Đang tải... (xem toàn văn)
Chủ đề này đã được nghiên cứu ởthế kỷ 17, khi những câu hỏi tổ hợp được nêu ra trong những công trìnhnghiên cứu các trò chơi may rủi, liệt kê, đếm các đối tượng có những tínhchất nào đó
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————– NGÔ THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP TRONG HÌNH HỌC VÀ SỐ HỌC ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————– NGÔ THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP TRONG HÌNH HỌC VÀ SỐ HỌC Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề án về đề tài “Một số dạng toán tổ hợp trong hình học và số học” là công trình nghiên cứu cá nhân của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy TS Nguyễn Hữu Trọn Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này i Lời cảm ơn Để hoàn thành được đề án này, trước nhất tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hữu Trọn đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện khóa luận Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô trong Khoa Toán và Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, khoa Sư phạm, phòng Đào tạo sau đại học, nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề án này Bình Định, ngày tháng năm 2023 Học viên Ngô Thị Huyền Trang ii Mục lục Mở đầu vii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Kiến thức tổ hợp 1 1.1.1 Một số quy tắc cơ bản của phép đếm 1 1.1.2 Hoán vị và chỉnh hợp 4 1.1.3 Tổ hợp 5 1.1.4 Nhị thức Newton 5 1.1.5 Nguyên lý Dirichlet 6 1.1.6 Nguyên lý cực hạn 6 1.2 Kiến thức số học 6 1.2.1 Số nguyên tố 6 1.2.2 Tính chia hết 7 1.2.3 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất 7 1.2.4 Thuật toán Euclide 8 1.2.5 Khai triển Abel 8 1.2.6 Thặng dư 8 1.2.7 Một số định lý số học quan trọng 9 1.2.8 Phương pháp song ánh 10 1.3 Kiến thức hình học 11 1.3.1 Đa giác lồi 11 1.3.2 Bao lồi 12 1.3.3 Đồng phẳng 12 2 Các bài toán tổ hợp trong số học 13 2.1 Các bài toán liên quan đến sự tồn tại trong số học tổ hợp 13 2.2 Bài toán đếm số phần tử trong số học tổ hợp 23 iii 3 Các bài toán tổ hợp trong hình học 34 3.1 Các bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm trong hình học 34 3.2 Các bài toán đếm trong hình học 43 3.2.1 Bài toán đếm liên quan đến đường thẳng, đường tròn 43 3.2.2 Bài toán đếm các đa giác 45 3.2.3 Bài toán đếm liên quan đến mặt phẳng, tứ diện 48 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 54 iv Danh sách hình 1.1 Hình minh họa nguyên lý bù trừ 3 1.2 Hình minh họa đa giác lồi 12 1.3 Hình minh họa ví dụ bao lồi 12 2.1 Hình minh họa bài toán Olympic, 30/04/2012 - 1 16 2.2 Hình minh họa bài toán Olympic, 30/04/2012 - 2 17 2.3 Hình minh họa bài toán IMO, 2001 22 3.1 Hình minh họa bài toán 3.1.1 34 3.2 Hình minh họa bài toán 3.1.2 36 3.3 Hình minh họa bài toán IMO, 2017 39 3.4 Hình minh họa bài toán 3.1.6 42 3.5 Hình minh họa bài toán IMO, 2004 - 1 50 3.6 Hình minh họa bài toán IMO, 2004 - 2 50 v Danh sách kí hiệu Tronng luận văn này, chúng tôi sử dụng một số kí hiệu sau đây |A| Phép cộng tổng của một dãy các số hoặc biểu thức Phép nhân tích của một dãy các số hoặc biểu thức ∩ Số phần tử của tập hợp A Phép giao các tập hợp ∪ Phép hợp các tập hợp Giai thừa ! Tập hợp con Thuộc ⊆ Tập hợp số nguyên Tập hợp số nguyên dương ∈ a đồng dư b theo modulo m Chia hết Z Ước chung lớn nhất Bội chung nhỏ nhất Z+ a ≡ b (mod m) Phần nguyên của phép chia m cho n Hàm trần của x U CLN Hoán vị không lặp của n phần tử Hoán vị có lặp của n phần tử gồm k loại BCNN Chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử m Chỉnh hợp có lặp chập k của n Tổ hợp không lặp chập k của n phần tử n Tổ hợp có lặp chập k của n ⌈x⌉ Pn P (n1, n2, , nk) Ak n Akn Ck n Cnk vi Mở đầu Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự sắp xếp các đối tượng Chủ đề này đã được nghiên cứu ở thế kỷ 17, khi những