Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyễn Ngọc Quốc Thương Trang 2 Mục lụcMục lục iMở đầu ii1 Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức 11.1 Phương pháp biến đổi tương đương.. 541.6 Một số bài toán chọn lọc thi
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN CÔNG NHÃ ĐỀ ÁN THẠC SĨ TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Khoá: 24 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Bình Định - Năm 2023 Mục lục Mục lục i Mở đầu ii 1 Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức 1 1.1 Phương pháp biến đổi tương đương 1 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 9 1.2.1 Đặt ẩn phụ toàn phần 9 1.2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 14 1.3 Phương pháp hàm số 28 1.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 28 1.3.2 Ứng dụng tính khả vi của hàm số 33 1.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 36 1.4.1 Lớp các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Cauchy-Schwarz 37 1.4.2 Lớp các bài toán sử dụng bất đẳng thức vectơ 43 1.4.3 Một số dạng khác 46 1.5 Phương trình chứa căn thức và có tham số 49 1.5.1 Phương trình có thể cô lập được tham số 49 1.5.2 Phương trình không cô lập được tham số 54 1.6 Một số bài toán chọn lọc thi học sinh giỏi và Olympic Toán học các cấp 57 2 Một số phương pháp giải hệ phương trình chứa căn thức 65 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 65 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 70 2.2.1 Đặt một ẩn phụ 70 i 2.2.2 Đặt hai ẩn phụ 74 2.3 Phương pháp hàm số 79 2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 84 2.4.1 Lớp các bài toán sử dụng các bất đẳng thức đại số cơ bản 85 2.4.2 Lớp các bài toán sử dụng các bất đẳng thức cổ điển 87 2.5 Hệ phương trình chứa căn thức và có tham số 91 2.6 Một số bài toán chọn lọc thi học sinh giỏi các cấp 96 Kết luận 104 Tài liệu tham khảo 105 ii Mở đầu Môn Toán học có một vị trí rất quan trọng trong trường phổ thông, nó phối hợp với các môn học khác và các hoạt động khác trong nhà trường, góp phần giáo dục toàn diện học sinh Do vai trò to lớn của toán học trong đời sống khoa học kỹ thuật hiện đại nên các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp cho học sinh học tốt các môn học khác, đồng thời phát triển phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc trừu tượng, suy luận hợp logic Ngoài ra còn giúp cho học sinh tính cần cù, tự lực tự cường, tính cẩn thận, chính xác Phương trình và hệ phương trình là một trong những vấn đề quan trọng của toán cao cấp lẫn toán sơ cấp Trong chương trình toán bậc phổ thông, ta thường gặp các phương trình và hệ phương trình chứa căn thức Đối với một số dạng phương trình và hệ phương trình chứa căn thức thì ta có một số phương pháp hiệu quả để giải chúng Phương trình vô tỷ là một đề tài thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy một cách sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu Tuy đã được nghiên cứu rất lâu nhưng phương trình vô tỷ vẫn luôn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy Mỗi loại bài toán phương trình và hệ vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Bên cánh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp THCS, THPT Đề tài nhằm nghiên cứu và trình bày một cách hệ thống các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình chứa căn thức, bao gồm phương pháp tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dùng bất đẳng thức và phương pháp dùng hàm số Ngoài ra đề tài còn giới thiệu một số phương trình và hệ phương trình chứa căn thức được dùng trong các đề thi học sinh giỏi các cấp iii Đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học sinh phổ thông muốn tìm hiểu sâu về các bất đẳng thức hình học và những ứng dụng của chúng trong giải toán Đề tài được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương, người luôn nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện để tôi có thể hoàn thành đề tài này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong khoa Toán và Thống kê, phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học ngành Phương pháp Toán sơ cấp khóa 24 Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tôi học thạc sĩ cũng như hoàn thành đề tài này Trong thời gian ngắn hoàn thành đề tài, chắc chắn không tránh được được những sai sót cũng như thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý, phê bình quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp Bình Định, ngày 17 tháng 11 năm 2023 Học viên Nguyễn Công Nhã iv Chương 1 Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức Ở chương này ta sẽ khảo sát một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức tiêu biểu 1.1 Phương pháp biến đổi tương đương Nội dung phần này được tham khảo từ [3], [5] Định nghĩa 1.1 Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm Nếu phương trình f1pxq g1pxq tương đương với phương trình f2pxq g2pxq thì ta kí hiệu f1pxq g1pxq ô f2pxq g2pxq (1.1) Định nghĩa trên cũng có thể mở rộng cho khái niệm phương trình tương đương với hệ gồm bất phương trình và phương trình một ẩn, cụ thể như sau Định nghĩa 1.2 Phương trình f1pxq g1pxq được gọi là tương đương với hệ 6 g2pxq ¥0 99999 f2 9 pxq 9 98 h1pxq 999999 ¤ ¤ ¤ 9 97 hnpxq ¥ 0 1 khi và chỉ khi phương trình và hệ đã cho có cùng một tập nghiệm Khi đó ta kí hiệu 6 99999 f2 9 pxq g2pxq 9 98 h1pxq ¥ 0 f1pxq g1pxq ô (1.2) 999999 ¤ ¤ ¤ 9 97 hnpxq ¥ 0 Mục tiêu của phương pháp biến đổi tương đương là ta sẽ đưa phương trình ban đầu về một phương trình hay một hệ tương đương với nó mà có ta có thể giải quyết đơn giản hơn Sau đây là các phép biến đổi tương đương thường gặp trong phương trình chứa căn thức Định lý 1.1 Cho n là một số tự nhiên, ta có các tính chất sau 6 98 fpxq gpxq 1 2n fpxq 2n gpxq ô 97 gpxq ¥0 6 98 fpxq rgpxqs2n 2 2n fpxq gpxq ô 97 gpxq ¥0 Chứng minh 1 Gọi S1 và S2 lần lượt là tập nghiệm của phương trình và hệ Nếu s S1 thì gpsq ¥ 0 và 2n fpsq 2n gpsq Khi đó ta được gpsq ¥ 0 và fpsq gpsq, do đó s S2 Ngược lại nếu s S2 thì f psq gpsq ¥ 0, lấy căn bậc 2n của hai vế ta thu được 2n f psq 2n gpsq Từ đó s S1 Vậy hai tập nghiệm trùng nhau nên ta có điều phải chứng minh 2 Gọi S3 và S4 lần lượt là tập nghiệm của phương trình và hệ Ta dễ thấy S4 chứa tập S3 Giả sử s S4, khi đó f psq rgpsqs2n ¥ 0 Lấy căn bậc 2n hai vế ta thu được 2n fpsq |gpsq|, mà gpsq ¥ 0 nên 2n fpsq |gpsq| gpsq, suy ra s S3 Vậy S3 S4 nên ta suy ra hệ và phương trình đã cho tương đương với nhau 2 Ta lưu ý rằng các hệ tương đương với các phương trình ở (1) và (2) đã kéo theo điều kiện xác định của các căn thức nên việc tìm điều kiện xác định trước khi đi giải phương trình là không cần thiết Ví dụ 1.1 Giải các phương trình sau: 1 cx2 ¡ 3x 2 cx ¡ 2 2 c2x3 3x2 x 3 3 3 cx 1 1 ¡ x2 Lời giải 1 Ta có cx2 ¡ 3x 6 2 c 98 x2 x ¡ 2 ô ¡ 3x 2 x ¡ 2 97 x ¡ 2 ¥ 0 6 9 ô 8 x2 ¡ 4x 4 0 97 x ¥ 2 ô x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S t2u 2 Ta có c2x3 3x2 x 3 3 ô 2x3 3x2 x 3 9 ô px ¡ 1qp2x2 5x 6q 0 ô x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S t1u 3 Ta có 6 c 98 x 1 1 1 ¡ x2 ô 1 ¡ 2x2 x4 97 1 ¡ x2 ¥ 0 x 6 9 ô 8 x4 ¡ 2x2 ¡ x 0 97 ¡1 ¤ x ¤ 1 3 6 9 ô 8 xpx 1qpx2 ¡ x ¡ 1q 0 97 ¡1 ¤ x ¤ 1 c c 6 1¡ 5 1 5 98 ô x 0 x ¡1 x 2 x 2 97 ¡1 ¤ x ¤ 1 c ô x 0 x ¡1 x 1 ¡ 5 2 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ¡1, 1 ¡ c5 B , 0 2 Một cách tổng quát, ta có định lý sau Định lý 1.2 Với mọi số tự nhiên n ¥ 1 và hai hàm số f pxq và gpxq, ta luôn có 6 98 f fpxq gpxq ô pxqgpxq ¥ 0 (1.3) 97 rfpxqs2n rgpxqs2n Chứng minh Gọi S1 và S2 lần lượt là tập nghiệm của phương trình và hệ Ta dễ thấy rằng S1 S2 Giả sử s S2, khi đó 6 98 fpsqgpsq ¥ 0 , 97 rfpsqs2n rgpsqs2n từ rfpsqs2n rgpsqs2n ta suy ra được |fpsq| |gpsq| Kết hợp điều kiện fpsqgpsq ¥ 0, ta thu được f psq gpsq, từ đó s S1 Vậy S1 S2, cho nên phương trình và hệ đã cho tương đương với nhau Vậy khi giải phương trình chứa căn thức phải ta sẽ sử dụng các quy tắc sau để đảm bảo tính tương đương của các bước biến đổi: (1) Đặt điều kiện để phương trình xác định (2) Đối với phương trình chứa căn bậc chẵn, trước khi lỹ thừa phải đặt điều kiện để hai vế cùng dấu Ví dụ 1.2 Giải các phương trình sau 4 1 cx 9 5 ¡ c2x 4 2 2c3x 1 ¡ cx ¡ 1 2c2x ¡ 1 Lời giải 1 Điều kiện: x ¥ ¡2 Khi đó cx 9 5 ¡ c2x 4 ô cx 9 c2x 4 5 ô x 9 2x 4 2px 9qp2x 4q 25 ô 2c2x2 22x 36 12 ¡ 3x 6 9 ô 8 ¡2 ¤ x ¤ 4 97 4p2x2 22x 36q p12 ¡ 3xq2 6 9 ô 8 ¡2 ¤ x ¤ 4 97 x2 ¡ 160x 0 ô x 0 2 Điều kiện: x ¥ 1 Khi đó c 1 ¡ cx ¡ 1 2c2x ¡ 1 ô 2c3x 1 cx ¡ 1 2c2x ¡ 1 2 3x ô 4p3x 1q x ¡ 1 4p2x ¡ 1q 4px ¡ 1qp2x ¡ 1q ô 4c2x2 ¡ 3x 1 3x 9 6 999998 x ¥ 1 ô 9 3x 9 ¥ 0 999 97 16p2x2 ¡ 3x 1q p3x 9q2 6 9 ô 8 x ¥ 1 97 23x2 ¡ 102x ¡ 65 0 ô x 5 Ví dụ 1.3 Giải phương trình cx2 ¡ x ¡ 2cx2 cx2 2x 0 5