là tìm hiểu và tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu tham khảo Sau đó, phân tích và trình bày chi tiết các kết quả lý thuyết và các bài toán áp dụng 0.6 Cấu trúc đề án Chương 1: CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Chương này giới thiệu định nghĩa và tính chất của các phép dời hình trong mặt phẳng; sự xác định phép dời hình và biểu thức tọa độ của phép dời hình Chương 2: PHÉP DỜI HÌNH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG VÀ TRONG THỰC TIỄN Chương này tập trung trình bày về ứng dụng các phép dời hình vào giải một số dạng toán hình học phẳng ở THPT, đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học các cấp; cụ thể được chia ra làm ba ứng áp chính: 1 Áp dụng trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học 2 Áp dụng vào bài toán cực trị 3 Áp dụng vào bài toán dựng hình và quỹ tích Ngoài ra chương này còn trình bày một số ứng dụng của phép dời hình trong thực tiễn cuộc sống Chương 1 CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Nội dung của chương này được trình bày lại từ tài liệu tham khảo [2] 1.1 Định nghĩa phép biến hình Ta kí hiệu P là mặt phẳng Euclid Một tập con H của P được gọi là một hình phẳng và được kí hiệu H Ă P Định nghĩa 1.1 Một song ánh f : P Ñ P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng Như vậy cho một phép biến hình f : P Ñ P là cho một quy tắc để với bất kì điểm M thuộc P, ta tìm được một điểm M 1 “ f pM q hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây: - Nếu M, N là hai điểm bất kì của P thì f pM q, f pN q là hai điểm phân biệt của P - Với một điểm M 1 thuộc P bao giờ cũng có một điểm M thuộc P sao cho f pM q “ M 1 Điểm f pM q được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại, điểm M gọi là tạo ảnh của điểm f pM q qua phép biến hình f nói trên Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp f pHq “ tf pM q|M P Hu Khi đó f pHq gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của hình f pHq qua phép biến hình f đó 1 2 Định nghĩa 1.2 Cho điểm M nằm trong mặt phẳng P Một phép biến hình f biến M thành chính nó thì M gọi là điểm bất động của phép biến hình f Muốn xác định một phép biến hình f : P Ñ P ta cần nêu rõ quy tắc f đó bằng các cách sau đây: - Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho, - Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ px, yq của điểm M với tọa độ px1, y1q của điểm M 1 “ f pM q đối với hệ tọa độ Oxy cho trước nào đó Ví dụ 1.1 Cho đường thẳng ∆ thuộc P Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 1 đối xứng với M qua ∆ được gọi là phép đối xứng trục Đường thẳng ∆ gọi là trục đối xứng Phép đối xứng trục với trục ∆ được kí hiệu là D∆ Ta có D∆ pM q “ M 1 Hình 1.1 Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 1 đối xứng với M qua O được gọi là phép đối xứng tâm O Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng đó Phép đối xứng tâm O thường được kí hiệu là DO Ta có DO pM q “ M 1 3 Hình 1.2 Ví dụ 1.3 Trong mặt phẳng cho vectơ ÑÝv cố định Phép biến hình biến mỗi điểm 1 ÝÝÝÝÑ1 ÑÝ ÑÝ ÑÝ M thành điểm M sao cho M M “ v gọi là phép tịnh tiến theo v Vectơ v gọi là vectơ tịnh tiến Phép tịnh tiến theo vectơ ÑÝv thường được kí hiệu là TÑÝv Ta có TÑÝv pM q “ M 1 Hình 1.3 Ví dụ 1.4 Trong mặt phẳng P, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc P đều thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất Ta thường kí hiệu e là phép đồng nhất Như vậy ta có e : P Ñ P và epM q “ M với mỗi điểm M thuộc P Định nghĩa 1.3 Một phép biến hình f : P Ñ P biến một điểm M bất kì của P thành một điểm M 1 rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai g : P Ñ P để biến M 1 thành M 2 Ta có M 1 “ f pM q và M 2 “ gpM 1q Khi đó phép biến hình h biến M thành M 2 gọi là tích của hai phép biến hình f và g và kí hiệu h “ g ˝ f Ta có hpM q “ pg ˝ f q pM q “ M 2 “ gpM 1q “ g rf pM qs Định nghĩa 1.4 Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M 1 Ta có f pM q “ M 1 Khi đó phép biến hình biến điểm M 1 thành điểm M gọi là phép biến hình nghịch đảo của phép biến hình f đã cho Ta kí hiệu phép biến hình nghịch đảo của f là f ´1 và ta có f ´1pM 1q “ M Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f ´1 và f ˝ f ´1 “ f ´1 ˝ f “ e (phép đồng nhất)