câu hỏi tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi, liệt kê, đếm các đối tượng có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lí thuyết tổ hợp Hơn nữa, lý thuyết tổ hợp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính, kinh tế, xác suất, vật lý, sinh học và cả trong hình học và số học Ở nước ta hiện nay, chương trình giảng dạy toán tổ hợp, lý thuyết xác suất và thống kê đã bắt đầu từ chương trình toán học phổ thông Đặc biệt, các bài toán tổ hợp thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế, đòi hỏi các thí sinh phải có kiến thức vững vàng về lý thuyết tổ hợp cũng như kỹ năng giải bài toán Tuy nhiên, nhiều học sinh và giáo viên ở bậc phổ thông khó tiếp cận và gặp nhiều hạn chế trong việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết tổ hợp, đặc biệt là trong hình học và số học Một nguyên nhân là do lý thuyết tổ hợp là một lĩnh vực toán học khá trừu tượng và phức tạp, đòi hỏi người học phải có kiến thức vững chắc về toán học và khả năng tư duy logic tốt Tuy nhiên, hầu hết học sinh ở bậc phổ thông chỉ mới tiếp cận với lý thuyết tổ hợp và chưa có đủ kiến thức để áp dụng vào giải quyết các bài toán phức tạp Thứ hai, tài liệu về lý thuyết tổ hợp trong tiếng Việt còn rất hạn chế và không đầy đủ Nhiều sách giáo khoa và tài liệu giáo dục bằng tiếng Việt về lý thuyết tổ hợp chưa được cập nhật các kiến thức mới nhất và chưa tập trung vào cách giải quyết bài toán tổ hợp một cách hiệu quả Điều này khiến cho học sinh và giáo viên không thể tiếp cận và nắm vững kiến thức mới nhất về lý thuyết tổ hợp Vì vậy, việc nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán tổ hợp trong hình học và số học” sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập và giảng dạy của học sinh và giáo viên ở bậc phổ thông Đề tài sẽ giới thiệu các kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp và áp vii dụng vào giải quyết các bài toán trong hình học và số học Từ việc nghiên cứu và thực hiện đề tài này, chúng tôi hy vọng sẽ góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập tổ hợp của giáo viên và học sinh cho bậc phổ thông ở Việt Nam Nội dung của đề tài bao gồm các dạng toán tổ hợp trong hình học và số học Bài toán tổ hợp trong số học liên quan đến việc sắp xếp, lựa chọn và kết hợp các phần tử khác nhau theo một số quy tắc nhất định, cụ thể là tìm hiểu các bài toán như phân phối, tổ hợp, hoán vị, cấu trúc số và số học kết hợp Trong khi đó, bài toán tổ hợp trong hình học liên quan đến việc xác định số lượng và cách thức sắp xếp các hình học khác nhau trong mặt phẳng và không gian Chúng ta sẽ nghiên cứu tìm hiểu và trình bày các bài toán liên quan như xác định số lượng điểm, đường và mặt trong một không gian hình học nhất định Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề án được trình bày trong ba chương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong các chương sau của đề án, bao gồm: các khái niệm về tập hợp, phép cộng, phép nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và nhị thức Newton Ngoài ra, nguyên lý Dirichlet được đề cập tới như một công cụ đắc lực trong việc giải quyết các bài toán tổ hợp ở chương sau Chương 2 Các bài toán tổ hợp trong số học Trong chương này chúng tôi trình bày một số định lý và các bài toán tổ hợp trong số học Đồng thời, chúng tôi cũng trình bày một số ví dụ áp dụng Chương 3 Các bài toán tổ hợp trong hình học Chương 3 dành cho các bài toán tổ hợp trong hình học và một số ví dụ áp dụng liên quan đến các hình học khác nhau Mặc dù tác giả đã cố gắng tổng hợp tài liệu và trình bày các nội dung liên quan đến các bài toán tổ hợp trong hình học và số học một cách tốt nhất, nhưng do điều kiện về mặt thời gian và kiến thức có hạn nên đề án không thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và các bạn học viên để đề án được hoàn thiện hơn viii