Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNNGUYỄN PHẠM THANH ĐỊNHMỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒ THỊ EULER,ĐỒ THỊ HAMILTON VÀ ỨNG DỤNGĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤPNgành : Phương pháp Tốn sơ cấpMã số: 846
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN PHẠM THANH ĐỊNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒ THỊ EULER, ĐỒ THỊ HAMILTON VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN PHẠM THANH ĐỊNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒ THỊ EULER, ĐỒ THỊ HAMILTON VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn : TS Nguyễn Văn Vũ i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài “Một số vấn đề về đồ thị Euler, đồ thị Hamilton và ứng dụng” là kết quả nghiên cứu của tôi thực hiện với sự định hướng của thầy hướng dẫn, và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác cho tới thời điểm hiện tại Các nội dung và kết quả sử dụng trong đề án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc Nếu có điều gì không trung thực, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề án của mình Bình Định, ngày 17 tháng 10 năm 2023 Tác giả Nguyễn Phạm Thanh Định ii Mục lục Lời cam đoan i Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Định nghĩa đồ thị 4 1.2 Các thuật ngữ cơ bản 6 1.3 Đường đi, chu trình Đồ thị liên thông 9 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt 14 1.4.1 Đồ thị đầy đủ 14 1.4.2 Đồ thị vòng 14 1.4.3 Đồ thị bánh xe 15 1.4.4 Đồ thị lập phương 15 1.4.5 Đồ thị hai phía 16 1.4.6 Đồ thị phẳng 17 1.5 Một số bài toán liên quan đến đồ thị phẳng 20 2 Đồ thị Euler và các bài toán liên quan 26 2.1 Đồ thị Euler 26 2.2 Tính chất và dấu hiệu nhận biết đồ thị Euler 28 2.3 Ứng dụng của đồ thị Euler trong bài toán người đưa thư Trung Hoa (Chinese postman problem) 32 iii 2.4 Một số bài toán liên quan đến đồ thị Euler 35 3 Đồ thị Hamilton và một số bài toán liên quan 46 3.1 Đồ thị Hamilton 46 3.2 Tính chất và dấu hiệu nhận biết đồ thị Hamilton 47 3.3 Một số bài toán lên quan đến đồ thị Hamilton 53 3.4 Ứng dụng của đồ thị Hamilton trong bài toán Người đi du lịch (Travelling Salesman Problem) 63 Tài liệu tham khảo 68 1 Mở đầu Lý thuyết đồ thị là một trong những nhánh quan trọng của toán học rời rạc đã được nghiên cứu từ lâu Một trong những cột mốc đầu tiên là lời giải bài toán "Ko¨nigsberg Bridges" của nhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler vào năm 1736 Tương truyền đây là một vấn đề nảy sinh từ chính địa phương Ko¨nigsberg, ở đó người ta đặt ra câu hỏi liệu rằng có thể đi qua tất cả các cây cầu của thành phố một lần duy nhất và trở về điểm xuất phát hay không Euler đã chứng minh rằng điều này không thể thực hiện được khi phát biểu lại bài toán dưới hình thức mới về đồ thị theo cách diễn đạt của toán học hiện đại Kết quả này đôi khi được xem như là định lý đầu tiên trong lý thuyết đồ thị, và còn là một cột mốc của ngành tô-pô học Cho đến nay, Lý thuyết đồ thị phục vụ như một mô hình toán học cho bất kỳ hệ thống nào liên quan đến mối quan hệ nhị phân Đó là một cách thuận tiện để biểu diễn thông tin liên quan đến mối quan hệ giữa các đối tượng, do đó nó được ứng dũng rộng rãi trong Tin học, Sinh học và ngay cả khong các ngành khoa học xã hội Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton là hai chủ đề kinh điển trong mọi giáo trình về đồ thị Chúng liên quan đến các hành trình đặc biệt đi qua tất cả các cạnh (đồ thị Euler) hoặc đi qua tất cả các đỉnh (đồ thị Hamilton) của một đồ thị Bên cạnh ý nghĩa nội tại về mặt lý thuyết, hai lớp đồ thị ấy còn có những ứng dụng to lớn trong nhiều loại mô hình ứng dụng xuất phát từ thực tiễn, chẳng hạn trong việc tối ưu hóa quãng đường di chuyển (bài toán người đưa thư, bài toán người du lịch, ) Hiện nay đồ thị vẫn còn chưa là một mảng chính trong chương trình Toán THPT, mặc dù các bài toán được giải quyết sử dụng ý tưởng từ đồ thị thường xuyên xuất hiện trong 2 các đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học quốc tế cũng như khu vực Nhiều bài toán rất khó như thế đã được giải quyết trọn vẹn với hình thức trình bày trong sáng sử dụng thuật ngữ của đồ thị Đề tài này tập trung vào việc tìm hiểu các khái niệm và kết quả chính liên quan đến các đồ thị Euler và Hamilton, và sau đó phát biểu một số bài toán vận dụng có liên quan, trong đó có một số được sưu tầm từ kỳ thi Olympic Toán phổ thông các nước Về mặt nội dung, đề án được chia làm ba chương như sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này tác giả hệ thống hoá một số khái niệm và đối tượng cơ bản của lý thuyết đồ thị làm cơ sở cho việc trình bày các nội dung chính tiếp theo Chương 2: Đồ thị Euler và các bài toán liên quan Nội dung của chương dành cho việc nghiên cứu về mặt lý thuyết lớp các đồ thị Euler Tiếp theo, tác giả đưa ra một số vấn đề minh hoạ thực tế ứng dụng của các đồ thị Euler cũng như vận dụng chúng vào các bài toán phổ thông có ý tưởng liên quan Chương 3: Đồ thị Hamilton và các bài toán liên quan Đây là phần cuối của đề tài, tập trung vào việc khảo sát một vài kết qủa cơ bản về các đồ thị Hamilton Trên cơ sở đó, tác giả chọn lọc đưa ra một số ứng dụng của đồ thị Hamilton vào một số mô hình thực tế (bài toán người du lịch) Sau cùng là một số bài toán minh hoạ việc vận dụng đồ thị Hamilton trong Toán phổ thông Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Vũ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, người đã tận tình giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành đề án một cách tốt nhất Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán và Thống kê, Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Phương pháp Toán sơ cấp Khóa K24B đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Cuối cùng, tác giả cũng xin cảm ơn 3 gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành đề án này Hy vọng rằng đề tài này sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên, học viên cao học đang tìm tòi nghiên cứu về những chủ đề có liên quan 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung của chương hiện tại nhằm hệ thống hóa lại một số khái niệm và thuật ngữ cơ bản trong lý thuyết đồ thị Hiện nay có rất nhiều tài liệu chuyên khảo về đồ thị phù hợp với các mức độ người đọc khác nhau Để thống nhất, trong khuôn khổ nội dung sau đây chúng tôi dựa theo các tài liệu [2, 3, 4] 1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Đơn đồ thị vô hướng là một cặp G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh Đa đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh Hai cạnh e1 và e2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh Rõ ràng mỗi đơn đồ thị đều là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nào cũng 5 Hình 1.1: Ví dụ đơn đồ thị vô hướng và đa đồ thị vô hướng là đơn đồ thị, vì trong đa đồ thị có thể có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối một cặp đỉnh nào đó Định nghĩa 1.1.2 Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung (cạnh có hướng) Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung Hai cung e1, e2 tương ứng với cùng một cặp đỉnh được gọi là cung lặp Hình 1.2: Ví dụ đơn đồ thị có hướng và đa đồ thị có hướng