Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNNGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢOMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢIPHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNTRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐNTRUNG HỌC CƠ SỞĐỀ ÁN THẠC SĨ TỐN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC Q
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS LÊ THANH BÍNH Công trình hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Người hướng dẫn: TS LÊ THANH BÍNH Phản biện: TS TRẦN NGỌC NGUYÊN Đề án được bảo vệ tại Hội đồng đánh giá Đề án thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp, ngày 17 tháng 11 năm 2023 tại Trường Đại học Quy Nhơn Có thể tìm hiểu đề án tại: - Thư viện Trường Đại học Quy Nhơn - Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày của đề án thạc sĩ là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết quả nêu trong đề án, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, chính xác Bình Định, ngày 27 tháng 11 năm 2023 Tác giả Nguyễn Thị Phương Thảo LỜI CẢM ƠN Trước khi đi vào nội dung của đề án, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể giảng viên của Khoa Toán & Thống kê của trường Đại Học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học-Trường Đại Học Quy Nhơn vì đã tận tâm giảng dạy kiến thức chuyên môn, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho học viên trong suốt thời gian học tập, thực tập Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể các bạn học viên lớp Cao Học Toán K24B, ngành Phương pháp toán sơ cấp, vì sự gắn bó, yêu thương và giúp đỡ lẫn nhau trong quá trình học tập Đặc biệt, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy TS Lê Thanh Bính-giảng viên của Khoa Toán & Thống kê-vì sự định hướng, quan tâm, động viên và sự hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình tôi thực hiện và hoàn thành đề án Nhân dịp này, tôi cũng xin được gửi những lời cảm ơn đến những người bạn, đặc biệt là những người thân trong gia đình đã luôn giúp đỡ tôi hết mình, luôn động viên, cổ vũ tinh thần và tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành được đề án thạc sĩ Với sự nỗ lực hết sức của bản thân, tôi đã cố gắng để có thể hoàn thành nội dung đề án một cách tốt nhất Tuy nhiên, do năng lực và thời gian hạn chế, mặc dù nội dung đã được chỉnh sửa nhiều lần nhưng đề án thạc sĩ của tôi sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót về mặt hình thức, nội dung Tôi xin chân thành cảm ơn nếu nhận được sự góp ý từ quý thầy cô, các bạn bè và đọc giả để có thể hoàn thiện đề án thạc sĩ được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, ngày 27 tháng 11 năm 2023 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Phương Thảo i Mục lục MỞ ĐẦU 1 0.1 Lí do chọn đề tài 1 0.2 Mục đích nghiên cứu 2 0.3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2 0.4 Phương pháp nghiên cứu 3 0.5 Cấu trúc đề án tốt nghiệp 3 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Phép chia hết, số nguyên tố, hợp số 5 1.1.1 Định nghĩa và tính chất 5 1.1.2 Một số dấu hiệu chia hết 7 1.1.3 Ví dụ áp dụng 7 1.2 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất 8 1.2.1 Định nghĩa và tính chất 8 1.2.2 Thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn nhất 10 1.2.3 Ví dụ áp dụng 11 1.3 Đồng dư 13 1.3.1 Định nghĩa và tính chất 13 1.3.2 Ví dụ áp dụng 14 ii 1.4 Số chính phương 15 1.4.1 Định nghĩa và tính chất 15 1.4.2 Ví dụ áp dụng 17 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 19 2.1 Phương pháp dùng tính chia hết 20 2.1.1 Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn 20 2.1.2 Dạng 2: Đưa về phương trình ước số 21 2.2 Phương pháp xét số dư của từng vế 25 2.3 Phương pháp dùng bất đẳng thức 29 2.3.1 Dạng 1: Sắp thứ tự các ẩn 29 2.3.2 Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển 31 2.3.3 Dạng 3: Chỉ ra nghiệm nguyên 33 2.3.4 Dạng 4: Sử dụng điều kiện ∆ ¥ 0 để phương trình bậc hai có nghiệm 34 2.3.5 Dạng 5: Phương pháp kẹp 36 2.4 Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương 38 2.4.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất về chia hết, chia có dư của số chính phương 38 2.4.2 Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng a1A21 a2A22 anA2n k, trong đó Ai (i 1, , n) là các đa thức hệ số nguyên, ai là số nguyên dương, k là số tự nhiên 39 2.4.3 Dạng 3: Xét các số chính phương liên tiếp 41 iii 2.4.4 Dạng 4: Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương 43 2.4.5 Dạng 5: Sử dụng tính chất "Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0" 45 2.4.6 Dạng 6: Sử dụng tính chất "Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương" 47 2.5 Phương pháp lùi vô hạn; nguyên tắc cực hạn 48 2.5.1 Dạng 1: Phương pháp lùi vô hạn 48 2.5.2 Dạng 2: Nguyên tắc cực hạn 50 3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 53 3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn 53 3.1.1 Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn với nghiệm nguyên 55 3.1.2 Phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc nhất hai ẩn 56 3.2 Phương trình bậc hai có hai ẩn 59 3.3 Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn 61 3.4 Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên 64 3.5 Phương trình dạng phân thức 65 3.6 Phương trình dạng mũ 67 4 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỚI NGHIỆM NGUYÊN 70 4.1 Bài toán về số tự nhiên và các chữ số 70 4.2 Bài toán về chia hết và số nguyên tố 74 iv 4.3 Các bài toán thực tế 78 4.4 Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên 80 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 84 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Giải thích N Tập các số tự nhiên Tập các số tự nhiên khác 0 N¦ Nzt0u Z Tập các số nguyên Z Tập các số nguyên dương a là ước số của b a|b a chia hết cho b a b Ước số chung lớn nhất của hai số a và b Ước số chung lớn nhất của n số a1, a2, , an pa, bq pa1, a2, , anq Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b Bội số chung nhỏ nhất của n số a1, a2, , an ra, bs ra1, a2, , ans a đồng dư với b theo modulo n a b pmod nq (tức là pa ¡ bq chia hết cho n) n! (với n Z ) n ¤ pn ¡ 1q ¤ pn ¡ 2q ¤ ¤ ¤ 1