Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Trang 3 Mở đầu 1Danh mục các ký hiệu 41 Tính chất hình học của nghiệm đa thức Chebyshev 61.1 Đa thức Chebyshev và các tí
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN PHƯƠNG YẾN NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC CHEBYSHEV DƯỚI GÓC NHÌN HÌNH HỌC ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN PHƯƠNG YẾN NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC CHEBYSHEV DƯỚI GÓC NHÌN HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Bình Định - 2023 Mục lục Mở đầu 1 Danh mục các ký hiệu 4 1 Tính chất hình học của nghiệm đa thức Chebyshev 6 1.1 Đa thức Chebyshev và các tính chất cơ bản 6 1.1.1 Định nghĩa 6 1.1.2 Tính chất 7 1.1.3 Nghiệm của đa thức Chebyshev thu gọn 11 1.2 Tính chất hình học của đa thức Chebyshev 11 2 Định lý Chebyshev đối với các elip trong mặt phẳng phức 15 2.1 Xấp xỉ đều đến 0 trên [−1, 1] 16 2.1.1 Đa thức Tn(x) 16 2.1.2 Xấp xỉ đều đến 0 trên [-1;1] 17 2.2 Xấp xỉ đều đến 0 trên các elip tiêu chuẩn 18 2.2.1 Các elip tiêu chuẩn Ea 18 2.2.2 Định lý Chebyshev đối với các elip 20 2.2.3 Elip tổng quát 24 3 Dạng toàn phương và các bất đẳng thức hình học 26 i 3.1 Bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh chẵn và dạng toàn phương 26 3.1.1 Bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh chẵn 26 3.1.2 Dạng toàn phương với đa thức Chebyshev 28 3.2 Một bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh lẻ 34 3.2.1 Một bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh lẻ 35 3.2.2 Đa giác bán đều 38 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 1 MỞ ĐẦU Đa thức Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev (1821-1894), là một dãy đa thức trực giao (orthogonal polynomials), và có liên quan đến công thức de Moivre (de Moivre’s formula) Người ta có thể xác định dãy đa thức này bằng công thức truy hồi, giống như số Fibonacci và số Lucas Đa thức Chebyshev có vị trí rất đặc biệt trong toán học với rất nhiều ứng dụng, chẳng hạn như trong Lý thuyết xấp xỉ, Lý thuyết nội suy, Các nghiệm của đa thức Chebyshev loại I, còn được gọi là các điểm Chebyshev (Chebyshev node), được dùng trong đa thức nội suy Nhờ có nó, mà sai số do hiệu ứng Runge là nhỏ nhất Cho đến ngày nay các nhà toán học đã công bố một lượng đồ sộ các công trình nghiên cứu về đa thức Chebyshev Trong chương trình toán phổ thông, mảng toán đa thức Chebyshev là một mảng toán khó, thường chỉ xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Mặc dù gần đây đa thức Chebyshev ít xuất hiện hơn trong các kỳ thi vì hệ thống bài tập mang tính lý thuyết của nó, nhưng việc hiểu biết và nghiên cứu về đa thức này vẫn hết sức quan trọng trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Khá nhiều bài toán về đa thức Chebyshev dẫn đến những kết quả lý thú và vì vậy chúng có tác dụng phát triển tư duy logic và tính sáng tạo khi nghiên cứu toán Đồng thời sự phát hiện những ứng dụng đa dạng của đa thức Chebyshev trong đại số cũng lôi cuốn đông đảo sự quan tâm nghiên cứu của giáo viên và 2 học sinh Mặc dù đã có nhiều tài liệu về đa thức Chebyshev nhưng hầu hết đều khó với học sinh khi bước đầu tiếp cận Nhằm giúp giáo viên và học sinh có góc nhìn trực quan hơn khi nghiên cứu đa thức Chebyshev, đề án này đề cập đến vấn đề có liên quan đến đa thức này dưới góc nhìn hình học Mục tiêu của Đề án là nghiên cứu một số góc nhìn hình học của một số yếu tố liên quan đến đa thức Chebyshev và tìm hiểu việc ứng dụng chúng trong việc giải một số bài toán khó trong chương trình toán phổ thông Cụ thể, Đề án sẽ tập trung các vấn đề sau: 1 Các tính chất hình học của nghiệm đa thức Chebyshev 2 Định lý Chebyshev đối với các elip trong mặt phẳng phức 3 Một vài ứng dụng của đa thức Chebyshev trong giải toán hình học Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, đề án được bố cục thành 3 chương Chương 1 tập trung khảo sát mối quan hệ giữa độ dài đường chéo các n-giác đều với nghiệm đa thức Chebyshev Dựa trên Định lý Chebyshev cổ điển nói rằng các đa thức Chebyshev là các xấp xỉ tối ưu đối với hàm zero trên [−1, +1], Chương 2 quan tâm đến nghiên cứu Định lý Chebyshev đối với các elip trong mặt phẳng phức với ý tưởng là các đa thức Chebyshev là các xấp xỉ tối ưu đối với hàm zero trên bất kỳ elip nào trong mặt phẳng phức có các tiêu điểm −1 và +1 Nội dung chính của Chương 3 là khảo sát một bất đẳng thức hình học đối với các đa giác có số cạnh “chẵn” thông qua số nghiệm của đa thức Chebyshev Từ đó đưa ra một phiên bản “lẻ” của bất đẳng thức hình học và gợi ý một số bài toán hình học thú vị cho đa giác với số cạnh lẻ 3 Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề án Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khoá 24B đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài Ngoài ra tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp K24B đã đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi trong quá trình viết đề tài này Và cuối cùng, xin dành lời cảm ơn kèm yêu thương vô bờ đến gia đình, người thân của tôi đã luôn cổ vũ tinh thần, làm hậu phương vững chắc để tôi có thể hoàn thành đề án này Mặc dù đề án được thực hiện với sự nổ lực cố gắng hết sức của bản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên đề án này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để đề án được hoàn thiện tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn Nguyễn Phương Yến Nhi 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N : Tập hợp số tự nhiên Z : Tập hợp số nguyên R : Tập hợp số thực Rn : Không gian vectơ thực n chiều C : Tập hợp số phức Tn(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 1 Un(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 2 Vn(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 3 Wn(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 4 Tn∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 1 Un∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 2 Vn∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 3 Wn∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 4 Tn(x) : Đa thức Chebyshev lõi bận n, hệ số cao nhất là 1 Ea : Elip tiêu chuẩn E : Elip tổng quát sinh(x) : Hàm sin hyperbolic cosh(x) : Hàm cosin hyperbolic tanh(x) : Hàm tang hyperbolic coth(x) : Hàm cotang hyperbolic csc(x) 5 sec(x) csch(x) : Hàm nghịch đảo của sin(x) d(Ak, Al) : Hàm nghịch đảo của cos(x) ∥f ∥E∞ : Hàm nghịch đảo của sinh(x) ∠ABC : Khoảng cách từ đỉnh Ak đến đỉnh Al ⌊x⌋ : Giá trị tuyệt đối lớn nhất của hàm f trên E : Góc ABC k=1 n (xk) : Phần nguyên của số thực x k=1 n (xk) : Tổng của các số hạng xk khi k nhận giá trị từ 1 đến n maxx∈A P (x) : Tích của các thừa số xk khi k nhận giá trị từ 1 đến n : Giá trị lớn nhất của đa thức P (x) khi x chạy khắp A 6 Chương 1 Tính chất hình học của nghiệm đa thức Chebyshev Mục đích của chương này là trình bày một tính chất mới về bản chất hình học của các đa thức Chebyshev Để chuẩn bị cho mục đích này một vài phân tích nhân tử đặc biệt của hiệu các đa thức Chebyshev cũng được đề cập trong chương 1.1 Đa thức Chebyshev và các tính chất cơ bản Trong mục này giới thiệu thêm một tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev có liên quan đến bản chất giải tích-hình học của các nghiệm của chúng Chúng ta sẽ thấy ở đây một mối quan hệ sâu hơn giữa độ dài đường chéo của các đa giác đều và tổng các nghiệm dương của bất kỳ loại đa thức Chebyshev nào trong bốn loại được giới thiệu ở dưới 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ta định nghĩa bốn loại đa thức Chebyshev là các đa thức bậc n thoả mãn các công thức như sau: Với mọi n ∈ N